a第5讲第2章2.1-2

{ X ( t ), t ∈ (0,+∞ )}是一族随机变量 , 是随机过程 .
样本函数的集合 : {cosπt , t }
状态空间 : [−1,+∞ )
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例2 考虑 X ( t ) = a cos(ωt + Θ ),
分布的随机变量 .
t ∈ ( −∞ ,+∞ ),
其中 a 和 ω 是正常数 , Θ 是在 (0, 2 π ) 上服从均匀 对固定的时刻 t = t1 , X ( t1 ) = a cos(ωt1 + Θ ) 是一 个随机变量 .
随机过程 总 体
样本函数 个 体
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三、随机过程举例
例1 抛掷一枚硬币的试验, 样本空间 S={H,T}, 现定义
⎧cos πt ,当出现 H , X (t ) = ⎨ 当出现 T , ⎩ t, 其中P ( H ) = P (T ) = 1 2 . t ∈ (0,+∞ ),
对任意固定的 t , X ( t )是定义在 S上的随机变量 . 对不同的 t , X ( t )是不同的随机变量 .
X ( t ) = a cos(ωt + Θ ), t ∈ ( −∞ ,+∞ ),
是一个随机过程, 叫做随机相位正弦波.
状态空间 : [− a , a ]. 样本函数 : xi ( t ) = a cos(ωt + θ i ),
θ i ∈ (0,2π ).
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3
x(t)
2
data1 data2
2 DX (t ) = σ X ( t ) = E {[ X ( t ) − m X ( t )]2 }
均值函数 方差函数
σ X ( t ) = E {[ X ( t ) − m X ( t )]2 } 标准差函数
R X ( s , t ) = E [ X ( s ) X ( t )]
相关函数
B X ( s , t ) = E {[ X ( s ) − m X ( s )][ X ( t ) − m X ( t )]} = R X ( s , t ) − m X ( s )m X ( t )
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对任意 s , t ∈ T , 随机变量 X ( s ) , X ( t ) 的二 阶原点混合矩记为 RX ( s , t ) = E[ X ( s ) X ( t )],
称为随机过程的自相关函数, 简称相关函数.
随机变量 X ( t ), X ( s )的二阶混合中心矩记为 B X ( t , s ) = Cov[ X ( t ), X ( s )]
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图2.1 随机过程的数学期望mX(t) 显然由图2.1可看出，随机过程 X(t) 就在 E[ X (t )] 附近起伏变 化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们 计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个E[ X (t )] 就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。
= P { X ,L, X ( t n ) ≤ xn }, xi ∈ R , i = 1, 2,L, n . 对固定的 n , 称
F = { FX ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t 2 ,L, t n ) , t i ∈ T }
gt1 ,Lt n ( u1 ,L, un ) = E[exp(i ∑ ui X ( t i ))] = ∫ L∫ exp(i ∑ ui xi )d Ft1 ,L,t n ( x1 ,L, xn )
−∞ −∞ i =1 +∞ +∞ n i =1 n
定理（ Kolmogrov 存在定理）
设给定参数集 T及满足
= E {[ X ( t ) − m X ( t )][ X ( s ) − m X ( s )]},
将它称为随机过程的自协方差函数,简称协方差函数. 自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程自身在两个 不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征.
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随机过程的数字特征
m X ( t ) = E [ X ( t )]
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第二章 随机过程的概念与基本类型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 随机过程的基本概念 随机过程的分布律与数字特征 复随机过程 几种重要的随机过程
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§2.1
随机过程的基本概念
一、问题的提出 二、随机过程的概念 三、随机过程举例 四、随机过程的类型
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2、按概率结构分类 (依随机过程的概率特征 分类 )
（）独立增量随机过程 1
（2 ）马尔可夫过程
（3 ）平稳随机过程
LL
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§2.2
随机过程的分布及其数字特征
一. 随机过程的有穷维分布 给定随机过程 { X ( t ), t ∈ T }.
对固定的 t ∈ T , 随机变量 X ( t ) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX ( x , t ) = P{ X ( t ) ≤ x }, x ∈ R .
