山东省潍坊市教研室2013届高三高考仿真(二)数学(理)
山东省潍坊市教研室2013届高三高考仿真(四)文综 Word版含答案
2013年普通高考文科综合仿真试题(四)本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共12页。
满分240分。
考试用时150分钟。
答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(必做，共100分)注意事项：1．第工卷共25小题。
每小题4分，共100分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。
资料表明，近年来北冰洋海冰融化速度加快，流出北冰洋的洋流增强。
读下图，回答1～2题。
1．关于图示区域的说法正确的是A．A半岛雪线西坡低、东坡高B．A半岛地势东高西低．C．随着全球变暖，B处洋流流速加快D．图示时间为墨累一达令盆地小麦种植的忙碌期2．关于图中所示0℃等温线的叙述正确的是A．0℃等温线弯曲的主要原因是海陆热力性质差异B．0℃等温线弯曲的主要原因是地形和地势C．0℃等温线弯曲的影响因素主要是洋流与地形D．由于受洋流的影响，A处气温大于0℃读南半球某地地质剖面示意图，甲、乙表示河流两坡面，回答3～4题。
3．依据图中信息判断下列说法正确的是A．图中河谷的成因与断层构造有关B．图中所示地质构造主要是褶皱C．该地地质时期没有火山活动D．图中河流的流向是自东向西4．最近几年来，甲、乙两坡大面积植树造林，则下列说法正确的是A．坡面径流汇聚速度加快B．河流结冰期缩短C．河流径流量的季节变化减小D．河流丰水期水位抬升5．右图为某区域某日光照图，阴影代表黑夜，BC为晨昏线一部分。
下列说法错误的是A．A点太阳高度在一天中不变，其数值为20°B．C点该时刻物体的影子朝向正西方向C．B点该时刻，太阳位于其正北方向D．此刻，70°N以北地区出现极昼6．海洋水产专家给部分经常出没在近海海域中的鲸佩戴了特制的项圈，以持续追踪并了解鲸的生活状况和活动范围。
山东省潍坊市教研室2015届高三高考仿真(三)
山东省潍坊市教研室2015届高三高考仿真（三）高三2013-05-17 20:47山东省潍坊市教研室2015届高三高考仿真（三）语文本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页。
满发150分。
考试用时150分钟。
第I卷（共36分）一、（15分，每小题3分）1、下列词语中加点的字注音全都正确的一组是（）A、熨（yu）贴供（gong）职不更（geng）事钟灵毓（yu）秀B、漂（piao）洗付梓（zi）冠（guan）名权恒河沙数（shu）C、甲壳（qiao）间（jian）断黄澄澄（cheng）抵（zhi）掌而谈D、柏（bai）油馄钝（dun）弄（nong）潮儿吹毛求疵（ci）2、下列词词事没有错别字的一组是（）A、发轫增值税文采蜚然树倒猢狲散B、隔膜百衲衣黯然神伤苛政猛于虎C、不啻爆冷门锉羽而归抹一鼻子灰D、拥堵编者案直截了当图穷匕首现3、依次填入下列各句横线的词语，最恰当的一组是（）①这家企业改革的任务，是“减员”，更重要的是“增效”。
②预算即便制定得再，在执行过程中也难免发生变化。
③今年春节期间，山西某地发生了一起的假酒案。
A、不止正确耸人听闻B、不只正确耸人听闻C、不只准确骇人听闻D、不止准确骇人听闻4、下列句子中加点的成语使用正确的一句是（）A、期待已久的《华尔街2：钱钱永无眠》终于上映了，观众拍手称快，既被电影的史诗般的气质所征服，又对演员的演技赞不绝口。
B、为使我们国经济持续稳定增长，经济决策们高瞻远瞩，从长计议，制定政策着眼于未来的发展。
C、中国制造业的冲击使美国失业率大幅提高，甚至导致美国经济的萧条，对这种祸起萧墙的现象，美国朝野众口一词，将解除困境的希望寄托在逼迫人民币升值上。
D、按照新课改精神，教师应当以培养学生的综合能力为根本，当学生遇到疑难问题时，教师要善于启发诱导，不要越佾代庖。
5、下列各句中没有语病的一句是（）A、新教材在练习题的设计上用力甚多、改动频大，国为设计练习题是为了引导学生独立思考和探索的非常重要的途径。
文科高考数学立体几何大题求各类体积方法
A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32．3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.（1） 证明：PE ⊥BC（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。
6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
力学综合
专题 力学综合 一．单项选择题1.(福建理综2014年高考第15题)如右图，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。
对于该运动过程，若用h 、s 、v 、a 分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t 表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是（ ）2.（重庆理综2014高考第5题）.以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比。
下列用虚线和实线描述两物体运动的υ-t 图象可能正确的是3.（2014年全国新课标第I 卷理综第17题）如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上， 系统处于平衡状态，现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。
与稳定在竖直位置时相比，小球的高度A.一定升高B.一定降低C.保持不变D.升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定4.（名校联盟]陕西省三原县北城中学2013届高三第三次月考物理试题1）如图所示，放在固定的斜面上的木板，其上表面光滑左端有挡板，轻质弹簧左端固定在木板的挡板上，右端与放在木板上的滑块M 相连。
若滑块和木板相对静止一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力，则木板受力的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.（山东省潍坊市教研室2013届高三高考仿真（三）16）如图所示，物体A 、B 用细绳与弹簧连接后跨过滑轮．A 静止在倾角为45°的粗糙斜面上，B 悬挂着。
已知质量3A B m m ，不计滑轮摩擦。
现将斜面倾角由45°减小到30°，那么下列说法中正确的是（ ）A ．弹簧的弹力将减小B ．细绳对滑轮的作用力将减小C ．物体A 受到的静摩擦力将减小D ．地面对斜面体的摩擦力将减小6.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试理综试题.15）半圆柱体P 放在粗糙的水平面上，有一挡板MN ，延长线总是过半圆柱体的轴心O ，但挡板与半圆柱不接触，在P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于静止状态，如图是这个装置的截面图，若用外力使MN 绕O 点缓慢地顺时针转动，在MN 到达水平位置前，发现P 始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是（ ）A ．MN 对Q 的弹力逐渐增大B ．P 、Q 间的弹力先减小后增大C ．P 对Q 的弹力逐渐减小D ．Q 所受的合力逐渐增大7.（02- 2013年西工大附中第二次适应性训练19）如图，质量为m 的A 物体置于水平面上，劲度系数为k 的弹簧与物体相连，弹簧竖直且处于原长。
山东省潍坊市教研室2013届高三高考仿真(一)文综 Word版含答案
2013年普通高考文科综合仿真试题(一)本试卷分第I卷和第II卷两部分，共12页。
满分240分。
考试用时150分钟。
答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（必做，共100分）注意事项：1．第I卷共25小题。
每小题4分，共100分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题．目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。
2013年2月19日10时46分，云南省昭通市巧家县附近发生4．9级地震。
成都高新减灾研究所与云南昭通市防震减灾局联合建设的地震预警系统对该次地震成功预警。
这是国内地震预警系统首次实现对破坏性地震成功预警。
据此回答1～2题。
1．达卡、北京、东京(东九区)三城市同时处于2月19日的时间大约是A．3小时 B．6小时 C．18小时 D．24小时2．在此次地震中，可以利用全球定位系统检测的是A．地壳变动 B．地震震级 C．震源深度 D．地震烈度读甲、乙、丙、丁四河流流量与气温季节变化示意图，回答3～4题。
3．从自然因素考虑，图中四河流最适宜发展河运的是A．甲河 B，乙河 C．丙河 D．丁河4．《管子·度地》：“水之出于山而流入于海者，命日经水；山之沟一有水一无水者，命曰谷水……”图中属于谷水的是A．甲河 B．乙河 C．丙河 D．丁河《2012年社会蓝皮书》指出，2011年中国城镇人口占总人口的比重数千年来首次超过农业人口，达到51．27％。
读甲城市人口增长率曲线图和地区城乡人口比重随时间变化曲线图，回答5～6题。
5．关于甲城市人口数量的变化，下列说法正确的是A．①时人口数量达最大值 B．②时人口数量比①时多C．③时人口数量达最小值 D．④时人口数量达最大值6．图乙所代表的省(市、区)最可能是A．江苏省 B．四川省 C．河南省 D．天津市改革开放以来，我国东部经济快速发展引发了大规模的“移民潮”，未来我国中西部经济的发展将使产业资本替代劳动力成为流动的主体，由“移民就业”向“移业就民”转换。
