九年级数学上册 2[1].4分解因式法学案 (无答案)北师大版
北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》教学设计
北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》是学生在掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行学习的。
本节课主要让学生掌握提公因式法、运用公式法分解因式的方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究、发现分解因式的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对多项式乘法、完全平方公式和平方差公式有一定的了解。
但是，对于如何灵活运用这些知识来分解因式，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法、运用公式法分解因式的方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学学习的乐趣，增强自信心，树立克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握提公因式法、运用公式法分解因式的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现并运用完全平方公式和平方差公式分解因式。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生发现分解因式的方法，培养学生独立思考的能力。
2.合作交流法：教师学生进行小组讨论，促进学生之间的相互学习，提高学生的团队协作能力。
3.实践操作法：教师设计丰富的练习题，让学生在实践中掌握分解因式的方法。
六. 教学准备1.准备相关教学素材，如PPT、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.提前布置学生预习相关知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多项式乘法、完全平方公式和平方差公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示分解因式的例子，引导学生发现并总结提公因式法、运用公式法分解因式的方法。
北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》教案
北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册2.4《分解因式法》是学生在学习了整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生利用已学的知识对多项式进行因式分解，从而培养学生对数学知识的理解和运用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的知识，能够进行简单的多项式乘法和因式分解。
但是，对于一些复杂的多项式，学生可能还不知道如何进行因式分解，因此，需要老师在教学过程中给予学生引导和帮助。
三. 教学目标1.让学生掌握分解因式法的基本步骤和常用方法。
2.培养学生对数学知识的理解和运用能力。
3.培养学生合作学习的能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：引导学生掌握分解因式法的基本步骤和常用方法。
2.教学难点：如何引导学生对于一些复杂的多项式进行因式分解。
五. 教学方法采用讲练结合的教学方法，教师在讲解知识的同时，引导学生进行练习，从而帮助学生理解和掌握知识。
同时，采用小组合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备教师准备多媒体教学课件和相关的练习题，以便于进行教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一些简单的例子，引导学生回顾整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示本节课的主要内容，让学生了解本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行一些简单的因式分解练习，让学生在练习中掌握分解因式法的基本步骤和常用方法。
4.巩固（10分钟）教师通过一些例题，引导学生进一步理解和掌握分解因式法的基本步骤和常用方法。
5.拓展（10分钟）教师通过一些复杂的多项式，引导学生运用所学的知识进行因式分解，从而提高学生解决问题的能力。
6.小结（5分钟）教师对本节课的学习内容进行小结，帮助学生巩固所学知识。
九年级数学上册 2.4 用因式分解法求解一元二次方程学案(无答案)(新版)北师大版
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】
1、学习过程与方法：因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，
体现了一种“降次”思想、“转化”思想,并了解这种转化思想在解方程中的应用。
2、学习重点：用因式分解法解某些方程。
【温故】
1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？
（2）将下列多项式因式分解
① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2
④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4
【知新】
1.自学课本P46----P48
[讨论]以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？
2、用分解因式法解方程
例1、解下列方程
（1）3 x2－5x=0 （2）x(x－2) ＋x－2=0
例2、用因式分解法解下列方程
（1）5x2－2x－1/4=x2－2x＋3/4 （2）x(x－3)－4(3－x)=0
（3）(5－x)2－16=0 （4）16(2x－1)2=25(x－2)2
