1.3等式的性质2
初一数学上册第二章知识点总结
初一数学上册第二章知识点总结【一】:初一数学上册知识点总结人教版初一数学（上册）人教版初一数学所学内容第一章有理数1．1 正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4 有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5 有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1 整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2 整式的加减信息技术应用数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋－× ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a× 应写成a；（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b 时，则应分类，写做a-b和b-a .3.几个重要的代数式：（m、n表示整数）（1）a与b的平方差是：a2-b2 ；a与b差的平方是：（a-b）2 ；（2）若a、b、c10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1 ；（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是：-a2-b ，非负数是：a2，非正数是：-a2. 有理数1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① ②(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数Û 0和正整数；a＞0 Û a是正数；a＜0 Û a是负数；a≥0 Û a是正数或0 Û a a≤ 0 Û a是负数或0 Û a是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；(3)相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；(3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|, .5.有理数比大小：（1（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.13．有理数乘方的法则：（1（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an 或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 Û a=0,b=0；（4）据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档
二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（ ）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。
第五单元《简易方程》大单元备课教案(教学设计)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与简易方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过物理实验来建立速度与时间的关系方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“简易方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
首先，方程的抽象是学生们的一个难点。他们往往在将现实问题转化为数学表达式时感到困惑。为了帮助学生克服这个困难，我使用了大量的具体例子，并引导学生逐步识别问题中的数量关系。在未来的教学中，我可能需要更多的练习和解释来加强这一部分的掌握。
其次，等式性质的运用是另一个重点。我通过对比不同方程的解法，让学生观察和总结等式性质的使用规律。这种方法似乎帮助学生更好地理解了等式性质在解方程过程中的作用。不过，我观察到一些学生在具体的操作中仍然会犯一些基本错误，这提示我在下一步教学中需要更多的个别辅导和针对性练习。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对简易方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于《简易方程》这一章节的概念和应用表现出很大的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更直观地理解方程的意义。在讲授理论时，我注意到了几个关键点。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
四年级下册数学教案-1.3 等式的性质和解方程(二) 青岛版(五四学制)
青岛版四年级数学下册一单元信息窗3《等式的性质和解方程（二）》教学设计教学内容：《青岛版小学数学》四年级下册一单元信息窗3教学目标：1、在具体的活动中,体验和理解等式的基本性质,能用等式的性质解形如ax=b、x÷a=b的简易方程.2、在探索用等式性质和解简易方程的过程中,发展学生的抽象、概括等能力,建立初步的代数思想.3、在自主探索与合作交流的过程中,积累与同伴合作解决问题的能力.4、能用方程解决实际问题,体验方程的价值,感受方程与现实生活的紧密联系.教学重点：等式的性质（二）教学难点：理解并掌握等式的基本性质(二)教前准备：天平、砝码、若干个重20克的小正方体、课件、学习记录单.教学过程：一、复习导入：1、复习旧知：上节课我们学习了等式的第一个性质.谁能回答一下？（出示课件）生回答等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立.这是等式的性质.回顾一下我们的探索过程（课件展示回顾探索过程）根据这个天平你能说出一个等式吗？（天平左边放X的物体,右边放20的砝码）生回答X＝20注意观察天平的变化（天平两边都再放10千克的砝码）现在的等式呢？X+10＝20+10说明什么问题？生回答等式两边同时加上同一个数,等式仍然成立.继续看,根据这个天平能写出一个怎样等式？