2018年中考数学最拿分考点系列：考点14 轴对称变换的运用-最小值(原卷版)

专题14一次函数(原卷版)-2023年中考数学一轮复习高频考点精讲精练(全国通用)

专题14 一次函数一、一次函数图象与系数的关系【高频考点精讲】1．在一次函数b kx y +=中，当k ＞0时，y 随x 增大而增大。

（1）当b ＞0 时，直线交y 轴于正半轴，过一、二、三象限。

（2）当b ＜0 时，直线交y 轴于负半轴，过一、三、四象限。

2．在一次函数b kx y +=中，当k ＜0时，y 随x 增大而减小。

（1）当b ＞0 时，直线交y 轴于正半轴，过一、二、四象限。

（2）当b ＜0 时，直线交y 轴于负半轴，过二、三、四象限。

【热点题型精练】1．（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A （32，m ），点B （√72，n ）是直线y ＝kx +b （k ＜0）上的两点，则m ，n 的大小关系是（） A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ≥nD ．m ≤n2．（2022•安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +a 2与y ＝a 2x +a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象分别为直线l 1和直线l 2，下列结论正确的是（）A ．k 1•k 2＜0B ．k 1+k 2＜0C ．b 1﹣b 2＜0D ．b 1•b 2＜04．（2022•柳州中考）如图，直线y 1＝x +3分别与x 轴、y 轴交于点A 和点C ，直线y 2＝﹣x +3分别与x 轴、y 轴交于点B 和点C ，点P （m ，2）是△ABC 内部（包括边上）的一点，则m 的最大值与最小值之差为（）A ．1B ．2C ．4D ．65．（2022•宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y 随自变量x 增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是．6．（2022•天津中考）若一次函数y ＝x +b （b 是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（写出一个即可）．7．（2022•盘锦中考）点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在一次函数y ＝（a ﹣2）x +1的图象上，当x 1＞x 2时，y 1＜y 2，则a 的取值范围是．8．（2022•德阳中考）如图，已知点A （﹣2，3），B （2，1），直线y ＝kx +k 经过点P （﹣1，0）．试探究：直线与线段AB 有交点时k 的变化情况，猜想k 的取值范围是．二、一次函数图象上点的坐标特征【高频考点精讲】一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，它与x 轴的交点坐标是（kb-，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b ），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式b kx y +=。

轴对称变换的应用—最短路线问题

轴对称变换的应用-最短路线问题一. 教材分析随着课程标准的颁布与实施,数学教学的任务已转变为关注每一个学生的情感,态度,价值观和一般能力的发展.课堂教学从传统的集中于数学的内容方面,转变到数学的过程方面,其核心是给学生提供机会,创造机会,通过"问题情境--建立数学模型--解释,应用,拓展"的学习过程,让每个学生在生动具体的情境中参与数学学习,亲自体验数学的生存和发展个过程,通过学生自己动手去做,通过积极主动地探索去建立自己的理解,在自身活动的过程中学习和理解数学,掌握数学知识和技术应用的方法与途径.本堂课是浙教版初二上学期数学内容,基于轴对称图形和图形平移旋转变换引申的一节与实际生活相关,解决最短路线问题的应用课。

二.学习对象分析1.学习对象本课是初二学生数学学习的《轴对称变换》内容，经过之前的学习，学生已经初步掌握了什么是轴对称图形,如何寻找对称点，有一定的几何识别能力和简单的作图能力，但学生在之前的学习过程中联系实际生活的机会相对较少,对实际问题的解决有一定困难。

另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。

2.知识基础（1）学生已经学习了轴对称图形的定义、图象、以及如何找到轴对称图形的对称点.（2）学生已经学习过简单的图形变换,如何平移,旋转，能够从运动变化的角度认识轴对称变换的关键是对称点的确定.。

3.能力基础（1）学生通过对轴对称图形的学习和图形变换的掌握,对一些几何图形的平移和旋转有一定的能力，由观察到实际的数学操作过程已有一定体会，已初步掌握解决实际问题的能力.（2）数学学习与实际问题的结合是学生学习过程中学生最感兴趣的一方面,所以本节课的完美学习对学生解决实际问题的能力大有提高.4.学习风格分析(1）对新鲜事物有强烈的好奇心，并喜欢积极去探索新事物，发现新现象。

学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性、独创性和批判性明显增强。

2018-2019年北京中考数学真题分类解析【04】图形的变换(原卷版)