一、问题的提出
热噪声电压 电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的 随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压.
热噪声电压在任一 确定时刻 t的值是一随机变 量, 记为 V ( t ).
时间 t : [0, + ∞ ) , {V ( t ), t ≥ 0}.
对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条件 下进行测量.得到的电压——时间曲线.
对任意 m < n, 有
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(2)相容性:
Ft1 ,t 2 ,L,t m ( x1 , x2 ,L, xm ) = Ft1 ,t 2 ,L,t n ( x1 , x2 ,L, xm ,+∞ ,L,+∞ )
随机过程的有限维特征函数族
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Φ = { gt1 ,Lt n ( u1 ,L, un ), u1 ,L, un ∈ R , t1 ,L, t n ∈ T ; n ∈ N }
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对固定的 t ∈ T , 随机变量 X ( t ) 的均值一般与 t 有关 , 记为
m X ( t ) = E[ X ( t )],
称为随机过程 { X ( t ), t ∈ T }的 均值函数 .
m X ( t )是随机过程的所有样本 函数在时刻 t的 函数值的平均值 , 称为 或 集平均 统计平均 . 均值函数 m X ( t )表示了随机过程 X ( t )在各个时 刻的摆动中心 .
x1 ( t ),θ 1 = 0
1
o
0
t
-1
-2
3π x 2 ( t ),θ 2 = 2
1 2 3 4 5
-3 0
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例3 测量运动目标的距离. 测量存在随机误差.
以 ε ( t ) 表示在时刻 t 的测量误差 , 它是一个随机 变量 . 当目标随时间 t 按一定规律运动时 , 测量误差
状态空间都是 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .
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四、随机过程的类型
1、按参数集和状态空间 分类
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I T 参数集T 离散 参数集T 连续
状态空间I 离散
状态空间I 连续
T离散I离散 T离散I连续 随机（时 的随机过程 的随机过程 间）序列 T连续I离散 T连续I连续 的随机过程 的随机过程 链
为随机过程 { X ( t ) , t ∈ T }的 维分布函数族 . n
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设{ X ( t ) , t ∈ T }为一随机过程
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F = { Ft1 ,t 2 ,L,t n ( x1 , x2 ,L, xn ), x1 , x2 ,L, xn ∈ R1 ,
t1 , t 2 , L , t n ∈ T , n ∈ N }
ε ( t ) 也随时间 t 而变化 .
ε ( t ) 是依赖于时间 t 的一族随机变量 .
{ ε ( t ) , t ≥ 0 } 是一个随机过程 . 状态空间 : ( −∞ ,+∞ ).
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例4 某城市的120急救电话台接收呼叫. X ( t ) : 时间间隔 (0, t ]内接收到的呼叫次数 . { X ( t ) , t ≥ 0 } 是一个随机过程 . 状态空间是 { 0, 1, 2, 3,L} . 例5 抛掷一颗骰子的试验. (1) X n : 第 n 次 ( n ≥ 1 ) 抛掷的点数 . { X n , n ≥ 1 } 是一个随机过程 . 伯努利过程或伯努利随机序列 ( 2) X n : 前 n 次 ( n ≥ 1 ) 抛掷中出现的最大点数 . { X n , n ≥ 1}也是一个随机过程 .
随机过程的一维分布函数
{ FX ( x , t ), t ∈ T }
一维分布函数族
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对任意 n ( n = 2, 3,L) 个不同的时刻 t1 ,L, t n ∈ T , 引入 n 维随机变量 ( X ( t1 ), X ( t 2 ),L, X ( t n ) ) . 分布函数 FX ( x1 , x 2 ,L, x n ; t1 , t 2 ,L, t n ) ∆Ft1 ,t 2 ,L,t n ( x1 , x2 ,L, xn )
对称性和相容性条件的 分布函数族 F, 则必存在一个概率 空间(, Ω , F , P )及定义在其上的随机过 程X = { X ( t ), t ∈ T }, 使得F正好是它的有限维分布 函数族。
有限维分布函数族完全确定了随机过程的统计特性.