2018年中考数学最拿分考点系列：考点14 轴对称变换的运用-最小值(原卷版)

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合．由此演变出来的一系列的最小值或最大值的问题是学生的一个难点．
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1.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上．
2.利用轴对称的性质“化曲为直”，即将不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上，结合“垂线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”，确定线段和的最小值．
1.如图，点A，B是直线l异侧的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．
思路：连接AB交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段AB的长．
2.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使|P A－PB|最小．
思路：连接AB交延长交直线l于点P，|P A－PB|的最大值是线段PB的长．
3.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使P A＋PB最小．
思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，P A＋PB的最小值是线段A′B的长．
4.如图，在∠MAN中，点P是∠MAN内的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当△PCD的周长最小时，点C，D的位置．
思路：将△PCD有三边集中到一条直线上．分别作点P关于AM，AN和对称点P′，P′′，连接P′P′′交AM，AN于点C，D，△PCD的周长的最小值是线段P′P′′的长．
5.如图，在∠MAN中，点P，Q是∠MAN内的两个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当四边形CDPQ的周长最小时，点C，D的位置．
思路：确定四边形CDPQ的周长的最小值，因为PQ的长不变，即是要确定QC＋CD＋DP的最小值．分别作点Q，P关于AM，AN的对称点Q′，P′，连接P′Q′，分别交AM，AN于点C，D，四边形CDPQ周长的
最小值是PQ＋P′Q′的长．
6.如图，在∠MAN中，点B是AM上的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当CB ＋CD最小时，点C，D的位置．
思路：作点B关于AM的对称点B′，过B′作BD⊥AN于点D，交AM于点C，CB＋CD的最小值是垂线段B′D 的长．
例1.如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE 的最小值为____________．
例2.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF＋ED的最小值是_______．
例3.如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，线段OD＝OC. （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE．若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB＋PE的最小值是（）
A.1
B.3
C.2
D.23
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是（）
A.4
B.4.8
C.5
D.5.4
3.如图，点A （a ，2），B （﹣2，b ）都在双曲线y ＝(0)k x x
上，点P 、Q 分别是x 轴，y 轴上的动点．当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是y ＝x ＋32，则k ＝______．
（每道试题10分，总计100分）
1.如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为( )
A .5
B .6
C .7
D .8
2.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，分别以A 、D 为圆心，1为半径画圆，E 、F 分别是⊙A ，⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE ＋PF 的最小值．．．是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（）
A.45+8
B.16
C.85
D.20
4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°．AD＝1
4
AC，AB＝8，E是AB上任意一点，F是AC上
任意一点，则折线DEFB的最短长度为_____．
5.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____．（结果保留根号）
6.如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），点P为直线一动点，当PC＋PO值最小时点P的坐标为_______．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO＋BA的最小值为_____________．
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN 的最小值为_____．
9.如图，抛物线y ＝12
x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．
10.()221825x x +-+这样的：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，，连结AC 、EC ．已知AB ＝1，DE ＝5，BD ＝8，设BC ＝x ．则21AC x =
+，()2825CE x =-+AC ＋CE 的最小值．
（1）我们知道当A ，C ，E 在同一直线上时，AC ＋CE 的值最小，于是可求得()221825x x ++
-+的最小值等于；
（2）请你根据上述的方法和结论，试构图．．
求出代数式()224129x x ++-+的最小值．
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