生回答X+10＝30注意观察天平的变化（天平两边都减掉10千克）现在的等式如何？生回答X+10－10＝30－10得出什么结论？生回答等式的两边同时减去同一个数等式仍然成立.一起读一下等式的第一个性质：等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立,这是等式的性质.上一节课,我们除了借助天平进行研究,还采用了什么方法？对,还有的小组借助大量的等式进行研究,也是不错的方法.[设计意图：复习旧知,做好铺垫,以进而探究等式的性质（二）,回顾探索过程意在为等式的第二个性质奠定探究的基础和方法.]二、探究等式的性质（二）和解方程1.大胆猜想根据等式的第一个性质,你能不能大胆猜想一下,等式两边还可以怎样变化,等式仍然成立？学生大胆猜想.猜想是学习的开始,数学要用事实说话,我们的猜想是否正确还需要干什么？学生回答（验证）你想用什么方法验证？生可能借助天平进行研究想法很不错,同意吗？借助天平能帮助我们解决许多数学问题,希望每个人的心中也有一架天平,无论是学习还是生活,都要做到公平、公正.还有不同的想法吗？（借助等式进行研究）2.科学验证刚才同学们想出了两种验证的方法,请以小组为单位先选择喜欢的方法,再进行验证,并在学习单上做好记录.（为每个小组提供天平、重X的小方块若干和20克的砝码若干）学生分组探究,老师巡视指导.哪个小组愿意把你们的智慧和大家一起分享？预设：小组1：天平左边放X的物体,右边放20克的砝码,天平平衡,写出第一个等式：X＝20；然后把天平分别放2个X和2个20克的砝码,天平仍然平衡,写出第二个等式,X×2＝20×2；把天平两边分别放3个X 和3个20克的砝码,天平仍然平衡立,得出等式X×3＝20×3；天平两边分别放4个X和4个20克的砝码,天平平衡得出等式X×4＝20×4.观察这几个等式,我们得出的结论是等式两边同时乘同一个数等式仍然成立.小组2：我们把天平左边一次放4个X,右边放4个20克的砝码,天平平衡,写出等式4X＝80；然后把左边去掉两个X,右边去年两个20克的砝码,天平仍然平衡,写出等式4X÷2＝80÷2；然后把左边继续去掉1个X,右边继续去掉1个砝码,天平仍然平衡,写出等式4X÷4＝80÷4；比较三个等式,我们得出了结论：等式两边同时除以同一个数等式仍然成立.小组３：也可能有的小组列举大量的等式进行研究.3.归纳总结集体的力量可真大,通过刚才的验证和交流,我们得出了什么结论？生可能回答：等式两边同时乘或除以同一个数,等式仍然成立.请同学们继续思考一个问题：同一个数,可以是0吗？生回答不可以,因为零做除数没意义,零不能做除数.现在你能把我们的结论重新完整地说一遍吗？生：等式的两边同时乘或除以同一个数（0不作除数）,等式仍然成立.这也是等式的性质.声音响亮地一起读一遍.4.利用等式的性质解方程同学们,你们很了不起,发挥聪明才智,探究了等式的另一个性质.接下来进行实际应用.请看信息窗.从信息窗中你了解了哪些数学信息？生：金丝猴的体重是2.4千克,相当于鹦鹉体重的3倍.根据这个信息,你能提出什么数学问题？鹦鹉的体重是多少千克？（板书问题）谁能把信息和问题完整地读一遍？要解决这个问题,关键是什么？生：写出等量关系你能写出这道题的等量关系式吗？预设：鹦鹉的体重×3＝金丝猴的体重如果设鹦鹉的体重是x千克,你会列方程吗？生：3χ= 2.4（也可能会有学生回答等量关系：金丝猴的体重÷鹦鹉的体重＝3,给学生说明列出的方程2.4÷χ＝3,除数是X的方程小学阶段暂不研究）你会解这个方程吗？指生回答,课件演示解方程的过程.中间提问：为什么等式两边要同时除以3？生：左边是3个X的值,除以3就可以得到一个X的值.右边为什么也要除以3？生：因为等式两边同时除以同一个数,等式仍然成立.说得很好,同意他的说法吗？方程解得是否正确,还需怎样？怎样检验？把χ＝0.8代入原方程,看左右两边是否相等.（课件出示检验过程）练习：求出方程x÷10＝0.3的解,并检验.学生做作业纸上,然后交流提问：等式两边为什么要乘10？生回答解释生说出检验的过程.[设计意图：引导学生在原有知识基础上进行猜想－验证－总结－应用,培养学生解决问题的能力和科学验证的严谨学习态度；在自主探索与合作交流的过程中,培养与同伴协同合作解决问题的意识和能力.]三、回顾探索过程刚才我们研究了等式的第二个性质和解方程,回顾一下我们今天的学习过程（课件动态演示）：根据等式的第一个性质等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立.进行猜测,等式的两边同时乘或除以同一个数,等式仍然成立？然后利用天平和等式进行了大量的操作和验证,然后归纳总结得出结论,等式的两边同时乘或除以同一个数（0不做除数）,等式仍然成立.最后把等式的性质进行应用,学会了解乘除问题的方程.学习就是这样一个连续的过程,也是一个不断深入和升华的过程.接下来我们要检验一下掌握得怎么样,有信心接受挑战吗？[设计意图：通过回顾探索过程,对解决问题的主要思路进行概括,从中积累和总结解决问题的基本思想和方法,并逐步应用到类似问题的解决探索中去.]四、分层练习第一关：基础练习：1.在○里填上运算符号,在□里填上数.4χ= 1.2 χ÷2.6= 2 解：4χ= 1.2 解：χ÷χχ=2.哪个χ的值是方程的解.χ÷5=20 （X＝100 X＝4）7χ= 0.84（X＝1.2 X＝0.12）3.解方程（任选两道做到作业纸上,并口头检验.）2.5χ=10χ÷6=7.8 χ+2.5=3.6 5χ=20.2第二关：实际应用1.看图列方程并求出方程的解.2.列方程并求出方程的解.第三关：巅峰训练方程X－0.8=2.4与aX=9.6有相同的解,求a的值.请以小组为单位讨论和探究一下.小组交流展示.[设计意图：分层练习,逐步递进,对知识既进行基本的巩固应用,又进行知识的拓展延伸,提高学生解决问题的能力.]五、小结：看来同学们对等式的性质和解方程掌握得不错,早在古代的九章算术中就有对方程的解释：（课件出示）方程：程,课程也.群物总杂,各列有数.二物者再程,三物者三程,皆如数程之,故谓之方程.方程的概念,在世界上要数我国的《九章算术》最早出现.其中解方程组的方法,不但是我国古代数学中的伟大成就,而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产.同学们,运用方程思想,能够解决比较抽象的数量关系,方程作为解决问题的重要工具,是小学向初中过渡的重点和难点.相信同学们能积极探索,认真思考,相信你们会有很大的收获.[设计意图：简单介绍九章算术中对方程的解释,拓展学生的知识面,渗透学科文化.说明方程思想的重要性,引发学生的重视,激发探究的热情.]六、畅谈收获通过这节课的学习,你有哪些收获？学生畅谈自己的收获.看来,同学的收获可真不少,让我们带着满满的收获,期待一下节的学习好吗？[设计意图：学生畅谈自己的收获进行交流和学习,既有知识上的收获也有合作交流、情感态度、思想教育等各方面的收获,培养学生总结、反思、交流、学习的能力.]。
