深圳市南山区2017届高三上学期期末考试(文数)

深圳市南山区2017届高三上学期期末考试数 学（文科）注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

2．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答．．．．．．．．．．．．．．．题卡上．．．。

1．已知集合A ={|x y =，集合{}2≥=x x B ,A B = A. ]3,0[ B ．]3,2[C ．),2[+∞ D ．),3[+∞ 2．若复数z 满足，i z i 43)34(-=+，则z 的虚部为 A. 53-B ．45- C ．i 53- D ．i 54-3．椭圆125922=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为2，则P 到另一焦点的距离为 A. 3B ．5C ．7D ．84．已知数列}{n a 为等差数列，若21062π=++a a a ，则)tan(93a a +的值为 A. 0 B ．33C ．1D ．35．设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()()1g x f x =+的零点的个数是A. 1B. 2C. 3D. 47．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为cm 2，高为cm 4， 则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为A. cm 104B. cm 312C. cm 132D. cm 138． 已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角C B A ,,所对的边长，且2,1==b a ，1tan =C ，则ABC ∆外接圆面积为 A.π21B. π31 C . πD.π39．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为 A. 8π B. 16π C. 32π D. 64π10．如图所示，输出的n 为A. 10B. 11C. 12D. 1311．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，若F 关于直线03=+y x 的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为A.1-2 B. 13-C.25- D. 2-612．已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0,20),1ln()(2x x x x x x f ，若0)1()(≥+-x m x f ，则实数m的取值范围是A. ]0-，（∞B. ]1,1[-C. ]2,0[D. ),2[+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上．．．．．．．．．。

13．已知向量b a ,满足0=⋅b a ，2,1==b a ，则=+b a.14．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤4531y x x x y ，则x y 的最大值是_____________．15．若,+∈R a 则当aa 91+的最小值为m 时，不等式1342<++x x m 的解集为 . 16．若33)42,sin(31)4cos(,02,20=+=+<<-<<πβπαβππα， 则=+)2cos(βα_____________．第10题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤。

17．（本小题满分12分）设数列}{n a 满足：,11=a 1312=-a a ，且11112+-+-+=n n n n n a a a a a ()2≥n （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列211=b ，n n n a a b 14-=，设}{n b 的前n 项和n T ．证明：1T <n18．（本小题满分12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； （Ⅲ）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率．19．（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图（2）中△1A BE 的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，若2=a ，求四棱锥1A BCDE -的体积．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为12F F ，，过右焦点2F 的直线l 与C 相交于P Q ，两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的.（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设l 的斜率为1，在C 上是否存在一点M ，使得2OM OP OQ =+？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分） 已知函数xa x ax x f 1ln )(+++= （Ⅰ）若0≥a 或1-≤a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）证明：)(x f 至多一个零点请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为04sin cos =--θρθρ．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点，求点P 到曲线2C 的距离PQ 的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-++. （Ⅰ）若1a =，解不等式 ()22f x x ≤-; （Ⅱ）若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、选择题：（12×5＇=60＇）二、填空题：（4×5＇=20＇）13．5 14． 3215．{}-13>-<x x x 或 16．2723 三、解答题：（70＇）17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11112+-+-+=n n n n n a a a a a ,()2≥n , 11112+-+=∴n n n a a a ………1分 又,11=a 1312=-a a 231,1121==∴a a 211112=-∴a a ………3分 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项为1，公差为21的等差数列………5分()()12112111+=-+=∴n n a n即 12+=n a n ………7分（Ⅱ） n n n a a b 14-=∴111)1(1)(1+-=+=+⋅=n n n n n n b n ………9分∴1111)111()3121()211(21<+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n nb b b T n n …………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=．………4分（Ⅱ）分数在[80,90)之间的频数为25223-=； 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为3100.01225÷=． ………8分（Ⅲ）将[80,90)之间的3个分数编号为123,,a a a ，[90,100)之间的2个分数编号为12,b b ， 在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b 共10个，其中，至少有一个在[90,100)之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是710． ………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：在图（1）中，因为//AD BC ，12AB BC AD O ===， E 是AD 中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥，且//CD BE ，所以在图（2）中，1BE AO ⊥，BE OC ⊥， …………4分 又BE ⊥平面1AOC ，//CD BE ， 所以CD ⊥平面1AOC ． …………6分 （Ⅱ）解：由题意，可知平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =， 又由（1）可得1AO BE ⊥，所以1A O ⊥平面BCDE ， 即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高， …………8分由图（1）知，1A O AB ==，2BCDE S BC AB a =⋅= ，又2=a所以四棱锥1A BCDE -的体积2311133BCDE V S A O a =⋅=⋅= 324=…12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵4a =，即a =，∴e ==. …………4分（Ⅱ）设椭圆方程222332x y c +=，直线方程为y x c =-， 代入得2234602x cx c -+=，设1122(,)(,)P x y Q x y ，，则1232x x c +=，21238x x c =， …………6分 设00(,)M x y ，则22200332x y c +=，由2OM OP OQ =+ 得01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入得22212123(2)3(2)2x x y y c +++=，………8分即212123(3)02c x x y y ++=，又∵1212121233()()0x x y y x x x c x c +=+--=， 212123(3)02c x x y y ++=无解，所以不存在点M ，使得2OM OP OQ =+ ………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(∞+2222)1)(1()1(11)('x x a ax x a x ax x a x a x f -++=+-+=+-+=…………….1分 ① 0≥a 时，01>++a ax ，则当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当),1(∞+∈x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增。