【志鸿优化设计】(赢在课堂)2014届高考一轮复习理科数学(人教A版)1.1 第1讲 集合的概念与运算
【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 选考部分坐标系与参数方程教学案 理 新人教A
选修4—4 坐标系与参数方程考纲要求1．理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系与直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5．了解参数方程，了解参数的含义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．1．极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做____；自极点O 引一条射线Ox ，叫做____；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的____，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作________．极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立________关系，约定极点的极坐标是极径______，极角可取任意角．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；也可化为关系式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．3．直线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，通常称该方程为直线l 的参数方程的标准形式，其中t 表示P 0(x 0，y 0)到l 上一点P (x ，y )的有向线段0P P 的数量．t ＞0时，0P P 的方向向上；t ＜0时，0P P 的方向向下；t ＝0时，P 与P 0重合．(2)直线l 的参数方程的一般形式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，该直线倾斜角α的正切为tan α＝ba(α＝0°或α＝90°时例外)．当且仅当a 2＋b 2＝1且b ＞0时，上式中的t 才具有(1)中的t 所具有的几何意义．4．圆的参数方程圆心在M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为______________________． 5．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为__________________．1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝__________.2．已知直线l ：x ＋y －2＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)，它们的公共点个数为__________．3．(2012陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______．4．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)则圆心C 到直线l 的距离为__________；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长为655，则a ＝__________.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程分别为__________； (2)经过两圆交点的直线的极坐标方程为__________．一、平面直角坐标系下的伸缩变换【例1】 在同一直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，所满足图象变换的伸缩变换为__________．方法提炼求满足图象变换的伸缩变换，可先求出变换公式，分清新旧坐标，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得变换规则．请做演练巩固提升1二、如何求曲线的极坐标方程【例2】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P 到直线y＝2的距离等于|PQ|.用极坐标法求动直线绕原点一周时P点的轨迹方程为__________．方法提炼求曲线极坐标方程的基本步骤是：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点P(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．请做演练巩固提升2三、极坐标方程的应用【例3】已知极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，曲线l的极坐标方程是ρ(cos θ－2sin θ)＝2，则(1)曲线C和l的直角坐标方程分别为__________；(2)设曲线C和l相交于A，B两点，则|AB|＝__________.方法提炼1．极坐标与直角坐标互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ成立的条件是直角坐标的原点为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．2．用极坐标法可使几何中的一些问题得出更直接、简单的解法，但解题的关键是选取适当极坐标系，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．特别提醒：极坐标与直角坐标的区别有：多值性：在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系．在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．请做演练巩固提升3四、参数方程及其应用【例4－1】 (2012广东九校联考)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，且曲线C 与直线x －3y ＝0相交于两点A ，B ，则线段AB 的长是__________．【例4－2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 被曲线C 所截得的弦长为__________．方法提炼1．直线的参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，充分利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，只有标准式中的参数才具有明确的几何意义．2．把参数方程化为普通方程，消参数的方法有：代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等．普通方程化为参数方程：关键是如何引入参数．若动点坐标x ，y 与旋转角有关时，通常选择角为参数；与运动有关的问题，通常选择时间为参数等．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．提醒：将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数，简称为“消参”．把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．请做演练巩固提升4极坐标与参数方程的综合应用【典例】(10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)若将曲线C 上任意一点保持纵坐标不变，横坐标缩为原来的12后，得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋2y 的最小值．规范解答：(1)直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＋2＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1.(4分)(2)曲线C ′的普通方程为4x 2＋y 2＝1. 令x ＝12cos θ，y ＝sin θ，∴x ＋2y ＝12cos θ＋2sin θ＝172sin(θ＋φ)．(8分)∴x ＋2y 的最小值为－172.(10分) 答题指导：1.研究含有极坐标方程和参数方程的题目时，可先将它们同时化为直角坐标方程，再借助于直角坐标方程研究它们的性质．2．本题第(2)问还可利用线性规划及直线与椭圆相切等知识来解决．1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为__________．2．将极坐标系的极轴与直角坐标系的x 轴的非负半轴重合，并取相同的单位长度和角度，则过曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1和曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t(t 为参数)的交点且与极轴平行的直线的极坐标方程为__________．3．(2012湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，则直线l 与曲线C 交点的极坐标为__________； (2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，则直线l 的参数方程为__________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，M 点坐标为(0,2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)直线l 的普通方程为__________，曲线C 的直角坐标方程为__________； (2)线段MA ，MB 长度分别记|MA|，|MB|，则|MA|·|MB|＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．极点 极轴 极径 M (ρ，θ) 一一对应 ρ＝04.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)基础自测1．－6 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程y ＝－32x ＋72，该直线的斜率为k 1＝－32；当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率为k 2＝－4k，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－6.当k ＝0时，显然不成立．2．2 解析：将圆的参数方程化为普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，易知直线经过圆心，故直线与圆相交，即公共点个数为2.3. 3 解析：直线2ρcos θ＝1即为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ，即为(x －1)2＋y 2＝1，由此可求得弦长为 3.4．(1)5|1－a |5 (2)0或2 解析：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t 化为普通方程为x ＋2y ＋2－a ＝0，把ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，∴圆心到直线的距离为5|1－a |5. (2)由已知，⎝⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|52＝(2)2， ∴a 2－2a ＝0，a ＝0或a ＝2.5．(1)x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0 (2)ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22 解析：(1)∵ρ＝2， ∴ρ2＝4，即x 2＋y 2＝4.∵ρ2－2 2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴ρ2－2 2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.∴x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 22.考点探究突破【例1】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y 解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0，可将其代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，把x －2y ＝2化为2x －4y ＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.此时，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，即把直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.【例2】 x 2＋y 2＝4或x ＝0 解析：以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如图所示，过P 作PR 垂直直线y ＝2，则|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ. ∵|PR |＝|PQ |，∴|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|.∴ρ＝±2或sin θ＝±1.即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【例3】 (1)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 x －2y －2＝0 (2)655解析：(1)由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得曲线C 直角坐标方程(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，l 的直角坐标方程x －2y －2＝0.(2)设圆C 的圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|1－2×(－1)－2|5＝55，所以|AB |＝2(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫552＝655. 【例4－1】 2 解析：曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．则圆心到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(3)2＝1， ∴直线被C 截得的弦长|AB |＝2r 2－d 2＝2(2)2－12＝2. 【例4－2】 75 解析：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，此圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 演练巩固提升1．y ′＝3sin 2x ′ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.将其代入y ＝sin x ，得13y ′＝sin 2x ′，即y ′＝3sin 2x ′.2．ρsin θ＝1 解析：曲线ρcos θ＋ρsin θ＝1在直角坐标系下的方程为x ＋y＝1，曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋1，x ＝t 的普通方程为y ＝x ＋1，两直线的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x ＋1，即得(0,1)，与极轴平行的方程为y ＝1，则该直线的极坐标方程为ρsin θ＝1.3．22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y＝1；把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点⎝⎛⎭⎪⎫22，0在C 2上， 即⎝⎛⎭⎪⎫222＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴a ＝22. 4．(1)(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数) 解析：(1)直线l的方程：y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ，C ：ρ＝4cos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，联立方程得2x 2－4x ＝0，∴A (0,0)，B (2，－2)；极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， C ：(x －2)2＋y 2＝4，设直线l 的方程为kx －y ＋k ＋1＝0， ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1.∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．5．(1)3x －y ＋2＝0 y ＝x 2(2)8 解析：(1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2＝0. ∵ρcos 2θ＝sin θ， ∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝2＋32t 代入y ＝x 2得t 2－23t －8＝0， 由参数t 的几何意义知|MA|·|MB|＝|t 1t 2|＝8.。
【志鸿优化设计】(安徽专用)2014届高考数学一轮复习第二章函数2.7幂函数试题新人教A版
二、填空题
1
1
x 2 , x 0,
8．若函数 f ( x) ＝ 2, x 0,
则 f ( f ( f (0))) ＝__________.
1
x 3 2, x 0,
9．若 y xa2 4a 9 是偶函数，且在 (0 ，＋∞ ) 内是减函数，则整数 a 的值是 __________ ．
10．给出下列四个命题：
2
2
5
，
5
∴ a＞ c，故 a＞c＞ b.