1.（2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】5. （2008年北京市4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （2019年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2019年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱9.（2019年北京市3分）下图是几何体的三视图，该几何体是【】A.圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥1.（2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于 ▲ cm 2。

2.（2007年北京市4分）下图是对称中心为点O 的正六边形。

如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 ▲ 。

利用轴对称变换求最小值应用举例

E1DPBAEDPBA 利用轴对称变换求最小（大）值应用举例姓名纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。

其次是精心设计，题目新型。

而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。

因此，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。

在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。

一、课本原型：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A ，B 到它的距离之和最短？解：如图（2）①，只要画出A 点关于直线L 的对称点C ，连结BC 交直线L 于P ，则P 点就是所求。

这时PA+PB=PC+PB 为最小，（因为两点之间线段最短）。

证明：如图（2）②，在L 上任取一点P 1，连结P 1A ，P 1B ，P 1C ，因为P 1A+P 1B=P 1C+P 1B >BC=PA+PB 。

这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。

二、应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB 内有一点P ，在OA 和OB 边上分别找出M 、N ，使ΔPMN 的周长最小。

解：如图（4），只要画出P 点关于OB 、OA 的对称点P 1，P 2 ，连结P 1、P 2交OB 、OA 于M 、N ，此时ΔPMN 的周长PM+PN+MN =P 1P 2为最小。

（证明略）例2、如图，A 到直线L 的距离AC ＝3千米，B 到直线L 的距离BD ＝1千米，并且CD ＝4千米，在直线L 上找一点P ，使PA+PB 的值最小。

求这个最小值。

解：如图所示，只要过A 1点画直线L 的平行线与BD 的延长线交于H ，在Rt △A 1BH 中，A 1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A 1B 的长度为42千米。

三、迁移和拓展：例3、(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,例2图 ① ②l街道图（1）BAl街道图（2）D P B A C B图（3）PBA图（4）NMOPP1L P AC B D点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a , (B) 5a,(C)4a (D)23a 。

2018年全国各地中考数学真题汇编：轴对称变换(含答案)-数学备课大师【全免费】

中考数学真题汇编:轴对称变换一、选择题1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B4.如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D5.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D7.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为（）A. B. C. D.【答案】D8.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A. B. C. 6 D. 3【答案】D9.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D10.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A. B. C. D.【答案】A二、填空题11.已知点是直线上一点，其横坐标为.若点与点关于轴对称，则点的坐标为________.【答案】（，）12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．【答案】13.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.【答案】14.在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（________），（________）.【答案】；15.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

中考数学最拿分考点系列：考点13 轴对称变换的性质(解析版)

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.★★★○○○○轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC 沿DE ，DF 翻折，顶点B ，C 均落在点G 处，且BD 与CD 重合于线段DG ，若∠A ＝36°，∠AEG ＋∠AFG 的度数为（）．A .100°B .102°C .108°D .117°【答案】C 例2.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，得到折痕BM ，同时，得到线段BN，若AB ，则BM 的长为（）N ABC D EF M AB .2C .3D.【答案】B例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD 上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积_____．【精细解读】解：根据轴对称的性质可证△BCE≌△GCF，得到CE＝CF。

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

中考数学专题分类复习：轴对称变换的性质(解析版)

中考数学专题分类复习：轴对称变换的性质轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（）．A.100°B.102°C.108°D.117°【答案】C例2.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，得到折痕BM，同时，得到线段BN，若3AB ，则BM的长为（）NABCDE FMA.332B.2C.3D.23【答案】B例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积_____．【答案】73【精细解读】解：根据轴对称的性质可证△BCE≌△GCF，得到CE＝CF。

