2017年河南省洛阳市中考数学三模试卷带答案解析

2017年河南省洛阳市中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．0 B．C．﹣D．﹣32．（3分）据统计，某市2015年底机动车的数量是3×105辆，2016年新增15000辆，用科学记数法表示该市2016年底机动车的数量是（）A．3.15×105B．4.5×105C．3.15×104D．4.5×1043．（3分）如图，AB∥CD，已知∠BED=64°，BC平分∠ABE，则∠ABC的度数是（）A．16°B．32°C．64°D．116°4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这样的几何体最多需要a个这样的小正方体，则a=（）A．16 B．12 C．9 D．85．（3分）下列说法中，正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加同一个正数，方差变大B．为了解全市同学对书法课的喜欢情况，调查了某校所有女生C．“任意画出一个矩形，它是轴对称图形”是必然事件D．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查6．（3分）下列各式计算正确的是（）A．=ab4B．（﹣1+b）（﹣b﹣1）=1﹣b2C．5xy2﹣xy2=4 D．（a﹣b）2=a2+b27．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2bx+c，当x＜2时，y的值随x的增大而增大，则实数b的取值范围是（）A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥﹣2 D．b≤﹣28．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，先从中摸出一个小球，再从余下的球中摸出一个小球，第二次摸到小球的编号大于第一次编号的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）已知A（4，1），B（5，4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（7，0） D．（1，3）10．（3分）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF=DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：+=．12．（3分）若关于x的方程kx2+2x+1=0有两个实根，则k的取值范围是．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于E，交BC于F．②分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于P；③作射线CP交AB于点D，若AC=3，BC=4，则△ACD的面积为．14．（3分）在Rt△ABC中，AC=BC=6，以A为旋转中心将△ABC顺时针旋转30°得到△ADE，则图中阴影部分的面积=．15．（3分）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，点D的对应点为F，当△DFC是等腰三角形时，DE的长为．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（x﹣4+）÷，其中x的值从的整数解中选取一个．17．（8分）“校本课程”是学生课外活动的重要内容，某校共有“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”这四种校本课程．为了解学生参加“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”校本课程（以下分别用A、B、C、D表示）的情况，对学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的学生共有人．（2）将两幅统计图补充完整；（3）若该校有4000人，请估计参加法律普及的人数．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=2cm，点P为弧AB上一动点（不与A，B重合），=，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点C．（1）试证明AB∥CD；（2）填空：①当BP=1cm时，PD=cm；②当BP=cm时，四边形ABCD是平行四边形．19．（9分）为改善洛阳的公共交通状况，洛阳市开始建设地铁系统，如图为某地地铁出站口的示意图，为提高某一段台阶的安全性，决定进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在平面为水平面）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？20．（10分）如图，一次函数y=ax﹣1的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）直接写出不等式ax﹣1≥的解集；（3）在x轴上存在一点P，使得△POA与△OAC相似（不包括全等），请你求出点P的坐标．21．（10分）某公司有330台机器要运送到外地，计划租用甲、乙两种货车．已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金280元，若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车，可运送195台机器；若租用4辆甲种货车和1辆乙种货车，可运送210台机器；（1）求每辆甲种货车和乙种货车能运送的机器数量；（2）请给出一次性将机器运送到目的地的最节省费用的租车方案，并说明理由．22．（10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一条直线上．