2018届人教B版 概率与统计大题(文) 单元测试
2018届高中数学人教B版(理科) 概率 单元测试 Word版 含答案
2018高考数学（理）周末培优训练18（概率）含解析（测试时间：50分钟，总分：80分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题（本题共11小题，每小题4分，共44分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在区间[]0,π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为 A ．34 B ．23C ．12D ．13【答案】D1sin 2x ≤2．已知某品种的幼苗每株成活率为，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题设可知，则所求事件的概率为，应选D.3．有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为A ．13 B ．12C ．23D ．34【答案】A4．若在区间(−1，1)内任取实数a ，在区间(0，1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆1)2()1(22=-+-y x 相交的概率为A ．85B ．165 C ．83D ．163【答案】B【解析】因为直线与圆相交应满足的条件为1222<+-ba b a ，即43a b >．又11a -<<，01b <<，在平面直角坐标系中，表示的平面区域为相邻边长分别为2和1的矩形内部，B ．5．如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．12CD 【答案】C6．设随机变量～B （2，p ），η～B （3，p ），若，则P （η≥2）的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知为二项分布，且它们的概率相同，，则.7．设{},0,1,2,3,4m n ∈，向量()1,2=--a ，(),m n =b ，则∥a b 的概率为A ．225 B ．325 C ．320D ．15【答案】B8．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过A ．6粒B ．7粒C ．8粒D ．9粒【答案】B 【解析】由已知可得0.037.05235nn n ≤⇒≤⇒不超过7，故选B. 9．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，某校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获。
人教B版(文科数学)统计与概率名师精编单元测试
第十二章统计与概率12.1统计与概率一．解答题1.（2014-2015丰台一模理16）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R ＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概率为3 10.（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X，求X的分布列．2.（2014-2015丰台二模理16）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，E．写出ξ的分布列和数学期望ξ3.（2015-2016丰台一模理16）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验．（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒．①求恰好化验2次时，能够查出含有病毒血样组的概率；②②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）．（Ⅱ）如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y的均值E（Y），请指出（Ⅰ）②中E（X）与E（Y）的大小关系．（只写结论，不需说明理由）4，（2015-2016丰台二模理16）,某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题. （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x ，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.、5.（2016-2017丰台一模理17）某公司购买了A ，B ，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：（Ⅰ）已知该公司购买的C 品牌电动智能送风口罩比B 品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A 品牌和B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A 品牌待机时长高于B 品牌的概率；（Ⅲ）再从A ，B ，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a ，b ，c （单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ.若01μμ≤，写出a +b+c 的最小值（结论不要求证明）.6.（2016-2017丰台二模理16）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i ,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）7.（2016-2017海淀一模理16）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）.8.（2016-2017海淀二模理16）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.上图中，已知课程,,,,A B C D E为人文类课程，课程,,F G H为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元.(ⅰ)设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；(ⅱ)设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望.9.（2016-2017西城一模理17）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和iP '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．10.（2016-2017西城二模理17）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率； （Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．B 餐厅分数频数分布表11.（2016-2017东城一模理16）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M方式、Y方式、F方式）进行统计（统计对象年龄在1555岁），相关数据如表1，表2所示．三种共享单车方式人群年龄比例（表1）不同性（Ⅰ）根据表1估算出使用Y共享单车方式人群的平均年龄；（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；（Ⅲ）现有一个年龄在2535岁之间的共享单车用户，那么他使用Y方式出行的概率最大，使用F方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）12.（2016-2017东城二模理16）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）13.（2016-2017朝阳一模理16）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核． （Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）14.（2016-2017朝阳二模理16）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．a身高(cm)15.（2014-2015朝阳一模理16）（本小题满分13分）如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].据此解答如下问题:（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ,求X 的分布列和数学期望.0.02516.（2014-2015东城一模理16）（本小题共13分）某地区有800名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是:[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100].规定90分及其以上为合格.（Ⅰ）求图中a的值;（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率;（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试,用X表示这三人中考试合格的人数,求X的分布列与数学期望.17.（2014-2015海淀一模理16）（本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位:箱）的数据中分别随机抽取100个.并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位:箱）的方差分别为21s ,22s ,试比较21s 与22s 的大小;（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;（Ⅲ）设X 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X 的数学期望.18.（2014-2015西城一模理16）（本小题满分13分）2014年12月28日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示. （Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率; （Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人,记X 为这2人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里,试写出s 的取值范围.（只需写出结论）19.（2015-2016朝阳一模理16）（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率. （Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X的分布列和数学期望;（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论.20.（2015-2016东城一模理17）（本小题共13分）现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注:每名选手打且只打一场比赛）.根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如图表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率;（Ⅱ）设随机变量X表示第三场比赛开始时需要等待的时间,求X的数学期望;（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序.（写出结论即可）21.（2015-2016海淀一模理16）（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广.2015年12月10日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速.某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了100株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量（单位:克）如下表所示:（Ⅰ）根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量;（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ,22s ,根据样本数据,试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）;（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株,记这2株的产量总和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.22.（2015-2016西城一模理16）（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下:（Ⅰ）若从甲的4局比赛中,随机选取2局,求这2局的得分恰好相等的概率;（Ⅱ）如果7==,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的得分和为X,x y求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）23.（2014-2015朝阳二模16）（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从C三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共有600名学生参加测试.选择X三题答卷数如下表:（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷,其中从选择A题的答卷中抽出了3份,则应分别从选择,B C题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中,,A B CA B C三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,三题答卷中再各抽出1份,求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示,B题的答卷得优的有100份,若以频率作为概率,在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中,记其中得优的份数为X,求X的分布列及其数学期望EX.24.（2014-2015东城二模16）（本小题共13分）某校高一年级开设A,B,C,D,E五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选A课程,不选B课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率;（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和,求X的分布列和数学期望.25.（2014-2015海淀二模16）（本小题满分13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各20名进行测试,记录的数据如下:已知该项目评分标准为: 注:满分10分,且得9分以上(含9分)定为“优秀”. （Ⅰ）求上述20名女生得分．．的中位数和众数; （Ⅱ）从上述20名男生中,随机抽取2名,求抽取的2名男生中优秀人数X 的分布列; （Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）26.（2014-2015西城二模16）（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台）,并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（Ⅰ）当a=b=3时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m,乙型号电视机的“星级卖场”数量为n,比较,m n的大小关系;（Ⅱ）在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）若1a ,记乙型号电视机销售量的方差为2s,根据茎叶图推断b为何值时,2s达到最小值.（只需写出结论）27.（2015-2016朝阳二模16）（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值.交通指数范围为(010),,五个级别规定如下:某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内,他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值）,其统计结果如直方图所示. （Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数; （Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为:畅通时30分钟,基本畅通时35分钟,轻度拥堵时40分钟,中度拥堵时50分钟,严重拥堵时70分钟,以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率,求此人上班路上所用时间X 的数学期望.交通指数值 0.250.100.050.152 4 6 810 0.201 3 5 7 928.（2015-2016东城二模17）（本小题共13分）在20152016赛季CBA联赛中,某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注:表中分数nN,N表示投篮次数,n表示命中次数）,假设各场比赛相互独立.根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中概率大于0.5的概率;（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率;（Ⅲ）在接下来的3场比赛中,用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次,试写出X的分布列,并求X的数学期望.29.（2015-2016海淀二模16）（本小题满分13分）某空调专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调,销售情况如下表所示:（Ⅰ）求A 型空调前三周的平均周销售量;（Ⅱ）根据C 型空调前三周的销售情况,预估C 型空调五周的平均周销售量为10台,当C 型空调周销售量的方差最小时,求4C ,5C 的值;（注:方差2121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-,其中x 为12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台,求抽取的两台空调中A 型空调台数X 的分布列及数学期望.30.（2015-2016西城二模16）（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间（单位:小时）分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a的值;（Ⅱ）试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.12.2古典概型与几何概型一．选择题1.（2014-2015海淀二模6）已知函数()f x的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()df x x的值约为（A）99 100（B）3 10（C）9 10（D）10 11二．填空题2.（2015-2016东城二模12）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。
