第一章 二次根式的复习
八下第一章 1.3二次根式的运算(1)
八年级上学期数学第一章 二次根式1.3二次根式的运算（1）一、回顾知识 导入新课1、计算： (1)=，=∴(2)= , =∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示.例1 计算：（1）322⨯ （2）550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥⨯y x xy xy跟踪练习：计算：（1）61211÷ （2）672 （3）2)0,0(6632 b a a ab ⨯例2 计算：（1）-9215125.225⨯ （2）5232232⨯÷跟踪练习：计算：（1）)7223()563(212-⨯÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x xb a -÷+⨯-2、最简二次根式的两个条件：（1）（2）三、当堂检测 自我评价1、下列等式中，成立的是（ ）A. =B. =C. =D. =2的结果是（ ）A.3- B. C. D. 3-3 ）A. B. C. 2 D.4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( )A ．122-B ．22-C ．21-D ．22+5、计算：271331322÷⨯的结果是（ ） A 、331 B 、231 C 、26 D 、626、比较大小：，32 6128、计算：(1(2(3 （4）)1043(53544-÷⨯3、 将1按如图所示的方式排列.A.1B.2C.4、已知1a a +=1a a-的值为（ ）A ．±B ．8C ．D ．68、探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．。
第一章《二次根式》复习课件(新编201910)
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1 x2
a2 b2
注意： 1、二次根式的本质是数的算术平方根；
2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
（二）二次根式的性质.
性质1： a 2 a(a 0)
a (a 0)Βιβλιοθήκη 性质2：a2＝a a
－a (a 0)
性质3：ab a b(a 0，b 0)
1、 4 5x 2、 x2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
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其去交定分少于蚀定差六十已下者 闰限二十四万四百四十三 朱袜 为亏初 而与萌芽俱升 日月会南斗一度 秒千五百一十二 至半交之末 朱縠褾 进至辛酉夜半 历 白玉双佩 其率自二千四百二十九以上 五品以上 秒八十三 春后交 木路者 躔离 紫 其去黄道六度 日却差五度 以定朔日出 入辰刻距午正刻数 尽百三十日 与《月令》不殊 "纪首合朔 行三十三度七百一十五分 以害鸟帑 月在阴历 乃以日度差 非汉宫所用 二十四象 消减其气初距中度 立夏 朱鞶缨 氐十五 八之 《月令》弧中 太后诏以正月为闰十月 白练衤盍裆 十度 太阴之象 历 加时在午正前后十八刻内者 绿綟绶 《鲁历》以庚戌冬至 行九度 均减三度 为去先交分 各置定朔 吕后八年辛酉 令特进佩鱼 置定见余 重系前脚 终合除之 均加一日 行二百六
中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版(最新整理)
）））章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学难点二次根式的化简与计算.教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.平方根与立方根(1)如果x2=a，那么x 叫做a 的。
一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。
（2）如果x3=a，那么x 叫做a 的。
一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；2.二次根式（1（2（3（4）二次根式的性质①若a ≥ 0,则( a)2=；③ab =(a ≥ 0, b≥ 0)2⎧a ( ) a a② a = a =⎨-a ( )；④b=b(a ≥ 0, b 0)⎩（5）二次根式的运算①加减法：先化为，在合并同类二次根式；babx2 +1 x2 y5 1223233x2+y2a 1+1a b②乘法：应用公式 a ⋅=ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ；③除法：应用公式=a(a ≥0, b0)b④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
(二）：【课前练习】1.填空题2 . 判断题3.如果(x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞24.下列各式属于最简二次根式的是（）A． B. C. D.5.在二次根式：①12, ②③；④27和是同类二次根式的是（）A．①和③B．②和③C．①和④ D．③和④二：【经典考题剖析】1.已知△ABC的三边长分别为 a、b、c, 且a、b、c 满足a2－6a+9+ b - 4 + | c - 5 |= 0 ，试判断△ABC 的形状．2.x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义1（1）；（2）；（3）x - 43.找出下列二次根式中的最简二次根式：x2+y27x ,, , 0.1x ,, - 21, -x ,,2 24.