巧求分数
分数的巧算和速算
分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。
两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。
两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。
（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201【举一反三】 计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。
分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！12006⨯÷+20042006原式=200420051200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】计算：（5）2000÷200020012000+20021（6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。
分数巧算知识点总结
分数巧算知识点总结一、分数的基本概念1.1 分数的定义分数是指两个整数之比，其中被除数为分子，除数为分母，可以用a/b表示，其中a为分子，b为分母，b不能等于0.1.2 分数的性质（1）分子和分母是整数，分母不能为0；（2）分数可以表示小数，也可以表示百分数；（3）分数的大小与所表示的数的大小有关。
1.3 分数的大小比较对于两个分数 a/b 和 c/d 来说，（1）如果 a/b = c/d，那么a*d = b*c；（2）如果 a/b > c/d，那么a*d > b*c；（3）如果 a/b < c/d，那么a*d < b*c。
1.4 一般分数的化简一般分数指分子和分母的除数不能被整除的分数，例如 4/6、2/5等。
化简分数是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数（即分子和分母的所有公约数中最大的那个数）的过程。
二、分数的加减乘除2.1 分数的加减（1）当两个分数的分母相同时，直接将分子相加或相减，分母保持不变；（2）当两个分数的分母不同时，需要先将它们通分，然后再进行加减运算。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/122.2 分数的乘法两个分数相乘时，将它们的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 * 3/4 = 6/12 = 1/22.3 分数的除法两个分数相除时，将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母得到新的分子，分母乘以分母得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 ÷ 3/4 = 8/9三、分数的巧算技巧3.1 练习整数乘分数在计算时，我们可以将整数转化为分数，然后再进行乘法运算，最后将得到的分数化简即可。
例如：2 * 2/3 = 2/1 * 2/3 = 4/33.2 乘除组合法则在进行复杂的分数运算时，我们可以先把分数转化为小数进行计算，然后再将得到的结果转化为分数。
第二讲：巧求分数
第2讲：巧求分数重要的知识点（熟记于心）：分数的基本性质：分子分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
差不变模型：分数的分子和分母同时加上或者减去同一个数，分子分母的差不会变。
（同增同减差不变）。
缩小=约分：分子分母的和缩小到几分之一，那么就是分子分母约分了几。
分子分母的差缩小到了几分之一，那么就是分子分母约分了几。
扩倍=同乘：分子分母的和扩大了几倍，那么就是分子和分母同时扩大了几倍即乘了几。
分子分母的差扩大了几倍，那么就是分子分母扩大了几倍即同时乘了几。
例题+练习1、一个分数的分子和分母之和是25，分母增加17之后得到一个新分数，把这个新分数约分后得到51，问原来的分数是多少？练习一个分数的分子和分母之和是57，分母减少5之后得到一个新的分数，新的分数约分后等于21，那么原来的分数是多少？2、已知一个分数是4111，在分子和分母中同时加上一个什么相同的数，才能使得分数化简后变为83？练习将2524的分母减去10，要使得分数的大小不变，分子应该减去多少？3、一个真分数，分子与分母之和是100，如果分子加上23，分母加上32，新的分数约分后是32，问原来的分数是多少？练习一个分数，分子分母之和是100，如果分子加上11，分母加上9，那么分数就变成了21，问原来的分数是多少？4、已知分数是6337，求分子分母同时加上一个什么数之后，使得化简后新的分数是173。
练习 将分数4329的分子减去A ，分母加上A ，则分数约分后变为53，求A 的值是多少？5、将43的分母加上12，要使得分数大小不变，分子应该加上多少？练习 将24的分母减去10，要使得分数大小不变，那么分子应该减去多少？6、有一个分数，将它的分子加上3得到31，将它的分子加上8就得到21。
