第9章 作业

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方法二：由于 R 和 S 的关系矩阵分别为
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MR
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1
0 和 M S 1
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YN
Y
R2 N Y
YN
N
R3 N N
YN
N
R4 N N
NN
Y
R5 Y N
NY
Y
11．（1）设 R 是 A 上的二元关系，R 自反（反自反、对称、反对称、传递），BA。试问：
R∩B×B 是否依然是自反（反自反、对称、反对称、传递）的？
（2）试举例说明：反对称性与传递性对并运算不封闭。
（3）试举例说明：自反性与传递性对差运算不封闭。
7．设 A={a,b,c,d},A 上二元关系 R1,R2 分别为 R1={<b,b>, <b,c>, <c,a>} R 2={<b,a>, <c,a>, <c,d>, <d,c>} 计算 R1oR2, R2oR1, R12, R22 解： R1oR2={<b,a>,<b,d>} R2oR1={<d,a>} R1oR1={<b,b>,<b,c>,<b,a>} R2oR2={<c,c>,<d,a>,<d,d>}
18．设 A={1,2,3,4,5}, A 上的关系 R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},试求 RoS 的关系矩阵。 解： 方法一：由于 RoS={<1,5>,<3,2>,<2,5>}，所以 RoS 的关系矩阵如下：
Байду номын сангаас
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反，反对称和传递。
A={<1,2>}时，R 为反自反的，但是 R 不不满足反自反性。
试举例说明：自反性、反自反性、反对称性和传递性对求补运算均不封闭。
解：
14．证明：当关系 R 传递且自反时，R2=R
证明：假设 R 是 A 上的关系。
若<x,y>∈R2，即z 满足<x,z>∈R 且<z,y>∈R。由于 R 传递，所以<x,y>∈R。即证 R2R。
S 即{<1,2>,<2,1>}不满足反对称性与传递性。
（3）A={1,2,3}, R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,1>,<1,2>}, S={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则 R 和 S 都是
自反和与传递的。但是 R-S={<1,2>,<2,1>}不满足自反性和传递性。
（4）A={1，2，3}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}满足自反、反对称和传递，但是 R 补不满足自
t(R)={ <1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<1,4>}
4．设 A={0,1,2,3,4,5}, B={1，2，3}, 用列举法描述下列关系，并做出他们的关系图及关系
矩阵：
（2）R2={<x,y>| x∈A∧y∈B∧x=y2} 解：R2={<1,1>，<4,2>}
（3）R3={<x,y>| x∈A∧y∈A∧x+y=5} 解：R3={<0,5>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>,<5,0>}
i 1
i 1
（2）由于 Ri(i=1,2,……,n)为 A 上的等价关系，所以 Ri(i=1,2,……,n)对称，从而 Ri=Ri~
(i=1,2,……,n),所以
n
Ri
i 1
=
n
i 1
Ri~
=
n
i 1
Ri
~
,
n
所以 Ri 是对称的。
i 1
（3）由于 Ri(i=1,2,……,n)为 A 上的等价关系，所以 Ri(i=1,2,……,n)传递，从而 RioRiRi (i=1,2,……,n)。由于
所以 RoS 的关系矩阵如下：
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M RS
MR
• MS
0
1
0
0
0
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0 0 0 0 0
练习 9.2
1. (3) B （5）D （6）B
2. (3) [a]R={x|x∈A 且 xRa}， a∈[a]R
n
4. 设 R1,R2,……,Rn 均为 A 上的等价关系，证明： Ri 也是 A 上的等价关系。
10. 设 R1, R 2, R 3, R4, R 5 都是整数集上的关系，且 xR1y xy>0 xR2y |x-y|=1 xR3y x+y=10 xR4yx|y xR5y x=yk（k 是整数） 用 Y（yes）和 N（no）填写表 9-2。
解：
自反 反自反 对称 反对称 传递
R1 N N
i 1
并举例说明 R1，R2 为 A 上的等价关系，而 R1 U R2 不一定是 A 上的等价关系。 证明： 证法一：R1,R2,……,Rn 均为 A 上的等价关系，所以 R1,R2,……,Rn 均满足自反、对称和传递
n
性。由于自反，对称和传递性对交运算都是封闭的，所以 Ri 满足自反、对称和传递性，
若<x,y>∈R。由于 R 自反，所以<x,x>∈R。从而<x,y>∈R2。即证 RR2。
所以 R2=R。
17．如果 xyz(xRy∧yRz→┐xRz),则称 A 上关系 R 是反传递的。证明：R 是反传递的 当且仅当 R2∩R=。 证明： 必要性：反证法。假设<x,y>∈R2∩R, 即<x,y>∈R2 且<x,y>∈R。由于<x,y>∈R2，所以存在 z 满足 xRz 且 zRy，由于 R 是反传递的，所以┐xRy， 这和<x,y>∈R 矛盾! 充分性：若 xRy 且 yRz，则<x,z>∈R2。由于 R2∩R=，所以┐xRz。即证。
i 1
从而是等价关系。 证法二：
n
只需要证明 Ri 满足自反、对称和传递性即可。
i 1
（ 1 ） 由 于 Ri(i=1,2,……,n) 为 A 上 的 等 价 关 系 ， 所 以 Ri(i=1,2,……,n) 自 反 ， 从 而
n
n
EARi(i=1,2,……,n)。所以 EA Ri ,所以 Ri 是自反的。
（4）试举例说明：自反性、反自反性、反对称性和传递性对求补运算均不封闭。
解：
（1）R 反自反、对称、反对称、传递时，R∩B×B 是否依然是反自反、对称、反对称、传
递的。当 R 自反时，若 A 和 B 不等，则 R∩B×B 不是自反的。
（2）A={1，2，3}，R={<1,2>},S={<2,1>},则 R 和 S 都满足反对称性与传递性，但是 R 并
练习 9.3 3．列表（见表 9-3）区分有序集<A, ≤>的子集 B 上的最大、最小、极大、极小元，上界、 下界、上确界和下确界。
表 9-3
4．图 9-13 为一有序集<A,R>的哈斯图。
图 9-13 （1）下列命题哪些为真？ aRb, dRa, cRd, cRb, bRe, aRa, eRa (2) 恢复 R 的关系图 （3）指出 A 的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元 （4）求出子集 B1={c,d,e}, B2={b,c,d}, B3={b,c,d,e}的上界、下界、上确界、下确界（如果 有话）。 解：
练习 9.1
2．填空题：
（11）设 A={1,2,3,4}上的关系 R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>},则 r(R)={ <1,2>, <2,4>, <3,3>,
<1,3>,<1,1>,<2,2>,<4,4>},
s(R)={
<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<2,1>,<4,2>,<3,1>},
（1）dRa, aRa, eRa (2)
(3) 最大元 a, 最小元无，极大元 a，极小元 d,e (4) B1 上界 a,c，下界无，上确界 c，下确界无。 B2 上界 a，下界 d，上确界 a，下确界 d。 B3 上界 a，下界无，上确界 a，下确界无。
n
i 1
Ri
n
i 1
Ri
(R1
R2
Rn
)
(R1
R2
Rn
)
R1
R1
R2
R2
Rn
Rn
R12
R22