4.4系统的复频域分析

有了电路元件的复频域模型，就可以得到一般电路的 复频域模型。时域的KVL、KCL方程，
∑ i(t ) = 0
∑ u(t ) = 0
在复频域中同样成立。对上式分别取拉普拉斯变换，可得
∑ I (s) = 0 ∑U (s) = 0
应用电路分析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和 基本定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的代数 方程，并求解得到响应的象函数，对所求响应的象函数进行拉 普拉斯反变换，即得出响应的时域解。
( p) j =0
m
即
[∑ ai s i ]Y ( s) − ∑ ai [∑ s i −1− p y ( p ) (0 − )] = [∑ b j s j ]F ( s)
i =0 i =0 p =0 j =0
n
n
i −1
m
例子：描述某LTI连续系统的微分方程为
y ′′(t ) + 3 y ′(t ) + 2 y (t ) = 2 f ′(t ) + 6 f (t ) f (t ) = ε (t ) , y′(0− ) = 1, y(0− ) = 2
H (ω ) = H ( s ) s = jω
应用s域分析法求解系统响应的步骤:
例子 ：已知某LTI因果系统的零状态响应
y zs (t ) = (3e − t − 4e −2t + e −3t )ε (t ) , f (t ) = e − t ε (t )
求该系统的频率响应、冲激响应和描述该系统的微分方程。 解: 1 F ( s ) = L[ f (t )] = s 3 4 1 2( s + 4) Yzs ( s) = L[ y zs (t )] = − + = s + 1 s + 2 s + 3 ( s + 1)( s + 2)( s + 3)
y zi (t ) = (5e −t − 3e −2t )ε (t )
y zs (t ) = (3 − 4e − t + e −2t )ε (t )
全响应
y (t ) = y zs (t ) + y zi (t ) = (3 + e − t − 2e −2t )ε (t )
实际上，如果直接对Y(s)取拉普拉斯反变换,亦可求得全响应
霍尔维兹多项式 ：所有根均在s平面的左 半平面的多项式。 罗斯列表 ：将多项式 A( s) = an s n + ... + a1s + a0 的系数排列为
第1行 第2行 第3行
an
an −1 cn −1
an − 2
an − 4
… … …
an − 3
cn − 3
an − 5
由第1，2行，按下列规则计算可得到：
u (t ) = L
d iL (t ) dt
U ( s) = sLI ( s) − Li L (0 − )
I (s) =
U ( s ) iL (0 − ) + sL s
3、电容
i (t ) = C
d uC (t ) dt
U C ( s) =
1 u (0 ) I ( s) + C − sC s
I ( s) = sCU C ( s ) − CuC (0− )
H (s) =
Yzs ( s ) 2( s + 4) 2s + 8 4 2 = = 2 = − F ( s ) ( s + 2)( s + 3) s + 5s + 6 s + 2 s + 3 j 2ω + 8 H (ω ) = H ( s ) s = jω = ( jω ) 2 + j 5ω + 6 分母、分子多项式
例子： 如图（a）所示电路，开关Ｋ在t=0时闭合
已知uC1 (0 − ) = 3V , uC 2 (0 − ) = 0V
试求开关闭合后的电流 i1 (t )。
解：
1 1 1 3 I 2 (s) = ( + ) I1 (s) − s 2s 2s s 1 1 − I 1 ( s ) + (3 + ) I 2 ( s ) = 0 2s 2s
试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解： 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 即 s 2 + 3s + 2 Y ( s ) − [sy (0 ) + y′(0 ) + 3 y (0 )] − − − 可解得全响应
s 2Y ( s ) − sy (0 − ) − y′(0 − ) + 3sY ( s ) − 3 y (0 − ) + 2Y ( s ) = 2 sF ( s ) + 6 F ( s )
1 an cn −1 = − an −1 an −1 cn − 3 an − 2 an −3
1 an a n − 4 =− an −1 an −1 an −5
第4行由2，3行同样方法得到，一直排到第 n+1行．
该准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则所有 的根均在左半平面，系统稳定。 若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就 是右半平面根的个数。
例１： A( s ) = 2s + s + 12s + 8s + 2
4 3 2
第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面， 系统不稳定。
注 意
在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况， 如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这 时可断言，该多项式不是霍尔维兹多项式。
例２：已知某因果系统的系统函数
∴ y ' ' (t ) + 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = f ' ' (t ) + 4 f (t )
1
∑ f (t) 3
∫
∫
4
∑ y(t)
2
（a）
（b）
4．4．3电路复频域模型
1、电阻
u (t ) = Ri (t )
2、电感
U ( s ) = RI ( s )
I (s) =
U (s) R
1 H (s) = 3 s + 3 s 2 + 3s + 1 + k
为使系统稳定，Ｋ应满足什么条件？
解： 罗斯阵列为
1 3
8−k 3
3 1+ k
1+ k
8−k >0 3
解得
− 1 < k < 8 ，此时系统稳定。
(1 + k ) > 0
X ( s ) = F ( s ) − 3s −1 X ( s ) − 2 s −2 X ( s )
得 又
X (s) =
1 1 + 3s + 2 s
−2
−1 −2
F (s)
1 + 4 s −2 s2 + 4 F (s) = 2 Y ( s) = X ( s) + 4s X ( s) = F ( s) 1 + 3s −1 + 2 s − 2 s + 3s + 2
h(t ) = L−1[ H ( s )] = (4e −2t − 2e −3t )ε (t )
y ' ' (t ) + 5 y ' (t ) + 6 y (t ) = 2 f ' (t ) + 8 f (t )
系数与微分方程等号两 边的系数是一一对应的.
系统函数的零、极点分布图
零点用 “ ”表示 ,极点用“ ” 表示。 ×
(
)
= 2(s + 3)F ( s)
s + 3s + 2
′ Y ( s ) = Yzi ( s ) + Yzs ( s ) = [sy (0 − ) +2 y (0 − ) + 3 y (0 − )] + 22( s + 3) F (s ) s + 3s + 2
将 F (s ) = 1 和初值代入上式，得 s
y (t ) = L−1[Y ( s )] = (3 + e − t − 2e −2t )ε (t )
可见直接求全响应时，零状态响应分量和零输入响应分量已经 叠加在一起，看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况。 拉普拉斯变换作为一种数学工具，自动引入了初始状态，从而 简化了微分方程的求解。
4．4．2连续系统的系统函数
I 1 ( s) = 3(6s + 1) = 2+ 9s + 1 1 1 9( s + ) 9
t
取拉普拉斯反变换得，
−1
1 − i1 (t ) = L [ I 1 ( s )] = 2δ (t ) + e 9 ε (t ) 9
4．4．4连续时间系统稳定性
稳定系统的定义 ：一个系统，若对任意的 有界输入，其零状态响应也是有界的，则 称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output ，BIBO)稳定的系统，简称 为稳定系统。 连续系统在时域稳定的充分必要条件是
H 如： (s) = 2( s + 2) ( s + 1) 2 ( s 2 + 1)
的零、极点分布图为
jω (2) -2 -1 j 0 -j σ
极点的位置与其时域响应的函数形式
系统的s域模拟框图－基本运算器
例子：已知某LTI系统有图（a）所示的时域框图， 试列出其微分方程。
解: 设左边加法器输出为 X ( s ), 则s域代数方程为
Yzi (s) =
Yzs (s) =
2s + 7 5 3 = − s 2 + 3s + 2 s + 1 s + 2