潍坊市教研室2013年高考仿真试题(四) 数学理
2013年普通高考理科数学仿真试题(四)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1.集合{},12,=M x y N x x M N ⎧⎫===+>⋂⎨⎩则 A.()13-， B.()12，C.()12-，D.R2.复数411i ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值是A.4iB.4i -C.4D.4-3.已知a R ∈，则“2a <”是“2x x a -+>恒成立”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于 A.10-B.5-C.5D.105.已知向量(sin ,1,4,4cos 6a b παα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若a b ⊥，则4sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A.B.14-D.146.函数2log x y x=的图象大致是7.由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为 A.14B.13C.12D.238.已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为A.()g x x =B.()g x x =C.()344g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()4g x x =9.已知两条不重合的直线m n 、和两个不重合的平面αβ、，有下列命题； ①若,,//m n m n αα⊥⊥则； ②若,,//,//m n m n αβαβ⊥⊥则；③若m n 、是两条异面直线，,,//,//m n m n αββα⊂⊂，则//αβ； ④若,,,,m n n m n αβαββα⊥⋂=⊂⊥⊥则其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.410.如右图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则A.01x y <+<B.1x y +>C.x y +<-1D.10x y -<+<11.已知命题:p 函数12x y a+=-恒过（1，2）点；命题q ：若函数()1f x -为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称.下列命题为真命题的是 A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C.p q ⌝∧D.p q ∧⌝12.在周长为16的6PMN MN PM PN ∆=⋅中，，则的取值范围是 A.[)7+∞，B.()016，C.(]716，D.[)716，第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为________.14.执行右边的程序框图，输出S 的值为________.15.过双曲线()222210,0x y b a a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长EF交双曲线右支于点P ，若E 是FP 的中点，则双曲线的离心率为____.16.设a b 、均为区间0⎡⎣上的实数，则函数()32f x ax bx ax =++在实数集R 上有两个相异极值点的概率是_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）设函数()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>的周期T π=，最大值为412f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （I ）求a b ω、、的值；（II ）在sin 2626A B ABC f f A B ππ⎛⎫⎛⎫∆-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，，角A ，B ，C 所对的边分别是60=3a b c C c ABC = ，，，且，，求的面积.18.某校在组织自主招生考试时，需要进行自荐、考试和面试三关。
2022-2023学年山东省潍坊市高三年级下册学期2月高考模拟考试( 一模) 数学
试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数 学2023.2本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）2i2i +-A.第一象限 B.第二索限C.第三象限 D.第四象限2.“”是“成立”的（ ）()2,2b ∈-2,10x R x bx ∀∈-+ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，ξ()2100,N σ()801000.45P ξ= 则估计成结在120分以上的学生人数为（ ）A.25B.50C.75D.1004.存在函数满足：对任意都有（ ）()f x x R ∈A.B.()3f x x =()2sin f x x =C.D.()22f x x x+=()21x x ⎰=+5.已知角在第四象限内，，则（ ）α31sin 222πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin α=A. B.D.12-126.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底60面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（）13A. C. D.83π163π8π7，过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能.超重耐力､失重飞行､飞行跳伞､着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）A.24种B.36种C.48种D.60种8.单位圆上有两定点及两动点，且.则22:1O x y +=()()1,0,0,1A B ,C D 12OC OD ⋅= 的最大值是（ ）CA CB DA DB ⋅+⋅A. B.D.22+2-2-二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若非空集合满足：，则（ ）,,M N P ,M N N M P P ⋂=⋃=A.B.P M ⊆M P M⋂=C.D.N P P ⋃=p M N ⋂=∅10.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（）sin2y x x =12π()y f x =A.是奇函数()f x B.的周期为()f x πC.的图象关于点对称()f x ,04π⎛⎫⎪⎝⎭D.的单调递增区间为()f x (),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲12,F F 线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交22:13x C y -=C ()(000,A x y x >l x 03,0M x ⎛⎫⎪⎝⎭轴于点.则（ ）y N A.的渐近线方程为C y x =B.点的坐标为N 010,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.过点作，垂足为，则1F 1F H AM ⊥H OH =D.四边形面积的最小值为412AF NF 12.已知，过点和的直线为.过点和的直线为与1m n <<()2,log m m ()2,log n n 1l ()8,log m m ()8,log n n 21,l l 在轴上的截距相等，设函数.则（ ）2l y ()nx mxf x m n -=+A.在上单周递增()f x R B.若，则2m =()132f =C.若，则()26f =()434f =D.圴不为为自然对数的底数）,m n (e e 三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则__________.{}n a n n S 5796a a a ++=13S =14.已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程C C __________.全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》15.在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________.16.乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的34概率为，每局比赛都是相互独立的.14①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当时，.01q <<lim 0,lim 0n n n n q n q →+∞→+∞=⋅=四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.{}n a n n S ()2n n S m m R =+∈（1）求的值及数列的通项公式；m {}n a （2）设，求数列的前项和.2log 5n n b a =-{}n b n n T 18.（12分）在①；②；③tan tan 1A C A C -=+()2cos cos c B A=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.