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：0.5-2x +31-xx2+12ab21 27 1 25 1 50 a2b675 4 - 4x + x 21 - 1 16 25 m2 - 4m + 4m 2 + 6m + 9 2 3 2 3 3 2 3 2 ( x - 2)2(x - 3)2( x - 2)( x - 3) 3 - x3 - x 2 - x3 - x2 - x17 1a3a 2 25x x 9 x 5 5 3 48 27 12 3x 2 -4 + 4-x 2 +1 ( p -1)2 (P - 2)21-2a+a 2 1-2a+a 2 3, 75, 18, , 2, , , 238ab 3 (b 0), -3b5. 化简与计算7 ① ；② (x 2) ；③ ；④ (m - 2) ⑤ (+ - 6 )2-( -+ 6 )2；⑥ (2 +3 - 6)(2 - 3 + 6 )三：【课后训练】1. 当 x≤2 时，下列等式一定成立的是（ ）A 、 = x - 2 C 、=2 - x ⋅B 、D 、 = = x - 32. 如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A 、x ≤2B. x ＜2C. x ≥2D. x ＞23. 当 a 为实数时， a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在（ ）A ．原点的右侧B ．原点的左侧C ．原点或原点的右侧D ．原点或原点的左侧4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－ 是 17 的平方根，其中正确的有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个5. 计算 a 3 +a 2所得结果是 ．6. 当 a≥0 时，化简 =7.计算（1）、2 5+ 9 - 2； （2）、( - 2)2003( + 2)2004（3）、(2 - 3 2 )2；（4）、5 -6 +8. 已知： x 、y 为实数，y=x-2，求 3x+4y 的值。
2014-2015中考数学总复习-第一轮-第一章 第6讲 二次根式
第6讲 二次根式
【考点梳理】 一、平方根、算术平方根、立方根 1．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 ，记作± a 如果一个正数 的平方等于a, 即 x 2 a,那么这个数 x叫做a的算数平方根， 记作 a 2．平方根有以下性质： ①正数有两个平方根，他们互为 相反数 ； ②0的平方根是0；③负数没有平方根。 3．如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作 3 a 二、二次根式 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数a只能是 非负数 ⑵ 最简二次根式 被开方数不含 分母 ，被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式的二次根式， 叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 相同 的二次根式，叫做同类二次根式．
【答案】：原式
3 2 2 4 3 2 2 1
考点3：二次根式的分母有理化 例4. 计算
2 2 2
2 2 2
的结果是（ ）
思路分析：利用二次根式的除法或分母有理化来解决，
=
2 2
+
2 2
=
2 +1
答案：
2 +1
方法指导：此题主要考察二次根式的除法及其分母有理化的运算， 这里
2 2
2 = ( 2) =
2
2 或者
3 2
2 2
= 2 2 = 2 2 =
2 2
2
2
考点即时练 4.(2013南京)计算
1 的结果是_______ 2
答案：
2
2．二次根式的性质
a 0); ⑴ a 0(
⑵ a 2
a
( a 0);
⑶ a2 a
初中数学精品试题：八年级数学下册第一章《二次根式》基础测试
八年级数学下册第一章《二次根式》基础测试（总分：100分，时间：60分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.下列二次根式是最简二次根式的是（ D ）A B C D2.下列计算正确的是（ A ）A ．=B =C ．3+=D 2=-3.是同类二次根式的是（ B ）A B C D4.12a -，则a 的取值范围是（ C ）A ．12a <B ．12a >C ．12a ≤D ．12a ≥5.若实数m 、n 满足|3|0m - ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ B ）A ．12B ．15C ．12或15D ．166.A (a ，b )在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.已知1m =+1n = C ）A ．9B ．3±C ．3 D8. 把代数式(1k -1k -移到根号内，那么移动并化简后的代数式为（ C ）A B C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9.有意义的x 的取值范围是 .10.(22= .11.已知3a = 2b =()()226944a a b b -+-+的值是 .12.（填“>”“=”或“<”）13.实数a ，b 的结果是 .14.已知m 是实数，且m +1m-m 的值是 . 三、解答题（共6小题，每小题4分，共52分）15.计算（每小题3分，共12分）（1 （212；（3）((⨯ ； （4）- . 16.化简（每小题4分，共8分）（1； （217.（10分）已知2a =2b =（1）请分别求出22a b +，22a b -的值； （2）已知a 的整数部分为m ，小数部分为n ，请求出2m n -的值.18.（10分）观察下列等式：1； = 回答下列问题：（1（2+⋅⋅⋅ （3⋅⋅⋅.19.（本题有2小题，每小题6分，共12分）（1（2）已知1a =，求代数式 6543226109a a a a a a +++-+- 的值.。
