1.2 概率
1.2随机事件的概率
古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
试验 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6}
n=6
事件A
Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”={4，6} m=2
事件A的概率
P( A) m 2 1 n 63
样本空间样本点数: n=C103 • 所取3均为正品的样本点数：m A=C63 • 所取3件均为次品的样本点数: m B=C43 • m C= C31C62C41 • m D=4×3×6 =72 • 则P(A)=1/6 ,P(B)=1/30 ，P(C)=3/5 ，P(D)=1/10
注（1）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注 意不要重复计数，也不要遗漏.
说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，
另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同
分法有
n种! 。
r!(n r)!
（2）常用组合公式：
C
k n
C
nk n
,
Ck n1
C
k n
C
k n
1
,
k
n
C k nm
C
i n
C
k m
i
,
C
i n
2n.
i0
i0
说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的
从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的 增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.
对本定义的评价
优点：直观 易懂
缺点：粗糙 不便 模糊 使用
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是
§1.2 概率的定义与古典概型
设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:N k ≤（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；k m ≤（2）某指定的一个盒子恰有m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例2（分房模型）例7两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1 到达码头的时刻为x，0 ≤x < 24船2 到达码头的时刻为y，0 ≤y < 24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头设Ω是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种赋值满足下面的三个条件：非负性：0)(,≥⊂∀A P A Ω 规范性：1)(=ΩP ∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P U 可列可加性：L ,,21A A 其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.三、概率的公理化定义6、加法公式：对任意两个事件A, B, 有)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪)()()(BPAPBAP+≤∪推广：) ()()() ()( )()()(ABC PBCP ACPAB PCP BPAPCBAP+−−−+ +=∪∪)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j i nj i j i ni i ni i A A A P A A A P A A P A P A P L L U −≤<<≤≤<≤==−++++−=∑∑∑一般：右端共有项.12−n例9 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？2.07.0×若是的话, 则应有)()()(2121A P A P A A P =而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.21,A A例10设A , B 满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)()()()(B A P B P A P AB P ∪−+=3.01)()(=−+≥B P A P 1)(=∪B A P 最小值在时取得6.0)()(=≤A P AB P ——最小值——最大值)()(B P B A P =∪最大值在时取得。
1.2 概率论——随机事件及其概率
反演律
AB A B
AB A B
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
运算顺序： 逆交并差，括号优先
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
Note1:
“+”的理解,“-”的理解
举例说明: A B C A BC
A {1,2,3,4}, B {1,3,5} A B C {2,4}
而BC {1,2,3,4,5} A 反之,请同学课后练习.
§1.2 随机事件及其概率
自然界中的有两类现象
•1. 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
•2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
(4) A1 A2 An A1 A2 An (5) A1 A2 An A1 A2 An
交换律 结合律
分配律
A B B A AB BA
(A B)C A(BC) ( AB)C A(BC )
(A B)C (AC)(BC) A (BC ) ( A B)(A C)
AB
和与积的运算同样定义）
4.事件的差
事件 A 发生而事件B 不发生，是一个事件，称为
事件 A 与 B 差，记作 A B
AB
5.互不相容事件
如果事件 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件
A与B互不相容，(或称互斥） 显然, 基本事件是互不相容的 类似地，如果
BA
A1, A2 , , An 两两互不相容，
(6)三个事件至少有两个发生： AB AC BC
概率与数理统计C1_2
概率直观意义及运算
Am 所含样本数为
C C m n-m M N-M
从而
P( A)
C C m n-m M N-M
/
C
n N
20.3.22
一般模型：袋中有n个球, 第1类有n1个, 第2类 有n2个,…,第 k类有nk个, 并且n1 +n2 +…+nk = n, 从袋中取出m（m≤n）个，求其中恰有mi个第i类 球的概率P，其中m1 +m2+…+mk=m，mi ≤ni
3r 的概率. 为什么三种解答的结论不同？请分析其原因.
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
例1 抛一枚均匀硬币，观察其出现正面H 和反面T的情况.
通过实践与分析可得：硬币 出现正面的可能性等于它出现 反面的可能性.