求原来的分数是多少？练习有一个分数，分子加上2就化简为85，分子减去1可以约分化简为21，求这个分数原来是多少？7、有一个分数，把它的分母减去2就得到了32，把它的分母加上5就得到了83。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-分数的巧算(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计算问题-分数的巧算【知识点归纳】分数运算符合的定律．（1）乘法交换律 a×b=b×a（2）乘法结合律 a×（b×c）=（a×b）×c（3）乘法分配律 a×（b+c）=a×b+a×c；a×（b-c）=a×b-a×c （4）逆用乘法分配律 a×b+a×c=a×（b+c）；a×b-a×c=a×（b-c）（5）互为倒数的两个数乘积为1．除法的几个重要法则（1）商不变性质被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即a÷b=（a×n）÷（b×n）（n≠0）a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：（a±b）÷c=a÷c±b÷c； a÷c±b÷c=（a±b）÷c．【解题方法点拨】分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．1、把同分母的分数凑成整数．a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．4、懂得拆分．一．选择题1．+++…++的和是（）A．1 B．2012 C．10062．的值是多少．（）A．B．C．D．3．如果+＝×2＝；++＝×3＝；+++＝×4＝，则+++…+＝（）A．B．C．D．4．用简便方法计算：的结果是（）A．B．C．D．5．若将算式的值化为小数，由小数点后第1个数字是（）A．4 B．3 C．2 D．16．计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）＝（）A．50 B．99 C．100 D．2007．分母为2009的所有真分数相加是多少？（）A．1004 B．2008 C．330 D．789二．填空题8．2019×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）＝．9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为“，，…”的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算+++++…＝．10．+++＝．11．＝．12．+++…+，这个算式结果的整数部分是．13．2006×2008×（+）＝．14．＝．15．+++++＝．三．计算题16．计算我最细心，怎样算简便就怎样算．×+÷（+﹣）×1201999+999×999×（﹣）×0.3÷17．计算题①（9﹣3﹣1）×2②++③8888×58﹣4444×16+44④150﹣120÷1.4×0.84⑤17×37﹣174×1.9+17×82⑥1999×﹣18．运算能力展示．7.8÷[32×（1）+3.6][12×19×（）]9 （）×（）﹣（）×（）19．计算 （1）1+12+123+1234+12345+123456 （2）（142857+428571+285714+857142+571428+714285）+9 （3）149×（4）3（5）（10+876+312）×（876+312+918）﹣（10+876+312+918）×（876+312） （6）解方程：13﹣2（2x ﹣3）＝5﹣（x ﹣2） 20．计算。
五升六第一讲--分数巧算
今天我们要学习的是分数巧算，那么在学习分数巧算之前呢，要先回顾一下整数巧算，看看谁能全都记得。
首先来看一下这个例子，15+37+85+63。
如果咱们想要巧算，应该怎么计算比较方便呢？诶我们发现把15和85凑在一起可以得到100,37和63凑在一起也可以得到100，再来计算100+100就方便很多了，那这里运用了什么样的巧算方法呢？没错，就是应用交换律和结合律把能简算的数结合起来先计算。
接下来我们再看另一个例子，548-259+59，咱们首先观察这个算式，诶后面有一个259+59，如果想要巧算，是不是最好能把后面的259+59变成259-59，并且让他先算呢？谁愿意告诉老师呢？添括号，这样就可以计算了吗？要变号，为什么要变号？也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。
总结成五个字就是-----减变加不变。
那我们再来看看这个题目，259-59=200，548-200=348。
我们想一下之前学过的混合运算中想让后面的部分先算，应该怎么做呢？添括号对吧？添括号是不是有一个原则，叫减变加不变，也就是说括号外面是减法，括号里面是变号的，如果说括号外面是加法，括号里面是不变号的。
这样我们在259+59的外面添一个括号，由于括号前面是-号，根据咱们说的减变加不变原则，那么咱们括号里的+就要变号，于是括号里就变成了259-59，计算就方便很多了。
在这一定要注意，在添括号和去括号的时候要遵循减变加不变的原则。
那我们已经回顾了之前整数巧算的方法，接下来我们开始说分数的事情，在分数中，我们知道什么样的分数比较好算啊，比如说1/7+2/7=3/7，分母不变，分子相加就可以了，所以是不是同分母分数比较好算。
但是给你一个2/49+3/52可能就挂了，太难算了。
所以在分数运算中同分母分数要优先计算。
我们看这道题，1/3和2/3是同分母分数，那我们用交换律把2/3和2/5交换位置，可以先算1/3+2/3=1，接下来就好算了，1再加上2/5等于1又2/5,。
分数巧算(一)
蓝星教育内部专用导学案 蓝星教育内部专用 蓝星教育内部专用导学案学员姓名：一般方法：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
