Dijskstra算法
dijkstra算法步骤例题表格
Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。
它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。
以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。
一、算法步骤1. 初始化- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。
- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。
2. 更新- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。
- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。
二、算法实例为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。
假设有以下带权重的图，起始顶点为A：顶点 A B C D EA 0 3 4 ∞ ∞B ∞ 0 ∞ 1 7C ∞ 4 0 2 ∞D ∞ ∞ ∞ 0 5E ∞ ∞ ∞ ∞ 0表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。
我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
1. 初始化起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。
将A加入已访问的顶点集合。
2. 更新选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。
更新A到C和A到D的最短路径长度。
3. 重复更新依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。
通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：顶点 A B C D E最短路径长度 0 3 4 5 9三、总结通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种最短路径算法，用于在图中找到从初始节点到目标节点的最短路径。
此算法广泛应用于路由及其他网络协议中。
迪杰斯科拉算法是基于贪心思想的一种算法，通过不断地扩展已找到的最短路径来逐步确定从初始节点到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思路是，首先将初始节点到自身的距离设为0，其他节点到初始节点的距离设置为无穷大。
然后，对于当前节点的所有邻居节点，计算通过当前节点到达邻居节点的距离，如果该距离比已知的最短路径更短，则更新该邻居节点的最短路径。
重复此过程，直到找到目标节点或者所有节点都被遍历过。
迪杰斯科拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中节点的数量。
这意味着当节点数量很大时，算法的运行时间将变得非常长。
为了提高算法的效率，可以使用堆优化的迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm with heap optimization），其时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示图中边的数量。
在这种算法中，使用优先队列来存储待处理的节点，每次选择距离最小的节点进行扩展，从而减少重复计算和
不必要的遍历。
迪杰斯科拉算法是一种强大且常用的算法，可以用于许多应用程序中，例如路由、网络设计和电力网络优化等。
该算法的实用性和广泛应用
使其成为计算机科学的重要组成部分。
Dijkstra算法描述
Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。
本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。
二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为：设(,)= 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E代G V E表图中含权重的边集合。
将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示〔初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点参加到集合S中〕；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。
按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部参加到集合S中。
2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。
图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离，是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。
记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。