#
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
例2 从 10个标有号码 1, 2,…, 10 的小球中任 取一个, 记录所得小球的号码.
摸球试验
注：在古典概率的计算中常用到排列组合的 知识，如乘法原理、加法原理等等。
古典概率性质： (1) 对任意事件A，有0≤P (A)≤1；
(2) P (W )=1；
电子科技大学
概率直观意义及运算
20.3.22
(3) 若A1，A2，…，Am互不相容，则
m
m
P( Ai ) P( Ai ).
i1 i1
62
0.102
44
0.072
58
0.095
67
0.110
电子科技大学
20.3.22
向克斯π的 前608位的 各数码出
现频率
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
3.§1.2条件概率1.3加法公式
pk (1
p)nk
其中：p是试验中事件A发生的概率；
C
k n
表示n个
不同元素中取k个
的组
合数
例6. 某气象站天气预报的准确率为80%， 5次预报中
恰有4次准确的概率；
19
问题3 — 计算独立重复事件的概率
例6. 某气象站天气预报的准确率为80%， 5次预报中 恰有4次准确的概率.
解 5次预报中有4次准确是n次独立重复试验中某事
P( A) 0.7, P( A) 1 P( A) 0.3 P( AB) P( A)P(B) 0.30.6 0.18
16
典型问题2—计算独立事件的概率
例4. 甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率 是0.8 , 乙击中目标的概率是0.9 , 两人都射击一次. 求: (1)两人都没击中目标的概率,(2)目标被击中的概率.
7个黄球, 玻璃球中有2个红球4个黄球,从盒中任取1个球,
设:事件A表示取到玻璃球，事件B表示取到红球，
则: 条件概率 P( A | B) 4
P(A | B) P(AB) 16 P(B) 11
4 11
16
因为事件B表示取到红球, B 表示取到黄球,
P(B) 11 16
A B 表示取到玻璃球且是黄球,
例如. 检验一批产品从中任意取一件, 检验后就放回，再 取一件检验，那么第一检验不影响第二次检验结果,所以 二者为独立事件。
但是从中任意取一件不放回, 再取一件检验，那么第 一次检验影响第二次检验结果, 所以二者不为独立事件.
13
典型问题2 ——事件独立性解题 例3. 甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率是
一级品. 求:任取1件产品它是一级品的概率？
概率论与数理统计课件1.2概率的定义与性质
6
概率论与数理统计
一、概率的公理化定义 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 E 的每一个事件 A,
赋予一个实数, 记为 P( A) , 如果 P() 满足下列条件 , 则称P( A)为事 件 A 的概率： (1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S, 有 P(S) 1; (3)可列可加性 : 设 A1 , A2 , 是两两互不相容的事件 , 即对于 i j , Ai Aj , i , j 1, 2 , , 则有
表1
1
0.4
2
0.6
3
0.2
4
1.0
5
0.2
6
0.4
7
0.8
8
0.4
9
0.6
10
0.6
n=50 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
n=500 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516
P() 0
8
概率论与数理统计
2.(有限可加性) 若 A1 , A2 , , An 是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 An ) P(A1 ) P(A2 ) P(An ).
证明 令 An1 An2 , 则Ai Aj , i j, i, j 1,2,.
5
概率论与数理统计
频率的性质
f n ( A)
nA n
(1) 非负有界 : 对于每一个事件 A, 有 0 fn ( A) 1; (0 nA n)
1.2概率的统计定义与概率的公理化定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , 是它的
样本空间 ,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA
与之对应，如果集合函数P满足下列三条公理 : 1 非负性 对于每一事件A,都有P A 0 ;
2 规范性：对于必然事件，有P 1 ;
3 可列可加性：对于两两互斥事件 A1, A2,, 有
nA n
为事件
A
在
n
次试验中出现的频率
, 记为
fn A
,
即
fn A
n
.
概率论
频率所具有的三个性质:
1 0 PA 1;
2 P 1 ;
3 设 A1 , A2 ,, Ak 是两两互斥事件 , 则 PA1 A2 Ak PA1 PA2 PAk
概率论
抛掷钱币试验记录
试验者 抛币次数n “正面向上”次数 频率 fn( A)
P AB
PBC
0,
P AC
1
.求
A、B、C
4
至少有
8
一个发生的概率 .
