18-分析力学基础
分析力学基础(1)
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
y ρ = x + y , ϕ = arctan , z = z x
2 2
三族坐标曲面： 三族坐标曲面： 1. ρ = 常数，以 z轴为中心线的圆柱面 常数， 2. ϕ = 常数，包含 z轴的垂直于oxy平面的半平面 常数， 3. z = 常数，与oxy平面平行的平面 常数，
比较两式得到
P P =H
T
2
曲线坐标系
正交曲线坐标系 正交曲线坐标系
P P =H 两点注意： 两点注意：
T
2
1. PT P一般不等于单位矩阵 I。 一般不等于单位矩阵 2. 只有 H 2=I ，此时 e 是单位正交基向量时， 单位正交基向量时， 正交基向量时 P才是正交矩阵。
第1章 分析力学的基本概念
约 束
约
束
约 束－物体运动所受到的限制 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束： 定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
fα ( ri ) =0,i =1,2,⋅⋅⋅, n( 质点数)；α =1,2,⋅⋅⋅, s( 约束数)
非定常约束－约束方程中显含时间的约束： 非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
i2
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
基向量
∂r ei = ∂q ∂qi
(i =1,2,3)
ei 过M点沿坐标曲线[qi]的切线方向 沿坐标曲线[ ei 是单位向量吗？ 是单位向量吗？ ei (i = 1, 2, 3)在空间任意点M处构成局部坐标架 3)在空间任意 在空间任意点
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
分析力学基础
牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
18-分析力学基础
x1 x2 2 x3 l 0
l为与绳长及结构有关的一个常数。系统受理想约束，画出系统主动力
的受力图如图。 给系统一组虚位移δx1 ， δx2 及 δx3 ，它们之间的关系由约束方 程的变分给出
或
δx1 δx2 2δx3 0 1 δx3 (δx1 δx2 ) 2
δx1
一个自由质点在空间的位置可以用三个参数来确定，我 们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制， 则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置 的独立参数的数目等于系统的自由度数。 例如：一质点M 限制在球面的上半部 运动，则
( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c ) 2 R 2 z c R 2 ( x a ) 2 ( y b) 2
O x
δyB b sin j2δj2 ,
δxB b cos j2δj2
代入对应于j 2的广义力表达式，得
j1
A
j2
j2
bj2 B
Q2
j2
δW δj 2
2
FAδy A FB δy B FδxB δj 2
FBb sin j2 Fb cos j2
两种方法所得的广义力是相同的，显然应 得到与式(d) 相同的结果。
O x
第十八章
分析力学基础
杆 OA 和 AB 以铰链连接，
O端悬挂于圆柱铰链上，如图
所示。杆长 OA=a ， AB=b, 杆 重和铰链的摩擦都忽略不计。
j1 A
j2
FA y
B F FB
今在点 A 和 B 分别作用向下的 铅垂力FA和 FB，又在点B作用
一水平力F。试求平衡时j 1，
分析力学知识点
分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。
本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。
1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。
与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。
2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。
2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。
质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。
在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。
力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。
2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。
它描述了质点在受到力作用下的运动规律。
根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。
这个方程可以用矢量形式表示。
3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。
3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。
它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。
通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。
3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。
它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。
哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。
4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。
4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。
分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。
4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。
通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。
分析力学基础
p mi ri ri i 1 qk ql
qk ql
第5章 分析力学基础
或：
5.3 动能和势能
1 n n V ＝ mk l qk ql 2 k 1 l 1 p k 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ mi ri ri 。 m 其中，q qk ql i 1