运算性质：几个数都除以同一个数所得的商之和（或差）等于这几个数的和（或差）除以这个数所得的商 a ÷m ±b ÷m ±c ÷m ＝(a ±b ±c)÷m【例1】计算：（200711×3.4＋523×200720068）÷732思路点拨 ：运用乘法分配律，提取公因数3.4，就容易计算了【例2】计算：41.2×3.6＋16×411＋53.7×6.4思路点拨 ：将53.7拆成41.2＋12.5，再运用乘法分配律巧算。
【例3】计算：05200520052005200520052005202005200520050420042004200420042004200420200420042004++++++思路点拨 ：分子提取公因数2004，分母提取公因数2005以后，可以运用约分的方法求解。
【例4】计算：52131557695770315206+⨯⨯+思路点拨 ：用调整的方法然后巧用约分计算出结果。
【例5】计算：2007×2007÷200612008思路点拨 ：硬算的方法太复杂，可以将200612008的倒数等积变形后约分求解。
分数巧算（一）【例6】计算：)413121()514131211(514131214131211++⨯++++-+++⨯+++）（）（ 思路点拨：设A =++413121B =+++51413121 原式=（1+A ）×B －（1＋B ）×A【例7】计算：12.6×125%＋523÷54＋1.4×12.5思路点拨 ：运用等积变形的方法变出相同的公因数，再运用乘法分配律巧算。
分数的巧算
一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
⑴对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有1111()a b b a a b =-⨯-111(1)1n n n n =-⨯++ 1111()()n n k k n n k=-⨯++ ⑵对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：⑴分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x (x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
⑵分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”⑶分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式： ⑴11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯⑵2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
巧求分数
巧求分数一、一个分数分子分别加上（减去）两个数得到两个不同的新分数，求原分数（分数单位法）例1一个分数，分子加上3变成1/3；分子加上1就变成1/4。
求这个分数。
例2有一个分数，分子加上2可约简为5/8；分子减去1，可约简为1/2。
求这个分数例3有一个分数，分子减去1，可约简为1/2。
分子减去5，可约简为1/3。
求这个分数1、一个分数，分子加上1约简得1/2；分子减去1约简得1/3。
求这个分数。
2、一个分数，分子加上3约简得1/6；分子减去3约简得5/9。
求这个分数。
3、一个分数，分子加上2约简为1/2；分子减去2就约简为1/3。
求这个分数。
4、有一个分数，分子加上3可约简为1/2；分子减去2，可约简为1/4。
求这个分数。
二、一个分数分母分别加上（减去）两个数得到两个不同的新分数，求原分数（倒数法同上）例4一个分数，分母加4后约简为1/3，分母加1后约简为3/8，这个分数是多少？例5一个分数，分母加3后约简为3/7，分母减2后约简为2/3，这个分数是多少？例6有一个分数，分母减去5，可约简为1/2。
分母减去2，可约简为3/7。
求这个分数1、一个分数，分母加上2约简得1/2；分母减去2约简得7/12。
求这个分数。
（不能约分）2、一个分数，分母加上3约简得1/3；分母减去3约简得1/6。
求这个分数。
3、一个最简分数，若分母加上3，约简得2/3；若分母减去3，约简得1又1/3。
这个分数是多少？4、一个分数，分母加上2可约简为1/3；分母减去2可约简为1/2。
求这个分数。
5、有一个分数，分母加上3可约简为3/8；分母减去2，可约简为1。
求这个分数。
三、分子分母分别加上（减去）两个不同的数得到两个新分数例7有一个分数，它的分母减2，可以约简为1/2；它的分子加5，可以约简为3/4。
求原来的分数是多少？4、一个分数，分子加上1可约简为2/3，分母减去2可约简为4/5，这个分数是多少？。
分数的巧算
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。
五年级数学：分数加减法巧算
五年级数学：分数加减法巧算1. 引言本文档旨在帮助五年级学生掌握分数加减法的巧妙计算方法。
通过简单的策略和实用技巧，学生们可以更轻松地解决分数加减法题目。
2. 分数简介在开始研究分数加减法之前，我们先来回顾一下分数的基本概念。
分数由一个分子和一个分母组成，分子代表分数的部分，分母表示被分成的等份。
例如，对于分数 $\frac{3}{4}$，3 是分子，4 是分母。
3. 分数加法3.1 分母相同的情况当两个分数的分母相同时，我们可以直接将分子相加，分母保持不变。
例如，对于 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$，因为分母相同，我们可以将分子 1 和分子 2 相加，结果为 $\frac{3}{3}$，即分数的分母不变，分子为 3。
3.2 分母不同的情况当两个分数的分母不同时，我们需要找到一个相同的公倍数，然后通过相应的换算，将两个分数的分母统一。