Dijkstra算法归纳如下：S=，U是其余未确〔1〕初始化，令S是已求出最短路径的顶点集合，{}U=，可写出：定最短路径的顶点集合，{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中，(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度，而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示；〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。
dijkstra算法流程
dijkstra算法流程
Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
它最早由荷兰计算机科学家Edsger W.Dijkstra于1959年提出，是图论中非
常基础的算法。
它被广泛应用于交通运输、计算机网络等领域，它可
以算出从起点到其他所有节点的最短路径。
下面我们来看一下Dijkstra算法的具体流程：
1.首先，我们要明确起点，并把起点标记为到起点最短路径为0，其他顶点至起点的最短路径为正无穷。
2.然后从起点开始，依次访问与它相邻的顶点，计算这些顶点与
起点的距离，并把它们的距离作为这些顶点的到起点的距离参数。
3.接下来，从这些顶点中找到距离起点最短的顶点，并且把这个
顶点标记为已确定最短路径。
4.然后，更新与这个点相邻的所有未确定最短路径的顶点的最短
路径。
如果新路径比其原路径更短，则更新路径；若没有更短，则保
留原路径。
5.重复第三步和第四步，直到找到起点到终点的最短路径。
6.最后，我们就能得到最短路径和各个顶点的距离。
通过以上的算法流程，我们可以计算出起点到其他所有顶点的最
短路径。
需要注意的是，Dijkstra算法只适用于边权为非负的有向图
或无向图。
在实际应用中，Dijkstra算法更多的是基于图的模型进行
路由选择和网络通信优化。
总结起来，Dijkstra算法是一种基于节点遍历、操作路径的贪心算法，它是求解最短路径问题中的一种重要算法。
虽然Dijkstra算法
只适用于边权为非负的有向图或无向图，但是它的计算效率相对较高，并且非常容易理解和实现。
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法介绍迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展(⼴度优先搜索思想)，直到扩展到终点为⽌。
基本思想通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。
S的作⽤是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，⽽U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。
然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加⼊到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。
之所以更新U中顶点的距离，是由于上⼀步中确定了k是求出最短路径的顶点，从⽽可以利⽤k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能⼤于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上⾯的理论可能⽐较难以理解，下⾯通过实例来对该算法进⾏说明。
迪杰斯特拉算法图解以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进⾏算法演⽰(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！第1步：将顶点D加⼊到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
dijkstra算法步骤
dijkstra算法步骤
Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出的。
该算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到所有节点，直到找到终点为止。
下面将介绍Dijkstra算法的具体步骤。
1. 初始化
需要将起点的距离设置为0，将其他节点的距离设置为无穷大。
同时，将起点加入到一个待处理的节点集合中。
2. 选择最短路径节点
从待处理的节点集合中选择距离起点最近的节点，将其标记为已处理，并将其相邻的节点加入到待处理的节点集合中。
3. 更新距离
对于每个相邻的节点，计算从起点到该节点的距离。
如果该距离小于当前已知的距离，则更新该节点的距离。
4. 重复步骤2和3
重复执行步骤2和3，直到终点被标记为已处理或者待处理的节点集合为空。
5. 输出最短路径
如果终点被标记为已处理，则可以通过回溯从终点到起点，输出最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用优先队列来实现，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
因此，在实际应用中，通常使用优先队列来实现Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种非常实用的算法，可以用于解决最短路径问题。
通过对算法的步骤进行深入理解，可以更好地应用该算法解决实际问题。
dijkstra算法过程
dijkstra算法过程
Dijkstra算法是一种用于计算从一个特定节点到其他所有节点的
最短路径的算法，这也是属于贪心算法范畴。