由∠B＝60°，BC＝4可得到AB 与CD之间的距离，过点E作EP⊥BC，在Rt△CEP中由勾股定理求得EC的长，即可得到△CEF的面积. 如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD 上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②AG＋DF＝FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG＝32S△FGH．其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C2.如图，将矩形纸片的两个直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F 上．若AE＝3，BE＝5，则FC＝______．【答案】4.3.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC＝3∶4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：1902 MCP A ∠=︒-∠；（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．【答案】（1）60°；（2）证明见解析；（3）∠BQC＝90°＋14∠A，理由见解析.1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A.3B.3C.2D.23【答案】B2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【解析】连结OD，如图，∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，∴AD的度数为为50°，故选B．3.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤2=⋅.其中正确的个数为（）.AB AE AFA.2B.3C.4D.5【答案】D4.已知点P（3，﹣1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A.（﹣3，1）B.（3，1）C.（﹣1，3）D.（﹣3，﹣1）【答案】B【解析】试题分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．解：∵点P关于x轴对称为点P′∴P′的坐标是（3，1）．故选B．5.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝56°，那么∠2＝______．【答案】68°【解析】根据轴对称的性质和两直线平行，内错角相等，得∠1＝∠3，∠1＝∠4，所以∠1＝∠3＝∠4，所以∠2＝180°－2∠1＝180°－112°＝68°.6.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF＝α，则∠AOB＝_____．【答案】90°－12α7.如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，则BD的长是________．【答案】58.将三角形纸片ABC，按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC ＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝_______．【答案】127或29.问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．问题探究：（1）如图1，若点E 的坐标为(0，4)，直接写出点A 的坐标________；（2）将矩形沿直线12y x n =-+折叠，求点A 的坐标；问题解决：（3）将矩形沿直线y kx n =+折叠，点F 在边OB 上（含端点），求k 的取值范围．【答案】（1）()23,6；（2）（3，6）；（3）113k --【解析】解：（1）∵点E 的坐标为（0，4），∴OE ＝AE ＝4，∵四边形OBCD 是矩形，∴OD ＝BC ＝6，∴DE ＝2，∴2223AD AE DE =-=，∴点A 的坐标为()23,6；（2）如图2，过点F 作FG ⊥DC 于G ，（3）如图3，113k --．10.如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F.（1）如图1，当点P在边BC上时：①若∠BAP＝30°，求∠AFD的度数；②若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；（2）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；（3）是否存在这样的情况，点E为线段DF的中点，如果存在，求BP的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）①∠AFD的度数为45°；②∠AFD的度数不会发生变化，证明见解析；（2）画出图形见解析，∠AFE的大小不会改变，理由见解析；（3）BP的值为1.【解析】（1）①∵∠EAP＝∠BAP＝30°，∴∠DAE＝90°－30°×2＝30°．∵在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）÷2＝75°．∵在△AFD中，∠F AD＝30°﹢30°＝60°，∠ADF＝75°，∴∠F＝180°﹣60°﹣75°＝45°．（2）方法一：作图如图2所示，∠AFE的大小不会改变．作AG⊥DE于G，得∠DAG＝∠EAG.设∠DAG＝∠EAG＝α．∴∠BAE＝90°＋2α．∴∠F AE＝12∠BAE＝45°＋α，∴∠F AG＝∠F AE－∠EAG＝45°．方法二：(2)∠AFD的大小不会改变．设∠BAP＝∠EAP＝α，则∠EAD＝2α－90°，∵在△ADE中，AD＝AE，∠EAD＝2α－90°，∴∠AED＝12(180°－∠EAD)＝12(180°－2α＋90°)＝135°－α．∴在△AEF中，∠AFD＝180°－∠F AE－∠AED＝180°－α－(135°－α)＝45°．（3）存在点E为DF的中点．连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC．∵EG∥AD，DE＝EF，∴EG＝12AD＝1．∵AB＝AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上．同理得：点P在线段BE的垂直平分线上．∴AF垂直平分线段BE，∴OB＝OE．∵GE∥BP，∴∠OBP＝∠OEG，∠OPB＝∠OGE．∴BP＝EG＝1．。

轴对称的应用最小值问题教案

轴对称的应用最小值问题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解轴对称的概念及其在几何中的应用；（2）掌握利用轴对称解决最小值问题的方法。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳和应用，培养学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）轴对称的概念；（2）利用轴对称解决最小值问题的方法。

2. 教学难点：（1）如何寻找对称轴；（2）如何将实际问题转化为轴对称问题。

三、教学准备1. 教具准备：（1）几何画板；（2）对称轴模型；（3）实际问题案例。

2. 学生准备：了解轴对称的基本概念，具备一定的观察和分析能力。

四、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的对称现象，引导学生回顾轴对称的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解：（1）讲解轴对称的定义及性质；（2）介绍利用轴对称解决最小值问题的方法。

3. 实例分析：给出实际问题案例，引导学生运用轴对称的知识进行分析，找出对称轴，解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关轴对称和最小值问题的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，鼓励学生课后寻找生活中的对称现象，拓展学习兴趣。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，总结轴对称的性质及应用；2. 完成课后练习题，巩固轴对称和最小值问题的解决方法；3. 观察生活中的对称现象，拍照或手绘，下节课分享。