()sin sin sin a A c C b B-+=问题：在中，角所对的边分别为，且__________.ABC ,,A B C ,,a b c （1）求角的大小；B（2）已知，且角有两解，求的范围.1c b =+A b 19.（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.P ABCD -ABCD PC PD ⊥A CD P --（1）求证：；PB PD ⊥（2）当吋，求直线与平面所成角的正弦值.PC PD =PC PAB 20.（12分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：）与父亲身高x （单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：cm cm 父亲身高x 160170175185190儿子身高y170174175180186（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比y x 父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.ˆˆˆˆ(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--= i y ˆi y ˆi e (),i i x y 求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045ii i i i i i i i xx y x y ========∑∑∑∑()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑21.（12分）已知函数.()()12ln ,x f x e x g x x x-==-（1）讨论的单调性；()f x （2）证明：当吋，.()0,2x ∈()()f xg x 22.（12分）已知椭圆的焦距为，直线与交于不2222:1(0)x y E a b a b +=>>():1(0)l y k x k =+>E 同的两点.,M N （1）求的方程；E （2）设点，直线与分别交于点.()1,0P ,PM PN E ,C D ①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：CD ②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.,CD MN ,αβαβ-CD高三数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）1-4AABD5-8DCBA二､多项选择题（每小题5分，选对但不全的得2分，共20分）9.BC10.BCD10.BCD11.ACD12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.26 14.（答案不唯一） 16.216x y =27161285四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）因为，2nn S m =+所以时，，2n 112n n S m --=+所以.()122n n a n -= 又由数列为等比数列，{}n a 所以.12n n a -=又因为，11111221a S m -==+==所以，1m =-综上.11,2n n m a -=-=（2）由（1）知，6n b n =-当时，，16n 2561122n n n n T n -+--=-⨯=当时，6n >()61662n n T T n +-=+⨯-()()56152n n --=+211602n n -+=所以2211,1621160,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ 18.解：（1）若选①：整理得，)1tan tan tan tan A C A C -=+因为，A B C π++=所以，()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=-=-因为，所以；()0,B π∈6B π=若选②：因为，()2cos cos c B A=由正弦定理得，()2sin cos cos C A B B A-=所以，所以，()2sin cos ,sin 0C B A B C C =+=>cos B =因为，所以；()0,B π∈6B π=若选③：由正弦定理整理得，222a c b +-=所以2222a c b ac +-=即，因为，所以；cos B =()0,B π∈6B π=（2）将代入正弦定理，1c b =+sin sin b c B C =得，1sin sin b b B C +=所以，1sin 2b C b +=因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，6B π=A C 1sin 12C <<即，又，所以，解得.11122b b +<<0b >12b b b <+<1b >19.解：（1）证明：由题意知平面平面且PCD ⊥ABCD BC CD ⊥则平面，BC ⊥PCD 因为平面，PD ⊂PCD 所以，BC PD ⊥又因为，,PO PC BC PC C ⊥⋂=所以平面，PD ⊥PBC 所以.PD PB ⊥（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D ,DA DC ,x y D xyz -，因为，所以，()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C 224PC PD +=PC PD ==()0,1,1P 所以，()()()2,1,1,0,2,0,0,1,1AP AB PC =-==-设平面的法向量，则即PAB (),,m x y z = 0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩令，所以，1x =()1,0,2m =设直线与平面所成的角为，PC PABθsin cos ,m θ= 所以直线与平面.PC PAB 20.解：（1）由题意得，176,177x y ==，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689a y bx =-=-⨯=所以回归直线方程为，0.589y x =+令得，即时，儿子比父亲高；0.5890x x +->178x <178x <令得，即时，儿子比父亲矮，0.5890x x --<178x >178x >可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（意思对即可）（2），所以，12345169,174,176.5,181.5,184y y y y y =====51ˆ885i i y ==∑又，所以，51885ii y==∑51ˆ0ii e==∑结论：对任意具有线性相关关系的变量，1ˆ0nii e==∑证明：()()111ˆˆˆn n n i i i i i i i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑.11ˆˆˆˆ()0n ni i i i y b x na ny nbxn y bx ===--=---=∑∑21.解：（1）函数的定义域为，()f x ()0,∞+因为，()111e 1e ln e ln x x x f x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎝'⎪⎭记，则，()1ln h x x x =+()22111x h x x x x ='-=-所以当时，，函数单调递减，01x <<()0h x '<()h x 当时，，函数单调递增，1x >()0h x '>()h x 所以，()()11h x h = 所以，所以函数在上单调递增；()11e ln 0x f x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭'()f x ()0,∞+（2）证明：原不等式为，()12e ln 1x x x x x x --=- 即，1ln 1e x x x x-- 即证在上恒成立，ln 1ln 1ee x x x x -- ()0,2x ∈设，则，()e x x l x =()()2e e 1e e x x x x x x l x --=='所以，当时，单调递增；当时，单调递减，1x <()l x 1x >()l x 令，()()1ln 1,1t x x x t x x '=-+=-易知在上单调递增，在上单调递减，()t x ()0,1()1,∞+当时，，所以，1x =max ()0t x =ln 1x x - 且在上有()0,2x ∈ln 1,11,x x <⎧⎨-<⎩所以可得到，即，()()ln 1l x l x - ln 1ln 1ee x x x x -- 所以在时，有成立.()0,2x ∈()()f x g x 22.解：（1）由题意得，2c ca⎧=⎪⎨=⎪⎩解得，2c a ==所以，1b =所以的方程为.E 2214x y +=（2）①由题意得整理得，()221,41,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2222148440k x k x k +++-=设，()()1122,,,M x y N x y ，22121222844,1414k k x x x x k k --+==++直线的方程为，MC 1111x x y y -=+代入整理得，，2214x y +=()()2112211121430x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设，则，所以，()33,C x y ()22113122111335214y y y y x x y --==--+131325y y x =-，即，1315825x x x -=-1111583,2525x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭同理.2222583,2525x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，()()2112212112213321252575858932525CDy y k x x x x k k x x x x x x ----===------所以直线的方程为，即，CD 1111358725325y x k y x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭71337k y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以直线过定点.CD 13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭②因为，所以与正负相同，且，所以，73CD k k =tan αtan βαβ>02παβ<-<当取得最大值时，取得最大值.αβ-()tan αβ-由时，；0k >()224443tan 3737713kk k k k k αβ-====+++所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，k =()tan αβ-αβ-此时直线的方程为.CD 137y x ⎫=-⎪⎭。