【达标】
1解下列方程：
（1）x2＋x=0 （2）x2＋2√3 x=0
（3）3x2－6x=－3 （4）4 x2－121=0
（5）3x(2x＋1)=4x＋2 (6) (x－4)2=(5－2x)2
2把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
【拓展】选择合适的方法解一元二次方程
（1）4（x－5）2=16 （2）3 x2＋2x－3=0
（3）（x＋3）(x＋1)=5。
北师大版-数学-九年级上册-2.4 分解因式法 学案
2.4 分解因式法【本节必学】1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.【预习导引】对于方程3(x －2)2=2－x,张明的解法如下:解:方程整理得:3(x －2)2=－(x －2)方程两边同时除以(x －2)得:3(x －2)=－1去括号得:3x －6=－1移项并合并同类项得,3x=5 ∴35 x 你认为张明解方程的过程有错误吗?如果有,请指出错在哪一步?并说明错误的原因.你能解这个方程吗?并与同伴交流自己的心得.点拔 张明在解方程的过程中,在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式(x －2),这样得到的方程与原方程不一定是同解方程.因为含有未知数的代数式的值可能是0,这时变形的过程就是在方程左右两边同时除以0了,正确的解法应是:3(x －2)2+(x －2)=0,∴(x －2)=0∴(x －2)(3x －5)=0∴x －2=0或3x －5=0∴x 1=2,x 2=35. 这也就是本节学习的一元二次方程的一种解法——分解因式法.知能互动1.因式分解法解一元二次方程的根据如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.例如:(2x －1)(3－x)=0,则2x －1=0或3－x=0(2－7x)(5x －3)=0,则 _________ 或 ______(答案：2－7x=0 5x －3=0)2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:一元二次方程(2x －1)(3x －3)=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程(2x －1)(3x －3)=2化为2x －1=1或233=-x 是错误的.分解因式法解一元二次方程的步骤为:(1)将方程的右边化为0;(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.(2x －1=0,3x －3=0)3.选择适当的方法解一元二次方程.根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.【名题探究】例1.用因式分解法解下列方程:(1)(2x －1)2+3(1－2x)=0 (2)(1－3x)2=16(2x+3)2 (3)x 2+6x －7=0解析 (1)经过变形可以用提取公因式法;(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.解: (1)原方程变形为：(2x －1)2－3(2x －1)=0 (2x －1)=0 ，∴2x －1=0或(2x －1)－3=0。
九年级数学上册2.4用因式分解法来解一元二次方程学案(无答案)北师大版
2.4 用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1。
了解因式分解法的解题步骤；2.能用因式分解法解一元二次方程。
重点：应用因式分解法解一元二次方程难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【预习案】1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？(2）将下列多项式因式分解① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2④（2x＋1）2＋4(2x＋1）＋4【探究案】探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点(1）上面两个方程中常数项为0(2）等式左边的各项有共同因式都可以因式分解:象这样的方程又有一种方法解一元二次方程探究点2：用因式分解法解一元二次方程上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x(x+2)=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=—12．（2)3x=0或x+2=0,所以x1=0，x2=—2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2)（x—2)2=2x—4 （3）x（x-2）+x—2=0自我测试1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x—28=0(4）x2—12x+35=0 (5）(2x－1)2－x2= 0 （6) x＋3－x（x＋3)= 02．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x—3）（x—5）=10×2，∴x—3=10，x—5=2,∴x1=13,x2=7B．（2—5x)+（5x-2）2=0，∴(5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25,x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2,x2=-2D．x2=x 两边同除以x,得x=13．如果不为零的n是关于x的方程x2—mx+n=0的根,那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．14．x2—5x因式分解结果为_______;2x(x-3）—5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为_______；如果令x2+20x+96=0,那么它的两个根是_________．【训练案】1解方程:⑴3x（x－1）= 2(x－1)（x＋1）⑵(3x－1）2－4x2= 0 （3）x2—3x-4=0 （4)x2—7x+6=0(5）x2+4x—5=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am,另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）4已知9a2—4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级上第2章2.4因式分解法解一元二次方程导学案(无答案)
