用周期性边界条件模拟导波介质的传播模式及其模式常数的后续分析计算
二、光纤传输基本理论
霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令 x, y, z x, y eiz
•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2 2 2 2 2 2 x , y x , y x , y x, y 0 t 2 z
模式场分量与纵横关系式
模式的场矢量 Ex, y, z 和 H x, y, z 具有六个场分量:
Ex , Ey , Ez 和 H x , H y , H z (或 Er , E , Ez 和 Hr , H , H z )。只
有当这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯
一确定。 但实际上这并不必要。因为场的横向分量可
• 几何光学中，光线定义为等相面的法线。一般情况下， 麦克斯韦的试探解可以写成振幅与相位的形式
2 5
式中， t2是横向拉普拉斯算符， 与 分别是横向与纵向传 播常数。 (2-5)式中的 x, y 可以分别代表 E 和 H 的横向场分布，即 有 2 E x, y 2 E x, y
t 0 H x, y H x, y
• U和W是场的横向传播常数；
• U反映了导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率； • W值则反映了导模在包层中的消逝场的衰减速度，其 值越大衰减越快。 • 还可以看到U，W和V满足如下关系
V 2 U 2 W 2
• 归一化频率
模式分析时的一个重要参量：光纤的归一化频率
V 2
2 a n12 n2 k0 an1 2
2 6
上式就是光纤波导中光传播时遵从的波导场方程。这是波动 理论方法的最基本方程。显然，它也是一个典型的本征方程。 当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应
周期边界条件下Camassa—Holm方程的全局指数稳定控制
（ ａｕｔ ｏ ｃ ｎｅ Ｊ ｎｓ ｉｅｓｙ Ｚ ｃｊ ｎ ， ｉｎｓ １０ ３， ｈｎ ） Ｆｃｌ ｆ ｉ ｃ ， ｉ ｇｕＵｎ ｒｉ ， ｈ ｎｉ ｇ Ｊ ｇｕ２ ２ １ Ｃ ｉａ ｙ Ｓｅ ａ ｖ ｔ ａ ａ
Ａｂｓｒ ｔ ｈｅ ｓａ ｌｚ ｔｏ ｆａ ｎｏ ｌｎ ａ ｓ ｒｉ ｅ ｓ ａｌ ｗ ｔｒ ｗａ ｅ ｅ ｕａｉｎ，ｔ ｅ Ｃａ ｓ ａ—Ｈｏｍ ｔａｃ ：Ｔ ｔｂｉ ａｉｎ ｏ ｎ ｉ ｅ ｒｄｉｐｅｓｖ ｈ ｌ ｉ ｏ ｗａｅ ｖ ｑ ｔｏ ｈ ｍａ ｓ ｌ
ｃｎ ｉｏ ｓｕ ０，） （ ，）＝ｕ （ ｔ ｏ ｄｔ ｎ （ ｔ ＝ｕ １ ｔ ｉ ０， ）＝ｕ （ ，）＝ ｉ ｐｏ ｅ ｅａ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｏａｃｎｔ ｔ ｎ １ ｔ ０， ｓ ｒｖｄｔ ｄｃｙｅｐ ｎ ｎｉｌ ｔ ｏ ｓ ｎ ｏ ａｙ ａ ｉ
Ｈ Ｏｌ ｓｎｅ Ｍ ｄｎｔ ｅｔａ ｖｌ ｆ ａ ｒ ｈ ｃｉ ｆｈ ｆｅｂｃ ”ｔ ｍ一 Ｕ一 一 ． ｒｌｅｓ．［ ］ｅｏｅ ｔ ｔｌ ｏ ｍｅｏ ｔ ．Ｔｅａｔｎｏ ｅ“ｅｄ ａｋ ｅ （ “ ｎ Ｔ ｓｈ ｏ ｕ ｗ ｅ ｏ ｔ ｒ
ｅｕ ｔ ｎＵ 一ｕ ＋ ｕ ｕＵ ｑ ａｏ ￡ ３ ｕ ＝２ ＋Ｕ ，ｉ ｓ ｄｅ ．Ｂ ｄ ｉｇａｆｅｂ ｃ ｏｔ ｌ ｅ —ｋ Ｕ一“ 一 ｉ Ｕ ｓｔ ｉ ｕ ｄ ｙａ ｄｎ ｄ ａｋｃｎｒ ｒ ｅ ｏ ｔｍ （
［ ］ ＞ ）ｏ ｉｅｕｔｎ ｔｅ ｏｕｉ ｅ ｏｔｌ ｄｃ ｓｄｌ ｐｓｓ ｍｗｔ ｅ ｅｏ ｏｎａ ｕ ）（ ０ ｎｔ ｓ ｑ ａｏ ，ｈ ｌｔｎｔ ｔ ｎ ｏｅ ｌ ｅ—ｏ ｔ ｉ ｔ ｒ ｄｈｈｐ ｉ ｙ
ｐｅｉ ｄ ｃ ｂｏ ｎ ａ ｙ ｏ ｄｉ ｏ ｓ ｏｒ ｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｉｃ ｌｒ ｍｏ ｅ ｎ ． Ｋａｏ ｔ ｅ ｒ ｇ ａ ａ ｔ ｅ ｔ ｌｃ ｌ ｒｏ ｉ ｕ ｄ ｒ ｃ ｎ ｔ ｎ ｃ ｒｅ ｐ ｎ ｏ ｃｒ ｕ ａ ｖ ｍｅ ｔ ｉ ｔ Ｓ ｈ ｏ ｙ ｕ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈｅ ｏ ａ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｔ ｅ ｃ ｏ ｅ —ｏ ｐ ｓ ｓｅ ｉ ｐ ｃ ｘｓｅ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｔ ｈ ｌｓ ｄ ｌ ｏ ｙ ｔ ｍ ｎ ｓ ａ ｅ ｏ ． Ｂｙ ｔ ｅ Ｈ ｌｂ ｌｅ ｐｏ ｅ ｔａ ｔ ｂ ｌ ｙ， ｔｅ ｈ ｇ ｏ ａ ｘ ｎ ｎ ｉｌ ｓａ ｉ ｔ ｉ ｈ ．Ｔｈ ｅ ｕ ｔ ｙ ｃ ｎ ｒｂ ｔ ｏ ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｍａ ｏ ｔｉ ｕ ｅ ｔ