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 t来表示，即：r ＝r ( q ， ， ， ， ) q q t
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p n
ri d ri ＝ d qk k 1 q k
n
ri d W ＝ Fi d qk i 1 k 1 q k
第5章 分析力学基础
对换求和的次序，得：
5.2 虚位移原理
p ri d W ＝ Fi i 1 q k 1 k p ri 其中， Qk ＝ Fi q i 1 k 义力。
n
d qk
(k 1, 2, , n) 为与广义坐标qk 对应的广
势力场和势力
质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路 径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、 万有引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
这样，虚功方程可以写成：
d W ＝ Q d q ＝ 0
n k k k 1
第一章 分析力学基础
y = f (x) (x, y R)
在闭区间a, b上的连续函数A（x），积分
b
I = a A(x)dx
设定义在 a, b上的所有连续函数组成的集合为 ，则
上式给出了集合 到数域R的一个映射关系，称之为泛函 数，记为
I (A) (I R,A )
n个质点组成的质点系，任一瞬时这n个质点在空间中 位置的集合称为该质点系的位形。
所有满足约束条件的质点系的位形的集合称为该质点 系位形空间 。可以证明，对于完整约束系统，位形空间为 线性空间。
对于保守系统，位形空间的每一个元素（即质点系的 每一个位形），都有唯一的势能值与之对应，因此，质点 系的势能可以看成是定义在位形空间的一个泛函数。
n
δWF δWFi i 1
n
i 1
( Fix
N k 1
xi qk
δqk
Fiy
N k 1
yi qk
δqk
Fiz
N k 1
zi qk
δqk )
N n (Fix
k 1 i1
xi qk
Fiy
yi qk
Fiz
zi qk
)δqk 0 Nhomakorabea令Qk
n
( Fix
i 1
xi qk
Fiy
yi qk
势能变分的定义
设y=f（x）是定义在数域R上的可微函数，当自变量x发生 微小变化dx时，对应函数值的微小变化称为函数的微分，记 作
dy = f (x + dx) - f (x) = f (x)dx
设 I (A) 是定义在集合 上的泛函数，当自变量A发 生微小变化 A 时，对应泛函数值的微小变化称为泛函数的 变分
分析力学知识点总结
分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。
一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。
广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。
广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。
对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。
通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。
拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。
对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。
通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。
哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。
对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。
通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。
刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。
刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。
分析力学基础
r =(e 0 0)
T
由结构对称性，可知OZ 轴为圆盘的惯性主轴 由结构对称性，可知 利用惯性力和惯性力矩公式，可得 利用惯性力和惯性力矩公式，
αy + ω 2 x ω 2 me * 2 F = m − αx + ω y = 0 0 0
yA = r v A − ωr = 0
定常约束与非定常约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（ 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束（稳定 定常约束 约束） 否则称为非定常约束 不稳定约束） 非定常约束（ 约束），否则称为非定常约束（不稳定约束）。 完整约束与非完整约束 约束方程中的变量只是坐标和时间而不包含坐标对 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数） 时间的导数，或者微分项（坐标对时间的导数）可 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束 完整约束。 以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。 约束方程中包含坐标对时间的导数， 约束方程中包含坐标对时间的导数，而且方程不能 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束 非完整约束。 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。 约束方程不包含时间 以及质点速度，这类约束称为稳 定的完整约束 。
点建立连体基，刚体绕OZ 轴转角为 ϕ 在O 点建立连体基，刚体绕 刚体角速度和角加速度分别为
z z
ω
α
Pk
ɺ ω = ωz = ϕz
ɺ α = α z = ϕɺz
vk
C
Pk 为刚体上任意一点，其速度、加速 为刚体上任意一点，其速度、 度、惯性力分别为
rk
O
r
y
ɺ rk = ω z × rk ɺɺ = α z × r + ω 2 z × ( z × r ) rk k k F * = − m ɺɺ r
分析力学基础
分析力学（第六章）零． 总说矢量力学侧重于几何和矢量的应用； 分析力学偏重于解析数学；两者风格不同，但在力学范围内完全等价，由于分析力学具有普适的表述方式，可推广到其它学科中应用。