此算法基于一个启发式
方法，根据每个节点距离源节点的距离不断更新最优解。
步骤：
1. 从源节点开始，将当前节点标记为已访问，并将其加入路径树中。
2. 计算从源节点出发可以到达的所有邻接点的距离，如果某个邻
接点的距离小于当前已知的距离，更新最短路径树，并标记邻接点为
被访问状态。
3. 重复第2步，直到所有邻接点都被访问，或者所有邻接点都在
最短路径树上，则停止。
4. 根据最短路径树，从源节点出发，可以依次到达目的节点，即
可得到最短路径。
Dijkstra算法的性能主要取决于图的存储结构，采用邻接矩阵存
储的话，时间复杂度是O(n^2)，采用邻接表存储的话，时间复杂度是
O(nlogn)。
空间复杂度与存储结构无关，都是O(n)。
该算法可以用于
求解有向图或无向图的最短路径问题，也可以用于多源最短路径问题。
Dijkstra算法图文详解
Dijkstra算法图⽂详解Dijkstra算法Dijkstra算法算是贪⼼思想实现的，⾸先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛⼀次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。
问题引⼊：指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。
下⾯我们来模拟⼀下：这就是Dijkstra算法的基本思路：接下来是代码：已经把⼏个过程都封装成了基本模块：#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];int n,m;//n个点，m条边void Init (){memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}}void Getmap(){int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}}void Dijkstra(int u){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]) {dis[i]=map[temp][i]+dis[temp]; }}}}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;}。
迪克拉斯算法
迪克拉斯算法1. 算法思想Dijkstra算法的基本思想是通过已知距离最短的顶点来逐步确定到其他顶点的最短路径。
具体来说，算法维护一个集合S，初始时S中只包含源顶点，并且对所有顶点v，记录从源顶点到v的最短路径长度。
然后每次从S中选取一个距离最短的顶点u，并将该顶点加入S中，更新所有与u相邻的顶点v的最短路径长度。
2. 算法步骤Dijkstra算法的具体步骤如下：1）初始化：设置源顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2）逐步确定最短路径：重复以下步骤，直到所有顶点都被添加到集合S中。
a) 从未加入S集合的顶点中选取距离最短的顶点u。
b) 将u加入S集合。
c) 更新以u为起点的所有顶点v的最短路径长度，如果路径长度更短，则更新v的距离。
3）输出最短路径：当所有顶点都被添加到集合S中后，输出从源顶点到每个顶点的最短路径。
3. 示例为了更好地理解Dijkstra算法的运行过程，我们通过一个示例来演示算法的执行步骤。
假设有以下有向带权图G，其中顶点集合为{A, B, C, D, E, F, G}，边集合为{(A, B, 10), (A, C, 15), (B, D, 12), (C, F, 5), (D, E, 10), (E, F, 5), (F, G, 15)}，源顶点为A。
首先，初始化源顶点A的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
然后依次选取距离最短的顶点，逐步确定最短路径。
第一步：选取源顶点A，添加到集合S中，更新与A相邻的顶点B和C的距离。
此时距离最短的顶点是B。
第二步：选取顶点B，添加到集合S中，更新与B相邻的顶点D的距离。
此时距离最短的顶点是C。
第三步：选取顶点C，添加到集合S中，更新与C相邻的顶点F的距离。
此时距离最短的顶点是D。
第四步：选取顶点D，添加到集合S中，更新与D相邻的顶点E的距离。
此时距离最短的顶点是F。
第五步：选取顶点F，添加到集合S中，更新与F相邻的顶点G的距离。
此时距离最短的顶点是E。
DIJKSTRA算法详细讲解
DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。
DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。
下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。
首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。
3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。
如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。
重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。
4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。
5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。