.2.4 用因式分解法解一元二次方程导学案主备人：康老师 苏老师 审核：数学备课组学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程。
2、根据一元二次方程的特征，灵活 选择解方程的方法。
3、如果 ab=0，那么 a=0 或 b=0，这是因式分解法的根据，也是 基本思想 。
4、分 解 因 式 法 把 一 个 一 元 二 次 方 程 化 为 两 个 一 元 一 次 方 程 来 解 ， 体 现 了 一 种 “降次 ”“转化 ”思想，这种思想在以后的学习中非常重要。
重点：目标 1。
难点：目标 2。
学习过程：；一、自主学习：.1（1）因式分解，有哪几种方法？（2）将下列多项式因式分解：① 3x 2－4x② 4x 2－9y 2 ③x 2－ 6xy ＋9y 2 ④ (2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4二、探究新知：2、问题情境：(教材 P46.)一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？3、归纳：如果 a ·b ＝0,那么_________________，这就是说：当一个一元二方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”定义：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解成____________时，我门就采用 小亮的解法来解一元二次方程 .这种解一元二次方程的方法称为因式分解法 .三、例题解析：4、例 解下列方程： (1) 5x 2＝4 x ；(2) x (x －2)＝x －2.总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤:第 1 页1）将方程的右边化为_____；2）将方程左边分解成两个_______的乘积；3）令每个因式分别为零，得两个__________方程；4）解这两个____________方程，它们的解就是原方程的解.四、课堂检测1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A.(2x－2)(3x－4)=0∴2x－2=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1∴x+3=0或x－1=1C.(x－2)(x－3)=2×3∴x－2=2或x－3=3D.x(x+2)=0∴x+2=02.一元二次方程（m-1）x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m的值(1)x2－4＝0；(2)(x＋1)2－25＝0.(3)(x＋2)(x－4)＝0；(4)4x(2x＋1)＝3(2x＋1).用因式分解法解下列方程：(1)x2－4＝0；(2)(x＋1)2－25＝0. (3)(x＋2)(x－4)＝0；(4)4x(2x＋1)＝3(2x＋1). 3：一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.4.选择合适的方法解一元二次方程（1）4（x－5）2=16（2）3x2＋2x－3=0（3）（x＋3）(x＋1)=5【拓展延伸】1.方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（）第2页A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=C.x1=a,x2=D.x1=a2,x2=b22.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分栽种鲜花（如图），原空地一边减少1m，另一边减少2m，剩余空地面积为12m2，求原正方形空地的边长.五、感悟收获1.分解因式法解一元二次方程的基本思路.2.在应用分解因式法时应注意的问题.3.分解因式法体现了怎样的数学思想?第3页。
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.4 用因式分解法求解一元二次方程导学案(无答案)
2.4 用因式分解法解一元二次方程导学案学习目标：
1、会用因式分解法解一元二次方程。
2、根据一元二次方程的特征，灵活选择解方程的方法。
3、如果ab=0，那么a=0或b=0，这是因式分解法的根据，也是基本思想。
4、分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”思想，这种“降次”思想在以后的学习中非常重要。
学习重点：用因式分解法解一元二次方程。
学习难点：根据一元二次方程的特征，灵活选择解方程的方法。
学习流程
拓展2.二次三项式的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如
5x2-2x=x(5x-2)
x2-4=(x+2)(x-2)
x2+6x+9=(x+3)2
对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，你能进行因式分解吗？
观察下列各式，也许你能发现些什么？
（1）x2-7x+6=0，x1=1，x2=6
x2-7x+6=（x-1）（x-6）；
（2）x2+2x-3=0,x1=-3, x2=1
x2+2x-3=(x+3)(x-1);
(3) 4x2-12x+9=0，x1=3/2，x2=3/2
4x2-12x+9=4（x-3/2）（x-3/2）;
(4)3x2+7x+4=0，x1=-4/3，x2=-1
3x2+7x+4=3（x+4/3）（x+1）.