解 PA B C
PA PB PC PAB PAC
PBC PABC
31 1 10 5. 248 8
概率论
三、小结
频率的定义 概率的公理化定义及概率的性质 事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发 生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率 是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标. 它介于0与1之间.
概率论
性质 3 对于任何事件A ,有
PA 1 PA .
证 因为 A A ,且 AA .
所以 PA A P 1 .
并且 PA A PA PA
由以上两式可得, PA PA 1
01.2古典概率几何概率统计概率
54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
概率论_课件 1.2
三.乘法原理:
完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法, 第二步有 m2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件 事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法,特点是各个步骤连 续完成.
解：设A表示第k 次取得白球，考虑前k个球
样本空间中样本点的总数为
Ak ab
，
事件
A
所包含的样本点个数为
Aa1
Ak1 ab1
.
P( A)
A A 1 k 1 a ab1 Ak ab
a a b
结论：取得白球的概率与取球的先后次序无关。
抽签原理
1.有多种解法 2.注意与上题的区别
3
2012-3-8
例6 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个
ANk Nk
mA5
Nk
C
k N
k!
P( A5)
Nk
CNk k! Nk
1
P(A4 )
mA6
C
k N
k!
P( A6 ) P( A4 )
例6的“分房模型”可应用于很多类似场合
“球” 可视为
人 人 信
钥匙 男舞伴
“盒子” 相应
视为
房子 生日 信封 门锁
女舞伴
应用: 生日问题 （1）班级中有n个学 生， 问：没有人同一天生日
C152
22
不放回地 取5次,每次一个 = 一次任取5个
例4 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按
概率1.2
五、概率的几何定义
如果试验的所有可能结果为无限多个，每个试验 结果出现的可能性相等，古典定义就不适用，这时 可借助于几何上的度量 (比如面积，长度) 来合理地 规定的概率，称为概率的几何概型.
几何概型的特点： 有限区域、无限样本点; 等可能性.
定义1.2.4 概率的几何定义（几何概率）
在几何概型试验中，设样本空间为 ,事件 则事件A发生的概率为
0.0021
0.0016 0.0005 0.0002
维 尼
2. 概率的统计定义
定义1.2.2 事件A发生的频率 f n ( A) 在某常数 p 附近摆动，且 n越 大，摆动幅度越小，称常数 p为事件A的概率，记作
P A,
即
P A p.
因此，在实际应用中，当重复试验的次数较大时，可用 事件的频率作为概率的近似值.
则称P(A)为事件A的概率.
2. 概率的性质 性质 1 不可能事件的概率为0，即
P 0.
反之是否成立呢？即概率为0的事件一定不可能发生 吗？
概率为1的事件一定发生吗？
性质 2 （有限可加性）
若事件
A1 , A2 ,, An 两两互不相容，则
n n P Ai P Ai . i 1 i 1
60 x
六、 概率的公理化定义
1. 定义1.2.5 设随机试验E的样本空间为
， 对试验
E的任一随机事件A，定义实值函数P(A)，若它满足以下三 个公理：
非负性：
规范性： 可列可加性：
P A 0； P 1；
对两两互不相容的事件
A1 , A2 ,,
有
P Ai P Ai , i 1 i 1
概率与数理统计
3、几何概率的求法
（P14） 随机试验的样本空间的测度为() ，区域G（ ）的测度为(G) ，用A表示 “在区域内任取一点，而该点落入区域G中 ”这一事件，则事件A的概率定义为
P（A）=
(G (
) )
2020/9/13
例1 49路公共汽车每隔6分钟来一辆，现有某人在 等车，问他等车不超过4分钟的概率。
样本点总数
a+b
注 本例中的“球”可用其它东西代替，“颜色”也可以用
其它性质代替。比如“球”被“产品”代替，“颜色”被“合
格”或“不合格”代替等。
2020/9/13
（2）袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出ｍ (1≤ m≤a+b)个球，取出的球不放回，求第m次取出的球是
白球的概率。 解：设Ａ——“第m次取到白球” 方法1：把a+b个球全部取出看作一个样本点，共有（a+b）！
C2 C1 C1 13 13 13
（1）2张红桃，1张方块，1张黑桃的概率
C4
C4 52
48
C （2）没有A的概率 4
C 52
1
13
（3）4张大小相同的概率 C 4 52
2o 一批产品100个，一、二、三、次品各为20、30、 40、10个，求
（1）任取5个均为一等品的概率
（2） 任取3个其中2个一等品，1个三等品的概率
例1 （ P13例4）两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ的4个邮筒投寄。求：（1）前两个邮筒各投入1封 信的概率（2）第Ⅱ个邮筒恰好投入1封信的概率
（3）两封信投入不同邮筒的概率 解 设A——前两个邮筒各投入1封信
B——第Ⅱ个邮筒恰好投入1封信 C——两封信投入不同邮筒 而 样本空间包含的基本事件总数n=42=16 事件A中包含的基本事件个数mA=2!=2 事件B中包含的基本事件个数mB=C21C31=6 事件C中包含的基本事件个数mC=P42=12 则 P（A）= 2/16 P（B）= 6/16 P（C） =12/16
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率的定义及其确定方法
§1.2 概率的定义及其确定方法在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。
本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。