周期性边界条件下多孔介质方腔内自然对流换热数值研究
计 算 物 理
CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS
[ 文章编号 ] 10012246X(2007) 0320282205
周期性边界条件下多孔介质方腔内 自然对流换热数值研究
Vol . 24 ,No. 3 May , 2007
1 物理问题描述及数值方法
如图 1 所示 ,倾斜方腔内充满各向同性 、均质的饱和 多孔介质 ,其 4 个壁面均为不可渗透固体壁面 ,方腔上 、 下两壁面绝热 ,表面 2 维持恒温 T0 ,表面 1 的温度以 T0 为平均值按正弦规律波动 ,振幅为 T1 . 方腔内固体骨架与 不可压缩牛顿流体的温度相等 ,即采用局部热平衡假设 ; 流体和固体骨架的热物性为常量 ,同时引入 Boussinesq 假 设来考虑自然对流效应 ;采用 Brinkman 扩展达西模型描 述多孔介质方腔内的流动 ,该模型考虑了黏性对流体流
算 ,用得到的 Nu 数与文[ 7 ]中的相应值进行对比 (表 1) ,验证了其可靠性. 对于本文所研究的问题 ,经过网格
考核 ,网格数为 50 ( X) ×50 ( Y) 时获得了网格无关解 ,最终计算均采用 50 ( X) ×50 ( Y) 的网格.
表 1 Nu 数计算值与文[ 7] 中 Nu 数的比较
+
Pr
Δ
2V - PrV + Ra Prθcosα,
Da
(3)
能量方程
σ
9θ 9τ
+
V
·θ=
ΔΔ
2θ.
(4)
上述方程中涉及的无量纲量定义为
τ = tamΠH2 , X = xΠH , Y = yΠH , U = uHΠam , V = vHΠam , P = pH2Π(ρ0 a2m) , θ = ( T - T0 ) ΠT1 , σ = (ρc) mΠ(ρcp ) f , Pr = νΠam , Da = KΠH2 , Ra = gβT1 H3Π(νam) , 其中 σ 为比热比 , am 为多孔介质的有效热扩散系数 , 其定义式为 am = kmΠ(ρcp ) f , 有 效 导 热 系 数 km =
波交界面的边界条件
波交界面的边界条件波交界面是波传播过程中两种介质的分界面，对波的传播和反射起着重要的影响。
在波交界面上，波传播时会出现一系列特殊的边界条件，这些边界条件决定了波的性质和传播方式。
本文将从不同类型的波交界面的边界条件出发，探讨其对波的传播和反射的影响。
一、机械波交界面的边界条件机械波包括横波和纵波两种类型，它们在交界面上的边界条件不同。
横波是垂直于波传播方向振动的波，它在交界面上的边界条件包括位移连续性和应力连续性。
位移连续性要求波在交界面上的位移连续，即交界面上的位移函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生跳跃或断裂。
应力连续性要求波在交界面上的应力连续，即交界面上的应力函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生应力的突变。
2. 纵波交界面的边界条件纵波是与波传播方向平行振动的波，它在交界面上的边界条件包括速度连续性和质量连续性。
速度连续性要求波在交界面上的速度连续，即交界面上的速度函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生速度的突变。
质量连续性要求波在交界面上的质量连续，即交界面上的质量密度函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生质量的突变。
二、电磁波交界面的边界条件电磁波包括电场波和磁场波两种类型，它们在交界面上的边界条件不同。
1. 电场波交界面的边界条件电场波在交界面上的边界条件包括电场连续性和电通量连续性。
电场连续性要求波在交界面上的电场连续，即交界面上的电场函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生电场的突变。
电通量连续性要求波在交界面上的电通量连续，即交界面上的电通量函数及其导数在交界面上是连续的。
这意味着波在传播过程中不会发生电通量的突变。
2. 磁场波交界面的边界条件磁场波在交界面上的边界条件包括磁场连续性和磁感应强度连续性。
磁场连续性要求波在交界面上的磁场连续，即交界面上的磁场函数及其导数在交界面上是连续的。