填空：线段AD，BE之间的关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，线段PA=3，点B是线段PA外一点，PB=5，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围．23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+5与坐标轴的交点B，C．已知D（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）M，N分别是BC，x轴上的动点，求△DMN周长最小时点M，N的坐标，并写出周长的最小值；（3）连接BD，设M是平面上一点，将△BOD绕点M顺时针旋转90°后得到△B1O1D1，点B，O，D的对应点分别是B1，O1，D1，若△B1O1D1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点O1的坐标．2017年河南省洛阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．0 B．C．﹣D．﹣3【解答】解：﹣3＜﹣＜0＜，故选：D．2．（3分）据统计，某市2015年底机动车的数量是3×105辆，2016年新增15000辆，用科学记数法表示该市2016年底机动车的数量是（）A．3.15×105B．4.5×105C．3.15×104D．4.5×104【解答】解：3×105+15000=3.15×105（辆）故用科学记数法表示我市2016年底机动车的数量是3.15×105．故选：A．3．（3分）如图，AB∥CD，已知∠BED=64°，BC平分∠ABE，则∠ABC的度数是（）A．16°B．32°C．64°D．116°【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠BED=64°，∴∠ABE=∠BED=64°，又∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=32°．故选：B．4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这样的几何体最多需要a个这样的小正方体，则a=（）A．16 B．12 C．9 D．8【解答】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体有2层，4列，最底层最多有2×4=8个正方体，第二层有1个正方体，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是8+1=9个．故选：C．5．（3分）下列说法中，正确的是（）A．将一组数据中的每一个数据都加同一个正数，方差变大B．为了解全市同学对书法课的喜欢情况，调查了某校所有女生C．“任意画出一个矩形，它是轴对称图形”是必然事件D．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查【解答】解：A、将一组数据中的每一个数据都加同一个正数，方差不变，故A 不符合题意；B、为了解全市同学对书法课的喜欢情况，调查了多所学校的学生，故B不符合题意；C、“任意画出一个矩形，它是轴对称图形”是必然事件，故C符合题意；D、为了审核书稿中的错别字，选择抽样普查，故D不符合题意；故选：C．6．（3分）下列各式计算正确的是（）A．=ab4B．（﹣1+b）（﹣b﹣1）=1﹣b2C．5xy2﹣xy2=4 D．（a﹣b）2=a2+b2【解答】解：A、=a2b4，故A错误；B、（﹣1+b）（﹣b﹣1）=（﹣1+b）（﹣1﹣b）=（﹣1）2﹣b2=1﹣b2，故B正确；C、5xy2﹣xy2=4xy2，故C错误；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故D错误．故选：B．7．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2bx+c，当x＜2时，y的值随x的增大而增大，则实数b的取值范围是（）A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥﹣2 D．b≤﹣2【解答】解：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣b，因为a=﹣1＜0，所以抛物线开口向下，所以当x＜﹣b时，y的值随x值的增大而增大，而x＜2时，y的值随x值的增大而增大，所以﹣b≥2．b≤﹣2故选D．8．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，先从中摸出一个小球，再从余下的球中摸出一个小球，第二次摸到小球的编号大于第一次编号的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有20中等可能结果，其中第二次摸到小球的编号大于第一次编号的有10种，∴第二次摸出的小球的标号是第一次的整数倍的概率为=，故选：B．9．（3分）已知A（4，1），B（5，4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（7，0） D．（1，3）【解答】解：如图，过点B作BD垂直于过点A与x轴的平行线于D，过点C作CE垂直于过点A与x轴的平行线于E，∵A（4，1），B（5，4），∴AD=5﹣4=1、BD=4﹣1=3，∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，∴AB=AC，∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，又∵∠B+∠BAD=90°，∴∠B=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴CE=AD=1，AE=BD=3，∴点C的横坐标为：4﹣3=1，纵坐标为：1+1=2，∴点C的坐标为（1，2）．故选A．10．