2018届人教B版 概率(文)检测卷
第十章 综合过关规范限时检测(文)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次，若用A 表示投进球这一事件，则A 的 ( B )A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近0.8[解析] 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A 的频数为8，所以A 的频率为810＝45.2．(2016·河北衡水郑口中学模拟)一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( C )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶[解析] “至少有一次中靶”即为“一次中靶”或“两次中靶”，根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知应选C ．3．(2016·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为 ( D )A ．34B ．710C ．45D ．35[解析] 设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.4．(2017·福建省三明市清流一中期中数学试题)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512，故选B ．[点拨] 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系(对立，互斥，相互独立)．5．(2016·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为 ( D )A ．34B ．23C ．13D ．14[解析] 因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D ． 6.(2016·甘肃张掖一诊)如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为 ( D)A ．π2B ．12C ．π4D ．π8[解析] 所求概率P ＝12×π×(12)21×1＝π8.故选D ．7．(2017·福建省福州市外国语学校高三上学期适应性(一)数学试题)某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是 ( C )A ．710B ．67C ．47D ．25[解析] 设“某次射中”为事件A ，“随后一次的射中”为事件B ，则P (AB )＝0.4，P (A )＝0.7，利用P (B |A )＝P (AB )P (A )可得结论． 解：设“某次射中”为事件A ，“随后一次的射中”为事件B ， 则P (AB )＝0.4，P (A )＝0.7， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝47.故选C ． [点拨] 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．8．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ( C )A ．25B ．35C ．45D ．1[解析] 从5个点中取3个点，列举得ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE 共有10个基本事件，而其中ACE 、BCD 两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为810＝45.故选C ．9．已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 ( C )A ．5.3B ．4.7C ．4.3D ．5.7[解析] S ＝10×(1－114200)＝4.3，故选C ．10．(2016·江西临川二中一模)同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是 ( C )A ．118B ．112C ．19D ．16[解析] 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)、(2,6)、(5,1)、(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19.11．(2016·黑龙江大庆实验中学期中)如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是 ( A )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 设这6条网线从上到下分别是a ，b ，c ，d ，e ，f ，任取3条有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20个不同的取法，选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的取法有：(a ，b ，f )，(a ，c ，e )，(a ，d ，e )，(b ，c ，e )，(b ，d ，e )，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是14.12．(2016·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，b ，则事件“⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>0”发生的概率为 ( A ) A ．49B ．19C ．23D ．13[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤1，该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>00≤a ≤10≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是49，所以所求概率为49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2016·长沙长郡中学检测)在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的慨率是 23.[解析] 所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.14．志愿者纷纷前往灾区救援，现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等)，则2名都是女志愿者的概率为 17.[解析] 从7人中选2人有21种情况，选出2名女志愿者的情况有3种，所以概率为321＝17. 15．(2016·重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －2≤0y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为 29.[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1294＝29.16.(2016·辽宁铁岭一中模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_0.3__.[解析] 甲的成绩为88,89,91,92；乙的成绩为85,83,95，x .看不清的成绩有10种可能，该数据为97时，甲、乙平均数恰好都为90，所以当该数据为97,98,99时，符合题意，所以概率为0.3.[点拨] 读图是解题关键，通过计算甲、乙的平均数，得到看不清的数据可以是几种情况，看不清的成绩共有10种可能，易被忽视，导致求概率错误．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·广东佛山一中等三校联考)高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生．现在班主任老师要从第一组选出2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.(1)求选出的3人均是男生的概率； (2)求选出的3人中有男生也有女生的概率． [答案] (1)110 (2)56[解析] (1)记第一组的4人分别为A 1、A 2、a 1、a 2；第二组的5人分别为B 1、B 2、B 3、b 1、b 2.设“从第一组选出2人，从第二组选出1人”组成的基本事件空间为Ω，则Ω＝{(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，A 2，b 1)，(A 1，A 2，b 2)，(A 1，a 1，B 1)，(A 1，a 1，B 2)，(A 1，a 1，B 3)，(A 1，a 1，b 1)，(A 1，a 1，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 2，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 2，a 1，B 1)，(A 2，a 1，B 2)，(A 2，a 1，B 3)，(A 2，a 1，b 1)，(A 2，a 1，b 2)，(A 2，a 2，B 1)，(A 2，a 2，B 2)，(A 2，a 2，B 3)，(A 2，a 2，b 1)，(A 2，a 2，b 2)，(a 1，a 2，B 1)，(a 1，a 2，B 2)，(a 1，a 2，B 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)}，共有30个．设“选出的3人均是男生”为事件A ，则事件A 含有3个基本事件． ∴P (A )＝330＝110，∴选出的3人均是男生的概率为110.(2)解法一：设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B ，则事件B 含有25个基本事件，∴P (B )＝2530＝56，∴选出的3人中有男生也有女生的概率为56.解法二：由(1)知“选出的都是男生”的概率P (A )＝110，同理“选出的都是女生”的概率P (B )＝230＝115，记“选出的3人中为男生也为女生”为事件C ，则P (C )＝1－P (A ＋B )＝1－P (A )－P (B )＝1－110－115＝56.18．(本小题满分12分)一个袋中装有5个形状、大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球.(1)从袋中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．[答案] (1)35 (2)1625[解析] (1)2个红球记为a 1、a 2,3个白球记为b 1、b 2、b 3.从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个．设事件A 为“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6个，故P (A )＝610＝35.(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25个．设事件B 为“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共16个．所以P (B )＝1625.19．(本小题满分12分)(2016·河北“五个一名校联盟”质量监测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据，其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．[解析] 高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5.4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.20．(本小题满分12分)(2016·郑州质量预测)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民，现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少．[解析] (1)显然当不处罚时，行人闯红灯的概率为25，设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P (A )＝40200＝15.∴当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低15.(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1、A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1、B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2、B 1、B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种，∴P (N )＝424＝16∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率为16.21．(本小题满分12分)(2016·江苏联考)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．[解析] (1)这15名乘客的平均候车时间约为115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5(分钟)(2)这15名乘客中候车时间少于10分钟的频率为2＋615＝815，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×815＝32.(3)将第三组乘客编号为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为b 1，b 2，从6人中任选2人共包含以下15个基本事件：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共中2人恰好来自不同组包含以下8个基本事件：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，于是所求概率为P ＝815.22．(本小题满分12分)(2016·河南八市质检)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据).(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．[解析] (1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P ＝1－1021＝1121.。
2018届人教B版(文) 概率与统计 单元检测
1．【2017贵州遵义市第一次联考，3】某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 【答案】A【解析】系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.【要点回扣】系统抽样2.将1,2,3,4四个数字随机填入右边22⨯的方格中﹐每个方格中恰填一个数字﹐且数字可重复使用． 则事件“A 方格的数字大于B 方格的数字，且C 方格的数字大于D 方格的数字”的概率为（ ）A ．9256B ．116C ．964D ．2564【答案】C【要点回扣】古典概型．3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过点（ ）A ．(2,2)B ． 3(,0)2C ．(1,2)D ．3(,4)2【答案】D【解析】由题可知，y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过定点),(y x ，由表格可知，234321=++=x ，447531=+++=y ，所以a bx y+=ˆ必过点3(,4)2。
【要点回扣】线性回归方程的定义4．【2017云南大理高三第一次统测，4】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ （试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）A ．80B ．100C ．120D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：正态曲线图象的对称轴为100X =，根据其对称性可知， 成绩不低于1200分的学生人数约为311600120042⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭人，故选D. 【要点回扣】正态分布5.已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x,y ），则点P 的坐标满足不等式222≤+y x 的概率为（ ） （A ）163π （B ）16π （C ）32π （D ）323π 【答案】D【要点回扣】1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.6．【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，14】在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =++在R 上有零点的概率为 ． 【答案】37【解析】试题分析：若()22f x x =++有零点，则2280m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =. 【要点回扣】几何概型7．在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且则中间一组的频数为 ． 【答案】32【解析】设中间一组频数为x ，由题意，中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，则另外10组频数为4x ，因为样本容量为160，所以4160x x +=，所以32x =． 【要点回扣】频率分布直方图．8.【2017湖南长沙一模】空气质量指数（错误！未找到引用源。
2018届高中数学北师大版 概率与统计 单元测试 Word版 含答案