微波技术基础课程学习知识要点
《微波技术基础》课程复习知识要点(2007版)第一章 “微波技术基础引论”知识要点廖承恩主编的《微波技术与基础》是国内较为经典的优秀教材之一，引论部分较为详细的介绍了微波的工作波段、特点及其应用，大部分应用背景取材于微波通讯占主导地位的上世纪80’s / 90’s 年代。
在科技迅猛发展的今天，建议同学们关注本网站相关联接给出的最新发展动态，真正做到学以致用，拓展自己的知识面，特别是看看微波在现代无线和移动通信、射频电路设计（含RFID ）、卫星定位、宇航技术、探测技术等方面的应用，不要局限于本书的描述。
(Microwaves have widespread use in classical communication technologies, from long-distance broadcasts to short-distance signals within a computer chip. Like all forms of light, microwaves, even those guided by the wires of an integrated circuit, consist of discrete photons ….. NATURE| Vol 449|20 September 2007)1本章的理论核心是在对导行波的分类的基础上推导了导行系统传播满足的微波的波段分类、特点与应用（TE 、TM 、TEM ）和基本求解方法，给出了导行系统、导行波、导波场满足的方程；（Halmholtz Eq 、横纵关系）、本征值---纵向场法、非本征值---标量位函数法（TEM ）。
{重点了解概念、回答实际问题，比如考虑一下如按如下的份类，RFID 涉及那些应用？全球定位系统GPS 呢？提高微波工作频率的好处及实现方法？}1．微波的定义 把波长从1米到1毫米范围内的电磁波称为微波。
微波波段对应的频率范围为: 3×108Hz ～3×1011Hz 。
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。
在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。
所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。
常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。
导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。
在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。
然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。
这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。
7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。
为讨论简单又不失一般性，可作如下假设： （1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。
（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。
（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。
（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。
a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。
设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。
(整理)周期性边界条件.
2.3.4周期性流动与换热如果我们计算的流动或者热场有周期性重复，或者几何边界条件周期性重复，就形成了周期性流动。
FLUENT 可以模拟两类周期性流动问题。
第一，无压降的周期性平板问题（循环边界）；第二，有压降的周期性边界导致的完全发展或周期性流向流动问题（周期性边界）。
流向周期性流动模拟的条件： 1， 流动是不可压的2， 几何形状必须是周期性平移3， 如果用coupled solver 求解，则只能给定压力阶跃；如果是Segregated solver ，可以给定质量流率或者压力阶跃。
4， 周期性流动中不能考虑进口和出口有质量差，也不考虑过程中的额外源项或者稀疏相源项。