五年级下册数学说课稿-1.3.用等式性质(2)解方程-苏教版
五年级下册数学说课稿-1.3.用等式性质（2）解方程-苏教版一、教学目标1.理解“等式两边加减同一个数仍相等”的基本概念和性质；2.掌握等式性质（2），即等式两边加上（或减去）同一个数仍相等的解法方法；3.能够应用等式性质（2）解一元一次方程。
二、教学重点1.等式性质（2）的理解和应用；2.应用等式性质（2）解一元一次方程。
三、教学难点1.运用等式性质（2）解决现实问题；2.较难的一元一次方程的解法。
四、教学过程1. 导入新知识通过问题引出本课重难点内容：同桌两人的年龄之和为28岁，现在小明的年龄比小红大3岁，那么小红的年龄是多少？同学们，你们知道这道题需要怎么做吗？（等式）2. 理论讲解通过引出等式性质对上面的题目进行解答：同桌两人的年龄之和为28岁，假设小红的年龄为x，则小明的年龄为x+3。
因为两人年龄的和为28岁，所以可以列出一个方程式：x + (x+3) = 28这就是一个一元一次方程，我们可以通过等式性质（2）解决这个方程：x + (x+3) - 3 = 28 - 3化简得：2x = 25x = 12.5因为小红的年龄必须是整数，所以小红的年龄为13岁。
通过这道题目的解答，同学们能够理解等式性质（2）的基本概念和性质：等式两边加上（或减去）同一个数仍相等。
3. 示范演示1.请同学们打开课本，找到页码52，示范解答下面的例题。
已知2a - 3 = -1，那么a的值是多少？解答：通过应用等式性质（2）,解得：2a = 2化简得到：a = 12.再请同学们找到页码53的课本例题15，由教师现场演示解答方法。
4. 练习检验1.请同学们打开课本，找到页码53的思考题16，在纸上完成题目，并把答案写在板上。
马路两侧交通标志数目之和为150，一侧比另一侧多20个交通标志，请问每一侧交通标志的数目各是多少？解答：假设一侧交通标志数目为x，则另一侧交通标志数目为x+20。
因为总的交通标志数目为150个，所以可以列出一个方程：x + (x+20) = 150通过应用等式性质（2）,解得：2x = 130化简得到：x = 65所以，每一侧交通标志的数目分别是65和85。
人教版同步教参数学五年级上册——简易方程：解简易方程(寇向伟)
第五单元 简易方程第 2 节 解简易方程【知识梳理】1.方程的意义。
含有未知数的等式就是方程。
注意：（1）方程一定是等式，而等式不一定是方程。
等式和方程的关系如下图所示：（2）方程必须具备的两个条件：① 必须是等式；②必须含有未知数。
2.等式的基本性质。
等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
注意：因为除数不能为0，所以等式两边同时除以的数不能为0。
3.方程的解与解方程。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程。
重点提示：“方程的解”中的“解”是名词，指使方程左右两边相等的未知数的值；“解方程”中的“解”是动词，指求方程的解的过程。
4.解形如b a =±x ，b ax =，c b =±ax 和()c b =±x a 的方程。
注意：①解方程的依据等式的性质。
②解方程的书写格式：在解方程之前必须先写“解”字，等号上、下要对齐。
5.检验。
把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值，如果相等， 所求的未知数的值就是原方程的解；否则就不是。
依据方程的解的含义检验方程的解是否正确。
【诊断自测】一、判断：（1）5x+3是方程。
（）（2）方程是等式，等式是方程。
（）。
（3）方程的解就是解方程。
（）（4）x=0.5是方程4x=2的解。
（）二、下列式子中，哪些是等式？哪些是方程？（填序号）①6.5+3=9.5 ②0x+5 ③2x-50=2 ④4+2x=10⑤7-x>5 ⑥5+12x=65 ⑦9x=0 ⑧x÷12=6⑨9y等式：方程：三、选择。
（1）等式两边除以（）的数，左右两边仍然相等。
A.不为0B. 相同C.同一个不为0（2）x=1.5是方程（）的解。
A.18÷x=5.4+6.6B. (1.5+x)×4=7.5C.x+10.8+2.7=16四、解方程。
2022版新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件新人教A版2021051
(1)
(2)ab>ba
−
+
+
=
(+)-(+ )
(+ )
=
(-)
.
(+ )
因为 a>b>0,m>0,所以 b-a<0,a+m>0,
(-)
所以(+ )<0,即
(2)令
ln
f(x)= ,则
为 e<a<b,所以
−
+
<0,所以
+
1-ln
f'(x)= 2 ,当
ln
f(a)>f(b),即
<
+
.
+
x>e 时,f'(x)<0,所以 f(x)在(e,+∞)上单调递减,因
>
ln
⇒bln
a>aln b⇒ab>ba.
不等式的性质及应用
考点2
【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所
3
4
5
A.a<b<c
C.c<a<b
答案 (1)D
B.c<b<a
D.b<a<c
(2)B
)
)
解析 (1)∵a,b∈(0,1),且 a≠b,则显然有 a+b>2 ,a2+b2>2ab.下面比
较 a2+b2 与 a+b 的大小.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b.故
七年级上册数学知识点总结大全
七年级上册数学知识点总结-1第一章有理数1.1正数和负数①把0以外的数分为正数和负数。
0是正数与负数的分界。
②负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数1.2有理数1.2.1有理数①正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
②所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。
正整数，0，负整数统称整数。
1.2.2数轴①具有原点，正方向，单位长度的直线叫数轴。
1.2.3相反数①只有符号不同的数叫相反数。