一、选择题1. 【2016甘肃兰州模拟】采用系统抽样方法从1000人抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1000. 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8. 若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A考点：本题主要考查系统抽样与等差数列的通项公式．2. 【2016山东实验中学月考】从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ）A ．78B ．76C ．74D ．72【答案】C【解析】试题分析：由题意得样本间隔为8，因此最大编号为58+16=74，选C.考点：系统抽样3. 【2016山东滨州二模】已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相等，则n m （ ） A ．31 B ．1 C ．38D ．4【答案】C考点：1、茎叶图；2、平均数；3、中位数.4. 【2016重庆巴蜀中学月考】已知变量z 和y 满足关系11.0+-=x y ，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A【解析】试题分析：由正相关和负相关的定义知，A 正确，故选A ．考点：变量的相关性5. 【2016辽宁哈尔滨月考】从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表：根据上表可得回归直线方程为^^0.92y x a=+，则^a =（ ） A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.104【答案】A【解析】试题分析：由表中数据可得16555x y ==，，∵x y （,）一定在回归直线方程a x y +=92.0上，∴^550.92165a =⨯+，解得^96.8a =-．故选：A ．考点：线性回归方程．6. 【2016大连双基测试】在区间[]0,π上随机地取一个数x ,则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） （A ）34 （B ）23 （C ）12 （D ）13【答案】D 【解析】由正弦函数的图象与性质知，当5[0,][,]66x πππ∈时，1sin 2x ≤，所以所求概率为5(0)()1663ππππ-+-=，故选D ．7. 【2016吉林实验中学月考】从⎭⎬⎫⎩⎨⎧3,2,21,31中随机抽取一个数记为a ，从{}2,1,1,2--中随机抽取一个数记为b ，则函数ba y x +=的图象经过第三象限的概率是_______.【答案】38考点：1.用列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.指数函数的图象变换.8. 【2016甘肃张掖一模】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A ．0.42 B ．0.28 C ．0.3 D ．0.7【答案】C【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C ．二、填空题1. 【2016山东实验中学月考】在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则点P 到正方体各顶点的距离都大于1的概率为___________. 【答案】4181π-【解析】试题分析：所求概率为几何概型，测度为体积：因为点P 到正方体各顶点的距离都等于1组成一个半径为1的球，其体积为4.3π因此点P 到正方体各顶点的距离都大于1的概率为34313π-=4181π- 考点：几何概型概率2. 【2016山东滨州二模】在区间]6,0[上随机地取一个数m ，则事件“关于x 的方程0222=+++m mx x 有实根”发生的概率为______. 【答案】23。
2018届人教B版 概率和统计 单元测试
一．基础题组1.【2012全国新课标，文3】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线112y x=+上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A．－1 B．0 C．12D．1【答案】D2.【2015新课标2文数】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.【考点定位】本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解【名师点睛】本题把统计知识与时下的热点环保问题巧妙地结合在一起,该题背景比较新颖,设问比较灵活,是一道考查考生能力的好题.解答此题的关键是学生能从图中读出有用的信息,再根据得到的信息正确作出判断.3.【2016新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A）710（B）58（C）38（D）310【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．4.【2014全国2，文13】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.【答案】1 35.【2013课标全国Ⅱ，文13】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．【答案】：0.2【解析】：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10个，记A＝“其和为5”＝{(1, 4)，(2,3)}有2个，∴P(A)＝210＝0.2.6.【2010全国2，文14】(x＋1x)9的展开式中，x3的系数是________．【答案】：84【解析】：(x ＋1x )9的展开式的通项为T r ＋1＝9C r x 9－r (1x)r ＝9C r x 9－2r， 当r ＝3时，T 3＋1＝39C x 9－6＝39C x 3＝84x 3，∴x 3的系数为84. 7. 【2007全国2，文13】一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 . 【答案】：1208. 【2006全国2，文13】在4101()x x +的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。
2018届人教B版 统计 (2) 单元测试
课时规范训练[单独成册][A组基础演练](时间：35分钟)1．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：选D.B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，众数、中位数、平均数比原来的都多2，而标准差不变．2. 如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为()A．2,4 B．4,4C．5,6 D．6,4解析：选D.x甲＝75＋82＋84＋(80＋x)＋90＋936＝85，解得x＝6，由图可知y＝4.3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60解析：选B.由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.4．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105 B ．305 C. 2D ．2解析：选D.依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.5. 右图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到下列错误的信息为( )A ．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%B ．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元C ．副食的销售额为该商场营业额的10%左右D ．家用电器部所得利润最高解析：选D.由扇形图知一天营业额中40%的家用电器，但是不能确定其利润最高，故D 错误．6．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则一定有( )A.a 1>a 2B ．a 2>a 1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关解析：选B.去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2>a1.故选B.7. 某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段超速的有_____辆．解析：由频率分布直方图可得超速的频率为0.04×10＋0.02×10＝0.6，所以该路段超速的有200×0.6＝120(辆)．答案：1208. 某校开展“爱我无锡、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．解析：若茎叶图中的x对应的分数为最高分，则有平均分＝89＋89＋91＋92＋92＋93＋947≈91.4≠91.故最高分应为94.故去掉最高分94，去掉最低分88，其平均分为91，∴89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋917＝91，解得x＝1.答案：19．某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由题表中的数据易知，这20名工人年龄的众数是30，极差为40－19＝21.(2)这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数x ＝120(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，故方差s 2＝120[1×(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋1×(40－30)2]＝120×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.[B 组 能力突破] (时间：20分钟)10. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn ＝________.解析：由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有20＋n＋32＋34＋384＝33，所以n＝8，所以mn＝38.答案：3 811．某初一年级有500名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)，若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[130,140)内的学生中选取的人数应为________．解析：由频率分布直方图可得，频率之和为10×(0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005)＝1，解得a＝0.030，由此可得身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的频率分别为10×0.030＝0.3,10×0.020＝0.2,10×0.010＝0.1，由此可得此三组的人数分别为150,100,50，共300人，要从中抽取30人，则每一个个体被抽入样的概率为30300＝110，其中身高在[130,140)内的学生中选取的人数为100×110＝10.答案：1012．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝__________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为__________．解析：(1)利用各小矩形的面积和为1，建立关于a的方程，解方程求a.由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)计算[0.5,0.9]内的频率，利用频数＝总体容量×频率求解．区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.答案：(1)3(2)6 00013．某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共有50名同学)，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为150分)，数学成绩分组及各组频数如下表：(1)写出a，b(2)估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；(3)该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135,150]中选两位同学，来帮助成绩在[45,60)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲、乙在同一小组的概率．解：(1)因为频率总和是1，所以b＝1－(0.04＋0.08＋0.16＋0.22＋0.30＋0.08)＝0.12.∴第6行的频数为50×0.12＝6.∴a，b的值分别为6,0.12.(2)成绩在120分以上的有6＋4＝10(人)．所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有1050×600＝120(人)．(3)[45,60)内的有2人，记为甲、A；[135,150]内的有4人，记为乙、B、C、D.“二帮一”小组有以下6种分组办法：(甲乙B，ACD)、(甲乙C，ABD)，(甲乙D，ABC)，(甲BC，A乙D)，(甲BD，A乙C)，(甲CD，A乙B)．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲乙B，ACD)，(甲乙C，ABD)，(甲乙D，ABC)．所以甲、乙在同一小组的概率为P＝36＝12.。
2018高考数学(文)热点题型概率与统计 全国通用 含解析
概率与统计热点一统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计,判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生数据处理能力.【例1】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。
在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数。
（1）若n＝19，求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值;（3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解(1）当x≤19时，y＝3 800；当x〉19时，y＝3 800＋500（x－19)＝500x－5 700。
所以y与x的函数解析式为y＝错误!（x∈N).(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0。
46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19。
（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10）＝4 000，100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。
2018届北师大版___统计与概率___单元测试
统计与概率一、选择、填空题1、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1402、（2016年山东高考）在],[11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆9522=+)(y x －相交”发生的概率为3、（2014年山东高考）为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）6 （B ）8 （C ） 12 （D ）184、（东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟）在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：700123788801222333345778890012244若将参赛学生按成绩由高到低编为1~30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[]77,90内的学生人数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55、（泰安市2016届高三二模）四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为 .6、（德州市2016届高三二模）两个相关变量满足如下关系： x 2 3 4 5 6y 25 ● 50 56 64 根据表格已得回归方程：$y =9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ） A ．37 B ．38.5 C ．39 D ．40.57、（潍坊市2016届高三上学期期末）根据如下样本据得到回归直线方程9.1,y bx a a b =+==$$$$$，其中则A.9.4B.9.5C.9.6D.9.7 8、（济南市2016届高三上学期期末）某高校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[)[)35,40,40,45，[)[)[)45,5050555560，，，，，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有________人.9、（德州市2016高三3月模拟）为了增强环保意识，某校从男生中随机制取了60人，从女生中随机制取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：则有（ ）的把握认为环保知识是否优秀与性别有关。
2018届人教B版 统计与统计案例 单元测试
A级1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样2．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588 B．480C．450 D．1203．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg4．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为()A.0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.65．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，x；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70)，2；则x＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10，50)的概率约为________．6．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．7．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，求被污损的数字．B级8．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A． y＝0.4x＋2.3 B． y＝2x－2.4C． y＝－2x＋9.5 D． y＝－0.3x＋4.49．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A．m e＝m o＝x B．m e＝m o<xC．m e<m o<x D．m o<m e<x10．(2015·全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关11．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．12．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：的身高为________．13．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.14.为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，1.30中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．线下作业1．C[不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．] 2．B[少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)，∴不少于60分的学生人数为480人．]3．D[根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C 正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．]4．B [10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.] 5．4 0.7解析 x ＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， P ＝2＋3＋4＋520＝0.7或P ＝1－4＋220＝0.7. 6．37 20解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.7．解 设污损的数字对应的成绩是x ，由茎叶图可得89×5＝83＋83＋87＋x ＋99，所以x ＝93，故污损的数字是3.8．A [因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.]9．D [由题目所给的统计图示可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5，6，故中位数m e ＝6＋52＝5.5， 又众数m o ＝5，平均值x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，∴m o <m e <x .]10．D [从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]11．600解析由频率分布直方图易得，成绩低于60分的频率为0.002×10＋0.006×10＋0.012×10＝0.2，故3 000名学生中成绩低于60分的学生数为：3 000×0.2＝600(人)．12．185 cm13．解总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n36×6＝n6，技术员人数为n36×12＝n3，技工人数为n36×18＝n2，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.14．解(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47.(3)120×1006＝2 000，所以水库中鱼的总条数约为2 000.。