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013年山东省高考数学试卷(理科)
2013年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．93．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=010．（5分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．27911．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3二、填空题13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为．14．（4分）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．21．（13分）设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V==，解得．三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．【解答】解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选：C．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选：B．【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选：B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为3．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出n=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（4分）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得①，或②，③．解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集为{x|x≥1}，∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==．故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．16．（4分）定义“正对数”：ln +x=，现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）=bln +a ； ②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a +ln +b ； ③若a ＞0，b ＞0，则；④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a +b ）≤ln +a +ln +b +ln2． 其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a ，b 分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a ≥1时，a b ≥1，故ln +（a b ）=ln （a b ）=blna ，又bln +a=blna ，故有ln +（a b ）=bln +a ；当a ＜1时，a b ＜1，故ln +（a b ）=0，又a ＜1时bln +a=0，所以此时亦有ln +（a b ）=bln +a ，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln +（ab ）=0，ln +a +ln +b=ln2，所以ln +（ab ）≠ln +a +ln +b ，故②错误； （3）对于③， i ．≥1时，此时≥0，当a ≥b ≥1时，ln +a ﹣ln +b=lna ﹣lnb=，此时则，命题成立；当a ＞1＞b ＞0时，ln +a ﹣ln +b=lna ，此时，＞lna ，则，命题成立；当1＞a ≥b ＞0时，ln +a ﹣ln +b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．三、解答题17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：如图，∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．则，，．设平面GCD的一个法向量为由，得，取z1=1，得y1=2．所以．设平面EFG的一个法向量为由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3：0，概率为P1=（）3=；②3：1，概率为P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率为P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；则X的分布列为E（X）=3×+2×+1×+0×=．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a n}的通项公式；（2）把{a n}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c n=b2n得数列{c n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．21．（13分）设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c ＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范围；．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，则=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8为定值．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。
山东省潍坊市教研室2015届高考模拟高考仿真(一)(整理精校版)
山东省潍坊市教研室2015届高考模拟高考仿真（一）高考模拟试卷0515 20:24：：山东省潍坊市教研室2015届高考模拟高考仿真（一）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页。
满分150分。
考试用时150分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共36分）一、（15分，每小题3分）1、下列各组词语中，加点字的读音完全相同的一组是（）A、瑕庇/龇牙饮眼/营利滞纳金/栉风沐雨B、悄然/愀然痉挛/劲敌八宝粥/胡诌八扯C、噱头/矍铄堙没/殷红歼击机/草菅人命D、伺侯/肆意纤夫/翩跹庇护权/刚愎自用二、下列各项中，没有错别字的一组是（）A、通牒挖墙角仗义执言骨鲠在喉，不吐不快B、吊销百叶窗察言观色明松易躲，暗剑难防C、博弈座右铭铩羽而归盛名之下，其实难副D、枉费钓鱼岛改弦更章嬉笑怒骂，皆成文章三、依次填入下列各句横线上的词语，最恰当的一组是（）①在庭审时，原告律师向法庭所做的，揭露了被告李阳对妻子kim实施家庭暴力的真相。
②北京时间12月17日，在2015届高考模拟世界羽联超级赛总决赛女单半决赛中，新科世锦赛冠军王仪涵发挥出色，连下两城，击败对手汪鑫，跻身决赛。
③瑞典希望在不修改欧盟条约的情况下化解欧债危机；波兰和意大利则担心，法德的修约建议会加深欧盟内部，拉大欧元区和非欧元区成员国之间的距离。
A、申述率先隔阂B、申诉首先隔阂C、申述首先隔膜D、申诉率先隔膜四、下列各句中，加点的熟语使用恰当的一项是（）A、2015届高考模拟贺岁大片《龙门飞甲》3D效果突出，现场感极强，片中人物打出的飞镖，常常会让观众情不自禁地躲来躲去。
B、在油气、电力、移动通信等公共服务行业，大型国企的垄断地位根深蒂固，为企业利益不惜损害公共利益的事情时有发生。
C、入世十年在中国改革开放的历史中，也许并不是显得那么泾渭分明，但它在改变国人观念方面所起的作用是无法估量的。
D、自从甘肃校车出事后，全国范围内校车事个就像拔出萝卜带出泥一样地发生，规范校车运营，已刻不容缓。
山东省潍坊市2020届高三数学二模试题(附解析)
【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化
思想，是基础题.