5． D 6．D 解析： 对幂函数 y＝ xα ，当 α ∈(0,1) 时， 其图象在 x∈(0,1) 的部分在直线 y＝ x
上方， 且图象过点 (1,1) ，当 x＞1 时其图象在直线 y＝ x 下方， 故经过第①⑤两个“卦限”．
7．D
解析： 依题意设
f(ห้องสมุดไป่ตู้
因为 f (1) ＝ 2＞g(1) ＝ 1，
f (2) ＝4＜ g(2) ＝ 8，
所以 x1∈[1,2] ，即 a＝ 1.
f (3) ＝ 8＜ g(3) ＝ 27， f (4) ＝16＜ g(4) ＝64， f (5) ＝ 32＜ g(5) ＝ 125，…， f (9) ＝512＜
g(9) ＝ 729，f (10) ＝ 1 024 ＞ g(10) ＝ 1 000 ，
C． ab＜ aa＜ba D ． ab＜ ba＜ aa
3．下列函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增的是 ( ) ． A． y＝x3 B ．y＝ cos x
1 C． y＝ x2 D ． y＝ln | x|
2
3
2
4．设 a＝
3
5
， b＝
2
5
， c＝
【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业：5.3 平面向量的数量积及应用
第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos<a+b,a-b>===.所以<a+b,a-b>=60°.6.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos 60°=3,∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cos β,-sin β)到直线x cos α-y sin α+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴sin θ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan 2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sin α+3cos α=0,所以tan α=-⇒tan 2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=. 【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6), a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ===-=-.13.已知a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sin θ,4)-(0,3)=(4sin θ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sin θcos θ-1=0.∴sin 2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sin θ+1,1+cos θ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x) =1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足a cos C+c=b,求f(B)的取值范围. 【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由a cos C+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cos A ==,得A=,B+C=,易知0<B<,0<<,则<+<,所以1<sin+<.故f(B)的取值范围为.。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 阶段检测三 数列 不等式试题 理(含解析)新人教A版
阶段检测三 数列 不等式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝30，a 4＝7，则a 12的值为( )． A ．15 B ．23 C ．25 D ．372．已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( )． A ．－4 B ．±4 C ．－22D ．±2 23．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 4．已知x ，y 均为正数，且x ≠y ，则下列四个数中最小的一个是( )． A ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y B ．1x ＋yC ．1xyD ．12x 2＋y 25．等比数列{a n }的首项a 1＝1 002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为( )．A ．8B ．9C ．10D ．116．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值X 围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 7．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A ．14B ．12C ．2D ．4 8．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )．A ．2B ．4C ．8D ．169．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )．A ．0B ．－2C ．－52D ．－310．(2012某某高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b211．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )．A ．470B ．490C ．495D ．51012．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )．A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是__________．14．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.15．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．16．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为__________(将所有真命题的序号填在横线上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.18．(12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值X 围．19．(12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若⌝p 是⌝q 的充分条件，某某数a的取值X 围．20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求当n 为何值时，a n 的值最小．21．(12分)数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝log 2S nS n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 22．(12分)有n 个首项为1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m ，k ＝1,2,3，…，n ，n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．(1)当d 3＝2时，求a 32，a 33，a 34以及a 3n ；(2)证明d m ＝p 1d 1＋p 2d 2(3≤m ≤n ，p 1，p 2是m 的多项式)，并求p 1＋p 2的值；(3)当d 1＝1，d 2＝3时，将数列{}d m 分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…(每组数的个数构成等差数列)，设前m 组中所有数之和为(c m )4(c m ＞0)，求数列{2m c·d m }的前n 项和S n .参考答案1．B2．C 解析：∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， ∴y ＝－2(y ＝2不合题意)． ∴xyz ＝－2 2.3．A 解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．4．D 解析：∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 2xy ＞2xy 2xy ＝1xy，∴不能选A.又∵1x ＋y ＜12xy ＜1xy， ∴不能选C ，下面比较B 和D.令x ＝1，y ＝2，则B 中的式子等于13，D 中的式子等于110.∴D 选项中的式子的值最小．5．C 解析：a n ＝1 002×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＜1⇒n ＞10，即等比数列{a n }前10项均不小于1，从第11项起小于1，故p 10最大．6．A 解析：如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.7．D 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，所以有－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b＝4.8．D 解析：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.9．C 解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2.若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，应有12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥0⇒52-≤a ≤－1；若2a -≤0，即a ≥0时，则f (x )在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ≥0； 若0≤2a -≤12，即－1≤a ≤0，则应有222112424a aa a f ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭≥0恒成立，故－1≤a ≤0.,综上可得，有a ≥52-． 10.A 解析：v ＝2211aba b a b=++＜2ab a b +－a ＝22ab a ab a b --+＝2ab a a b -+＞22a a a b -+＝0，所以2aba b+＞a ，即v ＞a .故选A. 11.A 解析：注意到a n ＝n 2cos 23n π，且函数y ＝cos 23x π的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝12-n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝(3×1＋72)＋(3×4＋72)＋…＋(3×28＋72)＝3×10(128)2⨯+＋72×10＝470.12.C 解析：(x －a )⊗(x ＋a )＜1 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]＜1 ⇔－x 2＋x ＋a 2－a －1＜0 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.∵不等式对任意实数x 成立，∴Δ＜0，即1－4(a －a 2＋1)＜0， 4a 2－4a －3＜0，解得－12＜a ＜32． 13.4 解析：由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则2()a b cd+＝2()x y xy +＝4，当且仅当x ＝y 时取等号． 14.323(1－4－n) 解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝12．则a n ＝4·12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝23－n ，a n a n ＋1＝25－2n ＝23·14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1.所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以14为公比，以23为首项的等比数列．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 ＝323(1－4－n)． 15.3 解析：不等式组10,10x y x +-≥⎧⎨-≤⎩表示的区域为甲图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图乙所示，由其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解得a ＝3.甲乙16.①②③ 解析：①正确，因为a n 2－21n a +＝p ，所以21n a +－2n a ＝－p ，于是数列{2n a }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为2kn a －2kn k a +＝(2kn a －21kn a +)＋(21kn a +－22kn a +)＋(22kn a +－23kn a +)＋…＋(21kn k a +-－2kn k a +)＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．17.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)(1)(1)a b c abc---=()()()b c a c a b abc+++=8=， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．18.解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝25,2,1,23,25, 3.x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时 ，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)由f (x )≤|x －4|，得|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，由|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |， 得4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 即－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值X 围为[－3,0]． 19.解：由53x x --≥2，得13x x --≤0， ∴1≤x ＜3.由x 2－ax ≤x －a ，得(x －a )(x －1)≤0. (1)当a ＜1时，解得a ≤x ≤1； (2)当a ＝1时，解得x ＝1； (3)当a ＞1时，解得1≤x ≤a . ∵⌝p 是⌝q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设p 对应集合A ，q 对应集合B ，则A ＝{x |1≤x ＜3}且B ⊆A . 当a ＜1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，B A ，不符合题意； 当a ＝1时，B ＝{x |x ＝1}，B ⊆A ，符合题意；当a ＞1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若B ⊆A ，需1＜a ＜3. 综上，得1≤a ＜3.∴实数a 的取值X 围是[1,3)．20.解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， 即b n ＋1－b n ＝2n －6.b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2×(1)2n n -－6(n －1)＝n 2－7n －8. 经验证，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知，a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)． 当n ＜8时，a n ＋1＜a n ，即a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 8； 当n ＝8时，a 9＝a 8；当n ＞8时，a n ＋1＞a n ，即a 9＜a 10＜a 11＜…. ∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．21.(1)证明：∵S n 2＝a n (S n －1)，∴S n 2＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)． ∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1n S －11n S -＝1. ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n，∴b n ＝log 2n ＋2n.∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10. 22．解：(1)当d 3＝2时，∵a 31＝1，∴a 32＝a 31＋d 3＝3，a 33＝a 31＋2d 3＝5，a 34＝a 31＋3d 3＝7，…，a 3n ＝a 31＋(n －1)d 3＝2n －1. (2)由题意知a mn ＝1＋(n －1)d m ，a 2n －a 1n ＝[1＋(n －1)d 2]－[1＋(n －1)d 1]＝(n －1)(d 2－d 1)，同理，a 3n －a 2n ＝(n －1)(d 3－d 2)，a 4n －a 3n ＝(n －1)(d 4－d 3)，…，a nn －a (n －1)n ＝(n －1)(d n－d n －1)．又因为a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列， 所以a 2n －a 1n ＝a 3n －a 2n ＝…＝a nn －a (n －1)n .故d 2－d 1＝d 3－d 2＝…＝d n －d n －1，即{d n }是公差为d 2－d 1的等差数列． 所以，d m ＝d 1＋(m －1)(d 2－d 1)＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2.令p 1＝2－m ，p 2＝m －1，则d m ＝p 1d 1＋p 2d 2，此时p 1＋p 2＝1.(3)当d 1＝1，d 2＝3时，d m ＝2m －1(m ∈N *)．数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…. 按分组规律，第m 组中有2m －1个奇数，所以第1组到第m 组共有1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2个奇数．注意到前k 个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，所以前m 2个奇数的和为(m 2)2＝m 4.即前m 组中所有数之和为m 4，所以(c m )4＝m 4.因为c m ＞0，所以c m ＝m ，从而2c m d m ＝(2m －1)·2m (m ∈N *)．所以S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n.2S n ＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1.故－S n ＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝2×2(2n－1)2－1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6.所以S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.。