2018届人教B版 统计、统计案例与概率 5 单元测试
1.一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为( )A.23B.14C.13D.12解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.答案 D2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析 记“甲或乙被录用”为事件A .从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A 仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A 的概率为P (A )＝110，∴P (A )＝1－P (A )＝910.答案 D3.(2016·云南统一检测)在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析 该事件的所有个数为4种不同情况.数字2是取出的三个不同数的中位数有2种不同情况.则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为P (A )＝12.故选C.答案 C4.第31届夏季奥运会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行.运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.1415解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2，4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P＝915＝35.故选C.答案 C5.(2016·柳州、北海、钦州三市联考)一个袋子中有号码为1，2，3，4，5大小相同的五个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为()A.35 B.45 C.320 D.310解析试验的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4).共20个，其中事件“第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数”包含的基本事件个数为6个.则所求概率为P＝620＝310.答案 D二、填空题6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 解析4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝5 6.答案5 67.若甲、乙、丙三人站成一排，则甲乙相邻的概率为________.解析甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共4种排法，由概率公式得甲、乙两人相邻而站的概率为4 6＝2 3.答案2 38.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为3 4.答案3 4三、解答题9.(2016·郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25个.(1)设甲获胜的事件为A，则事件A中包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个，则P(A)＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共有10个；则P(B)＝1025＝25.∴P(C)＝1－P(B)＝35.∵P(B)≠P(C)，∴这样规定不公平.10.(2016·兰州诊断)兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10，∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3；第4组：2060×6＝2；第5组：1060×6＝1；即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种.其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：(A1，B1)，(A1，共有9种，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为915＝35.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2，1)，则向量p∥q的概率为()A.118 B.112 C.19 D.16解析∵向量p∥q，∴m－2n＝0，∴m＝2n，满足条件的(m，n)有3个：(2，1)，(4，2)，(6，3)，又基本事件的总数为36，∴P＝336＝112，故选B.答案 B12.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A.16 B.524 C.13 D.724解析由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个.所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数.当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”.∴这个三位数为“凹数”的概率P＝6＋224＝13.答案 C13.(2016·扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________.解析将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2c，则所求事件A包含的结果有：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(5，6)，(6，6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝19 36.答案19 3614.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得50n＝10100＋300，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个.事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝68＝34，即所求概率为34.。
2018届人教B版 算法、统计与概率 单元测试
算法、统计与概率(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·济南模拟)(滚动单独考查)若z=(i为虚数单位),则z 的共轭复数是( )A.-2-iB.2-iC.2+iD.-2+i2.(滚动交汇考查)已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),=.则下列判断正确的是( )A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(q)是真命题D.( p)∧q是真命题3.(2016·青岛模拟)在“中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A.5和1.6B.85和1.6C.85和0.4D.5和0.44.某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5,则表中的m的值为( )A.50B.55C.60D.655.(滚动单独考查)函数f(x)=(|x|+cosx)sinx的大致图象为( )6.(滚动单独考查)(2016·北京模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b等于( )A. B. C. D.7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )A.45B.50C.55D.608.(2016·菏泽模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B. C. D.9.(滚动单独考查)关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四个结论: P1:最大值为;P2:把函数g(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的图象;P3:单调递增区间为,k∈Z;P4:图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.设点(a,b)是区域内的随机点,函数y=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数的概率为( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知集合A={0,1},B={2,3,4},若从A,B中各取一个数,则这两个数之和不小于4的概率为.12.执行如图所示的程序框图,输出的k值为.13.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据:根据以上数据,则种子经过处理与是否生病(填“有”或“无”)关.14.(滚动交汇考查)(2016·烟台模拟)设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x ∈R)的值域为[0,+∞),则+的最大值为.15.在正方形ABCD中,点E为AB的中点,点P是以点A为圆心、AB为半径的圆弧BD上的任意一点.(1)若向正方形ABCD内撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在扇形ABD内的概率为.(2)设∠PAB=θ,向量=λ+μ(λ,μ∈R),若μ-λ=1,则θ= .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知{a n}为公差不为零的等差数列,首项a≠0),{a n}的部分项,,…,恰为等比数列,且1=a(ak1=1,k2=2,k3=5.(1)求数列{a n}的通项公式a n(用a表示).(2)若数列{k n}的前n项和为S n,求S n.17.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=-.(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)18.(12分)(滚动单独考查)(2016·青岛模拟)如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AB=3BC=6,BF=CF=AE=DE=2,EF=4,EF∥AB,点G为FC的中点,点M为线段CD上的一点,且CM=2.(1)证明:AF∥平面BDG.(2)证明:平面BGM⊥平面BFC.(3)求三棱锥F-BMC的体积V.19.(12分)(2016·济南模拟)已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取学生n人,成绩分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级,设x,y分别表示语文成绩与数学成绩,例如:表中语文成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知x与y均为B等级的概率是0.18.(1)求抽取的学生人数.(2)设该样本中,语文成绩优秀率是30%,求a,b的值.(3)已知a≥10,b≥8,求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率.20.(13分)(滚动单独考查)(2016·临沂模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程.(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1的值.21.(14分)(滚动单独考查)(2016·合肥模拟)已知函数f(x)=.(1)若f(x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围.(2)若a=0,x0<1,设直线y=g(x)为函数f(x)的图象在x=x0处的切线,求证:f(x)≤g(x).答案解析1.D z==-2-i,故=-2+i.2.C 因为当x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立,所以p是真命题,当x>0时,2x>1,所以q是假命题,所以p∧(q)是真命题,( p)∧q是假命题.3.B 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数的个位数为=5,所以平均数为85,方差为=1.6.【加固训练】1.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.01D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,其中第二个和第五个都是02,重复,去掉后一个02,得对应的数值为08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号为01.2.一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图,则他在这5场比赛中得分的方差为.【解析】5场比赛中得分的平均值为10,所以方差为[(-2)2+(-1)2+02+12+22]=2.答案:24.C 由给定的表格可知==5,==38+;又回归直线 y=8.5x+7.5过点(,),故38+=8.5×5+7.5,所以m=60.5.【解题提示】根据函数的奇偶性及函数值在的符号来判断.A 函数f(x)的定义域为R,而且f(-x)=[|-x|+cos(-x)]sin(-x)=-(|x|+cosx)sinx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故排除B,D两项;又当x∈时,cosx>0,sinx>0,|x|>0,所以f(x)>0,故排除C.综上,选A.6.C 因为cosA=,所以sinA===,所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.由正弦定理=,得b=×sin45°=.【加固训练】已知△ABC的内角A,B,C对的边分别为a,b,c,sinA+sinB=2sinC,b=3,当内角C最大时,△ABC的面积等于( )A. B.C. D.A根据正弦定理及sinA+sinB=2sinC得a+b=2c,c=,cosC===+-≥2-=,当且仅当=,即a=时,等号成立,此时sinC=,S△ABC=absinC=××3×=.7.【解题提示】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,利用频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.B 成绩低于60分有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,每组数据的组距为20,则成绩低于60分的频率为(0.005+0.01)×20=0.3,又因为低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是=50.8.B 由题意知,平面区域D为一个边长为3的正方形区域,设事件A 为“在区域D内的点到坐标原点的距离大于2”,则设M(x,y)为平面区域D内的任意一点,其到坐标原点的距离为d=,所以>2,即x2+y2>4,于是由几何概型的计算公式可得:P(A)=1-=1-.9.B因为f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin-1,所以最大值为-1,所以P1错误.将g(x)=sin2x-1的图象向右平移个单位后得到h(x)=sin2-1=sin-1的图象,所以P2错误.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即增区间为,k∈Z,所以P3正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,所以图象的对称中心为,k∈Z,所以P4正确.10.A 由题意可知,a>0,且b>0.由函数y=ax2-4bx+1在区间[1,+≦)上是增函数,得即易知不等式组表示的平面区域的面积为8,解方程组得故不等式组表示的平面区域的面积为×4×=,所以所求概率为=.11.【解析】从A,B中各取一个数的所有基本事件为:(0,2),(0,3),(0,4), (1,2),(1,3),(1,4),共有6种,而两个数之和不小于4的基本事件为:(0,4),(1,3),(1,4),共有3种,根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P==.答案:12.【解析】程序运行的过程:S=0,k=1,不满足条件S<-1,S=lg,k=3;不满足条件S<-1,S=lg+lg=lg,k=5;不满足条件S<-1,S=lg+lg=lg,k=7;不满足条件S<-1,S=lg+lg=lg,k=9;不满足条件S<-1,S=lg+lg=lg,k=11;满足条件S<-1,退出循环,输出k的值为11.答案:1113.【解析】在假设无关的情况下,根据题意K2的观测值k=≈0.16<2.706,所以没有证据说明种子经过处理与否与是否生病有关,即可以认为种子经过处理与是否生病无关.答案:无14.【解析】由题意知a>0,Δ=16-4ac=0,所以c=>0,所以+=+=+==1+=1+.因为a>0,所以a+≥12,当且仅当a=6时取等号.所以+≤1+=.答案:15.【解析】(1)所求概率为扇形ABD的面积与正方形ABCD的面积的比值,设正方形边长为a,则所求概率为P==,故填.(2)不妨设正方形边长为1,以点A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则=,=(1,1),=(cosθ,sinθ).由=λ+μ,得解得由μ-λ=1,求得sinθ=1,从而θ=.故填.答案:(1)(2)【加固训练】如图所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.1-B.-C. D.A 如图所示:不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=π(2a)2=πa2①,而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积,即S1+S3+S2+S3=πa2②.由①-②得S3=S4;又由图可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDC=πa2-a2,所以S阴影=πa2-2a2.