现代控制技术-5 基于模糊推理的智能控制

模糊关系与复合运算
精确关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。 同 一 空 间
U ,V 是二个精确的集合。
1 当只当（x, y ) ∈ R(U × V ) µR = 0 其它。
模糊关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在或不存在的程 度。
U,V 是二个论域。
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化： 以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) = a,b,c,的几何意义如图所示。
1+
1
x − c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
模糊集合的运算和隶属函数的参数化 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x)
C = A∪ B
并（析取） 交（合取）
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
f (λx1 + (1 − λ ) x2 ≥ λf ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ) ）
它的定义比模糊凸的定义严格
x2
x1
不符合凸 函数条件
5元组为特征 （ x , T ( x ), X , G , M ）
⑧ 语言变量
x : 变量的名称 T ( x ) : x术语的集合 X : 论域 G : 产生 x值名称的句法规则 M : 与各值含义有关的语法 规则
0 .8 1 .0 0 .1 0 .7 0 0 0 .8 0 0 .9 1 .0 0 .7 0 .8
同一空间模糊关系复合运算： 同一空间模糊关系复合运算： µ R ∩ S ( x , y ) = µ R ( x , y ) ⊗ µ S ( x , y ) （三角范式运算） 或
精确集合
X <6
1
X >6
µA = 0
µA =1
X =6
模糊集合
13
µ A ( x) = 1
µ A ( x) = [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
+
② 支集
支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
③核 ④
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x) ≥ α } =
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
核 ( A ) = { x | µ A ( x ) = 1}
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更一般化的二个模糊集合的运算 1）三角范式运算： 二个模糊集合A和B的“交”用函数 T : [0,1] × 源自0,1] → [0,1] 来确定。
~ µ (x) µA∩B (x) = T(µA(x),µB (x)) = µA(x) ∗ B
交（极小）： Tmin ( a, b) = a ∧ b = min( a, b) 代数积： Tap ( a, b) = a • b = ab 有界积： Tbp ( a, b) = a ⊗ b = max{0, a + b − 1} a ) 强积： Tdp ( a, b) = a • b = b 0 如b = 1 如a = 1 如a, b < 1
R是 U × W的子集， ( x, w) ∈ R 当仅当至少有一个 y ∈ V , 使 ( x, y ) ∈ P , ( y , w) ∈ Q. o 为复合算子
常用的复合运算：
P = RoS
常用的模糊复合运算： 1 max − min 复合运算 ） µ PoS ( x, z ) = {( x, z ), sup[min(µ P ( x, y ), µ S ( y, z ))}
y
2) max- 乘积复合运算 µPoQ (x, w) = {(x, w), max[(µP (x, y) • µQ ( y, w))}
y
当U,V,W是离散论域时， Sup(取上界)变成取极大运算
非同一空间模糊关系复合运算举例与图示： 非同一空间模糊关系复合运算举例与图示： 举例
令 X = {1 , 2 , 3 }, Y = { α , β , γ , σ } , Z = { a , b } 0 .1 0 .3 0 .5 0 .7 R （ X , Y ) = 0 .4 0 .2 0 .8 0 .9 0 .6 0 .8 0 .3 0 .2 S (Y , Z ) = 0 .9 0 .1 0 .2 0 .3 0 .5 0 .6 0 .7 0 .2
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理 2）模糊推理系统 3）模糊建模与辨识 4）模糊控制系统 5）模糊控制系统的稳定性
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1）模糊集合和模糊推理 ） 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0 模糊集合：
二维模糊隶属函数 1）一维模糊集合的圆柱扩展
X 论域中的模糊集合 A, 在 X × Y中的圆柱扩展：
C ( A) = ∫
X ×Y
µ A ( x) /( x, y )
2）模糊集合的投影
在 X × Y中二维模糊集合 R 在 X 和 Y的投影：
RX =
∫X [ max µ R ( x , y ) ] / x y
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
补（负）
隶属函数参数化 三角形隶属函数
0 x−a b−a trig ( x ; a , b , c ) = c − x c−b 0
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) e 2 σ
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
µ L (C ) = 0.91
P [ A∈L] = 0.91 r
L = {可饮液体的集合 }
啤酒
盐酸
C
µ L (C ) = 0.91
A
P [ A∈L] = 0 r
1）模糊隶属函数表示物体（对象）对不精确定义性质 的相似程度。 2）概率把信息转变为事件发生或出现的频度。
4个最常用的T范式算子：
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2）协三角运算 S—范式 二个模糊集合A和B的“并”用函数
S : [0,1] × [0,1] → [0,1] 来确定。
~ µ (x) µA∪B (x) = S(µA(x),µB (x)) = µA(x) + B
4 4个最常用的S范式算子： S
并（极大）： S max ( a, b) = a ∨ b = max( a, b) ˆ 代数和： S as ( a, b) = a + b = a + b − ab 有界和： S bs ( a, b) = a ⊕ b = min{1, a + b} a & b = b 强和： S ds ( a, b) = a ∪ 0 如b = 0 如a = 0 如a , b > 1
RY =
∫Y [ max µ R ( x , y ) ] / y x
二维的隶属函数可以进行max(OR) 和 min(AND)运算： 梯形Trap(x,-6,-2,2,6)和Trap(y,-6,-2,2,6)的min和 max运算
钟形bell(x,4,3,0)和bell(y,4,3,0)的min和 max运算
y∈V
2) max - 乘积复合运算 1 max− min复合运算 ） µPoQ (x, w) = {(x, w), max[min(µP (x, y), µQ ( y, w))} µ PoS ( x, z ) = {( x, w), sup[(µ P ( x, y) • µ S ( y, z ))} y∈V
取极小运算
µ R ∪ S ( x, y ) = µ R ( x, y ) ⊕ µ S ( x, y ) (协三角范式运算）
取极大运算
举例
0.8 1 0.1 0.7 µM (x, y) = 0 0.8 0 0 0.9 1 0.7 0.8 0 .4 0 0 .1 0 .6 µ M ∩ L ( x , y ) = 0 0 .4 0 0 0 .3 0 0 .7 0 .5 0 .8 1 0 .9 0 .7 µ M ∪ L ( x , y ) = 0 .9 0 .8 0 .5 0 .7 0 .9 1 0 .8 0 .8