【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版-理)一轮课时作业：10.6-随机数及用模拟方法估计概率
第6讲随机数及用模拟方法估计概率基础巩固1.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由Δ=1-4n≥0得n≤,又n∈(0,1),故所求事件的概率为P=.2.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成事件A的区域长度为1min,故P(A)=.3.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】阴影部分的面积是整个圆的面积的.4.如图,已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.5.3 B.4.3 C.4.7 D.5.7【答案】B【解析】这个面积是10×=4.3.5.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠xOT内的概率是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.事件A的几何度量是60°,而所有区域的几何度量是360°,故P(A)=.6.某人向平面区域|x|+|y|≤内任意投掷一枚飞镖,则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】区域|x|+|y|≤是边长为2的一个正方形区域(如下图),由图知所求概率为.7.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知事件A对应表示的区域,其面积为8,试验的全部结果构成的区域面积为16,故所求概率为P=.8.向面积为9的△ABC内任投一点P,那么△PBC的面积小于3的概率是. 【答案】【解析】如图,由题意,△PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED内, ∵,∴S△ADE=4.∴S梯形BCED=5.∴P=.9.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域.向D中随机投一点,则落入E 中的概率是.【答案】【解析】如图,区域D表示边长为4的正方形ABCG的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=.10.在不等式组所表示的平面区域内,点(x,y)落在区域内的概率是.【答案】【解析】如图,题中不等式组所表示的平面区域的面积是,在这个区域中带形区域的面积是1,故所求的概率是.11.两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见, 当且仅当-≤x-y≤.两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为P=.12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.【解】(1)由题意可知:,解得n=2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0)共4个.∴P(A)=.②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B所构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},P(B)==1-.13.已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a,b∈R).(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;(2)若b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.【解】(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a,b取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),( 2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3, 3),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为16.记“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a≠0, 当b>a且a≠0时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A包含的基本事件数为3,∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=.(2)记“方程f(x)=0没有实根”为事件B.∵b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0<a<3,0<b<2},这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6,则事件B所构成的区域为{(a,b)|0<a<3,0<b<2,a>b},其面积为6-×2×2=4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)=.拓展延伸14.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,B除外),将线段AB分成了三条线段.(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.【解】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4;1,2,3;2,2,2,共3种情况,其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形,则构成三角形的概率P=.(2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6-x-y,则全部结果所构成的区域为这个区域是坐标平面内以点O(0,0),A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形,其面积为×6×6=18.若三条线段能够构成三角形,则还应满足任意两边之和大于第三边,即满足这个区域是以D(0,3),E(3,0),F(3,3)为定点的三角形,其面积是.故所求的概率为.。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第8讲函数与方程
第 8 讲 函数与方程A 级 基础演练 (时间： 30 分钟 满分： 55 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 1．函数 f(x)＝sin x －x 零点的个数是 ()．A ．0B ． 1C ． 2D ． 3解析 f ′ (x)＝cos x －1≤0，∴f(x)单调递减，又 f(0)＝0，∴则f(x)＝ sin x －x 的零点是唯一的． 答案 B2．(2013 ·泰州模拟 )设 f(x)＝e x ＋x －4，则函数 f(x)的零点位于区间 ()． A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析 ∵f(x)＝e x ＋x －4，∴f ′ (x)＝e x ＋ 1>0，∴函数 f(x)在 R 上单调递增． 对于 A 项， f(－1)＝e －1＋ (－1)－ 4＝－ 5＋e －1<0，f(0)＝－ 3<0，f(－1)f(0)>0，A 不 正确，同理可验证 B 、 D 不正确．对于 C 项，∵f(1)＝ e ＋ 1－ 4＝e －3<0， f(2) ＝e 2＋ 2－ 4＝ e 2－2>0，f(1)f(2)<0，故选 C.答案 C． ·石家庄期末 ) 函数 f(x)＝2 x－ 2－a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a 3 (2013 x的取值范围是()．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－ a)(4－ 1－ a)<0，即 a(a －3)<0，解之得 0<a<3.第 1 页共 8 页答案 C4．(2011 ·东山 )已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x) ＝ x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为( )．A ．6 B． 7 C． 8 D． 9解析当 0≤ x<2 时，令 f(x)＝x3－＝，得x ＝或＝x 0 x 1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为 2，可知 y＝ f(x)在[0,6)上有 6 个零点，又f(6)＝f(3× 2)＝f(0)＝ 0，∴f(x)在[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )x2，x≤0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数 g(x)有两个零点，5．已知函数 f(x)＝f x－1 ， x>0，则实数 a 的取值范围为 ________．解析设 n 为自然数，则当n<x≤ n＋ 1 时， f(x)＝(x－ n－ 1)2，则当 x>0 时，函数 f(x)的图象是以 1 为周期重复出现．而函数y＝x＋a 是一族平行直线，当它过点 (0,1)(此时 a＝ 1)时与函数 f(x)的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数 a 的取值范围为a<1.答案(－∞， 1)x＋1，x≤0，6．函数 f(x)＝则函数 y＝f[f(x)]＋ 1 的所有零点所构成的集合为log2x，x>0，________．解析本题即求方程f[f(x)] ＝－ 1 的所有根的集合，先解方程f(t)＝－ 1，即t≤0，t>0， 1 1或log2t＝－ 1，得 t＝－ 2 或 t＝2.再解方程 f(x)＝－ 2 和 f(x)＝2.t＋1＝－ 1第 2 页共 8 页x ≤0， x>0，x ≤0， x>0，即或和1 或 1 x ＋1＝－ 2log2x ＝－ 2 x ＋1＝2log2x ＝ 2.1 1 得 x ＝－ 3 或 x ＝ 4和 x ＝－ 2或 x ＝ 2.1 1答案 － 3，－ 2，4， 2三、解答题 (共 25 分 )17．(12 分 )设函数 f(x)＝ 1－ x (x>0)． (1)作出函数 f(x)的图象；1 1(2)当 0<a<b ，且 f(a)＝ f(b)时，求 a ＋ b 的值； (3)若方程 f(x)＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围．解 (1)如图所示．1(2)∵f(x)＝ 1－ x1 x－1，x ∈ 0，1] ， ＝11－ x ，x ∈ 1，＋∞ ，故 f(x)在 (0,1]上是减函数，而在 (1，＋∞ )上是增函数， 由 0<a<b 且 f(a)＝f(b)，111 1得 0<a<1<b ，且 a －1＝1－b ，∴ a ＋b ＝2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当0<m<1 时，方程 f(x)＝m 有两个不相等的正根．8．(13 分 )已知函数 f(x)＝ x 3 ＋2x 2 －ax ＋ 1.(1)若函数 f(x)在点 (1， f(1))处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)＝ f ′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围．解 由题意得 g(x)＝ f ′ (x)＝3x 2 ＋4x － a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，∴ a＝3.第 3 页共 8 页1 (2)法一①当 g(－ 1)＝－ a－1＝0，a＝－ 1 时，g(x)＝f′(x)的零点 x＝－3∈(－1,1)；7②当 g(1)＝7－a＝ 0，a＝7 时， f′ (x)的零点 x＝－3?(－ 1,1)，不合题意；③当 g(1)g(－ 1)<0 时，－ 1<a<7；＝4× 4＋ 3a ≥0，－1<－2，43<1④当时，－3≤ a<－1.g 1 >0，g －1 >04综上所述， a∈ －3，7 .法二 g(x)＝f′(x)在区间 (－1,1)上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间 (－1,1)上有解，也等价于直线 y＝a 与曲线 y＝3x2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得4a∈ －3， 7 .或者又等价于当x∈(－1,1)时，求值域．2＋4x＝ 3 x＋2 2 4 4.a＝3x3 －∈ －，7 3 3B 级能力突破 (时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )1．(2011 ·陕西 )函数 f(x)＝x－ cos x 在[0，＋∞ )内( )．A ．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令 f(x)＝0，得x＝cos x，在同一坐标系内画出两个函数 y＝x与 y＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cos x 只有一个解．∴函数 f(x)只有一个零点．第 4 页共 8 页答案 B2．(2012 ·辽宁 )设函数 f(x)(x∈ R)满足 f(－x)＝ f(x)， f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝x3又函数g(x)＝π ，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－1，3上的. |xcos( x)|2 2零点个数为( )．A ．5 B． 6 C． 7D． 8解析由题意知函数 y＝f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时， f(x)＝x3，则当－ 1≤ x≤0 时，f(x)＝－ x3，且 g(x)＝|xcos(x)|π，所以当 x＝0 时，f(x)＝ g(x)．当1 3 2x≠0 时，若 0<x≤2，则 x ＝xcos( x)π，即 x＝|cos πx|.同理可以得到在区间－1， 0 ，1， 1 ，1，3上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得2 2 2关系式等号两边函数的图象，如图所示，有 5 个根．所以总共有 6 个．答案 B二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )3．已知函数 f(x)满足 f(x＋1)＝－ f(x)，且 f(x)是偶函数，当 x∈[0,1] 时， f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k 有4 个零点，则实数k 的取值范围为________．解析依题意得f(x＋ 2)＝－ f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以 2 为周期的函数． g(x)＝f(x)－kx－ k在区间 [－ 1,3]内有 4 个零点，即函数 y＝f(x)与 y＝k(x＋1)的图象在区间 [ －1,3]内有 4 个不同的交点．在坐标平面内画出函数 y ＝f(x)的图象 (如图所示 )，注意到直线 y＝k(x＋1)恒过点 (－ 1,0)，由题及图象可1知，当 k∈ 0，4时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间 [－1,3] 内有 4 个不同的第 5 页共 8 页1交点，故实数 k 的取值范围是0，4 .1答案0，44．若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件：① P、Q 都在函数 f(x) 的图象上；② P、Q 关于原点对称，则称点对 (P、Q)是函数 f(x)的一个“友好点对” (点对 (P、Q)与点对 (Q ， P) 看作同一个“友好点对” ) ．已知函数 f(x) ＝2x2＋4x＋1，x<0，2 则 f(x)的“友好点对”的个数是 ________．x，x≥0，e解析设 P(x， y)、Q(－ x，－ y)(x>0)为函数 f(x)的“ 友好点对”，则2 2 2 y＝e，－ y＝2(－ x) ＋4(－ x)＋1＝2x －x4x＋1，∴2 2－＋＝，在同一坐标系中作函数＋2x4xx 1 0e2 2y1＝e x、y2＝－ 2x＋4x－ 1 的图象， y1、y2 的图象有两个交点，所以f(x)有 2 个“友好点对”，故填 2.答案 2三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0， a， c∈ R)．(1)设 a>c>0.若 f(x)>c2－2c＋a 对 x∈[1 ，＋∞ )恒成立，求 c 的取值范围；(2)函数 f(x)在区间 (0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？