例如，对于$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，我们可以找到分母 2 和分母 3 的最小公倍数是 6。
我们将两个分数的分母都化为 6，得到 $\frac{3}{6} + \frac{2}{6}$。
此时，分母相同，我们可以将分子相加，结果为$\frac{5}{6}$。
4. 分数减法分数减法的方法与分数加法类似。
在分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
在分母不同的情况下，先找到一个相同的公倍数，然后通过换算将两个分数的分母统一。
最后，将分子相减得到结果。
5. 举例演练下面通过几个具体的例子来演示分数加减法的计算方法：例子1：计算 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$。
由于分母相同，我们可以直接将分子相加。
结果为$\frac{3}{5}$。
例子2：计算 $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$。
由于分母相同，我们可以直接将分子相减。
结果为$\frac{2}{4}$。
进一步化简，得到 $\frac{1}{2}$。
分数的巧算和速算
分数的巧算和速算 Prepared on 22 November 2020分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。
两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。
两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。
（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201【举一反三】计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。
分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！12006⨯÷+20042006原式=20042005 1200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】计算：（5）2000÷200020012000+20021（6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。
分数巧算基础知识
分数巧算基础知识进行分数简便运算时，运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算；也可在分数值不变的情况下，将分数分拆，使运算简便。
一、基础知识1、 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
2、常用运算定律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：a ＋b ＋c ＝ (a ＋b)＋c a ＋ (b ＋c)＝ (a ＋c)+b乘法交换律：ab ＝ba乘法结合律：abc ＝ (ab)c ＝a(bc)＝ (ac)b乘法分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac ab ＋ac= a(b ＋c)减法的运算性质：a －b －c ＝a － (b ＋c)除法的运算性质：a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c) a ÷(b ×c)= a ÷b ÷c= a ÷c ÷ba ÷b ×c ＝a ÷(b ÷c) a ÷(b ÷c)= a ÷b ×c3、 分数变形：分子是1，分母是非零的自然数的真分数叫分数单位。
运算时可以把分数拆分成单位分数，以方便运算。
11×2 =1－21 12×3 =21－31 13×4 =31－41 21+31=3232X =65（分子是1的两个分数相加，和的分子是两分母之和，和的分母是两分母的乘积）12×4 =（21－41）×21 （分母两数差为2，所以乘以21） 15×9 =（51－91）×41 （分母两数差为4，所以乘以41）第二节 分数巧算方法1、凑整法在整数简单运算中，是把数字凑成整十、整百、整千等整数。
而在小分和分数运算中，是把分数凑成整数，便于计算。
例题：341+632+143+831 =(341+143)+(632+831) =5+15=202、改顺序通过改变分数式中的先后顺序，使运算算简便。
分数的巧算
分数的巧算一、数学思维方法：凑整数法，灵活运用拆、拼的方法进行转化。
二、灵活运用运算定律和运算性质。
1.运算定律 交换律：a b b a +=+ a b b a ⨯=⨯结合律：b c a c b a ++=++)( b c a c b a ⨯⨯=⨯⨯)(分配律：c b c a c b a ⨯±⨯=⨯±)( c b c a c b a ÷±÷=÷±)(2.运算性质 )(c b a c b a +-=-- c b a c b a +-=--)()(c b a c b a ⨯÷=÷÷ c b a c b a ⨯÷=÷÷)()()(n b n a b a ⨯÷⨯=÷=)()(n b n a ÷÷÷ )0(≠n注：学会巧妙利用“添括号”和“去括号”：①括号前是“－”号，要“变号”⇒“＋”→“－” ，“－”→“＋” . ②括号前是“÷”号，要“变号”⇒“×”→“÷”，“÷”→“×” .3.学会通过“分解”或“变形”灵活应用乘法分配律三、分数的计算法则1.同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。