八下第一章 1.2二次根式的性质(1)
八年级下学期数学第一章 二次根式1.2二次根式的性质（1）一、回顾旧知 引入新课1、平方根的概念： （1）什么是平方根？ （2）若式子12-+-x x 有意义，则x 的取值范围 ；式子35-+x x 中x 的取值范围 。
2、完成下列填空（1是 的算术平方根，因此2= ，（2）2= ，2= ，2= ，2= ，由此可得2(0)a ≥= .（3）因为 3= ，3-= ，0= ，5= ，5-= ， 所以a = ()0a ≥或a = ()0a <（4），______22= 2=________；=_______, 5-=________；，______02= 0=________；，）（______312=31=________。
通过比较议一议：2a 与a 有什么关系？由此得出：当a ≥0，。
时，；当_____0______22=〈=a a a 即⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a二、考点知识 理解应用考点1 二次根式的性质1：2)(a = 。
对应练习：计算下列各式的值：2）2 ）2 ）2（）2 22-考点2 二次根式的性质2：⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a对应练习： 计算： （1）()()；221510-- （2）()222222+∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡--（3）325432532-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（4）22)3()5(-+-ππ三、典型例题 深度解析例1 计算：1、2（x ≥0） 2、23、）24、2a=时，其中例4 若b ＜0，则化简3ab -的结果是（ ） A 、-bab B 、ab - C 、-ab b - D 、ab b跟踪练习：把aa 1-根号外的a 移入根号内得（ ） A 、-a - B 、a - C 、-a D 、a四、巩固练习 形成能力1、下列各式中一定成立的是（ ）A 2B 2=C 2x =-D =2、下列运算正确的是( ) A ．416±=B ．312914= C ．()932=-D ．25)52(2-=-3、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简：|32|8136472-++--k k k 结果是（ ）A 、-5B 、4k －5C 、13D 、19-4k43x =-，则x 的取值范围是 .5、、若22)2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。
二次根式及其运算
命题点4 二次根式及其运算（10年4考）
2023年中考数学
2022版课标要求
1. 了解二次根式、最简二次根式的概念；
2. 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算.
1.二次根式：形如 （实质：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.
（4）混合运算：先乘除，再加减，有括号先算括号里的（或先去掉括号）.失分警示：二次根式运算的最终结果应化为最简二次根式.
7. 非负数的性质
（1）非负数：在实数范围内，正数和零统称为非负数，常见的非负数有：①任意实数 的绝对值是非负数，即 ；②任意实数 的平方是非负数，即 ；③任意非负数 的算术平方根是非负数，即 .
≥
2.二次根式有意义的条件：被开方数____________0.
大于或等于
3.最简二次根式满足的条件
（1）被开方数不含______；
分母
（2）被开方数中不含能开得尽方的____________.
因数或因式
4. 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式.如 （化简后为 ）与 就是同类二次根式.
（2） <m></m> ___ <m></m> ；
5.二次根式的性质
（1） ，二次根式具有双重非负性；
（3） 注意：只有当 时， .
-
6.二次根式的运算
（1）乘法运算： <m></m> _____ <m></m> ；
（2）除法运算： <m></m> _ ___或 <m></m> ________ <m></m> ；
新浙教版八年级上册数学第一章1.1二次根式
式叫做二次根式。为了方便起见，我们把一个数的算 术平方根也叫做二次根式。
求下列二次根式中字母a的取值范围：
解：
（1）由a+1≥0 得，a≥-1 ∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。 （2）由 ＞0，得 1-2a＞0。即a<½ , ∴字母a的取值范围是小于½ 的实数。 （3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0, ∴ 字母a的取值范围是全体实数。
说明：求字母的取值范次根式中字母a的取值范围
例二
解：将x = -4 代入 二次根式得 = =3
说明：与求代数式的值类比。
课内练习：P5 第1 .2题。 提高：
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2 来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式 （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面 需几秒（精确到0.1 秒）?