六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对轴对称概念的理解程度，以及对利用轴对称解决最小值问题的掌握情况。

2. 课堂练习评估：检查学生完成的练习题质量，评估其对轴对称和最小值问题的应用能力。

3. 课后作业评估：审阅学生的课后作业，了解其在课后复习和巩固所学知识的情况。

七、教学反思课后对自己的教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，针对学生的学习情况调整教学策略，以提高教学效果。

中考数学轴对称及路径最短问题

轴对称及最短路径问题一、知识讲解1．轴对称、轴对称图形（1）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为对称轴。

对称轴一定为直线。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫对称点。

2．轴对称图像的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

新旧图像具有对称性。

（2）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。

3．等腰三角形（1）性质：①两底角相等。

②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

4．等边三角形（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。

（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5．特殊直角三角形（补充）（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：2；（2）等腰直角三角形各边长比为1：1。

二、要点补充轴对称是关于某一直线对称的图形，要注意图形中隐藏的条件，要将分散的条件集中起来达到解题的目的。

本讲的学习要特别注意分类讨论思想及转化思想的运用。

要点1在平面直角坐标系中，若已知A、B两点的坐标（或位置）要求第三个点C，使得A、B、C三点构成等腰三角形的方法如下：①连接AB，以点A（或点B）为圆心，线段AB的长度为半径作圆，圆周上除点B（或点A）的所有的点，都可以与点A、点B构成等腰三角形。

②连接AB，作线段AB的垂直平分线l，该垂直平分线l上除该线与线段AB交点外的所有的点都能与点A、点B构成等腰三角形。

中考数学高频考点《轴对称》与最短路径问题(共17张PPT)

7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，
连接BD，且BD⊥CD，∠ADB=∠C. 若P是BC边
上的动点，则DP长的最小值为
.
Байду номын сангаас
中考数学高频考点《轴对称》与最短路径问题
1.轴对称的定义:
（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
2.轴对称的性质: 轴对称的性质：成轴对称的两个图形
变式2：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
变式3：如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线段MN交 OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm ，求线段MN的长。
解法：
作点A关于直线的对称点A1，只有A1与P、 B
在一条直线上时，才能使AP+PB最小，连线与直线的交点P就是所求的点。做对称点其实是考查学生对垂直平分线的点到线段两端点
距离相等的运用和理解。
变式1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？为什么？
4.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，
∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P
是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最
小值为
．
5.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，
使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（

数学竞赛辅导系列专题一利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例[1]

数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。

“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

”纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。

其次是精心设计，题目新型。

而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。

因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。

让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。

本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。

（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）○1，只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。

这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。

（证明：如图（2）○2，在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，因为P 1A+P 1B=P 1C+P 1B>BC=PA+PB 。

这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。

）l街道图（1）BAl街道图（2）DP BAC（二）应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB 内有一点P ，在OA 和OB 边上分别找出M 、N ，使ΔPMN 的周长最小。

中考数学最拿分考点系列：考点14 轴对称变换的运用-最小值(解析版)