故由几何概型的概率公式可得,所求概率P===1-.16.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由已知得a1=a,a2=a+d,a5=a+4d成等比数列,所以(a+d)2=a(a+4d),又d≠0,得d=2a,所以a n=a1+(n-1)d=(2n-1)a(a≠0).(2)由(1)可知a n=(2n-1)a,所以=(2k n-1)a,而等比数列{}的公比q===3.所以=a·3n-1,所以=(2k n-1)a=a·3n-1,所以k n==×3n-1+.所以S n=+×n=×+=.【加固训练】(2016·济宁模拟)各项为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=+a n+(n∈N*).(1)求a n.(2)设函数f(n)=c n=f(2n+4),n∈N*,求数列{c n}的前n 项和T n.【解析】(1)由S n=+a n+①得,当n≥2时,S n-1=+a n-1+②;由①-②化简得:(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,又因为数列{a n}各项为正数,所以当n≥2时,a n-a n-1=2,故数列{a n}成等差数列,公差为2,又a1=S1=+a1+,解得a1=1,所以a n=2n-1.(2)由分段函数f(n)=可以得到: c1=f(6)=f(3)=a3=5,c2=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=a1=1;当n≥3,n∈N*时,c n=f(2n+4)=f(2n-1+2)=f(2n-2+1)=2(2n-2+1)-1=2n-1+1,故当n≥3时,T n=5+1+(22+1)+(23+1)+…+(2n-1+1) =6++(n-2)=2n+n,所以T n=17.【解析】(1)由于=(x 1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,+y3+y4+y5+y6)=80.=(y所以=-b=80+20×8.5=250.从而回归直线方程为 y=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润. 18.【解析】(1)如图,连接AC交BD于点O,则点O为AC的中点,连接OG,因为点G为CF的中点, 所以OG为△AFC的中位线,所以OG∥AF.因为AF⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,所以AF∥平面BDG.(2)如图,连接FM,因为BF=CF=BC=2,点G为CF的中点,所以BG⊥CF.因为CM=2,所以DM=4.因为EF∥AB,四边形ABCD为矩形,所以EF∥DM.又因为EF=4=DM,所以四边形EFMD为平行四边形,所以FM=DE=2,所以△FCM为正三角形,所以MG⊥CF.因为MG∩BG=G,所以CF⊥平面BGM.因为CF⊂平面BFC,所以平面BGM⊥平面BFC.(3)V F-BMC=V F-BMG+V C-BMG=S△BMG·FC=S△BMG×2,由(2)易得GM=BG=,BM=2,所以S△BMG=×2×1=,所以V F-BMC=S△BMG=.19.【解析】(1)由题意可知,=0.18,得n=100,故抽取的学生人数是100.(2)由(1)知,n=100,=0.3,故a=14,7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,b=17.(3)设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A,因为a+b=31,且a≥10,b≥8,满足条件的(a,b)有,(10,21),(11,20),(12,19), (13,18),(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20 ,11),(21,10),(22,9),(23,8),共14种,其中b+11>a+16的有3种, 所以P(A)=.【加固训练】(2016·枣庄模拟)从广州某高校男生中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm)情况如表(1)求a,b,c的值.(2)按表中的身高组别进行分层抽样,从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者,再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作,求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm的概率.【解析】(1)由0.05+c+0.35+0.20+0.10=1.00,得c=0.30.由=0.30,得a=30,由5+30+35+b+10=100,得b=20.(2)依据分层抽样的方法,抽取的20名志愿者中身高在区间[175,180)上的有0.20×20=4名,记为A,B,C,D;而身高在区间[180,185]上的有0.10×20=2名,记为E,F,记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm”为事件M,从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作,共有15种不同取法:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).事件M包含的基本事件有9种:(A,E),(A,F),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F), (D,E),(D,F),(E,F); 所以P(M)==.20.【解析】(1)设A,则A处的切线方程为l1:y=x-, 所以D,Q,F.所以|AF|=.所以|FQ|=+=|AF|,即△AFQ为等腰三角形.又D为线段AQ的中点,所以FD⊥AQ,又∠AFD=60°,|FD|=2,所以|AF|=4,得所以p=2,即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x-,由得P,由得M,同理N,所以面积S=·=,①设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由得x2-4kx-4b=0,得代入①得:S==.要使面积最小,则k=0,得到S=,②令=t,则由②得S(t)==t3+2t+,S′(t)=,所以当t∈时,S(t)单调递减;当t∈时,S(t)单调递增,所以当t=时,S取到最小值为,此时b=t2=,k=0,所以y1=,即x1=.故当△PMN面积取到最小值时的x1的值为.21.【解析】(1)易得f′(x)=-,由已知得f′(x)≥0对x∈(-≦,2)恒成立,故x≤1-a对x∈(-≦,2)恒成立,所以1-a≥2,所以a≤-1.(2)a=0,则f(x)=.函数f(x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0).令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),x∈R,则h′(x)=f′(x)-f′(x0)=-=设φ(x)=(1-x)-(1-x 0)e x,x∈R,则φ′(x)=--(1-x 0)e x,因为x0<1,所以φ′(x)<0,所以φ(x)在R上单调递减,而φ(x0)=0,所以当x<x0时,φ(x)>0,当x>x0时,φ(x)<0,所以当x<x0时,h′(x)>0,当x>x0时,h′(x)<0,所以h(x)在区间(-≦,x0)上为增函数,在区间(x0,+≦)上为减函数, 所以x∈R时,h(x)≤h(x0)=0,所以f(x)≤g(x).。
2018届高考数学 专题10.1 统计与概率的检测同步单元双基双测(B卷)文
专题10.1 统计与概率的检测（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 【2018华大新高考联盟联考】一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ） A.B. C. D.【答案】C故选C.2. 【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ， CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）【解析】设正方形ABCD 的边长为1，3S =总， 1212S ==阴影， 所以概率为13P =，故选A 。
3. “序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1258），在两位的“序数”中任取一个数比56大的概率是（ ）A ．32 C ．43 D ．54 【答案】A 【解析】考点：古典概型.4.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲没有被选中的概率为（ ）A. B.25 C.825 D.925【答案】A 【解析】试题分析：从甲、乙等5人中随机选出2人，共有10种不同的选法，若甲没被选中，共有6种不同的选法，所以甲没被选中的概率为。
考点：古典概型，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是A ．π24π-可得所有的点（a ，b ）在以O 为圆心，半径为1的圆及其内部， 即单位圆及其内部，如图所示若关于x 的方程220x x a b -++=有实数根， 则满足△=4-4（a+b ）≥0，解之得a+b ≤1符合上式的点（a ，b ）在圆内且在直线a+b=1的下方， 其面积为2131311114242S ππ=⨯+⨯⨯=+， 又∵单位圆的面积为S=π×1=π∴关于x 的方程220x x a b -++=无实数根的概率为123132424S P S ππππ++=== 考点：几何概型。
2018届北师大版(文) 概率 单元测试
数 学K 单元 概率K1 随事件的概率 17．K1，K2[2015·四川卷] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5坐到5号座位的概率． 17．解：(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以P (A )＝48＝12.答：乘客P 5坐到5号座位的概率是12.K2 古典概型15．I1、K2[2015·天津卷] 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．15．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2. (2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．(ii)编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.17．K1，K2[2015·四川卷] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5坐到5号座位的概率． 17．解：(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以P (A )＝48＝12.答：乘客P 5坐到5号座位的概率是12.19．I2、K2[2015·陕西卷] 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 19．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.16．K2[2015·山东卷] 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．16．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}， 共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率P ＝215.16．K2[2015·湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．16．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．18．K2、I2[2015·福建卷] 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．18．解：方法一：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．所以所求的概率P ＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.方法二：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个．所以所求的概率P ＝1－110＝910.(2)同方法一．17．K2，K7[2015·北京卷] 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 4．K2[2015·全国卷Ⅰ] 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.1204．C [解析] 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为110.7．K2[2015·广东卷] 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．17．B [解析] 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有1件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )．设事件A ＝“恰有1件次品”，则P (A )＝610＝0.6，故选B.17．I2、K2[2015·安徽卷] 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．17．解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，所以所求的概率P ＝110.K3 几何概型8．K3[2015·湖北卷] 在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 1<12<p 2C ．p 2<12<p 1 D.12<p 2<p 18．K3[2015·福建卷] 如图1-2，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()图1-2A.16B.14C.38D.128．B [解析] 由函数f (x )可知其图像与y 轴交于点E (0，1)，又因为B (1，0)，依次可求得C (1，2)，D (－2，2)，A (－2，0)，矩形ABCD 的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故所求概率为326＝14.10．G2、G7、K3[2015·湖南卷] 某工件的三视图如图1-3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )1-3A.89πB.827πC.24（2－1）3πD.8（2－1）3π10．A[解析] 由三视图知，原工件是底面半径为1，母线长为3的圆锥．设新正方体工件的棱长为x，借助轴截面，由三角形相似可得，x32－12＝1－22x1，得x＝223，故V正＝x3＝16227，又V圆锥＝13π×12×32－12＝22π3，故利用率为16227223π＝89π，选A.7．B7、K3[2015·山东卷] 在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎫x＋12≤1”发生的概率为()A.34 B.23C.13 D.147．A[解析] ∵－1≤log12⎝⎛⎭⎫x＋12≤1，∴log122≤log12⎝⎛⎭⎫x＋12≤log1212，∴12≤x＋12≤2，即0≤x≤32，∴所求概率P＝322＝34.12．K3、L4[2015·陕西卷] 设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.34＋12πB.12＋1πC.14－12πD.12－1π12．C[解析] 由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，其表示圆心为(1，0)，半径为1的圆及其内部．在此区域内y≥x表示的区域为图中的阴影部分，其面积为圆(x－1)2＋y2＝1面积的四分之一减去一个等腰直角三角形的面积，即为π4－12，故y≥x的概率为π4－12π＝14－12π.15．K3、E3[2015·重庆卷] 在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．15.23 [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或2≤p ≤5，所以所求概率P ＝1－23＋（5－2）5＝23.K4 互斥事件有一个发生的概率 K5 相互对立事件同时发生的概率K6 离散型随机变量及其分布列K7 条件概率与事件的独立性 17．K2，K7[2015·北京卷] 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布K9 单元综合 5．2015·浙江六校联考盒子中有大小相同的3个白球，1个黑球，若从中随机地摸出2个球，2个球颜色不同的概率是________．5.12 [解析] 所求概率P ＝C 13·C 11C 24＝12. 7．[2015·广东湛江调研] 某兴趣小组由4男2女共6名同学组成．(1)从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率； (2)将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组情况． 7．解：记4名男同学为A ，B ，C ，D ，2名女同学为1，2.(1)从6人中任意选取3人，有ABC ，ABD ，AB 1，AB 2，ACD ，AC 1，AC 2，AD 1，AD 2，A 12，BCD ，BC 1，BC 2，BD 1，BD 2，B 12，CD 1，CD 2，C 12，D 12，共20种情况．至少有1名女同学的有AB 1，AB 2，AC 1，AC 2，AD 1，AD 2，A 12，BC 1，BC 2，BD 1，BD 2，B 12，CD 1，CD 2，C 12，D 12，共16种情况，故所求概率为1620＝45.(2)有ABC ，D 12；ABD ，C 12；AB 1，CD 2；AB 2，CD 1；ACD ，B 12；AC 1，BD 2；AC 2，BD 1；AD 1，BC 2；AD 2，BC 1；A 12，BCD .共10种情况．6．[2015·武汉武昌区调研] 已知函数f (x )＝13x 3－(a －1)x 2＋b 2x ，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3}，则函数f (x )在R 上是增函数的概率为________．6.34[解析] f ′(x )＝x 2－2(a －1)x ＋b 2，若函数f (x )在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立，所以Δ＝4(a －1)2－4b 2≤0，即(a －1)2≤b 2.a ，b 所有的取值情况有4×3＝12(种)，若满足(a －1)2≤b 2，则当a ＝1时，b ＝1，2，3，当a ＝2时，b ＝1，2，3，当a ＝3时，b ＝2，3，当a ＝4时，b ＝3，共有3＋3＋2＋1＝9(种)情况，所以所求概率为912＝34.7．[2015·河北衡水中学调研] 在区间[0，5]上随机取出一个实数p ，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为________．7.35[解析] 若方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2. ∵p ∈[0，5]，∴p ∈[2，5]．根据几何概型的概率公式可得，所求概率P ＝5－25＝35.。
2018版高中数学第三章概率3.1.3频率与概率学业分层测评新人教B版必修3