②0的相反数是0 正数的相反数是负数负数的相反数是正数1.2.4绝对值①绝对值|a|②性质：正数的绝对值是它的本身负数的绝对值的它的相反数0的绝对值的01.2.5数的大小比较①数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
②正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
②绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
④加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a⑤加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
(a+b)+c=(a+c)+b1.3.2有理数的减法①减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)1.4有理数的乘除法1.4.1有理数的乘法①两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。
②任何数同0相乘，都得0。
③乘积是1的两个数互为倒数。
④几个不是0的数相乘，负因数的个数的偶数时，积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。
⑤乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab=ba⑥乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
四年级下册数学教学设计-1.3 等式的性质和解方程(二)｜ 青岛版(五四学制)
四年级下册数学教学设计-1.3 等式的性质和解方程（二）｜青岛版（五四学制）一、教学目标1.知识目标：掌握等式的性质，会解一步方程。
2.过程目标：培养学生观察能力，提高学生思维能力。
二、教学重难点1.教学重点：等式的性质，解一步方程。
2.教学难点：较复杂的一步方程求解。
三、教学方法1.演示法：通过黑板展示等式的性质和解方程的步骤，并让学生模仿操作。
2.引导法：先启发学生，并引导他们尝试解决问题，在出现问题时给予其帮助。
四、教学过程1. 导入环节1.讲授“等式的性质”这个知识点。
2.引出“一步方程”的概念。
2. 正文环节2.1 等式的性质1.等式的性质之一：等式两边加（减）同一个数，仍是相等的。
2.等式的性质之二：等式两边乘（除）同一个不为0的数，仍是相等的。
2.2 解一步方程1.提供一部分例题进行演示，例如3x−5=7，引导学生完成求解步骤。
2.让学生自己完成一些题目练习。
3. 结束环节1.教师再次强调等式的性质和解方程的步骤。
2.查漏补缺，巩固知识，课堂练习。
五、教学评价1.学生能够熟练掌握等式的性质和解一步方程的步骤。
2.学生获得新的数学知识，并提高了思维能力。
3.教师通过课堂练习对学生进行评价和指导。
六、教学反思本节课教师通过展示例题，引导学生掌握等式的性质和解一步方程的方法，将数学的知识和思维相结合，提高了学生的思维水平，并激发了学生的学习兴趣。
但是，教师在教学过程中，教学方法还可以更加多样化，例如可以组织小组活动，增强学生的交流，让学生在互相合作中快速提高。
等式的性质教案
等式的性质教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.3 二项式定理
1．3二项式定理整体设计教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．课时分配3课时1．3.1二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．探究新知(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4，a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a4＋()a3b＋()a2b2＋()ab3＋()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14种，a3b的系数是C14，恰有2个取b的情况有C24种，a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C34种，ab3的系数是C34，有4个都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，∴(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34a3b＋C44b4.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题4：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)a n＋(_)a n－1b＋(_)a n－2b2＋…＋(_)a n－r b r＋…＋(_)b n(n∈N*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：a n，a n－1b，…，a n－rb r，…，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a n的系数是C0n；恰有1个取b的情况有C1n种，a n－1b的系数是C1n，…，恰有r个取b的情况有C r n种，a n－r b r的系数是C r n，…，有n个都取b的情况有C n n种，b n的系数是C n n，∴(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N )，这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．呈现二项式定理——(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N )设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．理解新知提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1)它有n＋1项，各项的系数C k n(k＝0,1，…n)叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n.