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 a b 1 ， c 0 则下列不等式中一定成立的是（ ）
a1 b1
A. a
b
C. ln(b a) 0
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大
者为 m，m∈[90,100]， 则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
【答案】BD 【解析】 【分析】
a1 b1
B. b
a
D.
a b
c
b a
c
对于
A：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
(,
1)
上的单调性进行比较；
对于
B：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
2024-2025学年山东省潍坊市高三(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年山东省潍坊市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数1−2i1+2i 的虚部是( )A. 45B. −45C. 35D. −352.设集合A ={1,2,4}，B ={x|x 2−5x +m =0}，若A ∩B ={2}，则B =( )A. {2,−3}B. {2,−6}C. {2,3}D. {2,6}3.已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则(a +b )⋅c +a ⋅b =( )A. 0B. 3C. 6D. 124.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若AB =25m ，BC =10m ，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角均为45°，则该五面体的体积为( )A. 375m 3B. 16253m 3C. 545m 3D. 625m 35.已知圆C ：x 2+y 2−2x =0，则过点P(3,0)的圆C 的切线方程是( )A. y =±12(x−3)B. y =±2(x−3)C. y =±33(x−3) D. y =±3(x−3)6.数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +2，若a k +a k +1+⋯+a k +9=270，则k =( )A. 7B. 8C. 9D. 107.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4的概率均为14，随机变量ξ2取值x 1+x 2+x 33,x 2+x 3+x 43,x 3+x 4+x 13,x 4+x 1+x 23，x 2+x 3+x 43的概率也均为14，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别是ξ1，ξ2的方差，则( )A. D(ξ1)>D(ξ2)B. D(ξ1)=D(ξ2)C. D(ξ1)<D(ξ2)D. D(ξ1)与D(ξ2)的大小不确定8.已知定义在实数集R 上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x +y)=f(x)+f(y)+xy ，f(1)=0，f′(1)=12，则f′(2)=( )A. 0B. 34C. 1D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东潍坊2024届高三一模数学试题(解析版)
潍坊市高考模拟考试数学1. 已知平面向量()1,2a =注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ，()1,b λ=−，若a b ⊥，则实数λ=（ ）A.12B. 12−C. 2−D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =，)1,b λ=− ，由a b ⊥ ，得120a b λ⋅=−+=，所以12λ=. 故选：A2. 已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ） A. 1 B.54C.32D. 2【答案】B 【解析】【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =−， 又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154 −−= .故选：B3. 已知集合(){}3log212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ∪=，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ∪=，即A B ⊆，所以4a =. 故选：D4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +×===， 又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =， 则()()1444415822a a S +−+===. 故选：C5. 12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目： IV XLCDM1 5 10 50 100 500 1000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（ ） A. 2025 B. 2035C. 2050D. 2055【答案】B 【解析】【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000， 每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5， 因此MMXXXV 表示的数是20003052035++= 所以2035MMXXXV =. 故选：B6. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（ ）A.B.C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ， 于是1BD A C ⊥，同理11BC A C ，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ， 因此1A C ⊥平面1BC D ，因1DP AC ⊥，则DP ⊂平面1BC D ， 而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ∩平面11BC D BC =，为所以点P 的轨迹是线段1BC. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列1n n a a −+是公比为2的等比数列，则2024a =（ ）A.2023213+ B. 2024213+C. 101221−D. 101121−【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列求出112n n n a a −++=，进而求得2112(2)n n n a a n −+−−=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a −++=，当2n ≥时，212n n n a a −−+=，则2112n n n a a −+−−=， 所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+−+−++−=+++++101120232(14)211143−+=+=−. 故选：A8. 已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（ ） A. 8 B. 12C. 16D. 24【答案】C 【解析】【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，为直三棱柱111ABC A B C外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点， 连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO∴该棱柱的体积12162V x =×≤=．当且仅当2232x x =−，即4x =时等号成立．故选：C ．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A. 8a =B. 6人年龄的平均数为35C. 6人年龄的75%分位数为36D. 6人年龄的方差为643【答案】ACD 【解析】【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a −+=，解得8a =，故A 正确； 所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42， 则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误； 又675% 4.5×=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确； 又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S =−+−+−+−+−+−= ，故D 正确. 故选：ACD10. 函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+−（01ω<<）的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为2πB. )3π(2y f x =+是奇函数C. π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D. 若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈ 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<， 解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确； π(2)2sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[()]2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x −=−−=−+=+=， π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π]666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，且()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=，则（ ）A. ()01g =B. ()f x y x=的图象关于点()0,1对称C. ()()20f x f x +−=D. ()212nk n n g k =−=∑（*N n ∈）【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x −−=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x −−=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +−=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =−，所以有(2)()2g n g n +−=−，()()211g g −=−，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x −−=， 所以()()2f x f x ′+−=′，即()()2g x g x +−=， 令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x −−=， 当0x ≠时，()()2f x f x x x −+=−，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确； 对于C ，假设()(2)0f x f x +−=成立， 求导得()(2)0f x f x ′′−−=， 即()(2)0g x g x −−=，又()(2)0g x g x +−=， 所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +−=，()(2)0g x g x +−=， 所以(2)()2g x g x −−−=−，(0)1g =，()10g =，()21g =−， 所以有(2)()2g n g n +−=−， 所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2−为公差的等差数列， 数列{}()g n 的偶数项是以1−为首项，2−为公差的等差数列，又()()211g g −=−，*N n ∈， 所以数列{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列， 所以()1g n n =−，所以21()2nk n n g k =−=∑，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z=−______． 【答案】i 5【解析】【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】()i 2i i 2i z z +=⇒=+，故()()2ii ii i i i 22245z ===−+−−. 故答案为：i513. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种， 则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120×=种排法． 故答案为：120．14. 已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =−，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是______．【答案】()1,4 【解析】【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d 再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =直线PD 方程为0022y x x y =−++， 联立00222y x x y y x =−++=，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d =平行四边形，所以22014y x −=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x −=、2214y x −=， 因为双曲线2214y x −=的实半轴长为1，双曲线2214y x −=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<<，即14t <<， 所以实数t 的取值范围是(1,4)． 