a＋ c 解(1)因为二次函数 f(x)＝ 3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝3a，由a＋c 2a 2条件 a>c>0，得 2a>a＋ c，故3a <3a＝3<1，即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞ )的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞ )内是增函数．若f(x)>c2－ 2c＋a 对 x∈ [1，＋∞ )恒成立，则 f(x)min＝ f(1)>c2－ 2c＋a，即 a－c>c2－ 2c＋a，得 c2－c<0，第 6 页共 8 页所以 0<c<1.(2)①若 f(0) f(1)·＝c·(a－c)<0，则c<0，或 a<c，二次函数 f(x)在 (0,1)内只有一个零点．②若 f(0)＝c>0，f(1)＝ a－ c>0，则 a>c>0.因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋ c 的图象的对称轴是 x＝a＋c而a＋c ＝3a .f 3a －a2＋ c2－ac<0，3aa＋ c a＋ c所以函数 f(x)在区间 0，3a和3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(13 分 )已知二次函数 f(x)＝x2－ 16x＋q＋3.(1)若函数在区间 [ －1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为12－ t(视区间 [a， b] 的长度为 b－a)．解(1)∵函数 f(x)＝ x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝ 8，∴f(x)在区间 [ －1,1]上是减函数．f 1 ≤ 0，∵函数在区间 [ － 1,1] 上存在零点，则必有即f －1 ≥0，1－ 16＋q＋3≤0，∴－ 20≤q≤12.1＋ 16＋q＋3≥0，(2)∵0≤ t<10， f(x)在区间 [0,8] 上是减函数，在区间 [8,10] 上是增函数，且对称轴是 x＝8.①当 0≤t≤ 6 时，在区间 [t,10]上， f(t)最大， f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－ 15t＋52＝0，解得 t＝15±17，∴ t＝15－ 17 2 2；②当 6<t≤8 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8；③当 8<t<10 时，在区间 [t,10]上， f(10)最大， f(t)最小，第7 页共 8 页∴f(10)－f(t)＝12－ t，即 t2－17t＋72＝ 0，解得 t＝8,9，∴t＝9.15－17综上可知，存在常数t＝，8,9 满足条件 .特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容 .第8 页共 8 页。
【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第三章 导数3.3
第3讲导数的应用(二)最值及导数的综合应用基础巩固1.当x≠0时,有不等式()A.ex<1+xB.当x>0时,ex<1+x,当x<0时,ex>1+xC.ex>1+xD.当x<0时,ex<1+x,当x>0时,ex>1+x【答案】C【解析】设y=ex-1-x,则y'=ex-1,于是当x>0时,函数y=ex-1-x是递增的;当x<0时,函数y=ex-1-x是递减的.故当x=0时,y有最小值y=0.因此应选C.2.右图中三条曲线给出了三个函数的图象,一条表示汽车位移函数s(t),一条表示汽车速度函数v(t),一条是汽车加速度函数a(t),则()A.曲线a是s(t)的图象,b是v(t)的图象,c是a(t)的图象B.曲线b是s(t)的图象,a是v(t)的图象,c是a(t)的图象C.曲线a是s(t)的图象,c是v(t)的图象,b是a(t)的图象D.曲线c是s(t)的图象,b是v(t)的图象,a是a(t)的图象【答案】D【解析】由于v(t)=s'(t),a(t)=v'(t),注意到所给的三条曲线中,只有曲线a上有部分点的纵坐标小于零,因此只有曲线a才能作为加速度函数a(t)的图象,曲线b有升有降,因此其导函数图象有正有负,这与所给曲线a的形状吻合,因此b为速度函数v(t)的图象.3.(2013届·江苏无锡月考)已知a≤+ln x,x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】设f(x)=+ln x,则f'(x)=+=,当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间上单调递减,当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,因此f(x)mi n=f(1)=0.故a≤0,即a的最大值为0.4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,则使行驶每千米的费用总和最小时,此轮船航行速度为()A.20 km/hB.25 km/hC.19 km/hD.18 km/h【答案】A【解析】设轮船速度为x(x>0)时,燃料费用为Q元,则Q=kx3,由6=k×103可得k=,于是Q=x3,总费用y=·=x2+,y'=x-,令y'=0得x=20,当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减,当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增,因此当x=20时,y取得最小值.故此轮船以20km/h 的速度行驶每千米的费用总和最小.5.已知f(x)=x2-cos x,x∈[-1,1],则导函数f'(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值,又有最小值的奇函数【答案】D【解析】f'(x)=x+sin x,显然f'(x)是奇函数,令h(x)=f'(x),则h(x)=x+sin x,求导得h'(x)=1+cos x.当x∈[-1,1]时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.故f'(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.6.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,则y'=4πaR-.令y'=0,得=.结合题意知,应选C.7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.15【答案】A【解析】求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,从而可得a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,因此当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.8.函数f(x)=x2-ln x的最小值为.【答案】【解析】由得x>1.由得0<x<1.故函数f(x)在x=1时,取得最小值f(1)=-ln1=.9.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x t的成本为R=50000+200x(元),则该厂每月生产t产品才能使利润达到最大.(利润=收入-成本)【答案】200【解析】每月生产x t时的利润为f(x)=x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).由f'(x)=-x2+24000=0得x1=200,x2=-200,舍去负值.故函数f(x)在[0,+∞)内有唯一的极大值点,也是最大值点.10.已知函数f(x)的自变量取值区间为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.若g(x)=x+m-ln x的保值区间是[2,+∞),则m的值为.【答案】ln2【解析】 g'(x)=1-=,当x≥2时,函数g(x)为增函数,因此函数g(x)的值域为[2+m-ln2,+∞),于是2+m-ln2=2,故m=ln2.11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值.【解】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b,当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①当x=时,y=f(x)有极值,则f'=0,可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,则f(1)=4,因此1+a+b+c=4,即c=5.故a=2,b=-4,c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,于是f'(x)=3x2+4x-4,令f'(x)=0,得x1=-2,x2=.当x变化时,y,y'的取值及变化如下表:x -3(-3,-2)-21y'+ 0 - 0 +y 8 ↗13↘↗ 4故y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13,最小值为.12.某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?【解】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*,且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19).(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)·(x+9),∵x>0,∴P'(x)=0时,x=12,于是当0<x<12时,P'(x)>0,当x>12时,P'(x)<0.故x=12时,P(x)有最大值,即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.13.已知函数f(x)=x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.【解】(1)∵f(x)=x2+ln x,∴f'(x)=2x+.∵x>1时,f'(x)>0,故f(x)在区间[1,e]上是增函数,∴f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x,则F'(x)=x-2x2+===,∵x>1,∴F'(x)<0.从而可知F(x)在(1,+∞)上是减函数,于是F(x)<F(1)=-=-<0.即f(x)<g(x).故当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)=x3+x2的图象的下方.拓展延伸14.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.【解】(1)证明:f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0,从而可知f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.因此,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.于是f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)},f(-1)=+1+ln a,f(1)=a+1-ln a,f(1)-f(-1)=a--2ln a,记g(x)=x--2ln x,因为g'(x)=1+-=≥0,所以g(x)=x--2ln x递增.于是可知f(1)-f(-1)=a--2ln a>0, 即f(1)>f(-1).因此f(x)max=f(1)=a+1-ln a.故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-ln a,结合题意可知a-ln a≤e-1,从而可得1<a≤e.。
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2.5指数与指数函数
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．5指数与指数函数2.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式 ①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n 为奇数)，|a |＝⎩⎨⎧ ，a ≥0， ，a <0(n 为偶数)； ②(na )n ＝______(n ＞1且n ∈N *)(注意a 必须使n a 有意义)．2．实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是m na ＝______(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是性质定义域__________值域__________单调性在R上__________在R上__________ 函数值变化规律当x＝0时，__________ 当x＜0时，__________；当x＞0时，__________当x＜0时，__________；当x＞0时，__________1．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得()．A．2x2y B．2xy C．4x2yD．－2x2y2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有()．A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a＞0且a≠1 3．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2x的图象，则()．A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－24．函数y＝xa x|x|(0＜a＜1)图象的大致形状是( )．5．函数f (x )＝223x x a +-＋m (a ＞1)恒过点(1,10)，则m ＝__________.一、指数式与根式的计算【例1】 计算下列各式的值． (1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)3322111143342()a b ab a b a b -(a ＞0，b ＞0)．方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例2－1】 在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )． A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【例2－2】 已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【例2－3】 k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？方法提炼1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2. 如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．4．函数y＝a f(x)的值域的求解，先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝a f(x)的值域．请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用【例3】已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a＞0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现．请做演练巩固提升5忽略0＜a＜1或弄错x的范围而致误【典例】(12分)已知函数y＝b＋22x xa (a，b是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值． 分析：先确定t ＝x 2＋2x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构建关于a ，b 的方程组求解．规范解答：∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)(1)若a ＞1，函数y ＝a t 在[－1,0]上为增函数， ∴a t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b ＋1a ，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(7分)(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t 在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1，1a ，则b ＋22x x a +∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.(12分)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)误将x 的范围当成x 2＋2x 的范围，从而造成失误．(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误．2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误；(3)利用幂的运算性质化简指数式时失误；(4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．1．(2019天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )．①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )；④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④4．计算⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝__________. 5．若函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1为奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数的定义域；(3)讨论函数的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n ＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①na m ②1m na③0 (2)①ar ＋s②a rs ③a r b r (3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1基础自测1．