5， 只能计算进口出口没有质量流率变化的组分问题。
但不能考虑化学反应。
6， 不能计算稀疏相或者多相流动问题。
如果在这过程中计算有换热问题，则还必须满足以下条件： 1， 必须用segregated solver 求解2， 热边界条件必须是给定热流率或者给定壁面温度。
对于一个具体的问题，热边界条件只能选择一个，而不能是多热边界条件问题。
对于给定温度热边界条件，所有壁面的温度必须相同（不能有变化）。
对于给定热流率边界条件，不同壁可以用不同值或曲线来模拟。
3， 对于有固体区域的问题，固体区域不能跨越周期性平板。
4， 热力学和输运特性（热容，热导系数，粘性系数，密度等）不能是温度的函数（所以不能模拟有化学反应流动问题）。
但输运特性（有效导热系数，有效粘性系数）可以随空间有周期性变化，因此可以对有周期性湍流输运特性不同的流动问题有模拟能力。
2.3.5 计算流向周期性流动问题的步骤：通常，可以先计算周期性流动到收敛，这时候不考虑温度场。
下一步，冻结速度场而计算温度场。
步骤如下：1， 建立周期性边界条件网格2， 输入热力学和分子输运特性参数3， 指定周期性压力梯度或者确定通过周期性边界的质量流量 4， 计算周期性流动场。
求解连续，动量（湍流量）方程。
求解周期结构中声波传播问题的一种边界元法
求解周期结构中声波传播问题的一种边界元法
蔡氏边界元法（CUBE）由蔡英德在1977年提出，它是一种求解周期结构中声波传播问题的有效方法。
与傅立叶分析法相比，它不仅可以解决多向式和可更改周期结构中的声学屏蔽问题，而且数值精度更高，更容易实现以及更容易计算。
蔡氏边界元法的基本原理是通过结合多次实验的实际情况来模拟声互作用。
首先，把周期结构分解为若干小网格，每个网格都有一个原子源，原子源负责将声波传播到周期边界，并产生入射声压。
然后，蔡氏边元法用Fourier方法计算出多次反射和绕射声压，对从与边界产生的声压进行累加，得到周期结构声学屏蔽效应的合成结果。
蔡氏边元法的一个显著优点是解决简单复杂结构的传播，包括普通室内结构和管内结构等。
此外，它也能用于乘船运行噪声的定量预测，以及汽车发动机噪声的减降。
然而，在蔡氏边元法中，为了更好地刻画周期结构中声波传播问题，依赖高复杂度计算算法，同时计算和处理时间也比较长。
因此，当求解问题复杂度很低，计算要求不严格的情况下，蔡氏边元法可能不是最佳选择。
总的来说，蔡氏边元法是一种高效、精确的求解周期结构中声波传播问题的有效方法。
它不仅能有效地模拟汽车发动机噪声的减降，而且能够解决多向式和可更改周期结构中的声学屏蔽问题。
与其他传统方
法相比，它具有更高的数值精度和更低的计算复杂度，为大规模工程噪声控制提供了有用的理论参考。
分子动力学模拟中的周期性边界条件效应
分子动力学模拟中的周期性边界条件效应分子动力学模拟是一种重要的计算物理学方法，它可以模拟分子系统中各个分子之间的相互作用、运动和变化，从而帮助我们更好地理解物理化学和生物化学现象。
在这个过程中，周期性边界条件效应是一个非常重要的概念，它影响着分子动力学模拟结果的准确性和可靠性。
1、周期性边界条件的定义在分子动力学模拟中，我们通常会将模拟系统划分成一个个的小区域，每个小区域内会包含若干个分子。
如果我们将这些小区域拼接在一起形成一个大的系统，那么在模拟中，每个小区域都将受到周围小区域所包含的分子的影响。
而为了避免模拟系统的边界对计算结果产生干扰，我们需要采用周期性边界条件。
周期性边界条件的基本思想是将模拟系统的边界延伸到无穷远处，形成一个周期性的结构。
具体地说，我们可以将一个小区域的边界“复制”多次，然后每个“复制品”和原来的小区域都通过一个相应的小位移连接起来。
这样，模拟系统就形成了一个环形或者立方体的结构，其中每个小区域都和周围的小区域相互连接起来。
2、周期性边界条件的影响周期性边界条件能够有效地避免模拟系统边界的效应，但同时也会带来一定的影响。
最明显的影响就是模拟系统的大小和形状对计算结果会产生影响。
由于周期性边界条件的存在，分子间的相互作用力也会发生变化，并且可能会因为周期性边界的不同设置而产生不同的效应。
此外，周期性边界条件还会影响一些在实验中常见的现象，比如说凝聚态物质的结构和动力学特性。
一些具体的例子包括颗粒聚集、液滴形成、气体相变等等。
这些现象在周期性边界条件的模拟中，将会受到相邻小区域分子的影响，因此产生的结构和特性可能和实验中的不同。
3、处理周期性边界条件的方法尽管周期性边界条件的影响会带来一定的不确定性，但是我们还是可以通过一些处理方法来最大程度地降低这种影响。
下面列举几种比较常见的处理方法：（1）平均法平均法是在周期性边界条件下进行模拟时常采用的一种处理方法。
它的基本思想是将系统中的分子作为一个整体进行处理，而不是将它们看作单独的实体。
微波技术基础 导波的场分析,麦克斯韦方程 边界 横纵..