故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=． （1）求A ；（2）若c =a =，D 为BC 的中点，求AD ． 【答案】（1）π4（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】因为()sin cos a B B c +=， 由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=， 在ABC 中，sinsin()C A B =+， 则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=； 【小问2详解】根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+−，则有2522b b =+−，解得3b =或1b =-（舍去）， D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+， ()222111722923444AD AB AC AB AC ∴=++⋅=×++= ，AD ∴16. 已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E的左、上顶点，AC =E的焦距为（1）求E 的方程和离心率；（2）过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=−，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=，e =（2）3 【解析】【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小． 【小问1详解】由题意可得(,0)A a −，(0,)C b ，可得AC =2c =c =可得2223a b c −==，225a b +=， 解得24a =，21b =，所以离心率ce a == 所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率e =【小问2详解】 由（1）可得(0,1)C ，小问3详解】 【小问4详解】由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=， 设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my +==+，整理可得22(4)230m y my ++−=， 显然0∆>，且12224my y m +=−+，12234y y m =−+， 直线CR ，CS 的斜率1111y k x −=，2221y k x −=， 则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my −−+−++−+=+=++ 1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +−+−=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m −−⋅+−⋅−++=−−−⋅+⋅+++， 因为123k k +=−，即231m −=−，解得13m =， 所以直线RS 的斜率13k m==． 即k 的值为3．【17. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=°，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】ABCD 中，由120ABC ∠=°，得60DCM ∠=°，而2,4DC CM ==， 在DCM △中，由余弦定理，得DM =，则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，在所以平面11CDD C ⊥平面1D DM . 【小问2详解】在四棱台1111ABCD A B C D −中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =， 在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ， 则14,4AE A E ==，又1AA =，显然22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥， 又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz −，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC −=−， 设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⋅=−+= ⋅=−+=，令z =，得(4,n = ，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||sin |cos ,|||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B. 18. 若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ． （1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ijj P a pξ+∞===∑．【答案】（1）①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅−−；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可. 【小问1详解】①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=， 显然3312()C ()()33nnnP n η−==，则3333111(|)C ()()C ()222mmn mmn n nm n ξη−−−−−====， 所以3333112(,)C ()C ()()233mnn n n n P m n ξη−−−===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n −=⋅−−. 【小问2详解】 由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη====== 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b P a b ξηξηξη===+==++==+11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞======∑∑ 1ij j p +∞==∑. 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.的19. 已知函数1()2ln f x m x x x=−+（0m >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；（3）若函数221()ln 2g x m x x x=−−+有三个不同的零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； （3）(1,)+∞. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间. （2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x−+−′=−−=， 设2()21k x x mx =−+−，则24(1)m ∆=−，①当01m <≤时，0,()0f x ∆′≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减； ②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =−>=>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x ′<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x ′>， 即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增， 所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m ++∞，递增区间为(m m . 【小问2详解】由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=−+<=， 则1ln 22x x x<−，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ， 于是2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+−=+<<++−111122n n −−+，22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <−+−++−=−<−+−+−++ ， 所以2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.【小问3详解】函数222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x −=−−+=−=+， 由于ln x 与1x −同号，则ln y m x +1x =，令t =，由(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =， 则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<−，则<，即ln t < 因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m−=−+<−−+=<， 由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=−++−+=， 而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ， 所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
2013年高考新课标全国二卷数学(文理合卷已校对)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考(新课标Ⅱ卷)数学(文理合卷)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）（理数）已知集合}3,2,1,0,1{},,4)1({2-=∈<-=N R x x x M ,则=⋂N M ( )(A)}2,1,0{ (B)}2,1,0,1{- (C)}3,2,0,1{- (D)}3,2,1,0{ （文数）已知集合}3,2,1,0,1{},13{-=<<-=N x x M ,则=⋂N M ( )(A)}1,0,1,2{-- (B) }0,1,2,3{--- (C) }0,1,2{-- (D) }1,2,3{---（2）（理数）设复数z 满足i z i 2)1(=-，则z =( )(A)i +-1(B)i --1 (C)i +1 (D)i -1 （文数）=+i12( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1（3）（理数）等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a s +=，95=a ，则=1a ( ) (A)31 (B)31- (C)91 (D)91- （文数）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30101x y x y x ，则y x z 32-=的最小值是( )(A)7- (B)6- (C)5- (D)3-（4）（理数）已知n m ,为异面直线，α⊥m ，β⊥n 。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位)，则z的共轭复数为(）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答:解：∵(z﹣3）(2﹣i)=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评:本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．(5分）（2013•山东）已知集合A=｛0,1，2｝，则集合B=｛x﹣y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0,1，2｝,从而可得答案．解答：解:∵A={0，1，2｝,B={x﹣y|x∈A，y∈A｝，∴当x=0,y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1,﹣2;当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0,1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2｝，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题．3．（5分）（2013•山东)已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点: 函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f(﹣1）=﹣f（1）,即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=x2+,∴f（﹣1）=﹣f(1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解:如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析:利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f(x）=sin（2x+φ)，则f(x+）=sin［2(x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f(x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点: 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解:不等式组表示的区域如图，当M取得点A(3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键．8．