D 解析：416x 8y 4＝1844(16)x y＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 解析：由已知，得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2. 3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x ＋2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x .故选D.5．9 解析：f (x )＝223x x a+-＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)原式＝ ＝2132850027⎛⎫-+ ⎪⎝⎭－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2 ＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝1213233211233()a b a b ab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1.【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称．【例2－2】解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝24313x x --+⎛⎫⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫13g (x )在R 上单调递减．所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. 【例2－3】 解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．【例3】解：(1)函数定义域为R，关于原点对称．又∵f(－x)＝a(a－x－a x)＝－f(x)，a2－1∴f(x)为奇函数．(2)当a＞1时，a2－1＞0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数，∴f(x)为增函数．故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴f(x)在区间[－1,1]上为增函数．∴f(－1)≤f(x)≤f(1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a ＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升1．A 解析：a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1. ∴c ＜b ＜a .2．D 解析：若a ＞1，则y ＝a x 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa ＜2π；若0＜a ＜1，则y ＝a x 是减函数，且y ＝sin a x的周期T ＝2πa ＞2π.3．A 解析：∵S (x ＋y )＝a x ＋y－a－(x ＋y )2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y＋a－y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y－ax －y＋a y －x－a－(x ＋y )4＝2ax ＋y－2a －(x ＋y )4＝ax ＋y －a－(x ＋y )2＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A.4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷12100 ＝lg(14×125)÷121100＝lg 1100÷1100＝lg 10－2×100＝－2×10＝－20.5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则 y 1－y 2＝2121x -－1121x -＝122122(21)(21)x x x x ---.∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x .∴12x －22x ＜0,12x －1＞0,22x －1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教学案理新人教A版
4． B 解析： 由 x＋ 1>0， 4－ x2≥０
x≠0，
得 x>－1，
－2≤ x≤2，
所以定义域为 ( － 1 ,0) ∪(0,2] ．
5． A
解析：
当
x≤１时，
x
3＝
2，
∴ x＝log 32；
当 x＞1 时，－ x＝ 2，∴ x＝－ 2( 舍去 ) ．
∴ x＝log 32.
3．若两个函数的定义域与值域相同， 它们不一定是同一函数， 如函数 y＝ x 与 y＝ x＋ 1，
其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如
y＝sin x 与 y＝ cos x，其定义域都为
R，值域都为 [ － 1,1] ，显然不是同一个函数． 定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．
4．分段函数的定义域、 值域为各段上的定义域、 值域的并集； 最大 ( 小 ) 值是各段最大 ( 小 )
－x， x>1，
A． log 32 C． log 32 或－ 2
B．－ 2 D． 2
一、求简单函数的定义域、值域
【例 1－ 1】 (2012 江苏高考 ) 函数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x的定义域为 __________ ．
【例 1－ 2】已知函数 f (3 － 2x) 的定义域为 [ － 1,2] ，求 f ( x) 的定义域．
考点探究突破
【 例 1 － 1 】 (0 ， 6 ] 解 析 ： 要 使 函 数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x 有 意 义 ， 则 需
1－ 2log 6x≥0， x>0，
解得 0＜ x≤ 6，故 f ( x) 的定义域为 (0 ， 6] ．
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2.6对数与对数函数
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．6对数与对数函数常用对数 底数为__________自然对数 底数为__________3．对数的运算(1)对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________；②log a M N ＝__________；③log a M n ＝______(n ∈R)．(2)换底公式log a b ＝______________________.4．对数函数的图象和性质(1)对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象性 质[来源:1] 定义域：__________[来源:1][来源:1ZXXK] 值域：______ 过定点______，即x ＝1时，y ＝______单调性：在(0，＋∞)上是______ 单调性：在(0，＋∞)上是______当0＜x ＜1时，y ∈______；当x ＞1时，y ∈______ 当0＜x ＜1时，y∈______；当x ＞1时，y ∈______ 5．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n ；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ； ⑤log a x n ＝log a n x ；⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y. 其中正确的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．函数y ＝2－x lg x的定义域是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2}3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )．A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞14．(2019安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A.14 B.12C ．2D ．45．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________．一、对数式的化简与求值【例1－1】 若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝__________.【例1－2】 (2019北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log ma N n ＝n m log a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2－1】已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为__________．【例2－2】已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．方法提炼1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法：(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；(2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；(3)分别求出两函数的单调区间；(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．2．图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系可按下列规律进行记忆：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3－1】(2019上海高考改编)已知f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．【例3－2】 已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 014的值； (2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．方法提炼1．求f (a )＋f (－a )的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．2．求形如f (2 014)，f (2 013)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】 已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315⎛⎫ ⎪⎝⎭，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：c ＝3log 0.315⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3log 0.35-＝310log 35，log 2 3.4＞log 2 2＝1，log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3 103＞log 3 3＝1， 又log 2 3.4＞log 2 103＞log 3 103， ∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6. 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b .答案：C答题指导：通过高考阅卷的数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示及备考建议：1．本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较．(2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．2．通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意：(1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．1．(2019重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c2．函数f (x )＝2|log |2x 的图象大致是( )．3．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为__________． 4．已知lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log x y 的值为__________．5．已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理 1．a b ＝N (a ＞0，且a ≠1) b ＝log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N2．log a N 10 lg N e ln N3．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M (2)log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)4．(1)log a x (a ＞0，且a ≠1) (2)(0，＋∞) R (1,0) 0 增函数 减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0)5．y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)基础自测1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确．2．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，x >0，x ≠1，得0＜x ＜1或1＜x ≤2. 3．D 解析：由0＜log a 2＜log b 2知，a ，b 均大于1.又log 2a ＞log 2b ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.4．D 解析：原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4. 5．(2,2)考点探究突破【例1－1】 829解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝2log 34＋2log 34 ＝9＋19＝829. 【例1－2】 2 解析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.【例2－1】4 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.【例2－2】解：(1)由a x －1＞0，得a x ＞1. 当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则1＜1x a ＜2x a ，故0＜1x a －1＜2x a －1， ∴log a (1x a －1)＜log a (2x a －1)． ∴f (x 1)＜f (x 2)．故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【例3－1】解：(1)由⎩⎨⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2x x ＋1＜10. 因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23＜x ＜13. (2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．【例3－2】 解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x， f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x， ＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x －1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )． 即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 014＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x在(－1,1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a. 演练巩固提升1．B 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.2．C 解析：∵f (x )＝2|log |2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C. 3．0 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 014＋f (2 014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0. 4．2 解析：依题意，可得lg(xy ) ＝lg (2x －3y )2，即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋9＝0， 解得x y ＝1或x y ＝94. ∵x ＞0，y ＞0,2x －3y ＞0，∴x y ＝94，∴32log x y ＝2. 5．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1＜x ＜1. 故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，所以f(x)＞0 x＋11－x＞1.解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第10章 算法初步、推理与证明10.