式中 e (u, v)， h(u, v)是横向坐标矢量函数。简写为 e、 ， h
Z(z)是纵向坐标函数，简写为Z。
E(u, v, z) e (u, v)Z ( z) eZ H (u, v, z) h (u, v)Z ( z) hZ
(1.2a) (1.2b)
复习
1.微波的波长(或频率)范围。
2.什么是导波系统和导波，导波系统的基 本功能和功用有哪些？
3.常将导波系统分成哪三类？每类导波系统的结 构和导波的特点是什么？
1.2 导波的场分析 (附录II)
1.2 导波的场分析
一 附录Ⅱ 1.麦克斯韦方程组 2.波动方程 3.边界条件 二.导波场的纵向分布和横向分布 三. 导波场的横向分量与纵向分量
kc为方程(1.8)的本征值, e、 h 为对应于本征值的矢量本征
函数。不难想象，由于横向有边界限制，导波在横截面 上的分布是一种驻波状态。驻波的分布情况要由具体边 界条件确定[式(1.8)的解法见附录III]。
k是无界媒质中电磁波的传播常数
二 导波场的纵向分布和横向分布
d 2Z 2 Z 0 (1.5) 2 dz 方程 (1.5) 和 (1.7) 是形式完全相同的二阶常微分方程，其 通解为 (1. 10) Z A e z Ae z
E(u, v, z) ET (u, v, z) az Ez (u, v, z)
场分量均为(u, v, z)的函数
3.变量分离
(u, v, z) E (u, v)Z ( z) E z z
场分布，有横向分布，纵向分布
4.由场纵向分量求 H z Ez 1 ) 场横向分量的关系式 Ex (u, v, z ) 2 ( j kc y x
te波的边界条件 -回复
te波的边界条件-回复波的边界条件在物理学中具有重要的意义，它们描述了波在不同介质之间传播时的行为和特性。
在本文中，我们将详细讨论波的边界条件，包括零边界条件、连续边界条件和透射边界条件。
第一部分：零边界条件波的零边界条件是指当波碰到介质边界时，该边界上的波振幅为零。
这种边界条件通常适用于波在有限空间中传输或波在封闭容器内传播时的情况。
以一维波动方程为例，假设在一根绳子上传播的波动满足以下方程：∂²ψ/∂x²= 1/v²* ∂²ψ/∂t²其中，ψ表示波函数，x表示空间坐标，t表示时间，v表示波速。
当波传播至该绳子的边界时，我们希望波函数满足零边界条件。
对于这个例子，零边界条件可以表达为：ψ(0, t) = 0ψ(L, t) = 0其中，L表示绳子的长度。
这意味着在绳子的两端，波函数的值为零。
我们可以通过对波动方程进行求解，结合上述的边界条件，得到波函数的解析解。
这种解法是零边界条件的一种常见应用。
第二部分：连续边界条件连续边界条件描述了波在介质边界上必须满足的连续性要求。
当波在介质之间传播时，它们通常会发生折射、反射和透射等现象。
连续边界条件可以帮助我们理解这些现象。
以二维平面波为例，假设平面波在通过介质边界时发生折射。
根据连续边界条件，波在边界上的入射角度θ₁和折射角度θ₂满足斯涅耳定律：n₁* sin(θ₁) = n₂* sin(θ₂)其中，n₁和n₂分别表示边界两侧介质的折射率。
此外，连续边界条件还可以应用于波函数的连续性要求。
例如，当平面波传播到介质边界时，波函数的振幅和波数都必须连续。
这样的连续性条件可以用来推导反射和透射波的振幅和相位关系。
第三部分：透射边界条件透射边界条件描述了波在穿过介质边界进入新介质中的行为。
透射边界条件通常涉及到各个介质的特性，如折射率、反射系数和透射系数等。
以电磁波为例，当光波在从真空进入介质时，透射边界条件可以描述光波在发生反射和透射时的幅度和相位关系。
COMSOL周期性边界条件的应用
COMSOL周期性边界条件的应用在将真实的物理问题转化为仿真模型时，为了通过有限的计算资源获得尽可能高的计算精度，模型简化是必要的。
模型简化的前提是所模拟的物理问题具有结构、材料属性及边界条件的对称性或均匀性，以此为基础，可通过特定的方程及边界条件建立模型，例如降维方程，镜像/周期性/旋转对称边界条件，或根据工程经验将某些计算域简化为边界等等。
当处理空间或时间上具有周期性的物理问题时，采用周期性边界条件（Periodic/Cyclic Condition），可将复杂结构的模拟简化为周期单元，在不失精确度的前提下，大大降低计算量。
COMSOL提供的周期性边界条件包括四种类型：•连续性周期边界（Continuity），指在源和目标边界上的场值相等；•反对称周期边界（Antiperiodicity），源和目标边界上场值符号相反；•弗洛奎特周期性边界（Floquet periodicity），源和目标边界上场值相差一个位相因子，位相因子由波矢和边界相对距离确定。