（5分)（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（)A．B．C．D．考点：函数的图象．专题: 函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质,考查了函数的值，是基础题．9．(5分）(2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程;直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析:由题意判断出切点（1，1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答:解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过（1，1）,B、D不满足题意;另一个切点的坐标在（1,﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评:本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分)（2013•山东)用0，1，2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…,9十个数字,所有三位数个数为:900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分)（2013•山东)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M(）,则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得,代入M点得M（）把M点代入①得:．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分)(2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2，又x,y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“="），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东)执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0。
山东省潍坊市高三新高考数学试题word版含答案
山东潍坊高三数学试题注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚．2．第I 卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．第I 卷(非选择题 共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求．1．己知集合{}122,0,xA y y xB x y x -⎧⎫==<==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞2．设()()()2335i xi y +-=++i(i 为虚数单位)，其中,x y 是实数，则x yi +等于A ．5BC ．D ．23．已知a ，b 都是正数，则“log 3log 3a b <”是“333ab>>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何?意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少?书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题 中，扇形的圆心角的弧度数是A ．415B ．154C ．158D ．1206．若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A ．210B ．180C ．160D ．1757．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为 A ．50mB ．100mC ．120mD ．150m8．己知函数()f x 满足()()()31226,2x f x f x g x x --++==-，且()()f x g x 与的图象交点为()()()112288128128,,,,,x y x y x y x x x y y y ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，则的值为 A ．20B ．24C ．36D ．40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，己知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则 A ．a c m R -=+ B ．a c n R +=+ C ．2a m n =+D ．()()b m R n R =++10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球． 先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以123,,A A A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是 A ．()25P B =B. ()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．123A A A 、、两两互斥11．己知点P 是双曲线221169x y E -=：的右支上一点，12,F F 为双曲线E 的左、右焦点， 12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F ∆的周长为803C. 12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为3412．已知正四棱柱ABCD —1111A B C D 的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面1111A B C D 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为 A ．若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D ．若PD//平面ACB 1，且PD =，则平面BDP 截正四棱柱ABCD —1111A B C D 的外接球所得平面图形的面积为94π第II 卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知向量()()1,1,,2a x b x =+=r r，若满足//a b r r ，且方向相同，则x=_________． 14．己知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221y x m-=的离心率是_________． 15．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x为“倒戈函数”，设()()321,0x f x m m R m =+-∈≠是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是__________．16．己知函数()(),f x x g x x ωω==，其中ω>0,A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为_________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)数列{}n a 满足：()1231312nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足：3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18．(12分)在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．己知sin sin 3b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求角B 的大小； (2)求ca的取值范围． 19．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA=CB ，145BAA ∠=o ，平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．(1)求证：1AA BC ⊥；(2)若122BB AB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45°，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值．20．(12分)为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间．为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X 满足正态分布()2,N μσ⋅在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图．(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计2,μσ的值；(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．(参考数据：4.63,≈≈76345.16,0.84130.2898,0.84130.3546,0.15870.0040,0.15870.0006≈≈≈≈≈，()()0.682622=0.9544P X X μδμδμδμδ-<<+=-<<+，P ，()33=0.9973P X μδμδ-<<+）21．(12分)己知抛物线()220C y px p =>：，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3430x y -+=的距离为1d ，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为2d ，且1235d d =. (1)抛物线C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标．22．(12分)已知函数()()2ln 0f x x ax x a =--+≥．(1)讨论函数()f x 的极值点的个数；(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2f x f x +>-．高三数学试题答案一、单项选择题：1-5 B A B A B 6-8 B A D 二、多项选择题：9.ABD 10.BD 11.ABC 12.ABD三、填空题：13.1 14. 2 15.103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，16. 22ππ； 四、解答题17.解：（1）()123131,2nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-① 当()1123112312n n n a a a a --≥+++⋅⋅⋅+=-时，，②① —②得，13,n n a -=当111n a ==时，，符合上式.所以13n n a -=.……………………………………5分（2）因为1333n nn n a b a b n n a -==，所以，即111,3n n n n a b n bn --=-=， ()2311111012313333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()231111111221,33333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②………………7分①—②得，()2312111111333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111,223n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………………………9分 所以1321443n n n T -+=-⋅.……………………………10分18.解：（1）sin sin 3b A a b π⎛⎫=+⎪⎝⎭Q ， 13sin sin sin sin cos ,sin 022B A A B B A ⎛⎫∴=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭.………………………………2分 化为：13sin cos 022B B -=， tan 3,B ∴=………………………………4分因为0B π<<， 所以3B π=.…………………………………6分（2）由（1）可得：23A CB ππ+=-=，又ABC ∆为锐角三角形，203C A π∴<=-,0,,2262A A ππππ<<<∴<<……………………………………8分 231sin cos sin sin 322sin sin sin A A Ac C a A A Aπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=== 311,22tan 22A ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，…………………………11分c a ∴的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………12分 19.（1）证明：过点C 作1CO AA ⊥垂足为O, 因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥，…………2分 又因为,,90CA CB CO CO COA COB ==∠=∠=o， 所以Rt AOC Rt BOC ∆≅∆，故OA=OB ，因为145A AB ∠=o，所以1AA OB ⊥，………………4分又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥.…………6分（2）以O 为坐标原点，OA,OB,OC 所在直线为,,x y 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=o，所以1AB AO BO CO ====，…………………………7分()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,2,1,0,1,0,1A B C A B D ---， 设平面11A B D 的法向量为()111,,n x y z =v，则()11111110011,1,0,00n A D z x n x y z n B D ⎧⋅==⎧⎪==⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩v u u u u vv v u u u uv ，所以，令，得……………………9分 因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu v 为平面11AC D 的一条法向量，()0,1,0,OB =u u u v…10分cos ,n OB n OB n OB⋅<>==⋅v u u u vv u u u v uu v u u u u v 111B A D C --的余弦值为2.