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合．由此演变出来的一系列的最小值或最大值的问题是学生的一个难点．★★★○○○○1.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上．2.利用轴对称的性质“化曲为直”，即将不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上，结合“垂线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”，确定线段和的最小值．1.如图，点A，B是直线l异侧的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：连接AB交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段AB的长．2.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使|P A－PB|最小．思路：连接AB交延长交直线l于点P，|P A－PB|的最大值是线段PB的长．3.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段A′B的长．4.如图，在∠MAN中，点P是∠MAN内的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当△PCD的周长最小时，点C，D的位置．思路：将△PCD有三边集中到一条直线上．分别作点P关于AM，AN和对称点P′，P′′，连接P′P′′交AM，AN于点C，D，△PCD的周长的最小值是线段P′P′′的长．学科@网5.如图，在∠MAN中，点P，Q是∠MAN内的两个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当四边形CDPQ的周长最小时，点C，D的位置．思路：确定四边形CDPQ的周长的最小值，因为PQ的长不变，即是要确定QC＋CD＋DP的最小值．分别作点Q，P关于AM，AN的对称点Q′，P′，连接P′Q′，分别交AM，AN于点C，D，四边形CDPQ周长的最小值是PQ＋P′Q′的长．学科@网6.如图，在∠MAN中，点B是AM上的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当CB ＋CD最小时，点C，D的位置．思路：作点B关于AM的对称点B′，过B′作BD⊥AN于点D，交AM于点C，CB＋CD的最小值是垂线段B′D 的长．例1.如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE 的最小值为____________．【答案】5∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，AD＝DC，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵∠ADF＝∠CDB，∴△ADF≌△CDB，∴AF＝BC，∠F AD＝∠C＝45°，∵AE＝3，BE＝1，∴AB＝BC＝4，∴AF＝4，∵∠BAF＝∠BAC＋∠F AD＝45°＋45°＝90°，∴由勾股定理得：EF5，∵AC是BF的垂直平分线，∴BP＝PF，∴PB＋PE＝PF＋PE＝EF＝5．故答案为5.例2.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF＋ED的最小值是_______．【答案】例3.如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，线段OD＝OC. （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE．若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）21212y x x =-++；(2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，1，( 1，；(3)存在，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为．（3）存在.作点C 关于直线QE 的对称点C ′，作点C 关于x 轴的对称点C ′′，连接C ′C ′′，交QE 于点P ，则△PCE 即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE 的周长等于线段C ′C ′′的长度，然后过点C ′作C ′N ⊥y 轴，然后依据勾股定理求得C ′C ′′的长即可.解：（1）设抛物线的解析式为()223y a x =-+，将C （0，1）代入得：()21023a =-+，解得:12a =-∴()2211232122y x x x =--+=-++ (2)①C 为直角顶点时，如图①，CM ⊥CD ．设直线CD 为1y kx =+，∵OD ＝OC ，∴OD ＝1，∴D (1，0)把D (1，0)代入1y kx =+得，1k =-，∴1y x =-+∵CM ⊥CD ，∴易得直线CM 为:1y x =+，解得，M (2，3)，恰好与Q 点重合． ②D 为直角顶点时，如图②，易得，直线ＤＭ为1y x =-．则Ｍ为1或( 1，．综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，1，( 1，．证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P ′，连接F ′C ″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长＝F′C″＋F′P′＋P′C′；而F′C″＋F′P′＋P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″＋F′P′＋P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．如答图④所示，连接C′E，1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB＋PE的最小值是（）A.1 B C.2 D.【答案】B2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是（）A.4B.4.8C.5D.5.4【答案】B【解析】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，已知AB＝AC＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD ＝CD ＝3，AD 平分∠BAC ，即可得点M 在AC 上，在Rt △ABD 中，由勾股定理求得AD ＝4，所以1122ABC S BC AD AC BN =⨯=⨯ ，由此求得BN ＝4.8，再由点F 关于AD 的对称点M 可得EF ＝EM ，所以BE ＋EF ＝BE ＋EM ＝BM ，根据垂线段最短得出，BM ≥BN ，即BE ＋EF ≥4.8，即BE ＋EF 的最小值是4.8，故选B . 学科@网3.如图，点A （a ，2），B （﹣2，b ）都在双曲线y ＝(0)k x x<上，点P 、Q 分别是x 轴，y 轴上的动点．当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是y ＝x ＋32，则k ＝______．【答案】－7故答案是−7．学科@网（每道试题10分，总计100分）1.如图，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )A.5B.6C.7D.8【答案】B2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A，⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE＋PF的最小值．．．是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，则AD＋PD最小，且最小值是线段A′D的长，所以PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF．∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，∴AD＝BC＝3，AA′＝2AB＝4，AE＝DF＝1，在Rt△AA′D中，由勾股定理得，A′D＝5，∴PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF＝5－1－1＝3故选B．3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（）A.B.16 C.D.20【答案】C4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°．AD＝14AC，AB＝8，E是AB上任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为_____．5.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____．（结果保留根号）【答案】15cm【解析】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋122＝225，∴CA′＝15cm，答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15cm．故答案为15cm．6.如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），点P为直线一动点，当PC＋PO值最小时点P的坐标为_______．【答案】93,22⎛⎫-⎪⎝⎭故答案为93,22⎛⎫-⎪⎝⎭.7.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO＋BA的最小值为_____________．【答案】88.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN 的最小值为_____．【答案】89.如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--，D (32，258-)；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）M （2441，0）. 【解析】（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上， ∴12×(－1)2＋b ×(－1)–2＝0，解得b ＝32-，∴抛物线的解析式为y＝12x232-x－2.y＝12(x2－3x－4)＝12(x－)2－258，∴顶点D的坐标为(32，－258).（2）当x＝0时y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．当y＝0时，12x232-x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，AB＝5.∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.10.小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，，连结AC、EC．已知AB＝1，DE＝5，BD＝8，设BC＝x．则AC=，CE=AC＋CE的最小值．（1）我们知道当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE小值等于；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图．．．【答案】（1）10；(2)13.（2）由（1）的结果可作BD＝12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，利用勾股定理即可求得AE则在Rt△AEF中，AF＝BD＝12，EF＝DE＋DF＝DE＋AB＝3＋2＝5，根据勾股定理得AE13，13．____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ 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中考数学知识点考点复习指导：构建轴对称模型求线段和的最小值