Continuity和Antiperiodicity边界可以认为是Floquet periodicity边界在位相分别为0和π情况下的两个特例。
•循环对称性边界（Cyclic Symmetry），源和目标边界上场值相差一个位相因子，位相因子由计算域所对应的扇形角和角向模式数决定。
以下是几个典型应用：1.微纳光学领域内的光子晶体（Photonic Crystal）、表面等离子体激元（Surface Plasmon）阵列结构及超材料（Metamaterial），这几种结构均由空间上周期性重复的散射体构成，当计算透射率及能带结构时，常常可采用Floquet perioidcity边界将结构简化。
超材料能带分析Metamaterial.mph2.作为压电传感器件的声表面波器件（Surface Acoustic Wave, SAW）的本征频率问题计算。
压电声表面波器件的共振频率下的位移场（左）和电势（右）分布才Acoustics Module/Industrial Models/Saw_gas_sensor3. 飞机、轮船、风力发电机中的涡轮机，或是旋转电机结构往往具有旋转对称性，在进行电磁场或振动模态分析时，可采用Cyclic Symmerty 类型周期性边界简化。
周期性边界条件
如果我们计算的流动或者热场有周期性重复，或者几何边界条件周期性重复，就形成了周期性流动。
FLUENT 可以模拟两类周期性流动问题。
第一，无压降的周期性平板问题（循环边界）；第二，有压降的周期性边界导致的完全发展或周期性流向流动问题（周期性边界）。
流向周期性流动模拟的条件：1， 流动是不可压的2， 几何形状必须是周期性平移3， 如果用coupled solver 求解，则只能给定压力阶跃；如果是Segregated solver ，可以给定质量流率或者压力阶跃。
4， 周期性流动中不能考虑进口和出口有质量差，也不考虑过程中的额外源项或者稀疏相源项。
5， 只能计算进口出口没有质量流率变化的组分问题。
但不能考虑化学反应。
6， 不能计算稀疏相或者多相流动问题。
如果在这过程中计算有换热问题，则还必须满足以下条件：1， 必须用segregated solver 求解2， 热边界条件必须是给定热流率或者给定壁面温度。
对于一个具体的问题，热边界条件只能选择一个，而不能是多热边界条件问题。
对于给定温度热边界条件，所有壁面的温度必须相同（不能有变化）。
对于给定热流率边界条件，不同壁可以用不同值或曲线来模拟。
3， 对于有固体区域的问题，固体区域不能跨越周期性平板。
4， 热力学和输运特性（热容，热导系数，粘性系数，密度等）不能是温度的函数（所以不能模拟有化学反应流动问题）。
但输运特性（有效导热系数，有效粘性系数）可以随空间有周期性变化，因此可以对有周期性湍流输运特性不同的流动问题有模拟能力。
2.3.5 计算流向周期性流动问题的步骤：通常，可以先计算周期性流动到收敛，这时候不考虑温度场。
下一步，冻结速度场而计算温度场。
步骤如下：1， 建立周期性边界条件网格2， 输入热力学和分子输运特性参数3， 指定周期性压力梯度或者确定通过周期性边界的质量流量4， 计算周期性流动场。
求解连续，动量（湍流量）方程。
5， 指定热边界条件（等温或者给定热流密度）6， 给定进口体平均温度7， 求解能量方程（其它方程不求解，只求解能量方程），得到周期性温度场。
周期性边界条件
周期性边界条件周期性边界条件是在模拟物理系统中一种常见的边界条件，它在处理周期性变化或相互作用时起着关键作用。
在这种条件下，系统的某个方向上的边界条件被假定成是周期性的，即系统在该方向上无限重复。
这种假设能够简化问题的处理，同时也能更好地反映真实世界中某些系统的性质。
周期性边界条件的基本概念在研究物理系统中，周期性边界条件通常用于模拟无限大系统或大尺度系统中的特定行为。
例如，在固体材料中，原子排列通常是规则且有序的，如果我们想要研究原子间的相互作用和运动规律，那么考虑周期性边界条件是非常重要的。
周期性边界条件可以应用在各种类型的模拟中，包括分子动力学模拟、热传导模拟、电子结构计算等。
通过引入周期性边界条件，我们可以将系统模拟成一个无限连续的结构，从而避免了边界效应对结果的影响。
周期性边界条件的数学表达假设我们有一个一维系统，系统的边界被假定为周期性边界条件。
系统的尺寸为L，其中位置坐标x在[0, L]范围内变化。
引入周期性边界条件后，我们可以得到如下数学表达：$$ f(0) = f(L) \\\\ \\frac{df}{dx}\\bigg|_{x=0} = \\frac{df}{dx}\\bigg|_{x=L} $$这里f(x)表示系统中的某个物理量，$\\frac{df}{dx}$表示该物理量的梯度。
通过这两个条件，我们可以将系统的两个边界连接在一起，形成一个闭合的结构。