一．分析力学的基本概念1．系统描述相关的概念（1）力学系：n 个相互作用着的质点构成的力学系统； （2）位形：力学系的位置状态； （3）约束：限制质点自由运动的条件；分类：几何约束（限制几何位置），微分约束（约束中包含速度）不完整约束稳定约束（与时间无关），不稳定约束（与时间有关） 可解约束（可以解除），不可解约束（不可以解除） （4）自由度s ：描写力学系所须独立坐标的个数 k n s -=3 约束方程的个数 自由度数目 质点的个数（5）广义坐标：s 个独立坐标参量可以把体系3n 个坐标参量表示出来：)3,,2,1(),;,,,(21n i t q q q x xs i i==。
s 个独立坐标参量称为广义坐标（6）广义速度：广义速度分量),,2,1(,s dtdq q==ααα的全体2．系统原理相关的概念（1） 实位移：在时间间隔（0≠dt）内发生的真实位移r d（2） 虚位移：设想发生的位移rδ（时间没变化，非真正的位移） 在稳定约束下，实位移是虚位移中的一个；在不稳定约束下，实位移不同于虚位移（P167,图6.2）；（3） 虚功：力在虚位移下所作的功（4） 理想约束：体系中约束力所作的功之和为零 01=⋅∑=r F ni N iδ光滑曲面、曲线、铰链；不可伸长的杆、绳；固定点约束； 固定曲面上的纯滚动等都是理想约束。
（5） 拉格朗日函数（拉氏函数或拉格朗日量）体系的动能和势能之差);();,();,(t q V t q q T t qq L -= 适用于体系受保守力的情况。
（6） 广义动量：αααqT qL p∂∂=∂∂=αq 为线量时，αp 为动量分量；αq 为角量时，αp 为角动量分量；（7） 广义力：αααq x F q W t q q q Qi ni is ∂∂=∂∂=∑=3121);,,,( 的全体αq 为线量时，αQ 为力的分量；αq 为角量时，αQ 为力矩分量；（8） 哈密顿函数（或哈密顿量）αααqp L t p q H s∑=+-=1);,(应把广义速度都看成p q ,的函数（9） 正则变量：广义坐标和广义动量称为力学系的正则变量； ),,2,1(,s q p=ααα构成2s 维抽象空间，任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了相空间的一个点（称为相点）（10）泊松括号：∑=∂∂∂∂-∂∂∂∂=sq H p G p H q G H G 1)(],[ααααα体系的某一力学量，哈密顿量二．基本原理1． 虚功原理质点i 处于平衡状态：),,2,1( 0s i r F r F W i N i i ii==⋅+⋅=δδδ体系处于平衡状态：011=⋅+⋅=∑∑==ni i N ni i i r F r F W iδδδ（1）坐标表示在理想约束的情况下，力系的平衡条件是作用在质点上的主动力所作的虚功之和等于零：∑=⋅=ni iix FW 31δδ（2）广义坐标表示 )3,,2,1( 11n i q q x t tx q q x xsi i si i=∂∂=∂∂+∂∂=∑∑==ααααααδδδδαααααααααδδδδq Qq q x Fq q x F Wssni iis i ni i∑∑∑∑∑======∂∂=∂∂=1131131)(广义力分量 体系处于平衡时，广义力分量都应等于零。
分析力学基础
第 三 章 分析力学基础
自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念. 虚位移原理的广义坐标描述便是: 虚位移原理的广义坐标描述便是: 对应于各广 义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程. 要条件. 虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位 移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍 方程. 方程. 动力学普遍方程的广义坐标表达可得到 拉格朗日方程. 拉格朗日方程. 确切地说是第二类拉格朗日方 程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方 程通式.
k =1 k =1
N
的广义力. 称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力 ( k = 1、2、3……N ) 、 、 广义力的求法: 广义力的求法 (1) 在直角坐标系下
∂x i ∂y i ∂z i Qk = ∑ ( Fix ) + Fiy + Fiz ∂q k ∂q k ∂q k i =1
n
( k = 1 , 2 , 3.......N )
x D = b cos α + l cos β δx D = − b sin αδα − l sin βδβ δy D = a cos αδα + l cos βδβ
D
F
x y = a sin α + l sin β C
由
∑ (F
ix
⋅ δ x i + F iy ⋅ δ y i ) = 0
F δ x D + Py C = 0
N
用直角坐标系下的投影表达为: 用直角坐标系下的投影表达为
xi = x i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) yi = yi ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) z i = z i ( q1 ,q2 ,q3 ......q N ) δx i = ∑ ∂x i ⋅ δqk ∂qk k =1 N ∂y δy i = ∑ i ⋅ δq k k = 1 ∂q k N ∂z δz i = ∑ i ⋅ δqk k = 1 ∂q k
分析力学基础(3)
m1l 2 sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
FT1＝FT3 ,
FT1＝
m2 g , 2cos
FT1＝FT1
m1 m2 cos g 2 m1l
质点的惯性力与动静法
例 题2
y 振动筛
第3章 达朗伯原理
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果 ——惯性力系主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量 和动量矩之间的关系
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点
刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
F F
i i i Ni
FIi＝0
i
M
i
O
( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi )＝0
i i
F F
i i i
Ni
FIi＝FR ＝0
i
M
i
O
( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi )＝ M O＝0
i i
y
O
平衡位置
y＝a sin t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
质点的惯性力与动静法
例 题2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y y FI FN m
y
a W O
平衡位置
y
O FN m a