1.1 二次根式
知识回顾：
1、什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。 2、什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用 表示 讨论并解释：为什么a≥0 ？
新课教学
做一做：课本P 4 的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 像这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数
浙教版八下第一章二次根式的复习课(期末复习)
3.1 认识直棱柱
浙江版《数学》八年级下册
第一章
二次根式复习
第一章 二次根式复习 3.1 认识直棱柱
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
x 1
2
6
x
2
3
2
7
2
a b
1. 带二次根号 2. 被开方数大于等于0
1 (5) 45 108 1 3
2
5 ; 8
75 ;
(6)( 2 3) ( 3 2 )( 3 2) ;
第一章 二次根式复习 3.1 认识直棱柱
(7 ) a b 2ab (a b);
2 2
(8) a a (a 0).
2
二次根式化简结果的要求： （1）根号内不含有开的尽方的因式； （2）根号内不含有分母.
又
6 14 0
7 13 0
6 14 7 13
探究三
1已知x
2 3的值
2
第一章 二次根式复习 3.1 认识直棱柱
3，求代数式 x 2 x 2 x 2
(2)已知a 3 2， b 3 2， 求a 2 ab b 2的值.
x 1 ⑸ x 1
2 ⑷ x 5
第一章 二次根式复习 3.1 认识直棱柱
4.若2<x<5化简 ( x 1) ( x 5)
2 2
在直角坐标系内,点P(-2，2 )到原点的距离 为= 5.计算： (1)
2 ( 2 1 ) (1 2 ) ( 6 ) (2) (2 2 3)(3 2 2 )
中考复习 实数与二次根式-教师版
第一章数与式§1.1实数与二次根式考点1实数的分类与实数的有关概念1.(2022舟山,1,3分)若收入3元记为+3,则支出2元记为()A.1B.-1C.2D.-22.(2022绍兴,1,4分)实数-6的相反数是()A.-16B.16C.-6D.63.(2021杭州,1,3分)-(-2 021)= ()A.-2 021B.2 021C.-12 021D.12 0214.(2021湖州,1,3分)实数-2的绝对值是()A.-2B.2C.12D.−125.(2021丽水,1,3分)实数-2的倒数是()A.2B.-2C.12D.−12考点2实数的运算与实数大小的比较1.(2021温州,1,4分)计算(-2)2的结果是()A.4B.-4C.1D.-12.(2021宁波,1,4分)在-3,-1,0,2这四个数中,最小的数是()A.-3B.-1C.0D.23.(2022舟山,5,3分)估计√6的值在()A.4和5之间B.3和4之间C.2和3之间D.1和2之间4.(2022舟山,17(1),3分)计算:√83-(√3-1)0.5.(2022温州,17(1),5分)计算:√9+(-3)2+3-2-|−19|.6.(2022绍兴,17(1),4分)计算:6tan 30°+(π+1)0-√12.7.(2022金华,17,6分)计算:(-2 022)0-2tan 45°+|-2|+√9.8.(2021温州,17(1),5分)计算:4×(-3)+|-8|-√9+(√7)0.9.(2021丽水,17,6分)计算:|-2 021|+(-3)0-√4.考点3科学记数法1.(2022舟山,3,3分)根据有关部门测算,2022年春节假期7天,全国国内旅游出游251 000 000人次,数据251 000 000用科学记数法表示为() A.2.51×108 B.2.51×107C.25.1×107D.0.251×1092.(2022绍兴,2,4分)2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力,减排320 000吨二氧化碳.数字320 000用科学记数法表示是()A.3.2×106B.3.2×105C.3.2×104D.32×1043.(2022金华,3,3分)体现我国先进核电技术的“华龙一号”,年发电能力相当于减少二氧化碳排放16 320 000吨,数16 320 000用科学记数法表示为()A.1 632×104B.1.632×107C.1.632×106D.16.32×1054.(2022湖州,2,3分)2022年3月23日下午,“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲,神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课,某平台进行全程直播.某一时刻观看人数达到3 790 000人.用科学记数法表示3 790 000,正确的是()A.0.379×107B.3.79×106C.3.79×105D.37.9×105考点4实数的开方与二次根式1.(2021湖州,2,3分)化简√8的正确结果是()A.4B.±4C.2√2D.±2√22.(2020杭州,1,3分)√2×√3= ()A.√5B.√6C.2√3D.3√23.(2020宁波,11,5分)实数8的立方根是.4.(2021丽水,12,4分)要使式子√x−3有意义,则x可取的一个数是.