周期性边界条件的物理意义周期性边界条件在物理系统中有着重要的物理意义。
例如，考虑一个晶体中的原子排列，由于晶体的周期性结构，原子的排列方式在长程上表现出周期性。
在实际计算中，通过引入周期性边界条件，我们可以更好地模拟晶格的性质，如声子谱、能带结构等。
周期性边界条件还可以用于模拟流体系统中的运动行为。
在流体动力学模拟中，通过引入周期性边界条件，我们可以模拟出周期性涡流、定常湍流等现象，从而更好地理解流体系统的运动规律。
周期性边界条件的应用周期性边界条件在各个领域都有广泛的应用。
高二物理竞赛课件：周期性边界条件
2
x2n2 x2n1
1
x2n1 x2n
M
d 2 x2n dt 2
1
x2n1 x2n
2
x2n x2n1
其解为
x2n
Aei
q
(
2n 2
)
a t
Aeiqnat
x2n
1
B'ei
q
(
2n 2
)
a
qbt
Be iqnat
上式代表角频率为ω 的简谐振动。其它各点的位
移按下列原则得出：
它与原坐标的关系：
Qq (t)
m N
n
n (t)eiqna
哈密顿量可以消去交叉项：
H 1
2
q
(
பைடு நூலகம்
Pq
2
q2
2
)
该坐标体系下的总能量：
E(q )
(nq
1) 2
q
以上结果说明：N个原子的集体振动可转化为N 个
独立的谐振子，谐振子的振动频率就是晶格的振动频 率。
可以用独立简谐贞子的振动来表述格波的独立模式， 这就是声子的概念由来。
电
导电过程中电子遭受格波的散射，可以看作电子与声 子之间的碰撞。
光
光在晶体中的散射，很大程度上也可以看作是由于光 子与声子的相互作用乃至强烈的耦合。
考虑由质量分别为M和m的两种不同原子所构成
的一维复式格子，如图所示。
设相邻两个不 同原子构成一个 分子，分子内两
AB
b
a
原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为β1 ；两分 子间两原子对应的恢复力常数为β2 。质量为 m 的 原子位于...2n-1，2n+1，2n+3...各点，质量为 M 的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各点。
模拟电磁波和周期性结构
模拟电磁波和周期性结构我们经常想要模拟入射到周期性结构中的电磁波（光、微波），例如衍射光栅、超材料，或频率选择表面。
这可以使用COMSOL 产品库中的RF 或波动光学模块来完成。
两个模块都提供了Floquet 周期性边界条件和周期性端口，并将反射和透射衍射级作为入射角和波长的函数进行计算。
本博客将介绍这类分析背后的概念，并将介绍这类问题的设定方法。
场景首先，让我们来考虑代表周期性重复晶胞的自由空间平行六面体，平面波沿一个角度入射到其上，如下图所示。
入射波矢在全局坐标系中有三个分量，其大小分别是：, ，和。
该问题可通过在域侧面使用周期性边界条件，并在顶部和底部使用端口边界条件来模拟。
该问题设定最复杂的地方是定义入射波和出射波的方向和偏振。
定义波方向虽然COMSOL 软件非常灵活，支持对基矢坐标系的任意定义，但在本博客中，我们将选定一个坐标系并始终使用它。
入射光的方向由两个角度定义，和；以及两个矢量，为模拟空间中向外指向的法向，为入射面的一个矢量。
我们这里所选择的约定将与全局x轴对齐，将与全局z轴对齐。
因此，入射波的波矢与全局z轴之间的夹角为，即入射仰角，其中，，意味着垂直入射。
入射波矢和全局x轴之间的夹角为入射方位角，位于范围之内。
由该定义，和的正值表示波沿着x 轴和y 轴正向传播。
如要使用入射方向的上述定义，我们需要指定矢量。
这可以通过选定一个周期性端口参考点来完成，它必须是入射端口的角点之一。
软件使用从该点出发的面内边来定义两个矢量，和，且。
在下图中，我们可以看到满足这一条件的四组和。
因此，俯瞰z轴及平面时，入射面端口上的周期性端口参考点应为x-y平面左下角的点。
通过选择此点，矢量变得与全局x轴对齐。
既然选择了周期性端口参考点而在入射面定义了和，那么模拟域中出射面的端口也必须定义。
法向矢量指向相反的方向，因此必须调整所选择的周期性端口参考点。
四个角点都无法提供与入射面矢量对齐的和，因此我们必须选择这四个点之一，并调整和的定义。
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用周期性边界条件模拟导波介质的传播模式及其模式常数的后续分析计算 例子：平板波导
基本参数：光波长1064nm ，导波介质为钕玻璃（n=1.54），介质厚度1000nm 。
波导中传播模式的理论值：通过理论计算（见附录），可知该频率的TE 光在这个波导中存在两个模式。