（3分）如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF=DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2【解答】解：在正方形ABCD中，∴AB=BC，∠BAE=∠ABC=90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE=∠BCF，∵∠ABE+∠CBP=90°∴∠BCF+∠CBP=90°∴∠BPC=90°如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OP=BC=2，在Rt△AOB中，OA===2 ，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，AP的最小值=OA﹣OP=2 ﹣2．故选D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：+=1．【解答】解：原式=+3=﹣2+3=1．故答案为：1．12．（3分）若关于x的方程kx2+2x+1=0有两个实根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实数根，∴根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0．即k≤1且k≠0．故答案是：k≤1且k≠0．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧交AC于E，交BC于F．②分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于P；③作射线CP交AB于点D，若AC=3，BC=4，则△ACD的面积为．【解答】解：过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，∵由题意可知CP是∠ACB的平分线，∴DG=DH．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，=S△ACD+S△BCD，即×3×4=×3DG+×4DG，解得DG=，∴S△ABC∴△ACD的面积=×3×=．故答案为：．14．（3分）在Rt△ABC中，AC=BC=6，以A为旋转中心将△ABC顺时针旋转30°得到△ADE，则图中阴影部分的面积=3π．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=BC=6，∴AB=6，∵以A为旋转中心将△ABC顺时针旋转30°得到△ADE，∴∠CAD=∠BAE=30°，AD=AC=6，AE=AB=6，∴图中阴影部分的面积=S扇形BAE ﹣S扇形CAD=﹣=3π，故答案为：3π．15．（3分）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，当△DFC是等腰三角形时，DE的长为或或6．【解答】解：分三种情况：①如图，当DF=CF时，△DFC是等腰三角形，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则FH⊥AB，∵DG=CD=AH=3，AF=AD=5，∴Rt△AFH中，HF=4，∴GF=GH﹣FH=1，设DE=FE=x，则EG=3﹣x，∵Rt△EFG中，（3﹣x）2+12=x2，解得x=，∴DE的长为；②如图，当DC=DF=6时，△DFC是等腰三角形，由折叠可得，AE⊥DF，DO=DF=3，∴Rt△AOD中，AO=4，∵∠ADE=90°，∴∠ODE=∠OAD，又∵∠DOE=∠AO90°，∴△DOE∽△AOD，∴=，即=，解得DE=；③如图，当DC=FC时，△DFC是等腰三角形，∴点C在DF的垂直平分线上，又∵AE垂直平分DF，∴点E与点C重合，∴DE=DC=6，综上所述，DE的长为或或6．故答案为：或或6．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（x﹣4+）÷，其中x的值从的整数解中选取一个．【解答】解：（x﹣4+）÷====x﹣2，由得，﹣2＜x≤2.5，∴当x=0时，原式=0﹣2=﹣2．17．（8分）“校本课程”是学生课外活动的重要内容，某校共有“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”这四种校本课程．为了解学生参加“文学欣赏”、“英语角”、“趣味数学”、“法律普及”校本课程（以下分别用A、B、C、D表示）的情况，对学生进行了抽样调查，并将调查情况绘制成两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的学生共有600人．（2）将两幅统计图补充完整；（3）若该校有4000人，请估计参加法律普及的人数．【解答】解：60÷10%=600（人），故答案为600；（2）600﹣180﹣60﹣240=120（人），180÷600×100%=30%，1﹣30%﹣10%﹣40%=20%，如图，（3）4000×40%=1600（人），答：该校有4000人，请估计参加法律普及的人数是1600人．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=2cm，点P为弧AB上一动点（不与A，B重合），=，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点C．（1）试证明AB∥CD；（2）填空：①当BP=1cm时，PD=+cm；②当BP=cm时，四边形ABCD是平行四边形．【解答】（1）证明：连接OD．∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∵=，∴∠AOD=∠BOD=90°，∴OD⊥AB，∴AB∥CD．（2）解：①作DE⊥AP于E，DF⊥PC于F．∵=，∴∠APD=∠DPB，∴DE=DF，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠EPD=∠FPD=45°，易知四边形PEDF是正方形，∵AD=BD，DE=DF，∴Rt△DEA≌Rt△DFB，∴AE=BF，在Rt△PAB中，∵AB=2cm，PB=1cm，∴PA==，∴PA+PB=PE+AE+PF﹣BF=2PE=1+，∴PD=PE=（+）cm．故答案为+．②当P是中点时，DC=2OB=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．