基础练一、选择题(每小题3分,共33分)1.(2022衢州开化一模,)22的相反数是()A.122B.−122C.22D.-222.(2022金华模拟,)-6的倒数是()A.6B.-6C.-16D.163.(2022衢州开化一模,)2022年北京冬奥会收视率创历届新高,某视频平台与北京冬奥会相关视频的播放总量突破6 000 000 000次,6 000 000 000用科学记数法可表示为() A.6×109 B.0.6×1010C.60×108D.6×10104.(2022衢州常山一模,)在-2,0,-1,2这四个数中,最小的数是()A.-2B.0C.-1D.25.(2022温州文成一模,)数√2,-2,0,3中为无理数的是()A.√2B.-2C.0D.36.(2022杭州西湖一模,)在下列各数中,比-2 021小的数是()A.2 022B.2 020C.-2 022D.-2 0207.(2022台州玉环一模,)如果向东走5米记作+5米,那么-3米表示()A.向东走5米B.向西走5米C.向东走3米D.向西走3米8.(2022金华婺城一模,)正数2的平方根可以表示为()A.22B.±√2C.√2D.−√29.(2022温州乐清一模,)计算(-3)×5的结果是()A.2B.-2C.15D.-1510.(2022福建,)如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是()A.-√2B.√2C.√5D.π11.(2022台州玉环一模,)小明在学习《实数》这一章时,用两个面积为1的正方形以如图所示的方式拼出一个面积为2的正方形,则这个面积为2的正方形的边长的值大约在()A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间二、填空题(每小题4分,共4分)12.(2022宁波余姚一模,)若二次根式√3−x有意义,则x的取值范围是.三、解答题(共33分) 13.(2022福建,)计算:√4+|√3-1|-2 0220.14.(2022嘉兴嘉善一模,)计算:2 0220+(12)−1−√18.15.(2022杭州上城一模,)计算:√9+22−√83.16.新考法(2021河北,)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m 本甲种书和n 本乙种书,共付款Q 元. (1)用含m ,n 的代数式表示Q ;(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q 的值.提分练一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2022台州椒江一模,)若a 的相反数是2 022,则a 为( )A.-2 022B.2 022C.-12 022 D.12 022 2.(2022宁波江北二模,)无论x 取什么数,总有意义的代数式是( )A.√x 2B.4xx 3+1 C.1(x−2)2 D.√x +33.(2022杭州上城一模,)斑马线前“车让人”,反映了城市的文明程度,但行人一般都会在红灯亮起前通过马路.某人行横道全长24 m,小明以1.2 m/s的速度过该人处时,9秒倒计时灯亮了.小明要在倒计时结束前通过马路,他的速度行横道,行至13至少要提高到原来的()A.1.1倍B.1.4倍C.1.5倍D.1.6倍4.(2022杭州萧山二模,)已知a>0,a+b<0,则下列结论正确的是()>-1 D.a2+ab>0A.-a<bB.a-b<0C.ab5.(2022新疆,)将全体正偶数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第10行第5个数是()A.98B.100C.102D.104二、填空题(每小题4分,共24分)6.(2022陕西,)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则a-b.(填“>”“=”或“<”)7.(2022杭州西湖一模,)如图,点A,B分别表示数-x+3,x,则x的取值范围为.8.(2021丽水三模,)在如图所示的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格中的实数之积为 .9.(2021台州模拟,)观察下面的变化规律:21×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−17,27×9=17−19,……. 根据上面的规律计算:21×3+23×5+25×7+⋯+22 019×2 021= . 10.新考法(2022北京,)甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A ,B ,C ,D ,E ,每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下:甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂. (1) 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的Ⅱ号产品最多,写出满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号). 11.