基模（m=0）的角度θ为74.533°，即β=k*n*sin74.533°,传播方向x 上的空间波长为x sin λ
λθ
=
=1064nm/1.54/sin74.533°=716.871nm 。
1模（m=1）的角度θ为42.192°，传播方向x 上的空间波长为x sin λ
λθ
=
=1064nm/1.54/sin42.192°=1028.72nm 。
在例子中我们就将通过数值模拟，处理得到空间波长从而得到各个模式的角度。
STEP1：建立EastFDTD 文档。
设置合适的参数：
选择合适的单位：本例子的波导厚1微米，脉冲中心波长1.064微米，故长度单位取0.01微米比较合适。
选择边界类型：为了节省计算空间，边界条件x 方向为周期性的边界条件。
Y 方向为PML 吸收边界条件。
由于是2D 模型，Z 方向为周期性边界条件。
由于本例子的计算空间是相当大的2000*200，为保证y 方向上吸收干净，PML 吸收边界设置多一些，本例子用32层。
设置计算区域：为了避免脉冲在传播过一个周期长度后头尾相干叠加影响计算结果，x方向一个周期的长度不能小于光源脉冲的长度。
而且为了空间分辨率提高，要尽可能的增加一个周期的长度，但x方向越长计算时间也越长，所以要适当取舍。
本例子中的2D结构计算时间短，x方向不妨设得长一些，这里设为正负1000。
由于波导厚度为1微米，故y方向设置正负100。
为了达到平衡后，只留下导模的光，计算时间设得较长，为15000步。
STEP2：建立材料。
这个例子只有两种材料：空气和钕玻璃。
空气不用新建，所以只新建一个材料。
介电常数设为折射率的平方。
STEP3：新建结构。
这个例子中的结构只是一片平板波导，非常简单，设置一个贯穿计算空间的宽为100的长方形介质就可以了。
故x方向设为3000格长，比计算空间2000要长。
注意，由于要用周期边界模拟一个无限长结构，所以x方向长度一定要大于计算空间。
STEP4：新建光源。
理论上我们只研究1064nm 波长的光波，应该采用恒定光源，但恒定光源在周期性边界条件中会发生首尾相干叠加，使我们无法得到空间波长，所以本例子选择Gauss 脉冲，由于脉冲宽度要小于周期长度，我们估算：2000t c N t x n
⨯⨯∆≤⨯∆，所以20006155t x
N c t n
⨯∆≤
≈∆⨯
，这里设定的width 为半宽，所以应该设定的值要更小几倍以减少误差，本例子取为2000较为合适。
由于本例子需要各种传播角度的光，所以在中心设置一个尺度很小的x 正方向发射的扩展光源，光源y 方向的宽度为5格，即1/wa=0.2。
中心频率即为2.819e14。
为了将反向发射波较少到最小，etha 要和介质匹配，设为折射率1.54。
STEP5：新建记录。
由于是要分析空间场分布，所以我们记录中心频率即为2.819e14在xy 平面上的场分布。
采用SliceCpl 模式记录。
起始时间设为5000步，omega 设为2.819e14，保存名称为slice 。
其他默认。
计算之前的界面是如下图的样子，如果检查无误，请保存并运行。
STEP6：FDTD运算
运行模拟计算
STEP7：数据分析
SliceCpl模式记录会生成不同偏振的不同方向的电场分布。
我们这里只需要挑Ez的一个偏振分量就可以了，它的记录文件是: slice.EzR.e2d 用matlab对它的介质中的每一行做傅里叶变换，然后平均。
得到x方向上的空间波谱：
找到两个峰值，一个为71.43，另一个为105.3。
即得到两个模式的空间波长为714.3nm和1053nm。
前面得到的理论值为716.87nm和1028.73nm。
误差分别为0.358%和2.36%。
STEP7：进一步的例子
本软件可以构造任意形状和任意介质的导波材料。
之所以用这个平板波导的简单例子，是因为只有这么简单的例子才有理论值可以验证。
下面附上一个同样一块平板波导，但其一边有周期性缺陷的结构的例子的结果：
计算模型，缺口内为空气，深25，宽100，周期200，如图：
如上运算后得到波谱图：
的x方向空间波长1053nm匹配，而基模725nm因此被滤掉了。
这说明周期性的缺陷结构可以
起到滤除特定模式的波导的作用。
在峰的周围出现了很多小的峰值，而且主峰的展宽明显变大。
说明存在缺陷后，不但波导原有的传播模式变化，并产生了其他杂乱的模式。
附录：平板波导模式的理论推导
引用曹庄琪老师的《导波光学》（北京：科学出版社，2007）中17页的公式2.18，即由平板波导模式本征方程改写的超越方程：
022
02
()
tan(h)p p p p κκκ+=
- 2cos n π
κθλ
=
本例子中波导上下介质相同，所以02p p == n 为介质折射率，02k π
λ
=。
代入各个已知常数，用Matlab 或其他数学软件求得θ的数值解。