不等式的解法 和均值不等式题
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
9均值不等式和不等式的解法
【例 5】已知正实数 a, b, c 互不相等，求证： lg
a+b b+c c+a + lg + lg > lg a + lg b + lg c . 2 2 2
【例 6】已知 x > 0, y > 0, 2 x + y = 1 ，求证：
1 1 + ≥ 3+ 2 2 . x y
【例 7】已知 n ∈ N*， n > 1 ，求证： log n (n − 1) < log ( n +1) n .
∴ 原式成立
1 1 ⎛1 1⎞ y 2x ≥ 3+ 2 2 ∴ + = ⎜ + ⎟ (2 x + y ) = 3 + + x y ⎝x y⎠ x y
∴ 原式成立
⎡ log n n 2 ⎤ log n (n − 1) ⎡ log (n − 1) + log n (n + 1) ⎤ = log n (n − 1) ⋅ log n (n + 1) < ⎢ n = 【例 7】证明： ⎢ ⎥ ⎥ log n −1 n 2 ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎛ log n n 2 ⎞ <⎜ ⎟ =1 ⎝ 2 ⎠
【例 10】已知 x, y ∈ R, x + y = 3 ，求 2 x + 2 y 的最小值是.
2
【例 11】已知 x, y ∈ R 且 y = x 2 ，求证： log 2 (2 x + 2 y ) >
7 . 8
【例 12】已知 a > 0 ，求
a 2 + 16 a + 2 的最值. a a + 16
一元二次不等式和均值不等式
一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2.．含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 3．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝⎛⎭⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎫－3，32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，3 2．(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________3．不等式(x ＋3)(1－x )≥0的解集为________4．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________5.ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)。
6.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数。
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
高中不等式例题(超全超经典)
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
均值不等式练习题
利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x=-，即x ＝2时取等号。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见大体不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b ma a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）若是x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2021年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且知足134x y+=，则xy 的最大值为 。
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总一．均值不等式：（一正，二定，三相等， 积定和最小，和定积最大） 1.原始形式：（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2) 若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. 二维形式：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 三维形式：(1)若*,,R c b a ∈，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）(2)若*,,R c b a ∈，则33⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤c b a abc (当且仅当c b a ==时取“=”） 方法一：凑项 1. 求函数1x 16x 4)x (f 22++=的最小值。
解：原函数化为41x 16)1x (4)x (f 22-+++= 因为1x 16)1x (422+++161x 16)1x (4222=+⋅+≥ 所以12416)x (f =-≥。
当且仅当1x 16)1x (422+=+即x=1，x=－1时，12)x (f min =。
2. 设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。
解：因为1x -<，即01x <+，所以0)1x (>+-，则])1(4)1([14)1(+-++--=+++x x x x 4)1(4)]1([2-=+-⋅+--≤x x 。
当且仅当)1x (4)1x (+-=+-，即3x -=时，y 有最大值，且154y max =+-=，y 无最小值。
3. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一.均值不等式2 21. （1）若a,b € R ，则 a 2+b 2>2ab （2）若a,b 亡 R ，则 a^a b（当且仅当 a = b 时取“二”）2（2） 若a,b 壬R *，则a + b > 2（当且仅当a = b 时取“=”）x=1时取“=”）;若X c 0，则X + —仝2 （当且仅当x = —1时取“=”）x若XHO ，则x +- >2即x +->2或x +-<-2 （当且仅当a = b 时取“=”3.若ab >0，贝y >2 （当且仅当a =b 时取“=”）b aa b a b a b —+ — >2即一+— >2或一+— <-2 (当且仅当a=b 时取“=”b a b a4.若a,b 忘R ，则（王^）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2） 求最值的条件“一正，二定，三相等”（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域2步=V 6 •••值域为［76 ,+ m(2)当 x >0 时，y = X +1>2p x - X1当 X <0 时，y = x +- = —（— X —•••值域为（一s,— 2] U [2 ,2.（1）若a,^R*，则宁鼻"£ a⑶若a,b 壬R ，则ab 兰丨a +b i （当且仅当a = b 时取“=”）1 3.若X A O ，则X +— >2 （当且仅当 x2 2 <a b(当且仅当a=b 时取“=”) 221(1) y = 3x 2+ 21(2) y =x + x比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.例1 :已知x 解：因4X-5V0，所以首先要“调整”符号,不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,4x —5=—5-4x+^^ ]+3 兰—2 + 3 = 1I 5-4x 丿 又(4x-2)U 申 51 :X < — 5-4x A0，”■. y=4x-2+ ------ 4 4x —o 1解：(1) y = 3x + 2~T >1 x)—1 -=—2+s）解题技巧：技巧一：凑项5 4< —，求函数y =4x —2+---- 的最大值。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540， ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x · 当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