平衡位置
FI
W
质点的惯性力与动静法
例 题2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 y FN m
(II) 第一章 分析力学基础
2009年12月29日第一章分析力学基础第一章分析力学基础经典力学本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的虚功方程虚功方程广义坐标ii++i zi i yi iF F的广义力广义虚位移δq k ++izi i yi i F F即：二、广义力的计算δq≠0kz z z δqk≠0[例1-1] 求广义力A BC M x ϕoδx δr C m 1gm 2g解：0δ,0δ=≠ϕx （1）求Q xδθA BC M x ϕom 1gm 2gδϕδr C（2）求Q ϕϕδ,0δ=≠ϕx （1）求Q x0δ,0δ≠=ϕx三、有势力的广义力元功元功元功推广：y x dd−−广义坐标当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F当质点系所受的主动力都是有势力时，有广义力++i zi i yi iF F四、势能驻值定理变分虚位移原理主动力i i i即：有势力驻值五、最小势能原理稳定性稳定五、最小势能原理稳定性随遇平衡结论：稳定最小势能原理¾¾z达朗贝尔原理z虚位移原理达朗贝尔原理虚位移原理即：动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。
动力学普遍方程解析形式即：动力学普遍方程[例1-2]已知：解：求：C 2C 1θAC Bza 1a ea rαF I1F I2eF I2r M I2αR a =rC 2C 1θA CBF I1F I2e F I2r M I2m 1g m 2g zδ,0δ≠=ϕx x ϕδx ¾δr C2δϕC 2C 1θA CBF I1F I2eF I2r M I2δx δϕm 1gm 2gcos (1−a θ0δ,0δ=≠ϕx ¾=δx121121cos (1−a θ本章内容：§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程上次内容回顾：广义力：广义坐标广义坐标注意动力学普遍方程广义坐标下面对第二项用广义坐标iiii广义惯性力动力学普遍方程广义惯性力广义惯性力：i i&=i i =)(在完整约束下，第t i∂∂+r k ki q q &∂∂r 广义速度i &r ii i =)(i i(i i (ii(i ii ii(i i广义惯性力⋅(i i r &⋅i i i i ⋅(i (ii ⋅r &(i=)(i i &&⋅r i &i ⋅i i (kii ⋅r &(k i i i &∂=⋅i i i ⋅i i (i &i (i im &∑i i m((i i m &∑i i m (第二类拉格朗日方程z有势力第二类拉格朗日方程−)((−)拉格朗日函数(−)保守系统z自由度广义坐标思考：(广义力。
《分析力学基础》课件
哈密顿-雅可比 方程可以描述 系统的运动状 态和能量变化
哈密顿-雅可比 方程在分析力 学中具有重要
地位
正则方程的定义和性 质
正则方程的求解方法
正则方程在分析力学 中的应用
正则方程与拉格朗日 方程的关系
正则方程在工程中的 应用实例
课件结构
● 引言：介绍分析力学的基本概念和重要性 ● 第一部分：牛顿力学 ● 牛顿三定律 ● 动量守恒定律 ● 角动量守恒定律 第二部分：拉格朗日力学
弹性模量：描述固体材料弹 性性质的物理量
胡克定律：描述固体材料在弹 性范围内的应力与应变关系
泊松比：描述固体材料在弹性 范围内的横向应变与纵向应变
的关系
弹性力学基本方程：描述固体 材料在弹性范围内的应力、应
变和位移之间的关系
哈密顿原理：描述系统演化的普遍 规律，适用于经典力学和量子力学
哈密顿原理的应用：求解力学问题， 如求解运动方程、求解哈密顿量等
分析力学基础PPT课 件大纲
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课件旨在帮助学生理解分析力学的基本概念、原理和方法
课件适用于物理专业学生、教师和相关研究人员
课件内容涵盖了分析力学的主要内容，包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力 学等
页脚：包括作者、日期、版权等信息
背景：选择与主题相关的背景图片或颜 色
课件效果
课件内容：包括基 本概念、原理、公 式、应用等
教学方法：采用案 例分析、实验演示、 互动讨论等方式
学习效果：提高分 析力学知识水平， 增强解决问题的能 力
分析力学基础
➢ 系统的动能
分析力学基础
T 1 {q}T [M ]{q} 2
✓在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函 数（或称二次型） ✓系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于 零，因此动能T具有恒正的性质。 ✓在线性代数里称T这样的函数为正定二次型，相应地 称它的系数矩阵[M]是正定的。
✓对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。
k
mk rk rk
动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数
➢ 动能和势能
分析力学基础
讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标
只是广义坐标的函数而不显含t
rk
rk
(q1
,
q
2
,,
qn
)
rk rk
n il
n
rk
j1 qi
rddk rtk
in1rkqrki
n
qi
i 1
rk q j
qi q j
n
mij qi q j
j 1
由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定 常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。
在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取作原
点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数 mij在平衡位置附近按台劳级数展开得
mij
mij
0
n s 1
mij qs
✓ 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常 常要引入那些未知的约束反力。
✓ 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、 加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些 我们不必知道的未知约束反力。
➢ 引言
分析力学基础
分析力学及其基本方程
分析力学及其基本方程力学是物理学的基础学科，主要研究物体在空间中的运动状态及其相互作用。
其中分析力学是力学的一个分支，与经典力学相对应，它主要研究物体运动的微观过程，利用数学方法对物体的运动状态进行分析和计算。