课时作业50 合情推理与演绎推理一、填空题1.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝__________.2．(2012江苏镇江高三期末)圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在点(2,1)处的切线方程为__________．3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上式子中，类比得到的结论正确的是________．4．定义一种运算“*”：对于正整数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1]__________．5．先阅读下列证明：若两个实数a 1，a 2满足a 1＋a 2＝1，那么a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.根据这一证明方法，将上述不等式推广到n 个实数的情形，写出你推广的结论(不必证明)__________．6．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥ABCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两相互垂直，则__________．7．将以下三段论补充完整： ________________，(大前提) 正方形是矩形，(小前提)正方形的对角线相等．(结论)8．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__________．9．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk .类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则__________．二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝32；sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝32；sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝32.11．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有2i －1个正整数，设a ij (i ，j ∈N *)表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数．(1)求a 69的值； (2)用i ，j 表示a ij .12．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特性的性质，并加以证明．参考答案一、填空题1.5＋12 解析：在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0. ∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12.2．x ＋2y －4＝0 解析：由类比推理得椭圆x 28＋y 22＝1在点(2,1)处的切线方程为2x 8＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.3．①②4．n 解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1]若n个实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n6．S 2△DBC ＝S 2△DAB ＋S 2△DAC ＋S 2△ABC7．矩形的对角线相等8.2n n －1n －2 解析：因为第n (n ≥2)行第1个数为1A 1n ，第2个数为1A 2n，所以第n －1(n ≥3)行的第2个数为1A 2n －1.设第n (n ≥3)行的第3个数为x ，则有1A 2n －1＝1A 2n＋x ，解得x ＝2n n －1n －2.9.∑i ＝14(iH i )＝3V k 解析：由S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，得S 1＝k ，S 2＝2k ，S 3＝3k ，S 4＝4k ，∴V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)．∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk，即∑i ＝14(iH i )＝3Vk.二、解答题10．解：猜想：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32.证明：左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin 2α＋(sin αcos 60°＋cosαsin 60°)2＝32(sin 2α＋cos 2α)＝32＝右边．11．解：(1)a 69＝25＋(9－1)＝40.(2)因为数表中前i －1行共有1＋2＋22＋…＋2i －2＝2i －1－1个数，则第i 行的第一个数是2i －1，所以a ij ＝2i －1＋j －1.12．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。
《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第十一篇 第1讲_抽样方法与总体分布的
第十一篇统计与概率第1讲 抽样方法与总体分布的估计A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )．A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A. 答案 A2．(2013·南昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )．A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为 1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%. 答案 C3．(2013·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )． A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析 甲社区驾驶员的抽样比例为1296＝18，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为12＋21＋25＋43N ＝101N ，由101N ＝18，得N ＝808.答案 B4．(2012·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．解析 设第1组抽取的号码为b ，则第n 组抽取的号码为8(n －1)＋b ，∴8×(16－1)＋b ＝126，∴b ＝6，故第1组抽取的号码为6. 答案 66．(2013·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．解析低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1 000－200＝800.答案800三、解答题(共25分)7．(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．8．(13分)(2012·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．解(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为425÷10＝0.016.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()．A．13,12 B．13,13C．12,13 D．13,14解析设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.答案 B2．(2012·江西)样本(x1，x2，…，x n)的平均数为x，样本(y1，y2，…，y m)的平均数为y(x≠y)．若样本(x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y m)的平均数z＝αx＋(1－α)y，其中0<α<12，则n，m的大小关系为()．A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析 依题意得x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ，x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m ＝(m ＋n )z ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ， ∴n x ＋m y ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝(m ＋n )α，m ＝(m ＋n )(1－α)，于是有n －m ＝(m ＋n )[α－(1－α)]＝(m ＋n )(2α－1)， ∵0<α<12，∴2α－1<0，∴n －m <0，即m >n . 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________． 解析 由n600＋500＋550＝11550，得n ＝33(人)．答案 334．(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________．解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920＝54. 答案 54 三、解答题(共25分)5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的均值为x 乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值范围． 解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2甲＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)25＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 乙＝100＋120＋x ＋y ＋1605＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差s2乙＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(220－x－120)2＋(160－120)25，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s2乙<s2甲，解得90<x<130.6．(13分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工(2)的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P(A)＝410＝25.一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·新课标全国)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，则B A.答案 B2．(2012·浙江)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{3，4，5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5} D．{1，2}解析∁U Q＝{1，2，6}，∴P∩(∁U Q)＝{1，2}．答案 D3．(2012·郑州三模)设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M ＝()．A．{1，4} B．{1，5} C．{2，3} D．{3，4}解析U＝{1，2，3，4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，∴∁U M＝{1，4}．答案 A4．(2012·长春名校联考)若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅解析∁R A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，∴(∁R A)∩B＝{x|0≤x≤1}．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湘潭模拟)设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________．解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.答案 16．(2012·天津)集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析 由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3.答案 －3三、解答题(共25分)7．(12分)若集合A ＝{－1，3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1，3}．∴⎩⎨⎧－a ＝－1＋3＝2，b ＝（－1）×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 8．(13分)已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B .∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，不合题意．综上知a ＝－3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·南昌一模)已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是 ( )．A ．[－2，1)B ．[－2，2]C ．(－∞，－2)∪[3，＋∞)D ．(－∞，2) 解析 图中阴影表示的集合是(∁U N )∩M ，又M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N ＝(1，3)，(∁U N )＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，故(∁U N )∩M ＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．答案 C2．(2012·潍坊二模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1，1)，(1，1)}解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0，2]． 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析 ①中－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确．②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1，2∈A 2，但是，3＋2∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案 ②4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.答案 8三、解答题(共25分)5．(12分)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3，5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.∴B ＝{5}，∴B A .(2)∵A ＝{3，5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 6．(13分)(2013·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵B ∪A ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎨⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3. 综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．。
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2.4一次函数、二次函数
《志鸿优化设计》2014届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第二章函数2．4一次函数、二次函数奇偶性当b≠0时，__________；当b＝0时，__________当b≠0时，__________；当b＝0时，______周期性非周期函数非周期函数顶点____________对称性过原点时，关于____对称k＝0时，关于____对称图象关于直线________成轴对称图形2．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝______________；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝______________；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝______________.1．在同一坐标系内，函数y＝x a(a＜0)和y＝ax＋1a的图象可能是如图中的()．2．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0有一个负数根”的()．A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是_____．4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝__________.5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．一、一次函数的概念与性质的应用【例1－1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)＝__________.【例1－2】已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时，(1)这个函数为正比例函数；(2)这个函数为一次函数；(3)函数值y随x的增大而减小．方法提炼一次函数y＝kx＋b中斜率k与截距b的认识：一次函数y＝kx＋b中的k满足k≠0这一条件，当k＝0时，函数y＝b，它不再是一次函数，通常称为常数函数，它的图象是一条与x轴平行或重合的直线．请做演练巩固提升3二、求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．方法提炼在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式．提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当，引入的系数过多，会加大运算量，易出错．请做演练巩固提升2三、二次函数的综合应用【例3－1】设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是()．A．①④B．①③C．①②③D．②④【例3－2】 (2019北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是__________．方法提炼1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与各系数间的关系：(1)a 与抛物线的开口方向有关；(2)c 与抛物线在y 轴上的截距有关；(3)－b 2a与抛物线的对称轴有关； (4)b 2－4ac 与抛物线与x 轴交点的个数有关．2．关于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)在R 上的恒成立问题：解集为R ⇔⎩⎨⎧ a >0，Δ<0或⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫解集为R ⇔⎩⎨⎧ a <0，Δ<0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0. 请做演练巩固提升5分类讨论思想在二次函数中的应用 【典例】(12分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．分析：(1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可．(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准．