一般地，要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c，只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 和x2, 然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2)就可以了。
你能说说这样做的道理吗？。
北师大版九年级上册数学 2.4 用因式分解法来解一元二次方程 学案
2.4 用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1.了解因式分解法的解题步骤；2.能用因式分解法解一元二次方程。
重点：应用因式分解法解一元二次方程难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【预习案】1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？（2）将下列多项式因式分解① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4【探究案】探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点（1）上面两个方程中常数项为0（2）等式左边的各项有共同因式都可以因式分解:象这样的方程又有一种方法解一元二次方程探究点2：用因式分解法解一元二次方程上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 (3)x(x-2)+x—2=0自我测试1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0 (5)（2x－1）2－x2= 0 (6) x＋3－x（x＋3）= 02．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=13．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．14．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．【训练案】1解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）⑵（3x－1）2－4x2= 0 （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0（5）x2+4x-5=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）4已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．。
北师大版九年级数学4_分解因式法_教案5
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
二、范例学习
例：解下列方程。
1. 5x =4x 2. x-2=x(x-2)
想一想
你能用几种方法解方程x -4=0,(x+1) -25=0。
板书设计：
学生练习。
注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
x－2=0或1－x=0
北师大版九年级数学课题学目标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点
掌握分解因式法解一元二次方程。
教学难点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
教学方法
讲练结合法
∴x1=2，x2=1
（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。
（2）分解因式时，用公式法提公式因式法
教学后记
教学内容及过程
学生活动
一、回顾交流
[课堂小测]
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1. 5x -2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程教案2北师大版
2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；方程（2）经过整理得到，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为，然后整体移项得到，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P47 随堂练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b当a=-b时，原式=-=3当a=b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-∴所求不等式的解集为x<-【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程教学案 新版北师大版
用因式分解法求解一元二次方程
学习目标：
1.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性；
2.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；
3.通过因式分解法的学习,培养学生分析问题、解决问题的能力,并体会转化的思想；
4.通过用公式法解一元二次方程,体验成功的喜悦,建立学好数学的自信心.
学习过程：；
一、自主学习：
1.（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解,有哪几种分解方法？
（2）将下列多项式因式分解：
① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2
④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4
2.自学课本
[讨论]以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？
二、课堂检测：
1.解下列方程：
（1）x2＋x=0 （2）3x2－6x=－3 （3）4 x2－121=0
（4）3x(2x＋1)=4x＋2 (5) (x－4)2=(5－2x)2
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
3.选择合适的方法解一元二次方程
（1）4（x－5）2=16 （2）3 x2＋2x－3=0
（3）（x＋3）(x＋1)=5。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程导学案：公式法和因式分解法讲义(无答案)
一元二次方程的解法---公式法和因式分解法讲义要点、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值〔要注意符号〕； ③求出的值； ④假设，那么利用公式求出原方程的解； 假设，那么原方程无实根.要点诠释：〔1〕虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.〔2〕一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数． 因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b ac x -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.1.假设a 是方程2x 2﹣x ﹣3=0的一个解，那么6a 2﹣3a 的值为〔 〕A ． 3B ． ﹣3C ． 9D ． ﹣9，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，那么第三边的长为( ) A ．7 B ．3 C ．7或3 D ．无法确定2+3x+a=0有一个根为﹣1，那么另一个根为〔 〕A ． ﹣2B ． 2C ． 4D ． ﹣3 2+3﹣2x=0的解是 ．5.用公式法解以下方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-；(3) ． (4)5y+2=3y 2．