3.1.3 频率与概率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C 表示抽到次品这一事件，则对C 的说法正确的是( )A.概率为110B.频率为110C.概率接近110D.每抽10台电视机，必有1台次品【解析】 事件C 发生的频率为110，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近110的结论.【答案】 B2.高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( ) A.正确B.错误C.不一定D.无法解释【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确.【答案】 B3.某篮球运动员投篮命中率为98%，估算该运动员投篮1 000次命中的次数为( )【导学号：00732079】A.98B.980C.20D.998【解析】 1 000次命中的次数为98%×1 000＝980. 【答案】 B4.从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )A.抽出的6件产品必有5件正品，1件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D.抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品【解析】 从12件产品中抽到正品的概率为1012＝56，抽到次品的概率为212＝16，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品.【答案】 B5.一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( ) A.59B.49 C.45D.1 【解析】 因为这是一个必然事件，所以其概率为1. 【答案】 D 二、填空题6.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________.【解析】 由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”， 故有100－49＝51(次)“正面朝下”. 【答案】 517.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：大约需抽查________件产品.【解析】 由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n 件产品，则950n＝0.95，所以n ≈1 000.【答案】 1 0008.下列说法正确的有________.(填序号)(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小. (2)做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn就是事件A 的概率.。
2018版高中数学第三章概率章末综合测评新人教B版
第三章 概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4℃时结冰. A.1 B.2 C.3D.4【解析】 ①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军.②李凯不一定被抽到.③任取一张不一定为1号签.④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件.【答案】 C2.下列说法正确的是( )A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.故选D. 【答案】 D3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )【导学号：00732109】A.16B.13C.12D.23【解析】 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B.【答案】 B4.在区间[－2,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为( )【导学号：00732110】A.13B.14C.12D.23【解析】 由几何概型的概率计算公式可知x ∈[0,1]的概率P ＝1－01－－＝13.故选 A.【答案】 A5.1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【解析】 本题考查的是体积型几何概型. 【答案】 A6.从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A.A 与C 互斥B.B 与C 互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥【解析】 互斥事件是不可能同时发生的事件，所以事件B 与C 互斥. 【答案】 B7.某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为( )A.100 mB.80 mC.50 mD.40 m【解析】 设河宽为x m ，则1－x 500＝45，所以x ＝100.【答案】 A8.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.70D.0.68【解析】 记“取到质量小于4.8 g”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g”为事件B ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C .易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件.所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38.【答案】 B9.如图1，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )图1A.14B.13C.12D.23【解析】 点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.【答案】 C10.将区间[0,1]内的均匀随机数x 1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x ，需要实施的变换为( )A.x ＝x 1*2B.x ＝x 1*4C. x ＝x 1*2-2D.x ＝x 1*4-2【解析】 由题意可知x ＝x 1*(2+2)-2= x 1*4-2. 【答案】 D11.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( ) A.P 1＝P 2＜P 3 B.P 1＜P 2＜P 3 C.P 1＜P 2＝P 3D.P 3＝P 2＜P 1【解析】 先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P 1＜P 2＜P 3.【答案】 B12.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以710为概率的事件是( )A.恰有1件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝610，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3).故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出绿球}，D ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B )＝________；P (C ∪D )＝________.【解析】 由古典概型的算法可得P (A )＝820＝25，P (B )＝320，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝420＋520＝920. 【答案】 25 320 92014.在区间(0,1)内任取一个数a ，能使方程x 2＋2ax ＋12＝0有两个相异实根的概率为________.【解析】 方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a )2－4×1×12＝4a 2－2>0，解得|a |>22，又a ∈(0,1)，所以22<a <1，区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22.【答案】2－2215.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.图2【解析】 由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P ＝19.【答案】 1916.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________.【解析】 此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法.若|a －b |≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P ＝24＋410×10＝725. 【答案】725三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率. 【导学号：00732111】【解】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等).这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18.(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.【解】 记该班的测试成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的.(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝0.25＋0.15＝0.4. (2)该班成绩在[60,100]内的概率是P (A ∪B ∪C ∪D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.19.(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y .(1)在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点共有几个？(2)规定：若x ＋y ≥10，则小王赢；若x ＋y ≤4，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.【解】 (1)由于x ，y 取值为1,2,3,4,5,6， 则以(x ，y )为坐标的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个，即以(x ，y )为坐标的点共有36个.(2)满足x ＋y ≥10的点有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，所以小王赢的概率是636＝16，满足x ＋y ≤4的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，所以小李赢的概率是636＝16，则小王赢的概率等于小李赢的概率， 所以这个游戏规则公平.20.(本小题满分12分)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6). (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.【解】 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种.因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.21.(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.【导学号：00732112】【解】 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.22.(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25,6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格.图3(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a ，b 两位同学的成绩均为优秀，求a ，b 两位同学中至少有1人被选到的概率.【解】 (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14. ∴参加这次铅球投掷的总人数为70.14＝50.根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为 (0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内，即第4组.(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，则选出2人的所有可能的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中a 、b 至少有1人的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共有7种，∴a 、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P ＝710.。
人教版2018最新高考数学总复习之概率大题Word版
高考总复习概率 ( 附参照答案 )1（本小题满分 12 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7 场竞赛，他们所有竞赛得分的状况用以下图的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你以为哪位运动员的成绩更稳固？（3）假如从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参照数据： 92 82 102 22 62 10 2 92 466 ，7 2 42 62 32 12 22 112 236 ）2 在学校展开的综合实践活动中，某班进行了小制作评选，作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日，评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计，绘制了频次散布直方图( 如图 ) ，已知从左到右各长方形的高的比为2： 3： 4： 6： 4： 1，第三组的频数为12，请解答以下问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数目最多？共有多少件？(3)经过评选，第四组和第六组分别有10 件、 2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？3 已知向量a1, 2 ，b x, y ．（1）若 x ， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求知足 a b 1 的概率；（2）若实数 x, y 1,6 ，求知足 a b0 的概率．4 某企业在过去几年内使用某种型号的灯管1000 支，该企业对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果以下表所示：[500 ，[900 ，[1100 ，[1300 ，[1500 ，[1700 ，[1900 ，分组900) 1100) 1300) 1500) 1700) 1900) )频数48 121 208 223 193 165 42频次（ 1）将各组的频次填入表中；（ 2）依据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500 小时的频次；（ 3）该企业某办公室新安装了这类型号的灯管 2 支，若将上述频次作为概率，试求恰有1 支灯管的使用寿命不足1500 小时的概率．5 为研究天气的变化趋向，某市气象部门统计了共100 个礼拜中每个礼拜气温的最高温度和最低温度，以下表：m 、（）若第六、七、八组的频数t 、气温（℃）频数频次1[5,1] x 0．03 n 为递减的等差数列，且第一组与第八组[0, 4] 8的频数同样，求出 x 、 t 、 m 、 n 的值；[5,9] 12 （ 2）若从第一组和第八组的所有礼拜[10,14] 22中随机抽取两个礼拜，分别记它们的均匀[15,19] 25温度为 x ， y ，求事件“| x y | 5 ”的概率．[20,24] t[25,29] m[30,34] n合计100 16 某校高三文科分为四个班. 高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计 , 各班被抽取的学生人数恰巧成等差数列, 人数最少的班被抽取了22 人 .抽拿出来的所有学生的测试成绩统计结果的频次散布条形图如图 5所示 , 此中 120～ 130( 包含 120 分但不包含130 分 ) 的频率为 0.05, 此分数段的人数为 5 人 .(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?频次(2)在抽取的所有学生中 , 任取一名学生 ,求分数不小于90 分的概率 .7 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩所有介于13 秒与 18 秒之间，将测试结果按以下方式分红五组：每一组13,14) ；第二组14,15) ，,,，第五组17,18 ．右图是按上述分组方频次法获得的频次散布直方图.组距（ I ）若成绩大于或等于14 秒且小于16 秒以为优秀，求该班在此次百米测试中成绩优秀的人数；（II ）设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 m , n 13,14) 17,18 ，求事件“ m n 1 ”的概率. O 13 14 15 16 17 18 秒19题图8 一人盒子中装有 4 张卡片，每张卡上写有 1 个数字，数字分别是 0，1、2、3。
人教B版高中数学选择性必修第二册第四章概率与统计综合测试卷