根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。
下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
将集合S设为空。
开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。
2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。
4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。
6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。
dijkstra算法基本原理
dijkstra算法基本原理Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的算法。
它可以用来解决诸如网络优化、路由控制、城市规划等问题。
本文将分步骤阐述Dijkstra算法的基本原理。
第一步：确定算法的输入和输出Dijkstra算法的输入是一个带权有向图G和起点s，其中带权边表示从一个节点到另一个节点的成本或开销。
算法的输出是从起点s 到所有其他节点的最短路径和对应的距离。
第二步：初始化距离和前驱节点在Dijkstra算法中，我们需要维护每个节点的最短路径。
为此，我们需要初始化每个节点的距离。
具体来说，我们可以将起点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
同时，我们还需要维护每个节点的“前驱节点”，即到达该节点的最短路径上的前一个节点。
对于起点s，我们可以将其前驱节点设置为Null。
对于其他节点，我们可以将其前驱节点初始化为一个不存在的节点。
第三步：迭代更新距离和前驱节点Dijkstra算法的核心是迭代更新每个节点的最短路径。
具体来说，我们可以按照以下步骤迭代更新每个节点的距离和前驱节点：（1）选取一个距离最小的未标记节点v，标记该节点。
（2）遍历v的所有邻居节点，如果该邻居节点未被标记，则计算经过节点v到达该邻居节点的距离。
如果该距离小于当前记录的该邻居节点的距离，就更新该邻居节点的距离和前驱节点。
（3）重复步骤（1）和（2），直到所有节点都被标记过。
第四步：输出最短路径迭代更新距离和前驱节点后，我们就可以得到从起点s到所有其他节点的最短路径和对应的距离。
我们可以通过从每个节点的前驱节点顺着链表逆向输出路径。
如果某个节点没有前驱节点，就说明它不可达。
综上所述，Dijkstra算法的基本原理是通过迭代更新每个节点的最短路径和前驱节点来求解最短路径问题。
它是一种经典的图算法，具有广泛的应用价值。
熟练掌握Dijkstra算法的基本原理对于深入学习图算法和应用具有重要意义。
dijskstra 算法题
一、概述Dijkstra 算法是一种用来解决单源最短路径问题的算法，由荷兰计算机科学家 Edsger W. Dijkstra 在 1956 年提出。
该算法被广泛应用于计算机网络路由算法、地图应用中的路径规划等领域。
本文将对Dijkstra 算法的原理、实现以及相关应用进行详细介绍。
二、Dijkstra 算法原理1. 单源最短路径问题在一个带有权值的有向图中，给定一个起始节点，单源最短路径问题的目标是找到该起始节点到所有其他节点的最短路径。
2. Dijkstra 算法基本思想Dijkstra 算法通过维护一个优先队列来不断更新节点的最短路径估计值，直到找到最短路径。
具体而言，算法的基本思想可以概括为以下步骤：- 初始化：将起始节点的最短路径估计值设为 0，将其他节点的最短路径估计值设为无穷大。
- 循环：从未确定最短路径的节点中选取最小的最短路径估计值，标记该节点为确定最短路径，然后更新所有与该节点相连的节点的最短路径估计值。
- 结束条件：直到所有节点的最短路径估计值都确定，算法结束。
三、Dijkstra 算法实现1. 数据结构在实现 Dijkstra 算法时，需要利用优先队列来维护节点的最短路径估计值，并使用邻接表或邻接矩阵来表示图的结构。
2. 伪代码Dijkstra 算法的伪代码如下所示：```function Dijkstra(Graph, source):dist[source] = 0create priority queue Qfor each vertex v in Graph:if v != source:dist[v] = INFINITYadd v to Qwhile Q is not empty:u = vertex in Q with min dist[u]remove u from Qfor each neighbor v of u:alt = dist[u] + length(u, v)if alt < dist[v]:dist[v] = altreturn dist```3. 复杂度分析Dijkstra 算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中 V 为节点数，E 为边数。
迪杰斯特拉算法原理
迪杰斯特拉算法原理一、概述迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于解决带权重图的最短路径问题的贪心算法。
该算法由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉在1956年提出，因此得名。
二、问题描述在一个带权重的图中，给定一个起点和一个终点，求起点到终点的最短路径。
三、算法流程1. 初始化对于每个顶点v，设置一个距离数组dist[v]表示从起点到v的距离。
初始时，将距离数组dist[v]设置为无穷大（除了起点），表示从起点到该顶点还没有找到最短路径。