………12分 20.解：（1）0.120.260.4100.2140.11810μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………3分(()22222280.140.210100.4=19.2s δ==⨯⨯+⨯+-⨯，……………………………6分（2）=10 4.38=14.38μδ++，…………………………7分 设3名乘客候车时间超过15分钟的事假为A ，()10.682614.380.15872P X ->==，………………9分 ()()()373100.15870.84130.1390.003P A C =≈>，………………11分所以准点率正常……………………12分21.解：（1）依题意，得，焦点121.530,,25p p F d d p +⎛⎫==⎪⎝⎭，，则…………1分 1 1.533255d p d p +==，解得2p =，……………………3分 所以抛物线方程为24y x =.……………………………4分（2）设()()()1122,0,,,M t x y Q x y ，点M,P ，显然直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为x my t =+，由224440y x y my t x my t⎧=--=⎨=+⎩得，， ()2160m t ∆=+>，12124,4,y y m y y t +=⋅=-………………………………6分12,,PM QM ==()()()221222222222212121111111y y m y m y m y y PMQM++=+=+++ 2222222m t t m t +=+，………………9分 要使2211PM QM +为定值，必有2222,22t t =解得t=2.………………………………11分 所以2211PMQM+为定值时，点M 的坐标为()2,0.……………12分22.解：（1）因为()()2ln 0f x x ax x a =--+>，所以()()2120,0ax x f x x a x+-'=->>，关于x 的方程2120ax x +-=的判别式18a ∆=-， ①当18a ≥时，()0,0f x '∆≤≤， 所以函数在()0,+∞上单调递减；…………3分 ②当108a <<时，()00f x '∆>=，方程有两个不相等的正根12,x x ，可得121144x x a a==，则当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及时，()0f x '<，当x ∈⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()0,f x ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在递减；在⎝⎭ 递增.………………5分（2）由（1）得，当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有极小值1x 和极大值2x ，且12x x ，是方程2210ax x -+=的两个正根，121211,22x x x x a a+=⋅=，…………6分 所以()()()()()212121212122ln ln f x f x x x a x x x x x x ⎡⎤+=+-+-⋅-+⎣⎦()11ln 21ln 1ln 2,44a a a a=++=+++……………………8分 令()1ln 1ln 24g a a a =+++， 当()21410,084a a g a a -⎛⎫'∈=< ⎪⎝⎭时，， 所以()108g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上是单调递减，故()108g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上是单调递减， 故()132ln 28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，……………………11分 所以()()1232ln 2f x f x +>-.…………………12分 第22题：增加当()0ln a f x x x ==-+时， ()111x f x x x-'∴=-= ()()01f x ∴在，上递减，在()1+∞，递增 即()()0f x +∞在，上只有极小值，没有极大值.。
2013山东高考数学试题
2013山东高考数学试题2013年山东高考数学试题分为选择题和解答题两部分，总分为150分。
以下是试题内容及解答。
第一部分：选择题1. 单选题（共8小题，每小题10分，共80分）1. 设函数f(x)=cos(x+π/6)，则f(x)的最小正周期是：A. π/6B. π/4C. π/3D. π/22. 若函数f(x)可导，且f′(x) = sin(x^2)，则函数f(x)的一个原函数是：A. U(x)B. sin(x^2)C. cos(x^2)D. 1/2sin(x^2)3. 已知函数f(x) = (x^2 - 4x)e^(-x)，则f′(−log2/3)的值为：A. -4/3e^(-2/3)B. 8/3e^(-2/3)C. e^(-2/3)D. 3e^(-2/3)4. 设集合A = {x | x^2 − 4|x| + 3 > 0}，则集合A的解析式为：A. x < −1, x > 3B. −1 < x < 3C. x < 1, x > 3D. x < −1, x > −35. 设随机变量X的分布律为 P{X=x} = k(1/2)^x (x=0,1,2,…) ，则常数k的值为：A. 1B. 1/2C. 2D. 1/46. 设随机变量X的概率密度为f(x)=A. 0.5(0≤x≤1)B. 2(0≤x≤1)C. 1(0≤x≤0.5)D. 4(0≤x≤0.5)7. 设随机变量X的概率密度为f(x)=A. 3(x-1)^2(0≤x≤1)B. 3(1-x^2)(0≤x≤1)C. √3(x^2-1)(0≤x≤1)D.√3(1-x)^2(0≤x≤1)8. 大气中的水汽按高度分布如下表：高度（km） 0-1 1-2 2-4 4-6 6-9水汽含量（%） 30 60 90 50 20则大气中的平均水汽含量(单位：%·km)为：A. 5B. 8C. 15D. 202. 解答题（共7小题，每小题15分，共105分）1. （第五题）已知集合A = {x | log2(x−1)−log2(x−2)>0}，集合B = {x | x^2−3x>2}，求集合A∩B的解析式。
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2013年普通高考理科数学仿真试题(二)
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
第I 卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．
1.函数y =A ，函数()121y n x =+的定义域为集合B ，则A B ⋂= A.11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
B.11,22⎛⎤
-
⎥⎝⎦ C.1,
2⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
D.1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2.已知a R ∈，则“a ＞2”j “112
a ＜”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知向量()()1,,1,2a n b n ==--，若a 与b 共线，则n 等于
B.4
C.2
D.1
4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 A.63 B.20π C.25π D.100π
5.若方程()()()2
11,1n x k k k Z x
+=+∈的根在区间上，则k 的值为 A.-1 B.1
C.-1或2
D.-1或1
6.在等差数列{}1012
1S S 2013,=1210
n n a a n S =，
中，其前项和为若—2-，则2013S 的值等于 A. -2012 B.2013 C.2012 D. -2013
7.正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为 A.20π B.25π C.100π D.200π
8.已知50,
,3,0,x y x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
满足则24z x y =+的最小值为
A.5
B.5-
C.6
D. 6-
9.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数和2y x =图象下方的点构成的区域，在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为
A.
15 B.
14 C.13
D.12
10.设()6
212f x x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭是展开式的中间项，若()f x mx ≤
在区间⎣上恒成立，则实数m 的取值范围是 A.(),5-∞
B.(],5-∞
C.()5,+∞
D.[)5,+∞
11.已知双曲线()22122:10,x y C a b a b
-=＞＞0的离心率为2，若抛物线()2
22C x py p =：＞0的
焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为
A.2
x y =
B.2
x y =
C.28x y =
D.2
16x y =
12.已知函数()()21,2,03
,,1
x x f x x a x x ⎧-⎪
=-=⎨≥⎪-⎩＜若方程f 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为
A.()0,3
B.()0,2
C.()0,1
D.()1,3
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z=_________.
14.已知a,b,c 分别是ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边，若1
1,cos 2
a b B ==
=
，则sin =A ________.
15.已知如下等式:
()2
2134=
347
--， ()22331
3344=347
-⨯+-,
()322441
3343443=347
-⨯+⨯-⨯-,
()422234551
33434344=347
-⨯+⨯-⨯+-，
则由上述等式可归纳得到1
2233434n
n n ---⨯+⨯-…+()14n
n -=_______()*n N ∈
16.下列说法：
①“,23x
x R ∃∈使＞”的否定是“x R ∀∈，使23x
≤”；
②把函数sin 2y x =图象上所有点向右平移
3π个单位得到sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象 ③命题“函数()0f x x x =在处有极值，则()00f x '=”的否命题是真命题；
④()()()00f x -∞⋃+∞是，，上的奇函数，0x ＞时的解析式是()2,0x
f x x =则＜时的解析
式为()2x
f x =-.
其中所有正确的说法的序号是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17.（本小题满分12分）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
＞＞＜的部分图象如图所示.
（I ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（II ）设()()cos2g x f x x =-，求函数()02g x π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
在区间，上的值域.
18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为11,,,2
n n n S a a S 首项为且，成等差数列.
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若21,2n
b
n n
n n b a c a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
设，求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）.跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.
（I ）求甲队队员跳高成绩的中位数；
（II ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？
（III ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会
20.（本小题满分12分）已知在四棱锥PAB P ABCD -中，侧面⊥底面ABCD ，O 为AB 中点，//,AD BC AB ⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3. （I ）求证：CD ⊥平面POC ；
（II ）求二面角O －PD ——C 的余弦值．
21.（本小题满分12分）点A 为圆O ：2
2
4x y +=上一动点，AB ⊥x 轴于B 点，记线段AB 的中点D 的运动轨迹为曲线C 。
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）是否存在过点P 503l ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，的直线与曲线C 交于M ，N 两个不同的点，且
对l 外任意一点Q ，有43QM QN QP =-成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由
.
22.（本小题满分14分）已知函数()()
()1ln 10x f x x x
++=
＞.
（I ）试判断函数()()0f x +∞在，上单调性并证明你的结论； （II ）若()()0,1
k
f x x x ∀∈+∞+＞
对于恒成立，求正整数k 的最大值； （III ）求证：()()()()23
11212313411n n n e
-+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦＞.
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。