易知BD=OB=cm，故答案为．19．（9分）为改善洛阳的公共交通状况，洛阳市开始建设地铁系统，如图为某地地铁出站口的示意图，为提高某一段台阶的安全性，决定进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在平面为水平面）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？【解答】解：（1）∵∠ABC=45°，AB=5，∴AB=AC=ABsin∠ABC=5×=，∵∠ADC=30°，∴AD=2AC=5，则AD﹣AB=5﹣5≈2.1（m），答：改善后的台阶坡面会加长2.1m；（2）由（1）知，AB=AC=，∵∠ADC=30°，∴CD===，则BD=CD﹣BC=﹣=××（﹣1）≈2.6（m），答：改善后的台阶多占2.6m长的一段水平地面．20．（10分）如图，一次函数y=ax﹣1的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）直接写出不等式ax﹣1≥的解集；（3）在x轴上存在一点P，使得△POA与△OAC相似（不包括全等），请你求出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（3，1）代入一次函数y=ax﹣1与反比例函数y=的解析式中，得到a=，k=3，由，解得或，∴B（﹣，﹣2）．（2）观察图象可知不等式ax﹣1≥的解集为﹣≤x＜0或x≥3．（3）如图当∠APO=∠OAC时，∵∠AOC=∠POA，∴△AOC∽△POA，∴=，∴OA2=OC•OP，易知OA=，OC=，∴10=•OP，∴OP=，∴P（，0）．∴满足条件的点P的坐标为（，0）．21．（10分）某公司有330台机器要运送到外地，计划租用甲、乙两种货车．已知甲种货车每辆租金400元，乙种货车每辆租金280元，若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车，可运送195台机器；若租用4辆甲种货车和1辆乙种货车，可运送210台机器；（1）求每辆甲种货车和乙种货车能运送的机器数量；（2）请给出一次性将机器运送到目的地的最节省费用的租车方案，并说明理由．【解答】解：（1）设每辆甲种货车能运送x台机器，每辆乙种货车能运送y台机器，依题意得：，解得．答：每辆甲种货车能运送45台机器，每辆乙种货车能运送30台机器；（2）能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用为：y=400x+（﹣280x+2240）=120x+2240，又∵45x+（﹣30x+240）≥330，解得x≥6，∵120＞0，∴在函数y=120x+2240中，y随x的增大而增大，∴当x=6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．22．（10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=90°，B，C，D在一条直线上．填空：线段AD，BE之间的关系为AD=BE，AD⊥BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，线段PA=3，点B是线段PA外一点，PB=5，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围．【解答】解：（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠EBC=∠CAD延长BE交AD于点F，∵BC⊥AD，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3﹣1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB﹣PE=5﹣3，图3﹣2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，∴5﹣3≤BE≤5+3，即5﹣3≤PC≤5+3．23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+5与坐标轴的交点B，C．已知D（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）M，N分别是BC，x轴上的动点，求△DMN周长最小时点M，N的坐标，并写出周长的最小值；（3）连接BD，设M是平面上一点，将△BOD绕点M顺时针旋转90°后得到△B1O1D1，点B，O，D的对应点分别是B1，O1，D1，若△B1O1D1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点O1的坐标．【解答】解：（1）由题意C（0，5），B（5，0），把C（0，5），B（5，0）的坐标代入y=﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．（2）如图1中，作点D关于BC的对称点D′，点D关于x轴的对称点D″，连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN．此时△DMN的周长最小．易知D′（2，5），D″（0，﹣3），设直线D′D″的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=4x﹣3，∴N（，0），由，解得，∴M（，），∴△DMN周长最小时点M（，），N（，0），△DMN的周长的最小值=D′D″==2．（3）①如图2中，当O′和D′在抛物线上时，易知点O′与点C重合，CD′=OD=3，此时O′（0，5）．②如图3中，点B′、D′在抛物线上时，设点B′（x，﹣x2+4x+5）的横坐标为x+1，则点D′的坐标为（x+3，﹣x2+4x+10）．把D′坐标代入y=﹣x2+4x+5中，得到﹣x2+4x+10=﹣（x+3）2+4（x+3）+5，解得x=﹣，∴B′（﹣，），∴O′（﹣，），综上所述，满足条件的点O′的坐标为（0，5）或（﹣，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。