2. 选择当前距离最小的顶点从未标记的顶点中选取一个距离起点最近的顶点u，并将其标记为已访问。
3. 更新与该顶点相邻的顶点的距离值对于所有与u相邻且未被标记过（即未访问）的顶点v，计算出从起始顶点经过u到达v的距离d[u]+w(u,v)，如果该值小于目前已知的dist[v]值，则更新dist[v]为新值d[u]+w(u,v)。
4. 重复执行步骤2和3重复执行步骤2和3，直到所有顶点都被标记为已访问或者没有可达的未标记顶点。
5. 输出结果最后得到的距离数组dist即为起点到各个顶点的最短距离。
四、算法优化1. 堆优化在每次选择当前距离最小的顶点时，可以用堆来维护未访问的顶点集合，以提高算法效率。
具体地，将未访问的顶点放入一个最小堆中，每次从堆中取出距离起点最近的顶点u进行访问，并更新与u相邻的未访问顶点v的距离值。
2. 双向搜索在有些情况下，从起点和终点同时开始搜索可以加快算法运行速度。
具体地，设dist1[v]表示从起点到v的距离，dist2[v]表示从终点到v的距离，则当dist1[u]+w(u,v)+dist2[v]小于当前已知最短路径时，更新最短路径。
五、时间复杂度迪杰斯特拉算法时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。
使用堆优化后可以将时间复杂度降低至O((E+V)logV)。
六、应用场景迪杰斯特拉算法常用于路由算法或作为其他图算法的子模块，如最小生成树算法和网络流算法等。
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法描述及理解Dijkstra算法是⼀种计算单源最短⽆负边路径问题的常⽤算法之⼀，时间复杂度为O(n2)算法描述如下：dis[v]表⽰s到v的距离，pre[v]为v的前驱结点，⽤以输出路径,vis[v]表⽰该点最短路径是否已经确认初始化：dis[v]=INT dis[s]=0 pre[s]=0 执⾏n次 在没有确定的点中找到⼀个路径最短的，并修改为已经确认 通过这个点修改其他所有没有确定的点 直到所有点已经确认为最短路径，退出循环现在证明算法的正确性：⾸先，我们说明两条性质：1.确定任何⼀个点为最短路径时，前驱p⼀定已经是最短路径（假设源点的前驱是它本⾝）。
2.任意时刻在还没有确定最短路径的点的集合中路径最短的点就是可以被确定的点。
稍微证明⼀下这两条性质（反证法）：证明1：假如前驱p还不是最短路径，那么显然当p是最短路径时到当前节点的路径更短，即不是最短路径的节点所确定的节点⼀定不是最短路径（好像很显然）证明2：为了⽅便描述，我们定义已经确定的点为⽩点，没有确定的点为蓝点。
若是蓝点中路径最短x还不能确定为⽩点，那么x的最短路径上必定存在⼀个蓝点y。
即dis[x]>dis[y]+edge[y][x]。
⽽dis[y]处于两种状态：(1)dis[y]已经是y点的最短路径，那么显然与dis[x]为蓝点中最短的相⽭盾。
(2)dis[y]还不是y点的最短路径，那么它的前驱显然是另外⼀个蓝点，即dis[y]>=dis[x]（这⾥省略了⼀些步骤，不过⾃⼰稍微想⼀下，我觉得挺显然的），也⽭盾。
综上，性质2得证。
回过头再看我们的算法：在刚开始的时候，⾸先确定的最短路（就是直接和源点相连的点）进⼊⽩点集合，满⾜性质1，2。
此后每个过程都满⾜以上两个性质，所以算法正确。
算法实现：1 memset(vis,0,sizeof(vis));2 vis[s]=1;3 dis[s]=0;4 for(int i=1;i<n;i++)5 {6 int m=INT_MAX;7 int k=0;8 for(int j=1;j<=n;j++)9 {10 if(!vis[j] && dis[j]<m)11 {12 m=dis[j];13 k=j;14 }15 }16 if(k==0)17 break;18 vis[k]=1;19 for(int j=1;j<=n;j++)20 {21 if(dis[k]+e[k][j]<dis[j])22 dis[j]=dis[k]+e[k];23 }24 }View Code。
dijkstra算法介绍
dijkstra算法介绍
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权重的有向图或无向图中的单源最短路径问题。
所谓单源最短路径问题，就是从图中的一个固定顶点（称为源点）出发，找到到达图中其它顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是，利用一个距离数组或者优先队列来记录从源点到各个顶点的最短距离，并不断更新这个数组或队列直到找到源点到目标顶点的最短路径。
具体的算法流程如下：
1. 初始化：将源点的距离置为0，其余点的距离均设为无穷大。
2. 选择未标记节点中距离目前路径最短的节点X（第一次为源点），并将该节点标记为已访问。
3. 更新从X出发能到达的未标记节点的距离：若当前源点到节点Y的距离加上节点Y到节点Z的距离小于源点到节点Z的距离，则更新节点Z的距离。
4. 重复执行第2和第3步，直到所有节点都被标记或无法再标记为止。
5. 最后得到的距离数组中，每个元素表示源点到目标节点的最短距离。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中V为节点数，E为边数。
该算法
具有贪心的性质，每次选择当前距离最短的节点往前推进，因此可以得到最优解。
但算法的前提条件是图上不存在负权边，否则可能出现计算出错的情况。
Dijkstra算法的步骤