例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。
既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。
这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。
在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。
这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。
那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.1. 概率的公理化定义定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足:(1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ;(2) 正则性公理 1)(=ΩP ;(3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则∑∞=∞==11)()(n n n n A P A P U则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
2024年余丙森概率论辅导讲义
2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。
随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。
概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。
1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互不影响。
1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。
第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。
第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。
3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。
第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。
4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。
§1.2 事件的概率及其性
10 1 P ( A) 40 4
第一章 §1.2 事件的概率及其性质
第10页
例2 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 ， 故所求概率 CN n ! n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．
k n k n P(A)= CM CN / C M N
摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型，许多实际问 题都可用它来描述，例如，例3就可以把黑球解释为次品，白 球为合格品，欲求的是“抽查n个产品，查到k个次品”的概 率，经常使用摸球模型也正是由于这些原因．
第一章 §1.2 事件的概率及其性质
第5页
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
f n ( Ak ) f n ( Ak ).
k 1 k 1
n
n
频率在某种意义下反应了事件发生的可能性大小。 频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。 例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。 实验者 N nH fn(H)
第一章 §1.2 事件的概率及其性质
4. 古典概型的概率计算举例
第9页
例1 设有编号为1,2,…,40的四十张考签，一学生任意抽一张 进行考试，求“抽到前10号考签”这一事件的概率． 解 记A＝｛抽到前10号考签｝．显然，学生抽到任一考签 的可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数n=40， A中所含的基本事件数k=10，故所求概率为
1.2 概率的定义及计算习题
F表示“零件为次品”，则显然
P R1
2 3
,
P
R2
1,PF
3
R1
2%, P F
R2 3%,
（1） P F
P R1 P F
R1 P R2 P F
R2
7 300
（2） P F 293 300
（3） P R2FFra bibliotek
D
P
B3
D B1,3
P
B3
5 9
P B1 P A1 A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3
2 P( A1 A2 A3) P( A1A2 A3) P( A1A2 A3) 9
P B2 P A1A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3
成双”和“成 双”两种情形
同样的“4只配成两双”算了两次
解法 3 正确做法
P( A)
C
1 5
C
2 8
C
4 10
C52
与5双中任取一双 时已出现“4只恰 有两双”的情形重
复
在用排列组合公式计算古典概型时
多算了
C
2 5
种
必须注意不要重复计数，也不要遗漏
15. P AB P A PB P A B
C
1 2
C140
C
1 2
C21
1
8 21
13 . 21
还有其它解法吗？
从5双不同的鞋中任取4只，求这 4 只鞋中至少有 2 只配成
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以抛掷一枚硬币的试验为例，设事件表示“正面向上” 即徽花向上.表1-2列举了几位著名学者的试验结果. • 表1-2
• 当n充分大时，事件A发生的频率稳定于常数值0.5.称
这一现象为频率的稳定性.事实上，上述试验属于古典
概型，利用概率的古典定义很容易计算出事件A发生
的概率为P(A)=0.5 .