分析力学的基本概念在分析力学中，物体的运动状态可以用弧长s来描述，s是物体在运动中所经历的路程长度。
对于一个物体，如果它在s时刻的速度为v（s），那么它在s时刻的加速度a（s）就可以用速度的导数来表示：a（s）= dv（s）/ds与力学中的其他分支不同的是，分析力学强调的是微观分析，因此其分析基础被描述为单个粒子的力学。
分析力学的基本方程分析力学的基本方程包括一系列数学方程式，它们被称为拉格朗日方程或哈密顿方程。
拉格朗日方程的基本形式为：d/dt (∂T/∂v) − ∂T/∂q = Q其中T是物体的动能，v是物体的速度，q表示静止位置，Q表示物体所受的合力。
哈密顿方程则是以动能（T）和势能（V）为基础，用哈密顿函数（H）来描述系统的动力学法则。
它的基本形式为：∂H/∂p = dp/dt∂H/∂q = d q/dt其中p是系统的广义动量，q是系统的广义位置，t表示时间。
这两个方程式为分析力学提供了基础。
利用它们，我们可以对不同的物理系统进行描述和计算，并得到系统中各个部分之间的相互作用。
分析力学的应用分析力学在物理学的许多领域都有广泛的应用，如天体力学、固体力学、流体力学等。
以下是一些具体的应用例子。
1. 太空飞行器：分析力学可用于研究、分析和计算太空飞行器的浪费燃料、姿态控制和路径规划等问题。
例如，分析力学的方法可以用来优化太空飞行器的姿态和动力学性能，从而提高太空探索任务的精度和效率。
2. 医药领域：分析力学可用于模拟和研究细胞、分子和药物分子的动力学过程，从而帮助研究人员了解分子间的相互作用，以及药物如何进入人体细胞中。
此外，分析力学的方法还可用于设计药物分子，以实现更高的药效和安全性。
分析力学基础 一
分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（）分析力学基础（一）一．经典力学概论概二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四．动力学方程的三种形式四动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论典力学研象于•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；牛力学•牛顿力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学；牛顿力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–----约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用归为力作用，未约束力（未变）增多，用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；年赫兹（•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一牛学朗学变种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将发生的能发生的并能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；积分型变分原理年哈密尔顿（）•―――1834Hamilton 原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密尔顿力学；•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。
分析力学基本概念
第一章 分析力学基本概念以牛顿定律为基础建立起来解决力学问题的科学体系称为牛顿力学，它涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。
然而，对于一个受多约束的质点系，就要解一个众多未知量的联立方程组，此时，牛顿方法就显得不方便了，分析力学就应运而生。
分析力学是以拉格郎日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式，通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。
由此看来，分析力学与牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已，对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。
分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值，许多新兴学科，如量子力学、相对论力学、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。
1.1 分析力学的研究对象 约束1.1.1 有关概念（1）力学中的理想模型：质点、质点系、刚体。
分析力学的研究对象是质点系。
（2）惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系一般在研究地球表面及附近物体的运动，常将与地球固连的坐标系作为惯性参考系。
(3)矢径：（4）位形：质点系各质点在空间的位置的有序集合。
它决定了质点系的位置和形状。
（5）自由系和非自由系：自由质点：在空间的位置和运动不受任何限制的质点。
自由系统：自由质点的集合。
非自由质点：在空间的位置和运动受到某些限制的质点。
非自由系统：非自由质点的集合。
1.1.2 约束、约束方程及约束分类一、约束：对非自由质点系各质点的位置及运动的限制条件二、约束方程：表示限制条件的数学方程。
例如： ir。
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称为广义坐标。对完整系统，广义坐标数目等于系统的
自由度数。 如上面的质点M的位置由x,y 确定，则，x,y 就是其一组 广义坐标，此外，我们可以选取其它的一组独立参量 来表达其位置：
x ,
2
y
2
z c R2 ( a)2 ( b)2
2
2
5
动力学
第十八章 分析力学基础
上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n 个质点组
n
WF WFi k 1
n i 1
N
( Fx i
k 1
xi qk
q
N
Fyi
k 1
yi qk
q
Fzi
N k 1
zi qk
q )
N n (Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)q
0
7
动力学
第十八章 分析力学基础
WF
N n
k 1 i1
(Fxi
xi qk
本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法 来求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，导 出动力学普遍方程和拉格朗日方程。成为研究动力学问题的 有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分 简捷、规范。
2
动力学
第十八章 分析力学基础
由于广义坐标的独立性，q可以任意选取，则若上式成立，必 须有
Q1 Q2 QN