Dijkstra 算法(最短路)的具体步骤：（1）开始时，令{}(),)(,,0,0,,00+∞=≠====j s j s s s v T v v v p v s i 令对每个λ.,s k s j ==λ（2） 设 k v 是刚获得P 标号的点.考察每个使 )(,),(j j i j j k v T v s v A v v 将的点且∉∈修改为即{}kj k j j w v P v T v T +=)(),(min )( （7.6）如果 ,)()(kj k j w v P v T +>则把T(v j )修改为 kj k w v P +)(，把j λ修改为k ；否则不修改. （3）令 {})(min )(j s v j v T v T i j i ∈=. （7.7） 如果 +∞<T ，则把 i j v 的T 标号变为P 标号，即令 )()(i i j j v T v P =，令 {}i j i i v S S =+1,k=j i ,把i 换成i+1，如果1i S V +=，算法终止，这时对每一个1j i v S +∈有 )()(j j v P v l =；而对每一个1j i v S +∉，有 ()()j j v T v l =.否则返回（2）；“最邻近方法”是构造最小哈密顿环的一个较好的方法，具体步骤如下：（1）有任意选择的结点开始，找一个与起始点最近的结点，形成一条边的初始路径。
（2）设x 表示最新加到这条路上的结点，从不在路上的所有结点中间选一个与x 最接近的结点，将连接x 与这一结点的边加到这条路上。
重复这一步，直到图中所有结点包含在路上。
（3）将连接起始点与最后加入的结点之间的边加到这条路上，就得到一个环。
求最小生成树的Kruskal 算法，具体步骤如下：设(,,)G V E f =是一具有n 个结点的连通有权图，（1）选取G 中一条边1e ，使1e 在G 的所有边中有最小的权，11(,)G V S =，{}11S e =，1i =；（2）若已选好{}12,,,i i S e e e = ，从i E S -中选一条边1i e +满足下列条件： ①{}1i i S e + 中不含有环；②在i E S -的满足①的所有边中，1i e +有最小的权。
最短路径之Dijkstra算法详细讲解(C#)
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
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最短路径路由算法
一、案例图形分析
为了分析最短路径路由，模拟构造的一个图，如下所示：
二、相关理论：
Dijskstra算法：用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijskstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
例如：
1、要求出（1110－1116）的最短路径
第一步：以开始点1110分别路由（1110－1114）、（1110－1115）、（1110－1112）得出
（1110－1114）为：30
（1110－1115）为：100
（1110－1112）为：10
通过比较得出（1110－1112）的距离最短。
第二步：以点1112为基础开始路由（1112－1113），（1112－1110）[备注：因为1110已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1112－1116），（1112－1111）得出
（1110－1112－1113）为：17
（1110－1112－1116）为：30
（1110－1112－1111）为：15
通过比较得出（1110－1112－1111）这条路最短。
第三步：以点1111为基础开始路由（1111－1112）[备注：因为1112已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1111－1116）得出
（1110－1112－1111－1116）为：24
通过以下比较：
（1110－1114）为：30
（1110－1115）为：100
（1110－1112－1113）为：17
（1110－1112－1116）为：30
（1110－1112－1111－1116）为：24
得出（1110－1112－1113）这条路最短
第四步：以点1113为基础开始路由（1113－1114）、（1113－1115）、(1113－1112)[备注：因为1112已经被路由过，所以不在选择这条路路由]得出
（1110－1112－1113－1114）为：37
（1110－1112－1113－1115）为：27
通过以下比较：
（1110－1114）为：30
（1110－1115）为：100
（1110－1112－1116）为：30
（1110－1112－1111－1116）为：24
（1110－1112－1113－1114）为：37
（1110－1112－1113－1115）为：27
得出（1110－1112－1111－1116）这条最短
第五步：本该以点1116为基础开始路由，但已是终点，所以路由结束
最短路径为：[1110，9901，1112，9904，1111，9909，1116]
所经过的边为：9901，9904，9909
2、要求出（1110－1116）的次短路径
次短路径的路由思路为：方案(1)排除边9901，找出最短路径
方案(2)排除边9904，找出最短路径
方案(3)排除边9909，找出最短路径
如图：
然后将三种方案对比，找出其中最短的一种
方案(1)：
排除边9901，找出最短路径
第一步：以开始点1110分别路由（1110－1114）、（1110－1115）、（1110－1112）[备注：因为边9901已经排除，所以不在选择这条路路由]得出
（1110－1114）为：30
（1110－1115）为：100
通过比较得出（1110－1114）的距离最短。