6．用公式法解以下方程：(1)2x 2＋x －6＝0； (2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .(5)x 2=5﹣12x (6)3x 2﹣4x ﹣1=0要点、因式分解法解一元二次方程〔1〕将方程右边化为0； 〔2〕将方程左边分解为两个一次式的积；〔3〕令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；〔4〕解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.提取公因式法，公式法〔平方差公式、完全平方公式〕，十字相乘法等.要点诠释：〔1〕能用分解因式法来解一元二次方程的构造特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；〔2〕用分解因式法解一元二次方程的理论根据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；〔3〕用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.2．〔1〕方程4x 2-3x=0，以下说法正确的选项是〔 〕 A.只有一个根x=43 B.只有一个根x=0 1=0,x 2=43 1=0,x 2=-43 〔2〕假如(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的选项是〔 〕A.x=1或x=-2B.必须x=1C.x=2或x=-1D.必须x=1且x=-2〔3〕方程〔x+1〕2=x+1的正确解法是〔 〕2+3x+2=0 D.化为x+1=0〔4〕用因式分解法解方程5〔x+3〕-2x 〔x+3〕=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
北师大版九年级上册2.4分解因式法解一元二次方程学案无答案
2.4 分解因式法解一元二次方程【学习目标】1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程；【学习重点】掌握分解因式法解一元二次方程的方法：【学习难点】灵活运用分解因式法解一元二次方程：【学习过程】知识回顾1、我们都学习了哪些解一元二次方程的方法？2、一元二次方程根的判别式的内容是什么？3、用两种不同的方法解下列一元二次方程。
（1）5x2-2x-1=0 （2）10（x+1）2-25（x+1）+10自主学习：你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？1、分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
2、一般步骤如下：（1）把方程整理使其右边化为0；（2）把方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）另每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解。
3、方程（x+a）（x+b）=0的两个根为x1= ，x2= 。
精讲精练解下列方程：（1）5x2=4x （2）x-2=x（x-2）（3）（x+1）2-25=0对于以上三道题你是否还有其它方法来解？基础训练1、用因式分解法解下列方程：（1）x2+16x=0 （2）5x2-10x=-5 （3）x（x-3）+x-3=0（4）2（x-3）2=9-x2 （5）（2x+3）2=（1-3x）2 （6）2x（2x-3）-4（3-2x）=0（7）4x2-4x+1=0（8）x2-8x=0（9）x2+3x-28=02、用适当的方法解下列方程（1）（3x-1）（x-2）=（4x+1）（x-2）（2）3x2-4x-1=0 （3）x2+2x-4=0 （4）2（x+1）2=x2-1 （5）（2x-1）2+2（2x-1）=3 （6）（y+3）（1-3y）=1+2y23、填空（1）方程√11x2=x的解是；（2）方程x2（x2-1）=6，则x2的值是；（3）（3-x）（x+1）=x-3的解是。
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九年级数学上册 2.4分解因式法学案 A面
学号：姓名：制定人：曹则成审阅：赵芳
学习目标：1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3.体会解决问题方法的多样性。
学习重点：掌握分解因式法解一元二次方程。
学习难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。
一、学前准备：
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1. 5x2-2x-1=0
2. 10(x+1)2-25(x+1)+10=0
二、问题探究：
探究一、
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用；
小明：用；
小亮：用。
2、分解因式法：
______________________________________________________________________叫分解因式法。
探究2、
解下列方程。
1. 5x2=4x
2. x-2=x(x-2)
用因式分解法解一元二次方程的关键是：（1）通过移项，将方程右边化为零
（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积
（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程
（4）分别解这两个__________，求得方程的解
三、课堂练习：1、用因式分解法解下列方程：
1、（1）（4x-1）（5x+7）=0 （2）3x(x-1)=2-2x （3）(2x+3)2=4(2x+3)
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（4）2(x-3)2=x 2-9 5(x 2-x)=3( x 2+x) （6）(x-2)2= (2x+3)2
（7）(x-2)(x-3)=12 （8）x 2-５2x+8=0
四、学习体会：
1、本节课的收获_______________________________________________________
2、你还有那些疑惑__________________________________________________________
五、自我检测：
1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.
2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.
３.下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）
A.x 2+x +1=0
B.2x 2－3x +5=0
C.x 2+(1+2)x +2=0
D.x 2
+6x +7=0 4.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0
B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1
C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3
D.x (x +2)=0 ∴x +2=0
5.方程ax (x －b )+(b －x )=0的根是（ ）
A.x 1=b ,x 2=a
B.x 1=b ,x 2=
a 1 C.x 1=a ,x 2=b
1D.x 1=a 2,x 2=b 2 6.已知a 2－5ab +6b 2=0，则a
b b a 等于（ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或 ７.想一想:你能用几种方法解方程：x 2-4=0, (x+1)2
-25=0。
六、直击中考
求证：如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一根是－1.
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