【数学】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷(五) 高三数学(理)试题 含答案
【全国百强校】衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题(原卷版)
衡水金卷2018届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 33. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )...A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.。
2018年普通高校招生全国卷 一(A) 【衡水金卷】高三信息卷 (二)理科数学试题(解析版)
16．数列 满足 ， ， 是 ， 的等差中项，假设 为单调递增数列，那么实数 的取值范围为__________．
三、解答题
17．在 中， 分别为内角 的对边，向量 ， ，
〔1〕求 ；
〔2〕假设 外接圆的直径为 ，且 ，求 的面积.
10．C
【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱和半个球所得的几何体，圆柱的底面半径为2，高为6，弓形弦到圆心的距离为2-1=1，故弓形弦所对的圆心角为 ，弓形柱的高为2，所以几何体的外表积为
应选C.
11．C
【解析】因为点E为PA的中点，且 ,所以M为 的重心，所以 为 的中点，又 可得 故
应选C.
点睛：此题主要是分析，此题的条件比拟多，能够对条件综合分析得到简洁的结论是解题的关键.此题通过点E为PA的中点且 ,推理出M为 的重心，这是关键，后面找关于离心率e的方程难度就不大了.
12．A
【解析】依题意，函数f(x)的图像关于直线x=-3对称，所以f(-6)=f(0)=0,f(-4)=f(-2)=0,于是
试题解析：
〔1〕数值在100~110内的频率为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
〔2〕由频率分布直方图，可知抽取的一件产品为 ， ， 等级的概率分别为 ， ， ，且 的取值为20，30，40，50，60，80，那么 ， ， ， ， ， ，
〔1〕求 和 的值；
〔2〕规定产品的级别如下表：
一件 级产品的利润分别为10，20，40元,以频率估计概率，现质检部门从该批产品中随机抽取两件，两件产品的利润之和为 ，求 的分布列和数学期望；
〔3〕为了了解该型号产品的销售状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图，由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场卢有率 〔%〕与月份代码 之间的关系.求 关于 的线性回归方程，并预测2021年4月份(即 时)的市场占有率.
2018年普通高校招生全国卷 一(A) 【衡水金卷】高三信息卷 (二)理科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数 ()为纯虚数，则的值为A. -2B.C. 2D.【答案】C【解析】因为为纯虚数,所以所以a=2.故选C.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得0＜x＜8，所以A={x|0<x<8},由得x＞5或x＜-1,所以B={x| x＞5或x＜-1}，所以={x|-1≤x≤5}，所以=.故选B.3. 已知是各项均为正数的等比数列的前项和，，，则（）A. 31B. 63C. 16D. 127【答案】A【解析】设公比为q(q＞0)，因为，所以即所以故选A.4. 设向量，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为b||c,所以所以与的夹角的余弦值为所以夹角为.故选D.5. 大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，测得的离心率为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题得4a+4b=24，即a+b=6 (1),由得a=2b（2），由（1）（2）解得a=4，b=2.所以椭圆T的方程为，故选A.6. 已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 (单位：百件)关于每件衣服的利润 (单位：元)的函数解析式为, 则当该服装厂所获效益最大时，A. 20B. 60C. 80D. 40【答案】C【解析】设该服装厂所获效益为f(x)（单位：元），则当0＜x≤20时，在区间（0,20]上单调递增，所以当x=20时，f(x)有最大值120000.当20＜x≤180时，则令当20＜x＜80时，单调递增，当80≤x≤180时，单调递减，所以当x=80时，f(x)有最大值240000.故选C.7. 已知满足不等式组则的最小值为（）A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故故选D.点睛：本题的关键是找到的几何意义，要找到的几何意义，必须变形，所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.8. 已知函数，的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得由g(t)的图像，可知当时，f(x)的值域为，所以故选B.9. 已知的展开式中常数项为-42，则（）A. 10B. 8C. 12D. 11【答案】B【解析】设的展开式中的第r+1项为项为当n为偶数时，令n-2r=0,得令n-2r=-2，得故原式展开式中常数项为代入下面的选项检验得n=8，显然当n为奇数时，不存在常数项，故可得n=8. 故选B.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱和半个球所得的几何体，圆柱的底面半径为2，高为6，弓形弦到圆心的距离为2-1=1，故弓形弦所对的圆心角为，弓形柱的高为2，所以几何体的表面积为故选C.11. 已知（1）的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，且，过点作的垂线交轴于点，且，若的中点在的延长线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为点E为PA的中点，且,所以M为的重心，所以为的中点，又可得故故选C.点睛：本题主要是分析，本题的条件比较多，能够对已知条件综合分析得到简洁的结论是解题的关键. 本题通过点E为PA的中点且,推理出M为的重心，这是关键，后面找关于离心率e的方程难度就不大了.12. 已知函数，且对任意实数,均有，若方程有且只有4个实根，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，函数f(x)的图像关于直线x=-3对称，所以f(-6)=f(0)=0,f(-4)=f(-2)=0,于是。
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)教学内容
时， 取得最大值 .