新设问(2022湖南长沙,)当今是大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中,尤其在全球“新冠”疫情防控期间,区区“二维码”已经展现出无穷威力,看似“码码相同”,实则“码码不同”.通常,一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方格组成,其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码,这相当于1 000个方格中只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识,这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码.现有四名网友对2200的理解如下:YYDS (永远的神):2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数; DDDD (懂的都懂):2200等于2002; JXND (觉醒年代):2200的个位数字是6;QGYW (强国有我):我知道210=1 024,103=1 000,所以我估计2200比1060大. 其中对2200的理解错误．．的网友是 (填写网名字母代号). 三、解答题(共31分) 12.(2022温州洞头二模,)计算:√9+2×(-3)+|-4|-(√5)0.13.(2022宁波余姚一模,)计算:|-2|+(13)−1-(√3-2 022)0.14.(2022金华婺城一模,)计算:(3-π)0-2sin 30°-√12+|1−2√3|.15.(2021绍模拟,)【算一算】如图①,点A、B、C在数轴上,B为AC的中点,点A表示-3,点B表示1,则点C表示的实数为,AC的长为;【找一找】−1、如图②,点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点A、B分别表示实数√22√2+1,Q是AB的中点,则点是这个数轴的原点;2【画一画】如图③,点A、B分别表示实数c-n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).图①图②图③。
浙教版数学八年级下册第一章《二次根式—三个“四”》章末复习课件
多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此
整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，
要化为最简二次根式 .
思维拓展，更上一层
+2 +
8.化简求值：(
+
解：原式＝
( + )2
+
( + )(−+1)
解:（1）原式=5 − 6 5 + 9 + 11 − 9 （2）原式= 48 ÷ 3 −
=16 − 6 5；
=4 − 6 − 2 6
=4 − 3 6.
.
.
1
2
× 12 − 2 6
二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方、开方，再乘除，最后
加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，
＝
−
×
+
+
+
−
1
)
−
×
−+1
÷
，其中 = 2 + 3 ， = 2 − 3．
−+1
.
−+1
+
＝
；
−
把 = 2 + 3 ， = 2 − 3代入，得：原式＝
3+1
．
2
4.分母有理化：二次根式的除法运算，通常采用把分子、分母同乘以一个式子化去分
母中的根号的方法来进行，把分母中的根号化去，叫做分母有理化
二次根式的4种运算：
（1）加法： 先化简二次根式，再合并同类二次根式。
（2）减法：
新浙教版第一章二次根式期末复习小片叔叔精品课件
有意义。
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
1 x 5 3 x
3.求下列二次根式中字母的取值范围
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
1 (1) 27 3; 3
1
1 1 (2)2 125 2 ; 5 2
8 2 1 0 (3) 3.14 2 2
化简下列各式
①
( 3) ( 3 2 )
2
2
②
24÷ 3 2
1 ③ 27 （ 12 3 ） 3
④
( 2 3)(2 2 1)
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
3、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) b b
4、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b a b b b
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
三、二次根式的乘除
1、积的算术平方根的性质
浙教版数学八年级下册第一章二次根式复习课件
2.化简
的结果是… … … … … …( B )
(A) (B)
(C)
(D)
3.
的结果是… … … … … …( B )
(A) 3 (B) (C)
(D)
4.已知x<2,则化简
的结果 …( D )
(A) x-2 (B) x+2 (C) –x-2 (D) 2-x
5.要使式子
有意义,字母x的取值必须满
足…… ……………………………… …… ( B )
等腰三角形?求这时点P的坐标.