规范解答：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a ＞0，即a ＜0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(3分)(2)记f (x )的最小值为g (a )，则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 32＋2a 23，x >a ，(x ＋a )2－2a 2，x ≤a . ①②(5分)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.当a ＜0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3＝23a 2，若x ＞a ， 则由①知f (x )≥23a 2.若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2. 此时g (a )＝23a 2， 综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥02a 23，a <0.(9分) (3)①当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)；②当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； ③当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.(12分) 答题指导：1．分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的思想方法．2．在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．3．解决函数问题时，以下几点容易造成失分：(1)含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；(2)分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；(3)解一元二次不等式时，不能与二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻．4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值4ac－b24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b2a＜k1；②k1≤－b2a＜k1＋k22；③k1＋k22≤－b2a＜k2；④－b2a≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝()．A．x2＋x B．x2－x＋1C．x2＋x－1 D．x2－x－13．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)＝__________.4．(2019重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.5．函数f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R 上恒成立，则a的取值范围是__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．R R R ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 增函数 减函数 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－b 2a ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－b 2a ，＋∞ 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数 偶函数 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 原点 y 轴 x ＝－b 2a2．(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)基础自测1．B 2.B3．[25，＋∞) 解析：由题意知m 8≤－2， ∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.4．2 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数，f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，即b 2－2b ＋2＝b .∴b 2－3b ＋2＝0.∴b ＝2或b ＝1(舍)．5．5 解析：由题意知－a ＋22＝1， 解得a ＝－4，∴b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5，当x ∈[－4,6]时，f (x )min ＝5.考点探究突破【例1－1】 2x ＋7 解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3[k (x ＋1)＋b ]－2[k (x －1)＋b ]＝3k (x ＋1)＋3b －2k (x －1)－2b＝kx ＋5k ＋b ，由题意得，kx ＋5k ＋b ＝2x ＋17，∴⎩⎨⎧ k ＝2，5k ＋b ＝17，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 【例1－2】 解：(1)当⎩⎨⎧2m －1≠0，1－3m ＝0，即m ＝13时，函数为正比例函数． (2)当2m －1≠0，即m ≠12时，函数为一次函数．(3)当2m －1＜0，即m ＜12时，函数为减函数，y 随x 的增大而减小．【例2】 解：依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a ＜0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a .而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋15a ＝2－90a ， ∴2－90a ＝17，则a ＝－6.∴f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.【例3－1】 C 解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数，排除D ；b ＝0，c ＞0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x ＜0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，只有一个实数根，排除A ，B ，故选C.【例3－2】 (－4,0) 解析：由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立．(1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，画出图象①，显然满足条件；(2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧－1<m <0，2m <1，解得－1＜m ＜0，如图②；(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件，则需⎩⎨⎧m <－1，－(m ＋3)<1，解得－4＜m ＜－1，如图②.综上可知，m 的取值范围为(－4,0)． 演练巩固提升1．C2．B 解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋(a ＋b )＝2x .∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1，故选B. 3.3x ＋3－1或－3x －3－1 解析：令f (x )＝ax ＋b ，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝3x ＋2. ∴⎩⎨⎧ a 2＝3，ab ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3－1或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－3－1. ∴f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－1.4．4 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝x 2＋(4－a )x －4a ＝x 2＋(a －4)x －4a ，a －4＝4－a ，a ＝4.5．－4＜a ≤0 解析：当a ＝0时，f (x )＝－1＜0，当a ≠0时，若f (x )＜0在R 上恒成立，则有⎩⎨⎧ a <0，Δ＝a 2＋4a <0，即－4＜a ＜0. 综上得－4＜a ≤0.。
【志鸿优化设计】(湖北专用)2014届高考数学一轮复习 选考部分几何证明选讲教学案 理 新人教A版选
选考部分选修4—1 几何证明选讲考纲要求1．了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理．1．平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；②相似三角形周长的比等于______；③相似三角形面积的比等于________________；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．5．圆周角定理(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____． (2)圆心角定理 圆心角的度数等于______________． 推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____． 6．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角____．性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____． 7．圆的切线的性质及判定定理性质定理 圆的切线垂直于经过切点的____．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____． 8．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的______． 9.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等．(3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的____．1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3，则圆O 的半径为__________．(第3题图) (第4题图)4．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为__________．5．(2012陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝__________.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BF FE＝__________.方法提炼1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升3 二、射影定理的应用【例2】 如图，圆O 的直径AB ＝10，弦DE ⊥AB ，垂足为点H ，且AH ＜BH ，DH ＝4，则(1)AH ＝__________；(2)延长ED 至点P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC ＝25，则PD ＝__________. 方法提炼1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法． 请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】 如图，⊙O 过点C ，⊙C 交⊙O 于点A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙C 于点D ，若AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)； (2)若AC ＝AP ，则PC PA＝__________.方法提炼1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．方法提炼1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．请做演练巩固提升2 六、四点共圆的判定【例6】 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ，则O ，B ，D ，E ______四点共圆．(填“是”或“不是”)方法提炼1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等．2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (10分)如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)求证：AM·MB＝DF·DA.规范解答：(1)连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵CA是∠BAF的平分线，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.(3分)∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(5分)(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.(8分)由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.(10分)答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________．2．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD ＝3，BD＝6，则PB＝__________.3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为__________．5．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK ，则C ，D ，K ，M __________四点共圆．(填“是”或“不是”)6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，若∠BAC ＝60°，则∠ADB ＝__________.参考答案知识梳理1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方4．比例中项 比例中项5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．圆周角9．(1)积 (2)积 (3)比例中项 (4)夹角 基础自测1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 2．4 解析：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB＝CP ×PD ＝4CP 2，可得CP ＝2，PD ＝8，则PE ＝3.又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π6.则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2＝27.4．6 解析：由切割线定理，得PT 2＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破【例1】 4 32解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，所以AE DG ＝41.从而AF FD ＝AE DG ＝41，所以GF FE ＝14.因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝32.【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，故由射影定理DH 2＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，∴AH 2－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2＝PD ·PE ，(25)2＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝AB AE，即2AC 2＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，所以AC ＝10.【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C .又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB.∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°.在Rt△ABC 中，1tan C ＝CA AB ，即1tan 30°＝CAAB，∴CA AB ＝3.∴PC PA ＝CAAB＝ 3. 【例5】 2 解析：设圆O 的半径为R ，由PA ·PB ＝PC ·PD ，得3×(3＋4)＝(5－R )(5＋R )，解得R ＝2. 【例6】 是 解析：连接BE ，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点， ∴DE ＝BD .又∵OE ＝OB ，OD ＝OD ， ∴△ODE ≌△ODB .∴∠OBD ＝∠OED ＝90°. ∴O ，B ，D ，E 四点共圆． 演练巩固提升1．1∶9 解析：如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ∶AC ＝1∶3，作CD ⊥AB 于D ，由射影定理得BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB ， 则BC 2AC 2＝BD AD ＝19， 故它们在斜边上的射影的比是1∶9.2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理，得PT 2＝PB ·PA ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DECE，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.66解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝PC PA ＝BCAD. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝66.5．是 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，∵∠DAB＋∠ADC＝180°，∴∠CMK＋∠KDC＝180°.故C，D，K，M四点共圆．6．120°解析：在圆周上任取一点E，连接AE，BE，由弦切角定理，得∠AEB＝∠BAC ＝60°.因为ADBE是圆内接四边形，所以∠E＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝120°.。
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第二章函数2.8函数的图象及其变换教学案理新人教A版
f ( x) ＞ 0，而
f ( x) ＝ 0 有无数个根，所以 D正确．
【例 2－ 2】 B 解析： 方法一：排除法，当 a＜ 0，b≠０时， g( x) ＝ af ( x) ＋ b 是非奇
非偶函数，不关于原点对称，排除 A；
当 a＝－ 2， b＝0 时， g( x) ＝－ 2f ( x) 是奇函数，不关于 y 轴对称，排除 C；
到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
提醒： 对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但
要注意加、减指的是在自变量上，否则不成立．
请做演练巩固提升 1 二、函数图象与解析式的对应关系
cos 6 x
【例 2－ 1】 (2012 山东高考 ) 函数 y＝ 2x－2－ x的图象大致为 (
基础自测
1． B 解析： y＝ lg | x－ 1| 关于直线 x＝ 1 对称，排除 A， D；因函数值可以为负值，故
选 B. 2． C 解析： 当 0＜ a＜ 1 时， y＝ a－x 为增函数且过点 (0,1) ，y＝ log ax 为减函数且过点
(1,0) ，故应选 C.