设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．活动成果：(板书)(1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(2)C k n a n－k b k叫二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项T k＋1＝C k n a n－k b k；(3)字母a，b可以是数，式子或其他．设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．运用新知1展开(1＋1x)4. 解法一：(1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 解法二：(1＋1x )4＝(1x )4(x ＋1)4＝(1x )4[x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1]＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．【巩固练习】求(2x －1x)6的展开式． 解：先将原式化简，再展开，得(2x －1x )6＝(2x －1x)6＝1x 3(2x －1)6＝1x 3[(2x)6－C 16(2x)5＋C 26(2x)4－C 36(2x)3＋C 46(2x)2－C 56(2x)1＋C 66]＝64x 3－192x 2＋240x －160＋60x －12x 2＋1x 3. 2求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．思路分析：先把通项写出，分清什么是二项式系数，什么是系数．解：(1＋2x)7的展开式的第4项是T 3＋1＝C 37×17－3×(2x)3＝C 37×23×x 3＝35×8x 3＝280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280.点评：①要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C rn ；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系．【巩固练习】求(x －1x)9的展开式中x 3的系数． 解：(x －1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9－r (－1xr ＝(－1)r C r 9x 9－2r . 根据题意，得9－2r ＝3，r ＝3.因此，x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.【变练演编】1．(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?2．(x －1x9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：C 37＝C 47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35.2．解：根据通项(－1)r C r 9x9－2r ，当9－2r ＝6时，r 无整数解； 当9－2r ＝5时，解得r ＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x 6项，含有x 5项，系数为36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．【达标检测】1．求(2a ＋3b)6的展开式中的第3项．2．求(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数．3．求(1＋2i)5的展开式．1．解：T 2＋1＝C 26(2a)4(3b)2＝2 160a 4b 2；2．解：T 2＋1＝C 26(3b)4(2a)2＝4 860b 4a 2.所以，(3b ＋2a)6的展开式中的第3项的系数为4 860. 3．解：因为a ＝1，b ＝2i ，n ＝5，由二项式定理，得(1＋2i)5＝C 05＋C 152i ＋C 25(2i)2＋C 35(2i)3＋C 45(2i)4＋C 55(2i)5＝1＋10i －40－80i ＋80＋32i＝41－38i 课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．补充练习【基础练习】1．已知(1＋x)n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值．2．已知(ax ＋1)7(a≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值．【答案或解答】1．依题意C 3n ＝7C 1n ，即n(n －1)(n －2)6＝7n ， 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8.2．依题意C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3.由于a≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±105. 【拓展练习】3．计算：(a ＋1)5－(a －1)5.4．求证：32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝10n . 答案：3.解：(a ＋1)5－(a －1)5＝[(a)5＋C 15(a)4＋C 25(a)3＋C 35(a)2＋C 45a ＋1]－[(a)5－C 15(a)4＋C 25(a)3－C 35(a)2＋C 45a －1]＝2[C 15(a)4＋C 35(a)2＋2]＝10a 2＋20a ＋4.4．证明：右边＝10n ＝(9＋1)n ＝(32＋1)n ＝32n ＋C 1n ·32(n －1)＋C 2n ·32(n －2)＋…＋C n －1n ·32＋1＝32n ＋C 1n ·32n －2＋C 2n ·32n －4＋…＋C n －1n ·32＋1＝左边， 故原式得证．设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a ＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a ＋b)n 的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．备课资料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式所表示的定理就是二项式定理．T r ＋1＝C r n a n －r b r 叫做二项展开式的通项公式，在这里r ＋1才是项数，第一个位置的a 按降幂排列，次数由n 次降到0次，第二个位置的b 按升幂排列，次数由0次升到n 次，a 、b 可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令a ＝1、b ＝1，就能得到C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，即各二项式系数之和等于2n ，也是含n 个元素的集合的所有子集有2n 个，其中非空子集、真子集都有(2n －1)个，非空真子集有(2n －2)个．2)若令a ＝1、b ＝－1，则可得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ＝(1－1)n ＝0，即C 0n ＋C 2n＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1，也就是在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n －1.3)在二项式定理中，若令a ＝1、b ＝x ，则得到公式 (1＋x)n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n xr ＋…＋C n n x n ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式．4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项． 5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和． f(x)＝(px ＋q)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则有a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n＝f(1)，a 0－a 1＋a 2－a 3＋……＋(－1)n a n ＝f(－1)，a 0＋a 2＋a 4＋……＝12[f(1)＋f(－1)]，a 1＋a 3＋a 5＋……＝12[f(1)－f(－1)]． 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n ＋2－8n －9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①C r n ＝C n －r n ，②C rn ＋1＝C r －1n ＋C r n .8)二项式系数C r n (r ＝0、1、2…、n)中，当n 为偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值，当n 为奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n 相等且同时取得最大值，且分别是第n 2＋1项与第n －12＋1项和第n＋12＋1项．9)在二项式定理中，使用递推法，即T r，T r＋1，T r＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．10)利用二项式定理可以解决近似计算问题．11)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2n－1C n－1n＋2n C n n＝3n；2n－C1n2n－1＋C2n2n－2＋…＋(－1)n－1C n－1n2＋(－1)n＝1；C1n＋2C2n＋4C3n＋…＋2n－1C n n＝？在(2－x)n中若x n项的系数为a n(n＝2,3,4，…)则22a2＋23a3＋24a4＋…＋2na n＝？…总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学．(设计者：毕晓岩)。
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课件新人教A版选修2-3
＝ ( C 2 2 ＋ C 1 2 ＋ C 1 3 ＋ … ＋ C 1 9 － C 2 2 ) ＋ ( C 3 3 ＋ C 3 2 ＋ … ＋ C 9 2 ) ＝ C120＋ C130－ 1＝ 164.
(2)由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3,即
二项展开式的第14项和第15项的系数比为
C.0
D.2
(2)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(n∈N*),且a2=60. ①求n的值;
②求
的值.
a21a 22 2a 23 3 1na 2n n
【解题指南】(1)对x赋值1,即可求得.
(2)①由a2=60,求出n的值.
②令x=0,求出a0,再令x=-1 即可求得. 2
这C 正0 n 1 好C 是1 n第C nn 2 +1 2C 条3 n 细2 斜C 4 n 线 3 上… 各数之和.
类型二 求展开式中的系数和
【典例2】(1)(2017·济宁高二检测)如果(1-2x)7=a0+
a1x+a2x2+…+a7x7,那么a0+a1+…+a7的值等于 ( )
A.-1
B.-2
【解题指南】(1)该数列从第3项开始每隔一项等于前 两项的和,解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的 位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利 用组合数的性质求和. (2)可联系对应二项式系数的位置求解.
【解析】(1)选C.由图知,数列中的首项是
C
,第2 2项
2
是 ,第3项是
项是C 12 ,
答案:7
C
6 13
6.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5. (1)求a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求a1+a3+a5.
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
等式的性质教学设计教案
等式的性质教学设计教案第一章：等式的概念引入1.1 教学目标：了解等式的定义和基本特点。
能够识别和写出简单的等式。
1.2 教学内容：引入等式的概念，通过具体的例子解释等式的含义。
介绍等式的基本特点，如两边的量相等，可以使用等号“=”表示。
让学生通过观察和分析一些实际问题，尝试写出等式。
1.3 教学活动：通过图片或实物展示一些实际的例子，引导学生观察和思考两边的量是否相等。
让学生分组合作，找出一些简单的等式，并互相交流分享。
教师提问，学生回答，共同探讨等式的特点和表示方法。
1.4 作业与练习：设计一些简单的等式题目，让学生独立完成。
让学生结合自己的生活经验，找出一些等式，并加以解释。
第二章：等式的性质1：等式两边加减相同的数仍相等2.1 教学目标：了解等式的性质1，即等式两边加减相同的数仍相等。
能够运用性质1解决一些简单的问题。
2.2 教学内容：介绍等式的性质1，通过具体的例子解释其含义和应用。
引导学生通过操作和观察，发现等式两边加减相同的数仍相等。
2.3 教学活动：通过具体的例子，展示等式两边加减相同的数仍相等的性质。
让学生分组合作，通过实际操作和观察，验证等式的性质1。
教师提问，学生回答，共同探讨等式性质1的应用和意义。
2.4 作业与练习：设计一些有关等式性质1的题目，让学生独立完成。
让学生结合自己的生活经验，运用等式性质1解决一些实际问题。
第三章：等式的性质2：等式两边乘除相同的数仍相等3.1 教学目标：了解等式的性质2，即等式两边乘除相同的数仍相等。
能够运用性质2解决一些简单的问题。
3.2 教学内容：介绍等式的性质2，通过具体的例子解释其含义和应用。
引导学生通过操作和观察，发现等式两边乘除相同的数仍相等。
3.3 教学活动：通过具体的例子，展示等式两边乘除相同的数仍相等的性质。
让学生分组合作，通过实际操作和观察，验证等式的性质2。
教师提问，学生回答，共同探讨等式性质2的应用和意义。
3.4 作业与练习：设计一些有关等式性质2的题目，让学生独立完成。
高中数学1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大值、最小值优化练习新人教A版必修1
1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x <－1；2x －1， －1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值， 而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－a 2＋6a ＋9＝－7，fb ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0.答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在(0，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36.答案：369．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2x 1＋x 2＋＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a . 当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧27－10a a ，2－a 2－5≤a ＜，27＋10a a <－[B 组 能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值C ．有最小值12，最大值54D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y 在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A. 答案：A2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2.(1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0，∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－4<m <－2，f＝1＋m ＋4≤0，f＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1.答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y 24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283.故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。
【基础+拔高】1.3等式的性质和解方程(2) 五年级下册数学一课一练 苏教版(含答案)
第一单元：简易方程第3课时：等式的性质和解方程（2）班级： 姓名: 等级:【基础训练】一、填空题1．解1.7x ＝8.5时，给方程的两边同时（______），得出x ＝（______）。
2．在“0.9x y =”这个方程中，当 1.08y =时，x =________；当 2.3x =时，y =________。
3．如果b ＋c ＝20，a ×b ＋a ×c ＝150，那么a ＝（______）。
4．方程21x ＝126时，可以根据等式的性质，在方程左右两边应同时（________）21。
5．在7.8×M －5.8×M ＝20的两个M 里填入相同的数，使等式成立，M 里应填（______）。
6．如果a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋b ＝55，a ＋b ＝15，那么a ＝（______），b ＝（______）。
二、选择题7．方程3.8÷x ＝7.6的解是（ ）。
A ．x ＝2B ．x ＝0.2C ．x ＝0.5D ．x ＝58．下列算式中不属于利用等式的性质给方程4x －8＝12变形的是（ ）。
A ．4x －8＋8＝12＋8B ．（4x －8）÷4＝12÷4C ．4x －8＋8＝12÷4D ．（4x －8）×3＝12×39．2a ＝3b （a ，b 为非0自然数），根据等式的性质，下面等式不成立的是（ ）。
A ．20a ＝30bB ．20a ＝3b ＋18aC ．4a ＝9bD ．12b ＝8a三、判断题10．等式两边同时乘或除以b ，所得的结果仍然是等式。
（______）11．在等式3a －6＝3b ＋5的两边都除以3，可得等式a －2＝b ＋5。
（______）12．方程12x ＝240的解是x ＝20。
（________）四、解方程或比例8X－4.6＝5.4 3.4X÷8＝8.5 44－2X＝10＋15X1.2X＋0.6X＝9 48－5X＝28 （X＋2.5）×4＝40五、看图列式14．看图列方程解答。
1.3.1不等式的性质 课件【新教材】2021-2022学年北师大版(2019)高一数学必修第一册
变式训练1 设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．
解 x2 x 1 2m2 2mx x2 2m 1x 2m2 1
x2 2m 1x 2m 12 2m2 1 2m 12
划重点 1.两个实数比较大小的方法有作差法（差与0比较）、 作商法（商与1比较）. 2.作差法是比较、证明不等式的基本方法，注意强化练习. 3.作差法适合任何函数或代数式的比较，作商法适用于积式、幂、 对数、根式等形式代数式的比较. 4.作商法注意b的正负，若不确定b的符号，则需要分类讨论.