而异分母分数相加减，要先通分（找最小公倍数），再计算。
2.带分数相加减，先把整数部分与分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
3.分数乘法中有带分数的，先把带分数化成假分数，然后再乘。
4.分数除法中，甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。
四、例题分析：例1：8351+ 413814-例2： 117713⨯54315÷例3：139413427415-- )74543(7312--例4：138713873⨯-⨯ 6191824÷例5：64132116181411----- 3012011216121++++五、对应训练：1. 12595+ 2. 5444÷ 3. 5225-4. 107117÷ 5. 1871972- 6. 43177.7-.7. 122512144÷ 8.)73.01753(1744+- 9. 85625.01÷-10.87与165的差乘以95与32的和，积是多少？11. 甲数是12的43，乙数的43是12，甲乙两数的和是多少？12. 127与它的倒数的积，减去0.125所得的差，除以83，商是多少？六、变式训练 1. 18133023118513072+++ 2. 613112178.3---3. )1271742()7311253(--- 4. 417554724⨯+÷5. 548.3107225.14115.3÷+⨯+⨯ 6. 241)418761(÷-+7. 5.2)3147.347.3(⨯÷+ 8. 31173443747÷+⨯9. 152215225.915225.6-⨯+⨯ 10. 4)25.013.23(13.23⨯÷÷11. 41)1214387(÷-- 12. 3.028978.2⨯+⨯七、拔高训练：1. 200319932004⨯2. )6.27()77.1()7.13.1(1÷÷÷÷÷÷3.63135115131+++ 4. 48124112161311-----5. 分数74的分子和分母都加上一个数得到的新分数化简以后是43，求分子和分母都加上的这个数是多少？。
第2讲 巧求分数
第二讲 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。
这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
习题精练【例1】有一个分数，分子加3可化简为65，分子减3可化简为31，求这个分数。
解：65比原分数多3个分数单位，31比原分数少3个分数单位，所以65和31是原分数的2倍， 1272)3165(=÷+【例2】有一个分数，分母加1可化简为21，分母减1可化简为32，求这个分数。
分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
472)2312(=÷+ 倒数是74【例3】有一个分数，分子加2可化简为85，分子减1可化简为21，求这个分数。
解：因为加上和减去的数不同，所以不能用平均数方法求解。
85比原分数多2个单位，21比原分数少1个分数单位，说明85和21差3个分数单位，241)12()2185(=++-这个分数为2413224185=⨯-或241324121=+【例4】有一个分数，分母加3可化简为73，分母减2可化简为32，求这个分数。
解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：一个分数，分子加3可化简为37，分子减2可化简为23 ∴61)23()2337(=+÷-61136137=⨯-或61126123=⨯+ 倒数是116 在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？知识点拨【例5】将分数4329的分子减去a ，分母加上a ，则分数约分后变为53，求自然数a 。
解：分子减去a ，分母加上a ，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。
约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉的因子是72÷8=9，约分前的分数是45279593=⨯⨯由此求出45-43=2。
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巧求分数
例1.有一个分数，分子加3可约简为5
6
，分子减3可约简为
1
3
，求这个分数。
例2.有一个分数，它的分母加1，可约简为1
2
；分母减1，可约简为
2
3
，求这个分数。
例3.有一个分数，分子加上2可约简为5
8
，分子减1可约简为
1
2
，求这个分数。
例4.一个分数，它的分母加上3可约简为3
7
，它的分母减去2可约简为
2
3
，求这个分数。
例5.将分数29
43
的分子减去a，分母加上a，则分数约分后变为
3
5
，求这个自然数a。
例6.分数44
89
的分子和分母都减去同一个自然数，新的分数约分为
2
7
，求这个自然数。
例7.一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，把这个分数化
为最简分数是1
5
，求原来的分数。
例8.将5
8
的分子加上10，要使分数的大小不变，分母应加多少？
例9.将24
25
的分母减去10，要使分数的大小不变，分子应减去多少？
例10.有一个分数，它的分子加5，可以约简为3
4
，它的分母减2，可以约简为
1
2
，求这
个分数。