第二步：以点1114为基础开始路由（1114－1115），（1114－1113），（1114－1110）[备注：因为1110已经被路由过，所以不在选择这条路路由]得出
（1110－1114－1115）为：90
（1110－1114－1113）为：50
通过比较得出（1110－1114－1113）这条路最短。
第三步：以点1113为基础开始路由（1113－1115），（1113－1114）[备注：因为1114已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1113－1112）得出
（1110－1114－1113－1112）为：57
（1110－1114－1113－1115）为：60
通过比较得出（1110－1114－1113－1112）这条路最短。
第四步：以点1112为基础开始路由（1112－1113）[备注：因为1113已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1112－1110）[备注：因为边9901已经排除，所以不在选择这条路路由]，（1112－1116），（1112－1111）得出
（1110－1114－1113－1112－1116）为：77
（1110－1114－1113－1112－1111）为：62
通过以下比较
（1110－1115）为：100
（1110－1114－1115）为：90
（1110－1114－1113－1115）为：60
（1110－1114－1113－1112－1111）为：62
（1110－1114－1113－1112－1116）为：77
得出（1110－1114－1113－1115）这条路最短
第五步：因此以点1115为基础开始路由（1110－1114－1113－1115－1113）[备注：因为1113已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1110－1114－1113－1115－1114）[备注：因为1114已经被路由过，所以不在选择这条路路由]，（1110－1114－1113－1115－1110）[备注：因为1110已经被路由过，所以不在选择这条路路由]
通过以下比较
（1110－1115）为：100
（1110－1114－1115）为：90
（1110－1114－1113－1112－1111）为：62
（1110－1114－1113－1112－1116）为：77
得出（1110－1114－1113－1112－1111）这条路最短
第六步：以点1111为基础开始路由（1111－1116），（1111－1112）[备注：因为1112已经被路由过，所以不在选择这条路路由]得出
通过以下比较
（1110－1115）为：100
（1110－1114－1115）为：90
（1110－1114－1113－1112－1116）为：77
（1110－1114－1113－1112－1111－1116）为：71
通过比较得出（1110－1114－1113－1112－1111－1116）这条路最短。
方案(1)排除边9901，得出
最短路径为：[1110，9902，1114，9908，1113，9911，1112，9904，1111，9909，1116]
所经过的边为：9902，9908，9911，9909
方案(2)排除边9904，找出最短路径，思路同方案（1）。
，
得出最短路径为：[1110，9901，1112，9910，1116]
所经过的边为：9901，9910
方案(3)排除边9909，找出最短路径，思路同方案（1）。
，
得出最短路径为：[1110，9901，1112，9910，1116]
所经过的边为：9901，9910
最后通过三种方案比较得出
得出最短路径为：[1110，9901，1112，9910，1116]
所经过的边为：9901，9910
3、要求出（1110－1116）的次次短路径
相关理论：依次排除最短和次短路径所经过的边(排除边构成树型，如图下图所示)，路由数据
如上图所示：方案一：排除边9901，求最短
方案二：排除边9909，求最短
方案三：排除边9904，9910求最短
方案四：排除边9904，9901求最短
将以上四种方案对比，得出最短路径。
4、要求出（1110－1116）的第N短路径均由该方案依次往下路由。
三、最短路径算法在调度中的应用
1、多个点作开始端和多个点作为结束端
例如：开始端（1110，1114，1115）
结束端（1111，1116）
方法：将开始端的点分别和结束端的点组合，然后以每组数据去计算最短路径
如：
开始端结束端
1110 1111
1110 1116
1114 1111
1114 1116
1115 1111
1115 1116
最后将各组路由的路径长度进行比较，找出其中最短的一条作为该条调度的结果。
2、设置必须经过的点或边，和必须绕过的点或边
处理必须经过的点：
例如：开始端（1110）
结束端（1116）
必须经过的点（1114）
方法：第一步，计算（1110－1114）的最短径路[比如得到1110－1114]
第二步，排除第一步所经过的所有点（1110），计算（1114－1116）的最短路径
最后将这两步的路径相加，即为该调度的结果。
处理必须经过的边：
例如：开始端（1110）
结束端（1116）
必须经过的点（9911）
方法：第一步, [必须经过的边如(9911) ] 先计算成该条边两端所对应的端点（如1113，1112），点要有顺序
第二步，计算（1110－1113）的最短径路
第三步，排除第一步所经过的所有点，计算（1113－1112）的最短路径（在路由时候将必须经过的边（9911）的长度设置为0,就能保证路由一定通过这条边）
第四步：计算（1112－1116）的最短径路
最后将这四步的路径相加，即为该调度的结果。
注释：必须绕过则设置为该边不可用
3、节点结构。