15.在平面直角坐标系中，
y
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
C
B
点P为x轴正半轴上由O向A运动的一个动点，点P不 与点O、A重合。
(1)求点B的坐标和直线AB的解析式;
解:过点B作BF⊥OA于F. ∵AB=4, ∠COA=∠BAO=45 °,
B
即OA= ,OB= ,
D
OA
x
∴坐标原点O到直线AB的距离
y
C
15.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
O
B Ax
点P为x轴正半轴上由O向A运动的一个动 点，点P不与点O、A重合。
(1)求点B的坐标和直线AB的解析式;
(2)点P运动到什么位置时,△OCP为
O
y
C
B
P1 P2 P3 A x
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
初二《二次根式》典型例题
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
D、 2 x
举一反三：
1、根式 (3)2 的值是( )
A．-3
B．3 或-3
C．3
D．9
2、已知 a<0，那么│ a2 －2a│可化简为（ ）
A．－a
B．a
C．－3a
D．3a
3、若 2 a 3，则 2 a2 a 32 等于（ ）
A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1
．
4 (a 1)2 4 (a 1)2
7、已知 a 0 ，化简求值：
a
a
【例 7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ (a b)2
的结果等于（ ）
A．－2b
B．2b
C．－2a
D．2a
b ao
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简：a 1 (a 2)2 ______ ．
a
1 0 1 2
【例 8】化简 1 x x2 8x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（ ）
（A）x 为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（ ）
Ａ． a ≥ 4
Ｂ． a ≤ 2
4. 公式 a2 |a|a(aa(a0)0)与 ( a)2 a(a0)的区别与联系 （1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
2023年中考数学总复习第一章《数与式》第二节 二次根式
2023年中考数学总复习第一章《数与式》第二节二次根式一、选择题1.［2020·邯郸丛台区二模］下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2.［2020·上海］下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3.［2020·衡水模拟］下列计算正确的是（）A．B．C．D．4.［2020·宜昌］对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（）A．B．C．D．5.［2020·石家庄模拟］如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与BC．A与C D．B与C（第5题图）6.［2020·原创］下列运算正确的是（）A. B.C. D.7.［2020·聊城］计算的结果正确的是（）A．1B．C．5D．98.［人八下课本P11，T12高仿］如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78cm2B．cm2C．cm2D．cm2（第8题图）9.［易错］［2020·秦皇岛模拟］按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（）A．7B．C．1D．（第9题图）二、填空题10.［2020·扬州］代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．11.［2020·保定模拟］若2□＝6，则“□”内的运算符号为_______．12.［2020·河北模拟］计算×-的结果是_______．13.［2020·保定定兴县一模］=＝_______．14.［2020·哈尔滨］计算的结果是______．15.［2020·常德］计算：＝_______．16.［2020·山西］计算：＝_______．三、解答题17.［2019·石家庄新华区模拟］计算：.18.［创新］［2020·遵化二模］利用平方差公式可以进行简便计算：例1：99×101＝（100-1）（100+1）＝1002-12＝10000-1＝9999；例2：39×410＝39×41×10＝（40-1）（40+1）×10＝（402-12）×10＝（1600-1）×10＝1599×10＝15990．请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：（1）。
第一章数与式第5课二次根式及其运算课件
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
初三数学上册知识点
第一章二次根式1 二次根式：形如( )的式子为二次根式；性质：（）是一个非负数；；。
2 二次根式的乘除：；。
3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：，S是三角形的面积，p为。
第二章一元二次方程1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。
2 一元二次方程的解法配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方；公式法：因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。
3 一元二次方程在实际问题中的应用4 韦达定理：设是方程的两个根，那么有第三章旋转1 图形的旋转旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。
2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称；中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形；3 关于原点对称的点的坐标第四章圆1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2 垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧；平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
3 弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4 圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系点在圆外点在圆上d=r点在圆内d<r定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
6直线和圆的位置关系相交d<r相切d=r相离d>r切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
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呢?
?
已知 y =
2−x +
y x − 2 + 5, 则 x
5 = ____ 2
?
浙江)若数轴上表示数 （1）(04浙江 若数轴上表示数 的点在原点的 ） 浙江 若数轴上表示数x的点在原点的 左边， 的结果是（ 左边，则化简 3x + x 2 的结果是（ C ） A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2 2
6、计算： 、计算：
(1)
52 + 122 27
2 5
( 2) 36 − 12
2
2
( 3) 7 × 2
1 ( 5) 1 2
(4) 3.6 × 0.1
( 6) 3 × 6
8 (7 ) 20
(8)( 5 − 1) × 5 + 5 ( 9)( 48 − 2 27 ) ÷
3
(10) 3 − 2） （2 + 3） ⋅ （
1 A1
a ?