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。
求广义力的方法有两种：一是直接由下式计算
Qk
n
( Fxi
i 1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )
第十八章 分析力学基础
§18–1 自由度和广义坐标 §18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18–3 动力学普遍方程 §18–4 第一类拉格朗日方程 §18–5 第二类拉格朗日方程 §18–6 拉格朗日方程的初积分
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动力学
第十八章 分析力学基础
§18-1 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置可以用三个参数来确定，我 们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制， 则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置 的独立参数的数目等于系统的自由度数。
例如：一质点M 限制在球面的上半部 运动，则
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
z c R2 (x a)2 ( y b)2
故该质点在空间的位置由x,y 就可 确定，其自由度数为2。
4
动力学
第十八章 分析力学基础
一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到s 个完整 约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个坐标完全确 定下来，我们把描述质点系在空间中位置的独立参数，
Qk
( Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
( V xi V yi V zi )
xi qk yi qk zi qk
V qk
(k 1,2,3, , N )
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动力学
第十八章 分析力学基础
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
Qk
V qk
0
(k 1,2,3, , N )
ri
N k 1
ri qk
qk
(i 1,2,3, , n)
其中qk (k 1,2,3, , N )为广义坐标qk的变分，称为
广义虚位移。
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动力学
第十八章 分析力学基础
§18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在第 i 个质点上的主动力的合力Fi在三个坐标 轴上的投影分别为（Fxi ,Fyi ,Fzi ），由虚功方程，得到
zi )
V
这样，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。
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动力学
第十八章 分析力学基础
如果用广义坐标 q1,q2,…,qN 表示质点系的位置，则有
V V (q1, q1, q1, , qN )
由广义力表达式，在势力场中可将广义力Qk 表示为
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动力学
第十八章 分析力学基础
另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个广义虚位移 不等于零，而其余N-1个广义虚位移等于零，计算虚功
从而
WF Qk qk
Qk
WF qk
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的 主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别 等于零。上式对于求解保守系统的平衡问题具 有重要意义。
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动力学
第十八章 分析力学基础
如图示，给图a、b、c所示的球体一个小扰动，图a中球会 回到原来位置，该平衡状态称为稳定平衡；图b中小球会 在附近任何位置平衡，该平衡称为随遇平衡；图c中小球 会滚下去，不会回到原来的平衡位置，该平衡状态称为不 稳定平衡。
成的系统受到s 个完整双侧约束
fk (r1, r2 , , rn , t) 0
(k 1,2,3, , s)
设 q1, q2, , qn (N 3n s) 为系统的一组广义坐标，可
以将各质点的坐标表示为
ri ri (q1, q2 , , qN ,t) 0
(i 1,2,3, , n)
由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)q
0
令Qk
n
( Fx i
i 1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )
则上式可以写成
N
WF Qk qk 0 k 1
上式中 Qkqk具有功的量纲，所以称Qk 为与广义坐标qk 相对 应的广义力。
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动力学
第十八章 分析力学基础
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动力学
第十八章 分析力学基础
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用 之间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 （动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学问 题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念清晰， 但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情况进行分 析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体的动力学问 题方面会遇到很大困难。
V V (x1, y1, z1, , xn , yn , zn )
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动力学
第十八章 分析力学基础
则虚功方程中各力的投影可以表达为
V
V
V
Fxi xi , Fyi yi , Fzi zi
于是有
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
( Vi xi
xi
Vi