第四章概率与统计综合测试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为()A ．35B ．25C ．23D ．3102．两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，下列说法错误的是()A ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好B ．相关系数|r|越接近1，变量x ，y 相关性越强C ．相关指数R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重，则R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)＝()A ．1316B ．4243C ．13243D ．802434．甲、乙两人独立完成某一任务的概率分别为14，23，若甲、乙分别去完成这项任务且相互之间不受影响，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为()A ．112B ．16C ．14D ．235．一名小学生的年龄和身高的数据如下表．由散点图可知，身高y(单位：cm )与年龄x(单位：岁)之间的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋65，预测该学生11岁时的身高约为()年龄x 6789身高y118126136144A .163cmB ．161.8cmC ．152cmD ．158cm6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．2386B ．2718C ．3413D ．47727．下列说法中，正确命题的序号是()①已知随机变量ξ服从正态分布N(2，δ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.34；②以模型y ＝c e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.3x ＋4，则c ，k 的值分别是e 4和0.3；③若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 独立；④若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为16.A ．①④B ．③④C ．②③D ．①②8．袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()①取出的最大号码X 服从超几何分布；②取出的黑球个数Y 服从超几何分布；③取出2个白球的概率为114；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114.A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．设A ，B 是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是()A ．若事件A 和B 是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1B ．若事件A 和B 是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1C ．若事件A 和B 相互独立，则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)D ．若事件A 和B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)10．若随机变量X 服从两点分布，其中P(X ＝1)＝12，E(X)、D(X)分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是()A ．P(X ＝0)＝12B ．E(X)＝12C ．E(3X)＝12D ．D(2X)＝1411．下列四个表述中，正确的是()A ．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心(x －，y －)B ．在回归直线方程y ^＝0.1x ＋10中，当变量x 每增加1个单位时，变量y ^约增加0.1个单位C ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r|越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高D .在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到χ2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越小12．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的火箭发射升空，这是一件让全国人民关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻，某组织随机选取10人调查民众了解这一新闻的方式，其中喜欢用电视、手机、报纸了解这一新闻的分别有3人、6人、1人，现随机选出2人，则()A ．有1人喜欢用电视的方式的概率是715B ．有2人喜欢用电视的方式的概率是415C .至多有1人喜欢用电视的方式的概率是1415D ．至少有1人喜欢用手机的方式的概率是815三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个箱子中有6个大小相同的产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的均值E(X)＝________．14．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．记事件A 为“抽取到的两张卡片上的数字奇偶性相同”，事件B 为“两张卡片上的数字均为偶数”，则P(B|A)＝________．15．如下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝0.7x ^＋0.3，那么表中m 的值为________．x 3456y2.9m44.116.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)某校举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的学生中抽出60人，对这60名学生的成绩(满分100分)进行统计，并按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数；(2)若规定80分以上(含80分)为优秀，用频率估计概率，从参赛学生中随机抽取3人，记其中成绩优秀的人数为ξ，求ξ的分布列．18．(12分)某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元．若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由．19．(12分)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.(1)若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；(2)若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望；(3)小明应从A 类试题中抽取几道试题作答才能使自己得分的数学期望更大？请从得分的数学期望角度给出理由．20．(12分)某市甲乙两所高中学校高二年级联合举办安全知识竞赛，共两轮，每轮满分为80分．参赛选手为这两所学校高二学生随机抽取的各100名学生．图1和图2分别是甲校和乙校参赛选手第一轮竞赛成绩的频率分布直方图．(1)若规定成绩在66分以上的学生为优秀，试根据第一轮竞赛的成绩分别估计甲乙这两所学校高二学生的优秀率；(2)已知第二轮竞赛成绩不低于60分的学生中，甲校增加了15人，乙校不变．根据第二轮竞赛的成绩完成下面2×2列联表．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩是否有差异．成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校乙校合计附表及公式：α＝P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d.21．(12分)数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017～2021年中国在线直播用户规模(单位：亿人)，其中2017年～2021年对应的代码依次为1～5.年份代码x 12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：y －＝5.16，v －＝1.68，错误!i y i ＝45.10，其中v i ＝x i .参考公式：对于一组数据(v 1，y 1)，(v 2，y 2)，…，(v n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^v ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!，a ^＝y －－b ^v －.(1)由上表数据可知，可用函数模型y ^＝b ^x ＋a ^拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x的回归方程(a ^，b ^的值精确到0.01)；(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p ，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X ，若P(X ＝3)＝P(X ＝4)，求X 的分布列与期望．22．(12分)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m ，其中0<m<1.(1)若m ＝23，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围．参考答案与解析1．答案：B解析：第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为25.故选B.2．答案：A解析：对于A ：回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数R 2或相关系数|r |判定，故不正确；对于B ：根据相关系数|r |越接近1，变量相关性越强，故正确；对于C ：相关指数R 2越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；对于D ：根据R 2的实际意义可得，R 2≈0.65表示女大学生的身高解释了65%的体重变化，故正确．故选A.3．答案：D解析：P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝80243.故选D.4．答案：A解析：依题意，甲、乙分别去完成这项任务相互独立，则甲完成此任务而乙没有完成此任务的概率为14×(1－23)＝112.故选A.5．答案：B解析：由表中数据可知：x －＝6＋7＋8＋94＝7.5，y －＝118＋126＋136＋1444＝131，因为回归方程y ^＝b ^x ＋65过样本中心(x －，y －)，所以131＝b ^×7.5＋65解得b ^＝8.8，将x ＝11代入y ^＝8.8x ＋65得y ^＝161.8.故选B.6．答案：C解析：因为曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线，所以根据正态分布的性质，P (0<x <1)＝12P (－1<x <1)＝0.3413，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.7．答案：D解析：对于①，因为ξ～N (2，δ2)，P (ξ<4)＝0.84，所以P (2<ξ<4)＝0.84－0.5＝0.34，故①正确；对于②，y ＝c e kx 两边同时取对数可得ln y ＝ln c ＋kx ，则z ＝ln c ＋kx ，又因为z ^＝0.3x ＋4，所以k ＝0.3，ln c ＝4，所以k ＝0.3，c ＝e 4，故②正确；对于③，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不会同时发生，当事件A 与事件B 独立，两事件可以同时发生，故③错误；若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22×2＝8，故④错误．所以正确的为①②.故选D.8．答案：B解析：对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数Y 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为C 26C 24C 410＝37，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为C 46C 410＝114，故④正确．故选B.9．答案：AD解析：若A ，B 是对立事件，则事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，所以A 选项正确；若事件A ，B 互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设A ＝{向上的点数是1}，B ＝{向上的点数是2}，则A ，B 互斥，P (A )＋P (B )<1，所以B 选项错误；只有当A 和B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，所以C 选项错误；若A 和B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，所以D 选项正确．故选AD.10．答案：AB解析：根据随机变量X 服从两点分布，其中P (X ＝1)＝12，∴P (X ＝0)＝12，故A 正确；E (X )＝0×12＋1×12＝12，故B 正确；则E (3X )＝3E (X )＝3×12＝32，故C 错误；D (X )＝(0－12)2×12＋(1－12)2×12＝14，则D (2X )＝4D (X )＝4×14＝1，故D 错误．故选AB.11．答案：AB解析：A ：由样本中心一定在回归直线上，正确；B ：由y ^＝0.1x ＋10，x 每增加1个单位则y ^约增加0.1个单位，正确；C ：两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于1，x ，y 之间的线性相关程度越高，错误；D ：观测值k 越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，错误．故选AB.12．答案：AC解析：设选出的2人中喜欢用电视的方式的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 03C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 07C 210＝115，A 正确，B 错误．这2人中至多有1人喜欢用电视的方式的概率是P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1415，C 正确．这2人中至少有1人喜欢用手机的方式的概率为C 16C 14C 210＋C 26C 04C 210＝1315，D 错误．故选AC.13．答案：2解析：任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量X ，则X 的可能取值为1，2，3则P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝1220＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝420＝15，则E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.14．答案：38解析：P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝C 24C 24＋C 25＝66＋10＝38.15．答案：2.8解析：由已知中的数据可得：x －＝4.5，y －＝(2.9＋m ＋4＋4.1)÷4＝m ＋114，∵数据中心点(x －，y －)一定在回归直线上，∴11＋m 4＝0.7×4.5＋0.3，解得m ＝2.8.16．答案：50解析：设A ＝“向右下落”，则A －＝“向左下落”，且P (A )＝P (A －)＝12，设Y ＝X －1，∵小球下落过程中共碰撞5次，∴Y ～B (5，12)，∴P (Y ＝k )＝P (X ＝k ＋1)＝C k 5(12)k (1－12)5－k ＝C k 5(12)5，(k ＝0，1，2，3，4，5)，∴P (X ＝3)＝C 25(12)5＝516，故投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有160×516＝50粒．17．解析：(1)设样本数据的中位数为a ，由0.05＋0.15＋0.2<0.5，0.05＋0.15＋0.2＋0.3>0.5，知a ∈(70，80).所以0.05＋0.15＋0.2＋(a －70)×0.03＝0.5，解得a ＝2203，故参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为2203.(2)由题意，知样本中80分以上(含80分)的频率为310，则从参赛学生中随机抽取1名学生，他的成绩是优秀的概率约为310，所以ξ～B (3，310).所以P (ξ＝0)＝(710)3＝3431000，P (ξ＝1)＝C 13×310×(710)2＝4411000，P (ξ＝2)＝C 23×(310)2×710＝1891000，P (ξ＝3)＝(310)3＝271000.所以ξ的分布列为ξ0123P 34310004411000189100027100018.解析：(1)记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件A ，则P (A )＝C 33C 39＝184.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是184.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，10，20，则P (X ＝20)＝C 33＋C 33＋C 33C 39＝128，P (X ＝10)＝C 13C 13C 13C 39＝928，P (X ＝0)＝1－928－128＝914.所以X 的分布列为X 01020P 914928128E (X )＝0×914＋10×928＋20×128＝5514.(3)记随机变量Y 为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y ＝X －5，所以E (Y )＝E (X )－5＝－1514<0，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动．19．解析：(1)小明仅答对1题的概率P ＝710×(35)2＋310·C 12·25·35＝99250.(2)X 可能的取值为0，10，20，30，P (X ＝0)＝C 33C 310＝1120，P (X ＝10)＝C 17C 23C 310＝740，P (X ＝20)＝C 27C 13C 310＝2140，P (X ＝30)＝C 37C 310＝724，所以X 的分布列为X0102030P 11207402140724所以E (X )＝0×1120＋10×740＋20×2140＋30×724＝21.(3)设小明从两类试题中分别抽取n 1，n 2道试题，回答正确的题数分别为x 1，x 2，两类试题总得分为y ，∵x 1服从超几何分布，x 2服从二项分布，∴E (x 1)＝n 1×710＝0.7n 1，E (x 2)＝n 2×25＝0.4n 2，由n 1＋n 2＝3，∴E (y )＝10E (x 1)＋20E (x 2)＝10×0.7n 1＋20×0.4n 2＝10×0.7n 1＋20×0.4(3－n 1)＝24－n 1.∵n 1＝0，1，2，3，∴当n 1＝0时E (y )max ＝24.即小明全部回答B 类试题时，得分的期望值最大为24.20．解析：(1)根据频率分布直方图，甲校高二学生的优秀率为0.01×10×70－6670－60＋0.01×10＝0.14；乙校高二学生的优秀率为0.035×10×70－6670－60＋0.025×10＝0.39.(2)第一轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有100×0.01×20＝20人，乙校有：100×(0.035×10＋0.025×10)＝60人；则第二轮竞赛中成绩不低于60分的学生，甲校有35人，乙校有60人；故2×2列联表如下所示：成绩低于60分人数成绩不低于60分人数合计甲校6535100乙校4060100合计10595200故可得χ2＝200（65×60－35×40）2105×95×100×100＝5000399≈12.531>10.828，故在小概率值α＝0.001的独立性检验下，甲乙两个学校高二学生这次竞赛的成绩有差异．21．解析：(1)设v ＝x ，则y ^＝b ^v ＋a ^，因为y －＝5.16，v －＝1.68，错误!2i ＝错误!i＝15，所以b ^＝错误!＝45.10－5×1.68×5.1615－5×1.682＝1.7560.888≈1.98.把(1.68，5.16)代入y ^＝b ^v ＋a ^，得a ^＝5.16－1.98×1.68≈1.83.即y 关于x 的回归方程为y ^＝1.98x ＋1.83.(2)由题意知X ～B(4，p)，P(X ＝3)＝C 34p 3(1－p)＝4p 3(1－p)，P(X ＝4)＝C 44p 4＝p 4，由4p 3(1－p)＝p 4得p ＝45，所以X 的取值依次为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝C 04(1－45)4＝1625，P(X ＝1)＝C 14·45·(1－45)3＝16625，P(X ＝2)＝C 24(45)2(1－45)2＝96625，P(X ＝3)＝C 34(45)3(1－45)＝256625，P(X ＝4)＝C 44(45)4＝256625，所以X 的分布列为X01234P 16251662596625256625256625E(X)＝4×45＝165.22．解析：(1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A ，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B ，根据题意可得P(A)＝C 13(12)1(12)2＝38，P(B)＝16×(13)2＋56×23×13×2＝2154＝718.(2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ，根据题意可知，X ～B(3，12)，所以E(X)＝3×12＝32，P(Y ＝0)＝56×13(1－m)＝518(1－m)，P(Y ＝1)＝16×13(1－m)＋56×23(1－m)＋56×13m ＝1118－13m ，P(Y ＝2)＝16×23(1－m)＋16×13m ＋56×23m ＝19＋12m ，P(Y ＝3)＝16×23m ＝19m.则随机变量Y 的分布列为Y0123P 518(1－m)1118－13m 19＋12m 19m E(Y)＝1118－13m ＋29＋m ＋13m ＝56＋m ，若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有E(Y)>E(X)，所以56＋m>32，又因为0<m<1，所以23<m<1，所以m 的取值范围是(23，1).。