即
，
当
或 时，
.
当
时，
.
所以
，解得
.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想
.需要注意的是：一、准确无误地作出可行
域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般
情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得
芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是
()
只供学习交流用
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A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是
.
故选 B.
5. 已知双曲线 ：
的渐近线经过圆 ：
的圆心，则双曲线 的离心率为
()
A.
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2018 届河北省衡水金卷全国高三大联考
理科数学试题（解析版）
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 .
1. 已知集合 A.
， B.
，则 ( )
C.
D.
【答案】 C
【解析】
.
所以 故选 C.
射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点
射出，则
的周长
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】令
，得 ，即
.
由抛物线的光学性质可知
经过焦点 ，设直线 的方程为
消去 ，得
2018年普通高等学校招生全国统一考试【衡水金卷】模拟试题理数试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确. 故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:市场份额(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)文科数学(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得又，所以，选B.2. 若，，则角是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】由，得，又，所以，所以为第四象限角，选D.3. 已知复数，（其中为虚数单位，），若的模等于，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以，所以选C.4. 已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，代入下式，选A.5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，记，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数是定义在上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以，而且在区间上单调递增，所以，选A.【点睛】由函数的单调性比较函数值的大小，关键要把所以x值全转化到函数的同一个单调区间，通过比较x的大小，进一步比较出函数值的大小。
6. 《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有则，所以，故选C.【点睛】本题的关键是转化为等差数列型，而对于等差数列，我们常用基本量，用这两个基本量来表示所有量。
7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，双曲线与圆（）在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，根据双曲线定义，有即，故选C. 8. 已知一几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图可知，选项D对的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D,选D.9. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以=，而，所以= ，所以=，选A.10. 已知函数有两个零点，，且满足，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，画出可行域，如下图，B(1,0),C(-,0).目标函数z=几何意义为可行域内的点到定义P(-2,2)连线的斜率，由图可知，，选A.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，，.（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点作直线分别交抛物线与直线于点，（如图所示），若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点P作PA垂直于直线于点A，设直线与x轴交于点B,由抛物线的定义，可知|PA|=|PF|,易知所以，设|PF|=t，由，得|QP|=2t,所以，故选C.【点睛】过焦点的直线与准线相交，常通过抛物线上的点向准线作垂线，这样可以用抛物线定义与两直角三角形相似的几何方法解题。
衡水金卷(一)理科数学试题含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）学*科*网...A. B. C. D.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知函数则（）A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.2. 设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3. 已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D.4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.5. 已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．6. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算，故选C.8. 已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.9. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11. 已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 32【答案】C【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.12. 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题. 属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，且，则__________．【答案】【解析】,,故答案为.14. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.16. 如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．试题解析：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．18. 在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.试题解析：（1）连接，，，因为，，所以和均为正三角形，于是．设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面．又平面，所以，又，所以．（2）由，及，知，于是，从而，结合，，得底面，所以、、两两垂直．如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，由，易求得．设（），则，即，所以．设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为01234∴．【解析】试题分析：（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵服从正态分布，且，，∴，∴落在内的概率是．②根据题意得，；；；；．∴的分布列为01234∴．20. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.试题解析：（1）由已知可得解得，，所求椭圆方程为．（2）由得，则，解得或．设，，则，，设存在点，则，，所以．要使为定值，只需与参数无关，故，解得，当时，．综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．试题解析：（1），当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，∴（其中），解得；当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，∴（其中），解得．综上所述，实数的取值范围是．（2）．由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点．由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．当时，在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以．令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．记的两个零点为，（），因此，，必有，．由，得，所以，又，，所以．综上所述，实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．【答案】(1) ， (2) ，【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.试题解析：（1）圆：（是参数）消去参数，得其普通方程为，将，代入上式并化简，得圆的极坐标方程，由圆的极坐标方程，得．将，，代入上式，得圆的直角坐标方程为．（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，，∵圆与圆外切，∴，解得，即圆的极坐标方程为．将代入，得，得；将代入，得，得；故．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...试题解析：（1）此不等式等价于或或解得或或．即不等式的解集为．（2）∵，，，，即，当且仅当即时取等号．∴，当且仅当，即时，取等号．∴．。
衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题Word版含答案
，则
3
2
2
sin cos 2sin cos cos2
()
A． 1 2
B
．. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军
．3 8
90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题
的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元 . 为了测算图
中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此
可估计军旗的面积大约是 ( )
A． 726 mm2 5
B
． 363 mm2 C.
363 mm2
10
5
D
． 363 mm2
20
5.