构建轴对称模型求线段和的最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。

能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。

情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。

引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。

分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。

首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。

因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。

解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。

（1）A BA总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。

轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。

以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。

例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。

2018年中考数学真题汇编轴对称变换(含答案)

中考数学真题汇编:轴对称变换一、选择题1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】D2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B4.如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B. C.D.【答案】D5.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D7.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为（）A. B. C.D.【答案】D8.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A. B. C.6 D. 3【答案】D9.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B. C.D.【答案】D10.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A. B. C.D.【答案】A二、填空题11.已知点是直线上一点，其横坐标为.若点与点关于轴对称，则点的坐标为________.【答案】（，）12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．【答案】13.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.【答案】14.在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（________），（________）.【答案】；15.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

考点14 轴对称变换的运用-最小值(原卷版)

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合．由此演变出来的一系列的最小值或最大值的问题是学生的一个难点．★★★○○○○1.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上．2.利用轴对称的性质“化曲为直”，即将不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上，结合“垂线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”，确定线段和的最小值．1.如图，点A，B是直线l异侧的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：连接AB交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段AB的长．2.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使|P A－PB|最小．思路：连接AB交延长交直线l于点P，|P A－PB|的最大值是线段PB的长．3.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段A′B的长．4.如图，在∠MAN中，点P是∠MAN内的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当△PCD的周长最小时，点C，D的位置．思路：将△PCD有三边集中到一条直线上．分别作点P关于AM，AN和对称点P′，P′′，连接P′P′′交AM，AN于点C，D，△PCD的周长的最小值是线段P′P′′的长．5.如图，在∠MAN中，点P，Q是∠MAN内的两个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当四边形CDPQ的周长最小时，点C，D的位置．思路：确定四边形CDPQ的周长的最小值，因为PQ的长不变，即是要确定QC＋CD＋DP的最小值．分别作点Q，P关于AM，AN的对称点Q′，P′，连接P′Q′，分别交AM，AN于点C，D，四边形CDPQ周长的最小值是PQ＋P′Q′的长．6.如图，在∠MAN中，点B是AM上的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当CB ＋CD最小时，点C，D的位置．思路：作点B关于AM的对称点B′，过B′作BD⊥AN于点D，交AM于点C，CB＋CD的最小值是垂线段B′D 的长．例1.如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE 的最小值为____________．例2.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF＋ED的最小值是_______．例3.如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，线段OD＝OC. （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE．若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB＋PE的最小值是（）A.1B.3C.2D.232.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是（）A.4B.4.8C.5D.5.43.如图，点A （a ，2），B （﹣2，b ）都在双曲线y ＝(0)k x x上，点P 、Q 分别是x 轴，y 轴上的动点．当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是y ＝x ＋32，则k ＝______．（每道试题10分，总计100分）1.如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为( )A .5B .6C .7D .82.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，分别以A 、D 为圆心，1为半径画圆，E 、F 分别是⊙A ，⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE ＋PF 的最小值．．．是（）A．2 B．3 C．4 D．53.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（）A.45+8B.16C.85D.204.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°．AD＝14AC，AB＝8，E是AB上任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为_____．5.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____．（结果保留根号）6.如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），点P为直线一动点，当PC＋PO值最小时点P的坐标为_______．7.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO＋BA的最小值为_____________．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN 的最小值为_____．9.如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．10.()221825x x +-+这样的：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，，连结AC 、EC ．已知AB ＝1，DE ＝5，BD ＝8，设BC ＝x ．则21AC x =+，()2825CE x =-+AC ＋CE 的最小值．（1）我们知道当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE的值最小，于是可求得()221825x x++-+的最小值等于；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图．．求出代数式()224129x x++-+的最小值．____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。