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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013 新课标全国】为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【解析】（1）利用平均数公式进行计算；（2）绘制茎叶图，进行观察.2.【2014高考全国1文】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】（1）（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.081003. 【2015全国II 文18)】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图满意度评分频率/组距1009080706050400.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005(1)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）.0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0405060708090100频率/组距满意度评分B 地区用户满意度评分的频率分布直方图4.【2015全国I 文19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.年宣传费/千元年销售量/t 620600580560540520500480565452504846444240383634表中i w =,8118i i w w ==∑（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）；（2II ）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与,x y 的关系为0.2z y x =-,根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ,()22,u v , ,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑, v u αβ=-. 解析（1）由散点图变化情况选择y c =+较为适宜.6.8=,即26.846.24x ==（千元）时,年利润的预报值最大, 【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点， 2013年考查了茎叶图、利用样本数据估计总体，考查学生的数据处理能力，这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确，2014年考查了频率分布表，频率分布直方图，平均数与方差的计算，主要考查生活中的概率统计知识和方法. 2015年分别考查了频率分布直方图、线性回归分析.从近几年的高考试题来看，古典概型、频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查较少，主要是以小题形式考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．，根据近三年高考趋势预测2016年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然是考查的热点，由于连续3年大题都没考古典概型、独立性检验，故应注意和概率知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用，有可能涉及一道与独立检验有关的大题． 【重点知识整合】 一，统计初步1.简单随机抽样简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作．每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法． 2.系统抽样(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距抽样．(2)系统抽样的步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．②分段．先确定分段的间隔k .当N n (N 为总体中的个体数，n 为样本容量)是整数时，k ＝Nn ；当Nn 不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N ′能被n 整除，这时k ＝N ′n .③确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S .④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S 加上间隔k ，得到第2个个体编号S ＋k ，再将(S ＋k )加上k ，得到第3个个体编号S ＋2k ，这样继续下去，获得容量为n 的样本．其样本编号依次是：S ，S ＋k ，S ＋2k ，…，S ＋(n －1)k . 3．分层抽样(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当． (2)分层抽样的步骤①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本．(3)分层抽样的优点分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用． 4.绘制频率分布直方图把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1. 5．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．6．平均数、中位数和众数(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数．(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数)．(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．7．方差、标准差(1)设样本数据为x 1，x 2，…，x n 样本平均数为x －，则s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝1n [(x 12＋x 22＋…＋x n 2)－n x 2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小． 8.两个变量的线性相关 (1)散点图将样本中n 个数据点(xi ，yi )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系． (2)正相关、负相关如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 9．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归直线方程的求法——最小二乘法．设具有线性相关关系的两个变量x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的系数为：⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x ·y ∑i ＝1n x i 2－n x 2＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n (x i －x －)2a ^＝y －－b ^x其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1n ∑i ＝1n y i ，(x －，y －)称作样本点的中心．a ^，b ^表示由观察值用最小二乘法求得的a ，b 的估计值，叫回归系数． 10.独立性检验(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量． (2)两个分类变量X 与Y 的频数表，称作2×2列联表.二．随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母,,,A B C 表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()p A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B 为不可能事件(A B φ= )，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B 为不可能事件，而A B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算5.随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A .由定义可知()01p A ≤≤，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤. (2)必然事件的概率：()1p A =. (3)不可能事件的概率：()0p A =. (4)互斥事件的概率加法公式：①()()()p A B p A p B =+ (,A B 互斥)，且有()()()1p A A p A p A +=+=． ②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++ (12,,,n A A A 彼此互斥)． (5)对立事件的概率：()()1P A P A =-． 三．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=nm . 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.四．几何概型1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的. （2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数. 2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性． （3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()p A =构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.3．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积 五．条件概率 1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =.在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =. (2)条件概率具有的性质： ①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p B C A p B A p C A =+ ． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则()()/p B A p B =，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立．【应试技巧点拨】 1.三种抽样方法的比较2．样本频率直方图与样本的数字特征在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．3．方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆．相关关系是一种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系.6．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)7．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．8．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断．【考场经验分享】1.进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组记录那么直观、清晰．3．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．4．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．5．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．6．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.076应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．7. 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．8．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了．9．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．【名题精选练兵篇】1.【2016广西钦州上学期期末,文18】某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90）之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：90分（包含90分）以上为优秀,现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．2.【2016河北唐山二模,文18】二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝i ＝1∑x i y i －n ·x-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2,a ˆ＝y -－b ˆx -．） （Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ 解：（Ⅰ）由已知：x -＝6,y -＝10,5i ＝1∑x i y i ＝242,5i ＝1∑x 2i＝220, ^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45,a ˆ＝y -－^b x-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2) ＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5＝－0.05(x －3)2＋1.95,所以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值．3．【2016吉林长春质量监测二,文18】近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为35,对服务的好评率为34,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥4.【2016辽宁省沈阳质量监测一,文19】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为25． （Ⅰ）求22 列联表中的数据x ,,,的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？未发病发病 合计未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B合计505010010000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.5.【2016新疆乌鲁木齐一诊,文19】某城市居民月生活用水收费标准为未注射 注射未注射 注射1.6,022.7,23.54.0,3.5 4.5t t W t t t t t ≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩（）=（t 为用水量,单位：吨；W 为水费,单位：元）,从该市抽取的100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.(I)求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；（II ）从每月所交水费在14元-18元的用户中,随机制取户,求2户的水费都超过16元的概率.()()0.50 2.250.28 2.750.12 3.25 2.70.08 3.750.04 4.2540.5⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⎤⎦5.05275=（元） …6分6. 【山东省青岛市2015届高三上学期期末】右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 （I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ；（II ）现欲将90~95分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率.【解析】 (Ⅰ)8090 分数段频率为1(0.040.03)50.35p =+⨯=,此分数段的学员总数为21人所以毕业生的总人数N 为21600.35N ==，9095 分数段内的人数频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1p =-+++++⨯=所以9095 分数段内的人数600.16n =⨯=；(Ⅱ) 9095 分数段内的6人中有两名男生,4名女生，设男生为12,A A ;女生为1234,,,B B B B ,设安排结果中至少有一名男生为事件A ，从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为121112131421222324121314232434;;;;;;;;;,,;;;;A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 共15种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的，其中, 至少有一名男生的种数为121112131421222324;;;;;;;;;A A A B A B A B A B A B A B A B A B 共9种，所以,93()155P A ==. 7.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测8t =时，细菌繁殖个数. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：。