已知双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线经过圆 E ： x2
y2 2x 4y
0的
圆心，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A． 5
B
．5
C.2 D
2
．2
6. 已知数列 { an} 为等比数列，且 a2a3a4
a72
64 ，则 tan(a4a6
3
) ()
1
B． M N R
C． M N { x | 2 x 4}
D． M N { x | x 2}
2. 记复数 z 的虚部为 Im( z) ，已知复数 z 5i 2i（ i 为虚数单位） ，则 Im( z) 为 ( ) 2i 1
A． 2 B ． -3 C ． 3i D ．3
3. 已知曲线 f ( x) 2 x3 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为
衡水金卷 2018 届全国高三大联考
【衡水金卷】2018年衡水中学全国卷 I A 信息卷(五) 高三理数试题
5 5 ⎪ ⎩ 2 5 5 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M = {x | x 2- 2x < 0}, N = {y | y = 2x+1}，则 M ⋂ N = （ ）A ． (0,2)B ． (1,2)C ． (0,1)D ．∅2. 已知i 为虚数单位，复数 z =i (1+ ai ) 的虚部为 2 ，则实数 a = （ ） 1+ iA ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 函数 y = cos 2x + 2 s in x 的最大值为（ ）A ．1 B ．1C ．3 D ． 2224. 如图，分别以 A , C 为圆心，正方形 ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）1 A ．B ．2π- 2 21 C.4y 2 - x 2 =π- 2D ．4> >5. 已知O 为坐标原点，分别在双曲线 a2 41(a b2 0, b 0) 第一象限和第二象限的渐近线上取点 M , N ，若∠MON 的正切值为 3，则双曲线离心率为（ ）5 5 A ．B ．C.D ．5243⎧x + 2 y ≥ 0 6. 若点(x , y ) 满足⎨ y ≤ 2x⎪x + y ≤ 3，则 x 2 + ( y - 2)2的最小值为（ ）4 1 A ．B ．C.D ．555533)7. 按下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3] ，则输出的 x 的取值范围为（ ）A ．[-3,4]B ．[-1,3] C. [-3,9] D ．[3,4]8. 将函数 f (x ) = sin x cos(x +π的图象向右平移π个单位，得到函数 g (x ) 的图象，则 g (x ) 图象的一个 33对称中心是（ ）π A. ( 6,0)π B. ( 3,0)πC. ( ,- )6 4πD ． ( ,-) 349. (x +1)5 (C 1 x + 2C 2 x 2+ +10C 10 x 10 ) 展开式中， x 7项的系数是（ ）101010A ． 50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）25π A ．425π B ．161125π C.41125π D ．1611. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 内的奇函数，且满足 f (2 - x ) =f (1+ 1) + f (2 + 1 ) + + f (8 + 1) = （ ）f (x ) ，若在区间(0,1] 上， f (x ) = 1，则 x1 2 8 31 31 35 35A.B ．C.D ．612612→→12. 过抛物线 y2= 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 交抛物线于点 A , B ，若 AF = λFB ，且1n n100 λ∈(1, 3 1) ) ，则 k 的取值范围是（ ）2A ． (1, 3)B. ( 3,2)C. (2,2 2) D ． ( 3,2 2)第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）→ → →13.ABCD 中，M 为线段 DC 的中点，AM 交 BD 于点Q ，若 AQ = λAD + μAC ，则λ+ μ= ．14. 命题 p ：若 x > 0 ，则 x > a ；命题 q ：若 m ≤ a - 2 ，则 m < sin x (x ∈ R ) 恒成立.若 p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是．15. 已知函数 f (x ) = a + x - ln x ，若 f (x ) 与 f '(x )（ f '(x ) 为 f (x ) 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是．π 16. 已知函数 f (x ) = sin ωx cos(ωx +ω> 0) 在区间(0, π) 内单调，且在区间(π,2π) 内恰有三条对称)(3 18轴，则ω的取值范围是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{a n }满足 a 1 = 2, a n a n -1 + a n - 2a n -1 = 0(n ≥ 2) .（1）求证：{1-a n} 是等比数列，且 a n < 2( 2n -1 - 1 2n +1 -1) +1；（2）设 S 为数列{a }的前 n 项和，若 m ∈ N *，且 m < S < m +1，求m 的值.18. 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 为正方形， AA 1 ⊥ 平面 ABCD , M 为棱 DD 1 的中点， N 为棱 AD 的中点， Q 为棱 BB 1 的中点.（1） 证明：平面 MNQ // 平面C 1BD ；→ →（2） 若 AA 1 = 2 A B ，棱 A 1B 1 上有一点 P ，且 A 1P = λA 1B 1 (λ∈(0,1)) ，使得二面角 P - MN - Q 的余弦值为13 21 ，求λ的值.631n n∑x - n (x ) 119. 从2017 年1月份，某市街头出现共享单车，到6 月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60% ，骑行过共享单车的人数中，有35% 是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500 万计算，大学生人数约120 万人.（1） 任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2） 随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量 x 与乱停乱放单车数量 y 之间的关系图表：累计投放单车数量 x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量 y14001700230030003600①计算 y 关于 x 的线性回归方程（其中b ