_学年高中数学课时达标检测(十五)平面向量的实际背景及基本概念新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念训练含解析新人教A版必
学习资料第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念［A组学业达标］1．下列量不是向量的是（）A．力B．速度C．质量D．加速度解析：质量只有大小，没有方向，不是向量．答案：C2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小,向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析:向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．答案：D3．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题中正确的是（）A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：由向量不能比较大小，可知选C。
答案：C4．下列说法正确的是( ) A．若|a｜〉｜b｜，则a〉bB．若|a｜＝｜b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a，b不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a｜＝｜b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则a，b方向相同或相反，D不正确．答案：C5．设O为坐标原点，且|错误!｜＝1，则动点M的集合是( ) A．一条线段B．一个圆面C．一个圆D．一段圆弧解析：动点M到原点O的距离等于定长1,故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．答案：C6。
中国象棋中规定：马走“日"字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中,若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处,用向量错误!，错误!表示马走了“一步”．若马在B或C处,则以B，C为起点表示马走了“一步"的向量共有______个．解析：此题中,马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图,以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个．答案：117．设点O是△ABC所在平面上一点,若｜错误!|＝｜错误!|＝｜错误!|,则点O是△ABC的________心．答案：外8. 下列叙述中正确的个数是________．①若a＝b，则3a〉2b；②若a∥b,则a与b的方向相同或相反；③对任一向量a，错误!是一个单位向量．解析：向量不能比较大小，①错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②错误；对于③,当a＝0时,错误!无意义，故③错误．答案：09．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的,方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|错误!|＝错误!。
2015年高中数学2.1平面向量的实际背景及基本概念学业达标测试新人教A版必修4
【优化指导】2015年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学业达标测试 新人教A 版必修41．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：对A ，由于0与任意向量平行，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．答案：B2．设O 为△ABC 外接圆的圆心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：根据圆的性质可知AO →，BO →，CO →是模相等的向量．答案：C3.如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则必有( )A.AD →＝CB →B.OA →＝OC →C.AC →＝DB →D.DO →＝OB →解析：由于AB →＝DC →，所以AB 綊DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，所以DO →＝OB →，故D正确．答案：D4．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：(1)|a |＞|b |；(2)a ∥b ；(3)|a |＞0；(4)|b |＝±1；(5)若a 0是与a 同向的单位向量，则a 0＝b .其中正确的是____________．(填序号)解析：对(1)，不一定有|a |＞|b |；对(2)，a 与b 方向不一定相同或相反；对(3)，非零向量的模必大于0，即|a |＞0；对(4)，向量的模非负；对(5)，a 0与b 方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)5.如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中：(1)写出与AF →，AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．解：(1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →.(2)DA →，CF →，FC →.。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
人教A版数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小没有方向.分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9解析：解答：本题主要考查向量的表示 与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝答案：D解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案：C解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为33km ，那么x 的值为( ) A.3 B.32 C.3 D.23或3解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得()222333,32x x+=∴=，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.7. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若a和b都是单位向量,则a b=.D.两个相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若a⃗和b⃗⃗都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.8. 与AB反向的单位向量是( )A ABABB. ABC.ABAB- D.BA答案：C解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与AB反向的单位向量AB AB -.分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：①,DA FE AF DE == ；②||DF CB ；③CF DE =；④FD BE =.其中正确的为( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到,DA FE AF DE == ，||DF CB ，CF DE = ， -FD BE = ，所以①②③正确，故选B. 分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.10. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.AD BC =B.AC BD =C.PE PF =D.EP PF =答案：D解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A 中,AD 与BC 的方向不同,故AD BC =错误;B 中,AC 与BD 的方向不同,故AC BD =错误;C 中,PE 与PF 的方向相反,故PE PF = 错误;D 中, EP 与PF 的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP PF = 正确分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.11. 下列命题中正确的个数是( )①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则,a b 方向相同或相反；③若下列向量AB 、CD 满足AB CD > ，且AB 与CD 同向，则AB CD > ； ④若a b = ，则,a b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”； ②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定； ③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小； ④错误，由a b =，只能说明,a b 的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.12. 下列说法正确的个数是( )①若向量a,b 共线,向量b,c 共线,则a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量;④若a=b,b=c,则a=c.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,a,c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,否则不妨设a 为零向量,则a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b 的长度相等且方向相同;b=c,则b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13. 已知O点固定,且OA=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定答案：C解析：解答：∵OA= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.二、填空题16. 有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；_____.其中正确命题的序号是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B 地的位移是________.答案：西北方向52km解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到52BC=,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向52km.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是.答案：以单位长度为半径的圆解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.19. 在四边形ABCD中, DC AB=,则这个四边形的形状是.答案：平行四边形解析：解答：由DC AB=,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.20. 如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)答案：OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD解析：解答：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题 21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)(1)由A 地向东北方向航行15 km 到达B 地;答案：解：B 地在A 地的东北方向,即 B 地在A 地北偏东45°方向,线段AB 的长度画为3 cm 即可.如图所示.(2)由A 地向西偏北60°方向航行20 km 到达C 地,再由C 地向正南方向航行25 km 到达D 地.答案：解：由于C 地在A 地的西偏北60°方向,则线段AC 与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC 的长度画为4 cm;D 地在C 地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm 即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,AC点C为小正方形的顶点,且5(1)画出所有的向量AC;答案：解：画出所有的向量AC如图所示.(2)求| BC |的最大值与最小值.答案：解：由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC |取得最小值22125+= ；②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值224541+= . ∴|BC |的最大值为41,最小值为5 .解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可. 23. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量;答案：解：画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)与OB 长度相等的向量;答案：解：由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)与DA 共线的向量.答案：解：由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB .解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.24. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且,,OA OB OC ===a b c .O F ED C BA(1)与a 的模相等的向量有多少？答案：解：与a 的模相等的向量有23个 (2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：与a 的长度相等，方向相反的向量有,,,OD BC AO FE(3)与a 共线的向量有哪些？答案：解：与a 共线的向量有,,,,,,,,EF BC OD FE CB DO AO DA AD(4)请一一列出与,,a b c 相等的向量.答案：解：与a 相等的向量有：,,EF DO CB ；与a 相等的向量有：,,DO EO FA ；与c 向量相等的向量有：,,FO ED AB .解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可. 25. 在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AD ，BC 的中点，如图所示 EFD CBA(1)写出与向量FC 共线的向量； 答案：解：共线向量满足的条件与向量FC 共线的向量有：,,.CF AE EA(2)求证：BE FD .答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE FD解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。
学年高中数学第章平面向量.平面向量的实际背景及基本概念课后课时精练新人教A版必修
2.1 平面向量的实际背景及根本概念A 级：根底稳固练一、选择题1．以下说法不正确的选项是( )A ．向量的模是一个非负实数B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案 D解析 显然，选项A ，B ，C 说法正确．对于D ，由共线向量知，两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．应选D.2．假设向量a 与b 不相等，那么a 与b 一定( )A ．不共线B ．长度不相等C ．不可能都是单位向量D ．不可能都是零向量答案 D解析 因为所有的零向量都是相等的向量．应选D.3．假设a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，以下各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的选项是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.故③正确；①②④都错误．4．数轴上点A ，B 分别对应－1,2，那么向量AB →的长度是( )A ．－1B ．2C ．1D ．3答案 D解析 易知|AB →|＝2－(－1)＝3.5．假设|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，那么四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形答案 C解析 由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形． 二、填空题6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，那么这些向量的终点构成的图形的面积等于________．答案 3π解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.7．设a 0，b 0是两个单位向量，那么以下结论中正确的选项是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.答案 ③解析 因为a 0，b 0都是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1.从而|a 0|＋|b 0|＝2.8．假设A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，那么C 地相对于B 地的位移是________．答案 西北方向5 2 km解析 根据题意画出图形如下图，由图可知|BC →|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°，故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.三、解答题9．如下图，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？(3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？解 (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个．(3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．。
人教A版高中数学必修四学平面向量的实际背景及基本概念一课一练新
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、风速C、位移D、密度2、下列说法中错误．．的是（）A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为C、零向量与任一向量平行、零向量的方向是任意的3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A、一条线段B、一段圆弧、圆上一群孤立点、一个单位圆4、在△ABC中,AB=AC, D、E分别是AB、AC的中点,则（）A、AB与AC共线B、DE与CB共线C、AD与AE相等D、AD与BD相等5、下列命题正确的是（）A、向量AB与BA是两平行向量B、若a、b都是单位向量,则a=bC、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同6、在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)二、填空题7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件、8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定、9、已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是11、已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC =60°,则|BC |=12、在四边形ABCD 中, AB =DC ,且|AB |=|AD |,则四边形ABCD 是三、解答题13、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证：KL =NM14、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点,最后又改变方向,向东走了200m 到达D 点(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m)(2)求DA 的模15、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M={A 、B 、C 、D},求集合T={PQ 、Q ∈M,且P 、Q 不重合}参考答案一、选择题第15题1、D；2、A；3、D；4、B；5、A；6、D二、填空题7、必要非充分8、c∥b9、不共线10、一条直线两点11、312、菱形三、解答题13、(略14、(1)如图所示(2)450 m15、{AC、CA、BD、DB、AB、AD、BA、DA。
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
人教版高中数学高一A版必修4达标训练 2.1平面向量的实际背景及基本概念
更上一层楼基础•巩固1.下列命题正确的是( )A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=bC.若|a|=|b|，则a，b是平行向量D.若a与b平行，则a=b思路分析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向，当|a|=|b|时，只说明a与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错，当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.答案：A2.如图2-1-13，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( )图2-1-13A.SP和QRB.SR和C.和D.和思路分析：相等向量可以进行平移.答案：B3.下面三个命题中，真命题的个数为( )①向量的模是一个正实数②若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等③若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形A.0B.1C.2D.3思路分析：①向量的模可以为0；②两个互相平行的单位向量方向不一定相同，所以它们不一定相等；③与相等，点A、B、C、D有可能共线，不一定构成平行四边形.答案：A4.下列命题中正确的是( )A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|>|b|⇒a>bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0思路分析：相等向量必共线，C正确.答案：C5.请画出下列表示小船的位移的图形(用1∶500 000的比例尺)：(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地；(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地；(3)由C地向正南方向航行25 km到达D地.解：如图.(1)(2)(3)见(2)图中位移CD.6.用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20 N的力和一个方向向下、大小为30 N的力(用1 cm的长度表示力的大小为10 N).解：如图.用AB表示方向向上、大小为20 N的力，用CD表示方向向下、大小为30 N的力.7.在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3 cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3 cm”处，画出点P和点Q相对于点O的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P、Q). 解：如图.综合•应用8.在直角坐标系xOy中，有三点A(1，0)、B(-1，2)、C(-2，2)，请用有向线段分别表示A 到B、B到C、C到A的位移.解：如图.9.如图2-1-14，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，分别写出与图2-1-14中向量OD 、OE 、OF 平行的向量.图2-1-14答案:与OD 平行的向量有OA ，CB ；与OE 平行的向量有OB ，DC ;与OF 平行的向量有OC ，CO ，AB .10.如图2-1-15，设每一个小方格的边长为1，指出图中各向量的长度.图2-1-15答案:|AB |=22,|CD |=3,|EF |=3,|FG |=13,|GH |=23.11.如图，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出___________对相等的向量.图2-1-16思路分析：按向量的模的大小分类.(1)模为1个单位的向量有6对.其中与同向的有3对，与反向的也有3对；(2)模为2个单位的向量有2对，它们是BD AC =，CA DB =.(3)模为3个单位的向量有2个，如AD ，DA .共有2对.答案：1012.把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是________.答案:两个点13.如图2-1-17所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-17(1)写出与向量AB相等的向量：____________；(2)写出与向量AB共线的向量：____________；(3)若|AB|=1.5，则向量EC的长度为____________.答案:(1)DC，ED(2)DC，ED，CD，DE，BA，EC，CE(3)314.在直角坐标系中，画出下列向量：(1)|a|=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|a|=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；4，a的方向与x轴正方向的夹角为135°，与y轴正方向的夹角为135°.(3)|a|=2答案:(1)如图①;(2)如图②；(3)如图③.①②③回顾•展望15.(2006胶州统考) 一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1 m，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1 m，按逆时针方向转弯α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去，如图2-1-18.图2-1-18(1)作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零?(2)按此方法操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.思路分析：按题目叙述作图，可以发现终点与起点重合，所以位移必为零向量，按规定方法操作赛车使其回到出发点的拐弯角度α有多个值，只要使得n=α︒360中的n 为不小于3的整数即可.解：(1)赛车位移路线构成一个正八边形，赛车所行路程是8 m ，操作8次赛车的位移为零.(2)n=α︒360,n 为不小于3的整数，如α=30°，则n=12，即操作12次可回到起点；又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点.16.(2006泰州统考) 图2-1-19是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法.马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量1AA 、2AA 表示马走了“一步”.试在图中画出马在B 、C 处走了“一步”的所有情况.图2-1-19答案：。
【高中教育】高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课时跟踪检测 新人教A版必修4.doc
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课时跟踪检测新人教A版必修41．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量．②∠AOB的两条边都是向量．③温度含零上和零下温度，所以温度是向量．④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量，故选B.答案：B2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立解析：对于此命题，只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c⇒a∥c，故选C.答案：C3．以下说法错误的是( )A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量解析：平行向量方向相同或相反．答案：C4．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是______．(填序号)解析：对①，a＝b⇒a∥b；对②，|a|＝|b|，不一定有两向量共线；对③，若a与b方向相反，则有a∥b；对④，若|a|＝0或|b|＝0，则有a∥b；对⑤，两单位向量不一定共线．综上可知①③④正确．答案：①③④5．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为______．解析：∵AB→＝DC→，∴AB綊DC.∴四边形ABCD是平行四边形．又|AB→|＝|AD→|，即AB＝AD，∴该四边形是菱形．答案：菱形6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．解析：结合图形可知：(1)|CH→|＝|AE→|＝10.(2)DG→与HF→共线，|DG→|＝22，|HF→|＝32，故|DG→|＋|HF→|＝5 2.答案：(1)CH→，AE→10 (2)DG→，HF→5 27.如图所示，在梯形ABCD中，若E、F分别为腰AB、DC的三等分点，且|AD→|＝2，|BC→|＝5，求|EF→|.解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF、BC于点G、H，∵|AD→|＝2，∴|EG→|＝|BH→|＝2.又|BC→|＝5，∴|HC→|＝3.又E、F分别为腰AB、DC的三等分点，∴G为DH的三等分点．∴GF→∥HC→且|GF→|＝13|HC→|.∴|GF→|＝1.∴|EF→|＝|EG→|＋|GF→|＝2＋1＝3.8．在平面内已知点O固定，且|OA→|＝2，则A点构成的图形是( ) A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定解析：由于|OA →|＝2，所以A 点构成一个以O 为圆心，半径为2的圆． 答案：C9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线， ∴AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0. 答案：010．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标．(1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°；(3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：11.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，H 、G 分别是AD 、DC 的中点．求证：EF →＝HG →.证明：在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，EF ＝12AC ；同理，HG∥AC，HG＝12 AC.所以|EF→|＝|HG→|且EF→和HG→同向，故EF→＝HG→.12.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{MN→|M，N∈S，且M，N不重合}．试求集合T中元素的个数．解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB→，AC→，AD→，AO→，BA→，BC→，BD→，BO→，CA→，CB→，CD→，CO→，DA→，DB→，DC→，DO→，OA→，OB→，OC→，OD→.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB→＝DC→，AD→＝BC→，DA→＝CB→，BA→＝CD→，AO→＝OC→，OA→＝CO→，DO→＝OB→，OD→＝BO→.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．平面向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑数量的大小，又要考虑方向的影响．1．本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵．2．关注几个特殊向量(1)零向量：模为零的向量称为零向量，规定零向量与任一向量平行．(2)单位向量：模为1的向量，两个单位向量不一定相等．(3)相等向量：模相等，方向相同的向量．(4)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．。
高中数学课时训练(十五)平面向量的实际背景及基本概念新人教A版必修4(2021年整理)
（浙江专版）2017-2018学年高中数学课时跟踪检测（十五）平面向量的实际背景及基本概念新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学课时跟踪检测（十五）平面向量的实际背景及基本概念新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时跟踪检测(十五) 平面向量的实际背景及基本概念层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b,b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析:选C 向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2。
如图,在圆O中,向量OB，OC，AO是( ）A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C 由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线,下列关于向量AC的说法中，正确的为（)A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC,向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB,BC,AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图,在▱ABCD中，点E,F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析:选C 根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC,共3个．5．已知向量a,b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是( )A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝｜BO|解析:选D 由于a与b的方向不知,故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝｜BO|，故C错D对．6．已知|AB｜＝1，｜AC|＝2，若∠ABC＝90°，则｜BC|＝________.解析:由勾股定理可知,BC＝AC2－AB2＝错误!，所以｜BC｜＝错误!.答案:错误!7．设a0,b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________（填序号）．①a0＝b0；②a0＝－b0；③｜a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，｜a0｜＝1，|b0｜＝1,所以|a0｜＋｜b0｜＝2.答案:③8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b｜;③a与b方向相反；④｜a｜＝0或|b|＝0。
人教A版高中数学必修四学平面向量的实际背景及基本概念一课一练新(1)
一、选择题
1、D；2、C；3、D；4、C；5、B；6、C；7、C
二、填空题
8、不一定
9、不一定
10、零向量
11、零向量
12、平行向量
13、长度相等且方向相同
三、解答题
14、解：∵E、F分别是AC、AB的中点∴EF∥BC且EF＝ BC
又因为D是BC的中点
∴①与 共线的向量有： ，
②与 的模大小相等的向量有
④平行四边形ABCD中，一定有 ；
⑤若 ， ，则 ；
⑥ ， ，则 .
其中不正确的命题的个数为（ ）
A、2个B、3个C、4个D、5个
3、设O是正方形ABCD的中心，则向量 是（ ）
A、相等的向量B、平行的向量
C、有相同起点的向量D、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量 的长度与向量 的长度相等；
2.1平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若 ，则 ；
③若 ，则四边形ABCD是平行四边形；
（1）找出图中与 共线的向量；
（2）找出图中与 相等的向量；
（3）找出图中与｜ ｜相等的向量；
（4）找出图中与 相等的向量.
15、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
分别写出与 相等的向量；
写出与 共线的向量；
（3）写出与 模相等的向量；
人教A版高中数学必修4课时作业15平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案
课时作业15 平面向量的实际背景及基本概念时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．在下列各命题中，属于真命题的有( )①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量． A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：根据向量的有关概念，逐一判断．①根据作用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共线向量；②温度只有大小没有方向，所以不是向量；③如图可知，是共线向量；④x 轴和y 轴只有方向，没有大小，所以不是向量．所以只有①③正确，故选A 项．答案：A2．设O 是等边△ABC 的中心，则向量AO →，OB →，OC →是( ) A ．有相同起点的向量B ．模相等的向量C．平行向量D．相等向量解析：显然，三个向量的起点是不同的，故A项错；显然它们也不平行，故C项错；同样，D项是错误的，故本题选B项．答案：B3．下列说法正确的个数是( )①若向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若a＝b，b＝c，则a＝c.A．1 B．2C．3 D．4解析：由于零向量与任意向量都共线，故当b为零向量时，a，c 不一定共线，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，故③正确；a ＝b，则a，b的长度相等且方向相同；b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，④正确．答案：B4．若a为任一非零向量，b的模为1，下列各式：①|a|>|b|；②a ∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.其中正确的是( )A．①④B．③C．①②③D．②③解析：①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.答案：B 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB→∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D.AD→＝FC → 解析：由正六边形的性质可得AB→＝OC →，AB →∥DE →，|AD →|＝|BE →|，|AD→|＝|FC →|，显然AD →，FC →的方向不同，所以AD →≠FC →. 答案：D6．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP→＝PF → 解析：根据相等向量的定义，分析可得：A 中，AD→与BC →的方向不同，故AD→＝BC →错误；B 中，AC →与BD →的方向不同，故AC →＝BD →错误；C 中，PE→与PF →的方向相反，故PE →＝PF →错误；D 中，EP →与PF →的方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故EP→＝PF →正确． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．如图，四边形ABCD 为等腰梯形，向量AB →与DC →的关系是________．解析：体会模相等的两向量与相等向量的区别． 答案：|AB→|＝|DC →| 8．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；其中，能使a 与b 共线成立的是__________．解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小，由此可知①③④成立．答案：①③④ 9.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC→相等的向量：______； (2)写出与BC→共线的向量：______. 解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE→、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB → 三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．在图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在O 东偏北45°； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°. 解：如图所示．11．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于P点，则这只“马”有几种可能的走法？它能否走若干步从A点走到与它相邻的B点处？解：若开始时位于A点，则它的第一步有3种可能的走法；如图，若它位于P点，则有8种可能的走法；能从A点走到与它相邻的B点．12．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组→|＝ 5. 成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC→；(1)画出所有的向量AC→|的最大值与最小值．(2)求|BC→如下图所示．解：(1)画出所有的向量AC(2)由(1)所画的图知，→|取得最小值12＋22＝5；①当点C位于点C1或C2时，|BC→|取得最大值42＋52＝41，②当点C位于点C5和C6时，|BC→|的最大值为41，最小值为 5.∴|BC。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课后习题 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量是()A.有相同起点的向量B.方向相同的向量C.模相等的向量D.相等的向量解析:因为这三个向量的起点不同,方向也不同,但长度都等于圆的半径.所以A,B,D不正确,C正确.答案:C2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()A.B.C.D.解析:由相等向量的定义知,,故选D.答案:D3.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”()A.恒成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立解析:当b=0时,a,c为任意向量都满足a∥b,b∥c,故a与c不一定平行.答案:C4.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量平行且模相等的向量有()A.B.C.D.解析:与平行包含两个方面:方向相同或相反,故选D.答案:D5.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.解析:由已知不共线,所以当m∥,m∥时,m=0.答案:06.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析:②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.答案:①③④7.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由已知得AB∥EF∥CD,所以与向量方向相反的向量有.答案:8.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和-3,且为单位向量,则点B对应的实数为;点D对应的实数为;||=.解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为-7;又||=1,所以点D对应的实数为-4或-2;||=||=4.答案:-7-4或-2 49.如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为.解析:注意到从A点出发,这些向量的顺序是a,e,d,c,b.答案:a,e,d,c,b10.如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与相等的向量共有5个(不包括本身),如图.(2)与方向相同且模为3的向量共有2个,如图.11.如图所示,在△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点.(1)写出与共线的向量;(2)写出与模相等的向量;(3)写出与相等的向量.解:(1)∵E,F分别是边AC,AB的中点,∴EF∥BC,从而与共线的向量有:.(2)∵E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC均不相等,∴与的模相等的向量有:.(3)与相等的向量有两个,它们是.。
高中数学人教A版必修四课时训练：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1 Word版含答案.docx
第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作________． ②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列条件中能得到a ＝b 的是( ) A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝03．下列说法正确的有( ) ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( ) A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( )A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B ．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b6．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________． 9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11.在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升13.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.14.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．§2.1 平面向量的实际背景及基本概念答案知识梳理1．大小 方向 2.AB →3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量作业设计 1．D 2.D3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．] 7．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立． 8．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线 10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →.11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。
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课时达标检测（十五）平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1．下列结论中，不正确的是( )
A．向量AB，CD共线与向量AB∥CD意义是相同的
B．若AB＝CD，则AB∥CD
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC
答案：C
2．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则必有( )
A．AD＝CB
B．OA＝OC
C．AC＝DB
D．DO＝OB
答案：D
3.若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
答案：C
4.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，
E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量
中，与向量OA共线的向量共有( )
A．2个 B．3个
C．6个 D．9个
答案：D
5.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别
在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( ) A．AD＝BC B．AC＝BD
C．PE＝PF D．EP＝PF
答案：D
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案：③
7．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|OA|＝________.
答案： 2
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.
答案：0
三、解答题
9.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正
方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与AO，BO相等的向量；
(2)写出与AO共线的向量；
(3)写出与AO模相等的向量．
解：(1)AO＝BF，BO＝AE；
(2)与AO共线的向量有CO，BF，DE；
(3)与AO模相等的向量有CO，BF，DE，AE，BO，DO，CF.
10．在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km 到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：
(1)作出向量AB，BC，CD；
(2)求|AD|.
解：(1)作向量AB，BC，CD，如图．
(2)由题意，易知AB与CD方向相反，
所以AB与CD共线．
所以AB∥CD.
又因为|AB|＝|CD|，
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以|AD|＝|BC|＝400(km)．
11.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝ 5.
(1)画出所有的向量AC；
(2)求|BC|的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值
12＋22＝5；
②当点C位于点C5和C6时，
|BC|取得最大值42＋52＝41，
∴|BC|的最大值为41，
最小值为 5.。