知识点2 不等式的性质
1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
等式
不等式
说明
a=b⇔b=a
a>b⇔b<a
改变不等式方向
a=b⇔ac=bc(c≠0) a>b⇒ac>bc 或 ac<bc(c≠0) 讨论 c 的符号
2.性质3中要根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则
来完成.所以一定要注意c的正负.
3.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b.即不等式 中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.称为移项法 则,在解不等式时经常用到.
性质1 如果a>b，且b>c，那么a>c. (传递性) 分析 要证a>c，只需证a-c>0 证明 因为a>b，且b>c，
所以a-b>0，b-c>0， 从而a-c=(a-b)+(b-c)>0，即a>c.
性质2 如果a>b，那么a+c>b+c.(可加性) 分析 要证a+c>b+c，只需证(a+c)-(b+c)>0. 证明 因为a>b，所以a-b>0
泰勒级数的性质
泰勒级数的性质泰勒级数是高等数学和物理学中一个非常重要的概念，它主要用于将一些函数在某一点处展开成由幂函数构成的无穷级数。
在本文中，我们将探讨泰勒级数的性质，包括其收敛性、等式性质以及应用。
一. 收敛性1.1 范围泰勒级数只对某些特定的函数成立，它们通常拥有无数项可导和全区间连续的特点。
常见的有指数函数、三角函数以及对数函数等。
值得注意的是，虽然一些函数在某个点处的泰勒级数存在，但在其他点处并不一定收敛。
1.2 收敛半径泰勒级数的收敛半径是一个非常重要的量，它对于泰勒级数是否收敛起决定性作用。
根据柯西-阿达玛公式，泰勒级数的收敛半径可以通过以下公式计算：$$R=\frac{1}{\lim \sup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$其中$a_n$是泰勒级数中$x^n/n!$的系数。
收敛半径的求解需要使用柯西-阿达玛定理进行证明，此处不再赘述。
值得一提的是，对于某些函数来说，其泰勒级数的收敛半径可能是无穷大的，这意味着它在整个实数域上都收敛。
1.3 收敛区间的均匀性有些泰勒级数在一定范围内可以满足一致收敛性，即其在收敛区间内每个傅里叶系数的误差在该范围中的上限是相同的。
在这种情况下，可以交换极限和求和，从而随意对其进行积分、微分或者求导操作。
然而，并不是所有的泰勒级数都能满足这种均匀性条件。
二. 等式性质2.1 常数项泰勒级数的常数项可以通过将$x=0$代入泰勒级数公式得到。
对于某些函数来说，常数项可能等于零，这意味着可以将其展开为更为简单的形式。
2.2 奇偶性对于奇函数和偶函数，其泰勒级数具有不同的性质。
奇函数的泰勒级数中只包含奇次幂的项，偶函数的泰勒级数中只包含偶次幂的项。
这是由于奇偶函数的性质所决定的。
2.3 级数运算泰勒级数和可以进行加减乘除运算。
其中加减运算比较简单，直接对应各项系数进行相加即可。
乘法运算涉及到傅里叶系数的卷积操作，比较繁琐。
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左边=0.16÷0.2=0.8， 右边=0.8，左边=右边， 所以χ=0.16是原方程的解。
解方程，并检验。
12χ=96 解：χ=96÷12 χ=8 χ÷40=14 解：χ=14×40 χ=560
通过本节课的学习，你 有哪些收获？
• 练一练第6、7题。
等式的性质二
先看图填空，再说说你有什么发现。
20
＝
20 20
2 20 20 20 20 20 20 202020
＝ ＝
3
• χ =20 2χ =20×2 • 3χ =60 3χ ÷3=60÷3 • 根据以上现象，你认为等式可能具 有什么性质？
等式的两边同时乘或除以同一 个不不是0的数，所得结果仍然是 等式。这也是等式的性质。
1、等式的两边同时加上或减去 加上 减去
同一个数，所得结果仍然是等式。 同一个数 这是等式的性质。 2、等式的两边同时乘或除以同 乘 除以 一个不是 的数，所得结果仍然是等 不是0的 式。这也是等式的性质。
×
6
÷
0.7
你打算怎样做？ 与同学交流。
40
40
24 检验：40×24=960
40
解：χ÷0.2×0.2=0.8×0.2 χ=0.16 检验：