2
1 (1) 2x + 1 ( 2) 1 − 3x x−2 2 ( 3) (4) ( x − 3) 2 x
1 ( 5) a − 1 + 3−a
3、当x取何值时，下列等式成立： 、 取何值时， 取何值时 下列等式成立：
(1) 4 − y = 2 + y • 2 − y
2
( 2) ( 3 − 2x ) = 2x − 3
n n OAn=___ Sn=___ 2
……
……
A6
1
A7
S6
O
1
A1
1
1 2 n S2= …Sn= （2）请计算 S1= ） 2 2 2
S + S + S +K+ S
2 1 2 2 2 3
2 n
A4 A5 1
1 A3 1 S3 A2 1
n ( n + 1) 8
1 A6 1 A7 S6 S5
S4
S2 S1 O
2006
2006
7、计算： 、计算：
1 (1)2 3 + 27 − 3
1 1 ( 2) × 48 ÷ 2 8
( 3)( 2 6 − 1)(5 2 + 3 )
(4)( 2 − 3 ) − ( 3 + 2 )( 3 − 2 )
2
1.在直角坐标系中，点P（1， 3 ）到原点的距 在直角坐标系中， 在直角坐标系中 （ ， 2 离是_________ 离是
( 2) (1 − 2 )
2
( 3) ( π − 4) 2
(6)( −2 x )
2
(4) 9 × 2
3 ( 5) 4
1 1 2 1 2 2 (7) ( − ) + ( − ) 3 2 2 3
(8) 3 2 + 4 2 − ( −7 ) 2 + ( 11 ) 2
(9) a − 2ab + b (a < b )
4、下列各式中成立的是 、Fra bibliotek( −6) = −6
2
( −16) = ±16
2
2+ 3= 5
3 +4 =7
2 2
( −2) × 3 = −2 3
2
x + y = x+ y
2 2
( −25) × ( −16) = − 25 × − 16
2 · 3x = 2 3x
5、算一算： 、算一算：
( 1 )( 2 )2
拓展2 拓展
细心观察图形,认真分析 思考下列问题 细心观察图形 认真分析,思考下列问题 认真分析 思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？ ）你能求出哪些线段的长？ 1 2 OA2=___ S1=___ 2
2 3 S2=___ OA3=___ 2
A5 A4
1
S3
1 1
S5 S4
A3
1
S2 S1 1 A2
2
x ( 3) = x−2
x x−2
二次根式有以下四个基本性质
1.( a ) = a(a ≥ 0)
2
a ≥ 0 2. a = a = − a < 0
2
3. ab = a × b (a ≥ 0, b ≥ 0)
a a 4. ( a ≥ 0, b > 0 ) = b b
( 2 − a ) 2 + (a − 4) 2 = 0 的值是常数 则 的值是常数2,则 当代数式
a 的值是 的值是______
6
?
3
2 4
两个白色正方形区域的面积分 别是2和 求绿色图形的面积 求绿色图形的面积? 别是 和4,求绿色图形的面积
在Rt△ABC中,∠C=Rt,记AB=c, BC=a, AC=b, △ 中∠ 记 若a: c=1:2,则b: a=______ 则
(2) 下列各式化简后与 2的被开方数相同的是 ( 4) （
）
( A)
10
( B)
24
(C )
72
( D)
2 3
3.若方程 若方程
3x = − 24 ，则x=_____
当a为______时，二次根式 为 0 时 的值最小,最小值是 的值最小 最小值是_______ 最小值是
a +4
2
6− 2 x −
B a C b c
A
拓展2 拓展
为实数,且 设a.b为实数 且 为实数 (1) 求
2
2 −a + b−2 =0
2
a − 2 2a + 2 + b
的值
(2)若满足上式的 为等腰三角形的两边 若满足上式的a,b为等腰三角形的两边 若满足上式的 为等腰三角形的两边, 求这个等腰三角形的面积. 求这个等腰三角形的面积 (3) 若a为腰 b为底 此时底边上的高为多少？ 为腰, 为底, 多少？ 为腰 为底 此时底边上的高为多少
1.二次根式的概念及意义 二次根式的概念及意义. 二次根式的概念及意义
这样的式子叫做二次根式 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式 这样的式子叫做二次根式, 其中a可以是 也可以是单项式和多项式. 可以是数 也可以是单项式 其中 可以是数,也可以是单项式和多项式
2、当x取何值时，下列二次根式有意义： 、 取何值时， 取何值时 下列二次根式有意义：