定义1.3.1 在相同的条件下，重复进行n次试验，当试 验次数n充分大时，事件A发生的频率稳定地在某一 数值p附近摆动.而且一般说来，随着试验次数的增加， 这种摆动的幅度将减小.我们称这个客观存在的频率
1.2.3 概率的古典定义
把具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为 古典概型： • （1）有限性 试验的基本事件总数为有限个； • （2）等可能性 每次试验中，各个基本事件出现的 可能性相同.
定义1.2.4 在古典概型中，随机事件A发生的概率为 #A P( A) # 其中 # A、 # 分别表示A包含的基本事件个数和试验 的基本事件总数.
Andrey Nikolaevich Kolmogorov
随机事件的频率满足下面三个性质： (1) f n ( A) 0; (2) f n () 1;
(3)若A1 , A2 , f n ( A1 A2
, An两两互不相容,则有, An ) f n ( Ai ).
i 1 n
例1.1.6设A、B、C是三个事件, 试将下列事件用A、B、C 表示出来.
(1) A发生而B、C都不发生； (2)A、B、C至少有一个发生； (3) A、B、C 恰有一个发生； (4)A、B、C至少有一个不发生； (5)A、B、C都不发生； (6)A、B、C中不多于两个发生.
例1.1.7
一个口袋中有外形完全相同的5个小球，编号分
证 因A , 所以P( A) P() 1.
性质1.2.4对于任意两事件 A, B , 有P( A B) P( A) P( B) P( AB).
证明 由图可得
A B ( A B) ( B A) AB ( A AB) ( B AB) AB
(3)D “两天都不下雨”，则D A1 A2 A1 A2， 所以，P(D) P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 )
1 P(C ) 1 0.4 0.6.
3 例1.2.2 设A, B是两个随机事件，且P ( A) P ( B ) , 5 6 P ( A B ) ，求P ( AB )，P ( A B )，P ( B A). 7 解 P( AB) P( A) P( B) P( A B)
证明 由于A1 An A1 An
根据公理3和性质1.3.1得证.
推论1.2.1 如果事件A1 , 则有
, An构成一个完备事件组，
P( A ) 1.
i 1 i
n
特别地，两个对立事件概率之和为1，即 P( A) 1 P( A). 证明 由于事件A1 , , An构成一个完备事件组，即两两
概率的统计定义:概率的客观存在性的描述性定义；
描述概率的基本属性的公理化定义.
古典定义：特定试验中概率的古典定义，在概率论发 展史上人们最早研究的是概率的古典定义；
1.2.1 概率的统计定义
一般地，记n( A)为n次试验中事件A出现的次数，称为A的 频数.记f n ( A)为n次试验中事件A出现的次数与试验总次数 n( A) 的比值，称为A的频率，即f n ( A) . n
别为1，2，3，4，5，从中任取3个球，事件A表示“球 的最小编号为1”，B表示“球的编号全为奇数”，C表示 “球的编号全为偶数”.
(1)叙述事件ABC的含义； (2) A B实际意义是什么？
解 (1) ABC AB B, 即表示取到的3个球编号全为奇数. (2)由于A B A，所以 A B = A,表示取到的3个球中没有 编号为1的球.
且A ( A B) AB， .
因此，P( A) P[( A B) AB] P( A B) P( AB) P( A B) P( B).
推论1.2.2 若事件A B，则有，P( A) P( B).
推论1.2.3 对任何事件A，有P( A) 1.
例1.2.6 从5双不同尺码的手套中任取4只，求至少有 2只配成一双的概率.
解 设A "4只手套中至少2只配成双".
# C 210.
4 10
4只中恰有2只配成一双的取法数C C C C ，
1 5 2 4 1 2 1 2
4只中恰好配成2双的取法数C ，
2 5
于是 # A C C C C C 130.