均值不等式练习题
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例１：（1）求的最小值(2）求的最小值(3）已知2>x ,求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ,求x x y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是243-６． 12,33yx x x =+>- 7．12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1)已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值(2)已知：a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值变式训练：1.已知310<<x ,求函数()x x y 31-=的最大值２.当时,求(82)y x x =-的最大值。
３.设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
4．已知01x <<,求函数(1)y x x =-；5.203x <<,求函数(23)y x x =-6．若21x y +=,则24x y +的最小值是_＿_＿＿＿7.已知,x y R +∈,且满足134x y +=,则ｘｙ的最大值为 ＿___＿＿__。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练:１.231,(0)x x y x x ++=>2．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4.2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
求解初中数学常见的不等式
求解初中数学常见的不等式初中数学中，不等式是一个常见的考察和应用的知识点。
不等式是用来表示两个数量大小关系的一种数学工具，常出现在各种数学题型中，例如算术平均值与几何平均值的关系、等分原理、加减、积等不等式等。
在解题时，我们需要掌握各类不等式的性质和解法，下面将详细介绍几类常见的不等式及其解法。
一、一次不等式一次不等式的形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
通过将不等式移项可以得到ax > -b或ax < -b，进而得到x的取值范围。
例如：解不等式2x + 3 > 5解法如下：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1所以，不等式2x + 3 > 5的解为x > 1。
二、二次不等式二次不等式的形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
通过求解二次函数的根，可以将不等式转化为一次不等式的形式。
如果二次函数的两个根分别为α和β，则有：当a > 0时，ax² + bx + c > 0的解集为x < α或x > β；当a < 0时，ax² + bx + c > 0的解集为α < x < β。
例如：解不等式x² - 3x + 2 < 0解法如下：x² - 3x + 2 < 0(x - 1)(x - 2) < 0化简后，得到不等式的零点为x = 1和x = 2。
因为a = 1 > 0，所以解集为1 < x < 2。
所以，不等式x² - 3x + 2 < 0的解为1 < x < 2。
三、三角不等式三角不等式是由三角形的三条边两两不等关系得出的不等式，即对于任意三角形，其任意两边之和都大于第三边，即a + b > c、b + c > a和c + a > b。
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不等式的解法 姓名
一、选择题
1．设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x ＞0}，则M C U ＝( )． A ．[0,2]
B ．(0,2)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--31,21，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31
D. ),21(31,+∞⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-
3．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )． A ．－4≤a ≤4
B ．－4＜a ＜4
C ．a ≥4或a ≤－4
D ．a ＜－4或a ＞4
4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
5．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )． A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125 C ．a ＜80
D ．a ＞125
二、填空题
6．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________．
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．
三、解答题
8．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，解不等式f (x )＞－1.
9．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成
本R ＝500＋30x (元)．
(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
10．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．
均值不等式
姓名
一、选择题
1．若x ＞0，则x ＋4
x 的最小值为( )．
A ．2
B ．3
C ．2 2
D ．4
2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A. 13
B.1
2
C.34
D.23
3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )．
A ．1a ＋1b 有最大值4
B ．ab 有最小值1
4 C ．a ＋b 有最大值 2
D ．a 2＋b 2有最小
值22
5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b 的最小值是( )．
A ．7
2
B ．4
C ．9
2
D ．5
二、填空题
6．若x ＞1，则x ＋4
x －1
的最小值为________．
7．函数y ＝a 1－
x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的
最小值为________．
8．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 三、解答题
9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，
求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
10．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的
楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积
)。