a， a≤ b， 3． A 解析： 由 a b＝
作出．
(2) 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可
利用图象变换作出， 但要注意变换顺序， 对不能直接找到基本函数的要先变形， 并应注意平
移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． (3) 描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
3．已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当
【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.4
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【答案】B【解析】圆心到直线的距离d==<1,∴直线与圆相交但不过圆心.2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】可判断圆C1与C2相交,故公切线有2条.3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【答案】D【解析】设切线方程为y-=k(x-1),由d=r,可求得k=.故所求切线方程为x-y+2=0.4.过点(0,-1)作直线l与圆x2+y2-2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|A B|=8,则直线l的方程为()A.3x+4y+4=0B.3x-4y-4=0C.3x+4y+4=0或y+1=0D.3x-4y-4=0或y+1=0【答案】C【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.圆心为(1,2),半径r=5,又|AB|=8,从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x+4y+4=0或y+1=0.5.已知一圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=52,∴圆心为P(3,4).∴过点(3,5)的最长弦为直径|AC|=10,过点(3,5)的最短弦|BD|=2=4.故S四边形ABCD=|AC||BD|=×10×4=20.6.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则等于()A. B.或-C. D.或-【答案】D【解析】∵·=0,∴OM⊥CM.∴OM是圆C的切线.设OM的方程为y=kx,由=,得k=±,即=±.7.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A.[1-,1+]B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)C.[2-2,2+2]D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)【答案】D【解析】∵直线与圆相切,∴=1,∴|m+n|=,即mn=m+n+1.设m+n=t,则mn≤=,∴t+1≤.∴t2-4t-4≥0,解得t≤2-2或t≥2+2.8.(2012·北京卷,9)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.【答案】2【解析】由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.设截得的弦长为l,则由+()2=22,得l=2.9.(2012·天津卷,12)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为.【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2.∴=.∴m2+n2=≥2|mn|,即|mn|≤.l与x轴交点A,与y轴交点B,故S△AOB=·=·×6=3.10.求过点P(4,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的方程.【解】设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r,则A,M,C三点共线,且有|MA|=|AP|=r,因为圆C:x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),则解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.11.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,求圆C的方程.【解】设点P关于直线y=x+1的对称点为C(m,n),则有解得故圆心C(0,-1)到直线3x+4y-11=0的距离d==3,所以圆C的半径的平方r2=d2+=18.故圆C的方程为x2+(y+1)2=18.12.已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)过M作圆的割线交圆于A,B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程;(2)过M作圆的切线,切点为C,D,求切线长及CD所在直线的方程.【解】(1)圆x2+y2-4x+2y-3=0化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=8,圆心为P(2,-1),半径r=2.①若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N,则|PN|==,由|PN|2+=r2,得k=-,此时AB的直线方程为45x+28y+44=0.②若割线斜率不存在,AB:x=4,代入圆方程得y2+2y-3=0,解得y1=1,y2=-3,符合题意. 综上,直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4.(2)切线长为==3.以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)·(y+8)=0,即x2+y2-6x+9y+16=0.又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0,两式相减,得2x-7y-19=0,所以直线CD的方程为2x-7y-19=0.拓展延伸13.已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?【解】(1)设直线l的斜率为k.直线l的方程可化为y=x-,此时直线l的斜率k=.因为|m|≤(m2+1),所以|k|=,当且仅当|m|=1时等号成立.所以斜率k的取值范围是.(2)不能.由(1)知直线l的方程为y=k(x-4),其中|k|≤.圆C的圆心为(4,-2),半径r=2,圆心C到直线l的距离为d=,由|k|≤,得d≥>1,即d>,从而,若直线l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.。
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集合与常用逻辑用语
第1讲集合的概念与运算
1.设集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若x∈A,且x∉B,则x等于( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】A
【解析】由题意可知x=-1.
2.若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B等于( )
A.{x|-1<x<1}
B.{x|-2<x<1}
C.{x|-2<x<2}
D.{x|0<x<1}
【答案】D
【解析】画出数轴如图所示,从图中可以看出
A∩B={x|0<x<1}.故选D.
3.若集合P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( )
A.Q⫋P
B.P⫋Q
C.P⫋∁RQ
D.Q⫋∁RP
【答案】A
【解析】∵x2<4,∴-2<x<2.
∴Q={x|-2<x<2}.∴Q⫋P.故选A.
4.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N=,则右图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|x<2}
【答案】C
【解析】题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N,集合M={x|x>2或x<-2},集合N={x|1<x≤3},由集合的运算,知(∁UM)∩N={x|1<x≤2}.
5.(2012·辽宁卷,1)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{5,8}
B.{7,9}
C.{0,1,3}
D.{2,4,6}
【答案】B
【解析】由已知条件可得∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9},
所以(∁UA)∩(∁UB)={7,9},故选B.
6.(2012·浙江卷,1)设集合A={x|1<x<4},集合B={x|x2-2x-3≤0},则A∩(∁RB)=( )
A.(1,4)
B.(3,4)
C.(1,3)
D.(1,2)∪(3,4)
【答案】B
【解析】由已知,得B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},
所以∁RB={x|x<-1或x>3}.
所以A∩(∁RB)={x|3<x<4}.
7.(2012·北京东城综合练习(一))非空集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在
c∈G,使得对一切a∈G,都有a⊕c=c⊕a=a,则称集合G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},⊕为整数的加法;
②G={偶数},⊕为整数的乘法;
③G={平面向量},⊕为平面向量的加法;
④G={二次三项式},⊕为多项式的加法.
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
【答案】B
【解析】②错,因为不满足条件(2);④错,因为不满足条件(1).故选B.
8.已知集合A={3,,2,a},B={1,a2},若A∩B={2},则a的值为.
【答案】 -
【解析】因为A∩B={2},所以a2=2,所以a=或a=-.当a=时,集合A中元素不符合互异性,故舍去,所以a=-.
9.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于.
【答案】 3
【解析】∵|x-1|<2,即-2<x-1<2,-1<x<3,
∴A={x∈R|-1<x<3}.
又∵Z为整数集,∴A∩Z={0,1,2}.
∴A∩Z中所有元素的和等于3.
10.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来.
【解】集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.
(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得
解得a>.
即实数a的取值范围是.
(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=.
当a≠0且Δ=0,即a=时,方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素.
故当a=0或a=时,A中只有一个元素,分别是.
11.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.
(1)若A⊆B,求a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3<x<4},求a的值.
【解】由题意,知A={x|2<x<4}.
(1)当a>0时,B={x|a<x<3a},
则应满足≤a≤2.
当a<0时,B={x|3a<x<a},
则应满足不等式组无解.
当a=0时,B=⌀,显然不符合条件.
故若A⊆B,则a的取值范围为.
(2)要满足A∩B={x|3<x<4},显然a>0,
则B={x|a<x<3a}.由题意易得a=3,B={x|3<x<9}.
从而A∩B={x|3<x<4},故所求的a值为3.
拓展延伸
12.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)当x∈R时,若A∩B=⌀,求实数m的取值范围.
【解】(1)①当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀,满足B⊆A.
②当m+1≤2m-1,即m≥2时,要使B⊆A成立,
需可得2≤m≤3.
综上,m的取值范围是m≤3.
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以A的非空真子集个数为28-2=254.
(3)因为x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又A∩B=⌀, 则①若B=⌀,即m+1>2m-1,得m<2,满足条件.
②若B≠⌀,则要满足的条件是
解得m>4.
综上,m的取值范围是m<2或m>4.。