公理3 可列可加性 对于任意可列个两两互不相容的事件 若A1 , A2 , , An ,有, P( Ai ) P( Ai ).
i 1 i 1
性质1.2.1 不可能事件的概率等于0，即P() 0.
证明 由于
由公理3有P() P()
P()
定义1.2.2
假设随机试验的样本空间为，对于该试验
的每一个随机事件A, 即对于样本空间的每一个子集A， 都赋予一个实数P( A)，如果P( A)满足下面三条公理，则 称P ( A)为事件A的概率.
公理1 非负性 对于任何事件A, P( A) 0;
公理2 规范性 对于必然事件，P() 1;
（2）最多取到1个次品的概率.
解 记Ai “取出的3个产品中有i个次品”，i 0,1.
3 # A0 C90 117480 则(1) P( A0 ) 3 0.727. # C100 161700 3 1 2 #( A0 A1 ) C90 C10 C90 (2) P( A0 A1 ) 3 # C100 117480 40050 157530 0.974. 3 C100 161700
1.1.3 随机事件之间的关系与运算
• 同一试验的各种事件之间的几种主要关系和运算.
• 1.包含关系
• 2.相等关系 • 3.事件的和（并） • 4.事件的积（交） • 5.事件的差
• 6.互不相容事件
• 7.对立事件 • 8.完备事件组
1.1.4 随机事件间的关系与运算的性质
设 A、B、C是同一试验中的随机事件，它们满足运算律
的稳定值p为事件A在上述条件下，一次试验中发生
的概率.记为p(A)=p.这个定义通常称为概率的统计定
义.
1.2.2 概率的公理化定义
• 上面已经引入了概率的统计定义，但试验次
数应大到什么程度，频率究竟在什么意义下
趋近于概率都没有确切地说明.因此，概率 的统计定义都存在一定的局限性.
1933年，前苏联数学家科尔莫戈罗夫发表 了《概率论的基本概念》奠定了概率论理 论基础，使其成为了一门严格的科学。
1 5 2 4 1 2 1 2 2 5
# A0 130 13 得P( A) . # 210 21
上式成立的充要条件是P() 0.
性质1.2.2 （有限可加性）假设事件A1 , 则有 n n P Ai P( Ai ). i 1 i 1
, An两两互不相容，
特别地，如果两个事件A与B互不相容，则有 P( A B) P( A) P( B).
P( A) 1 P( B ) P( A B) 3 3 6 1 1 . 5 5 7 7 由于A B A AB，且A AB，所以有， 3 1 16 P( A B) P( A AB) P( A) P( AB) . 5 7 35 2 1 9 类似有，P( B A) P ( B ) P ( BA) . 5 7 35
不相容且 ( Ai ) .于是有
n
P( A ) P( A ) P() 1.
i 1 i i 1 i
n
i 1
n
当n 2时，易得P( A) P( A) 1.
性质1.2.3 若事件A B，则有，P( A B) P( A) P( B).
证明由于A B，所以AB B，A B与AB互不相容，
A AB
B
又A AB、B AB与AB互不相容，则由性质1.3.3, P( A B) P ( A AB) P ( B AB) P ( AB)
P ( A) P ( B) P ( AB).
我们称上式为广义加法公式.
利用数学归纳法，可将性质1.3.4推广到任意有限个 事件的情形：
1.交换律 A B B A, AB BA.
2.结合律 ( A B) C A ( B C), ( AB)C A(BC ).
3.分配律 ( A B)C AC BC, AB C ( A C)( B C ).
4.对偶律 A B AB, AB A B.
• 例1.2.1 某人外出旅游两天，据天气预报，第一 天下雨的概率为0.2，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1，求：
（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；
（2）至少有一天下雨的概率；
（3）两天都不下雨的概率.
解 令Ai “第i天下雨”, (i 1, 2),由题设知， P( A1 ) 0.2, P( A2 ) 0.3, P( A1 A2 ) 0.1. (1)令B “第一天下雨而第二天不下雨”， B A1 A2 A1 A1 A2 , 且A1 A1 A2，
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 n
P ( Ai A j ) An )
1 i j k n
P ( Ai A j Ak )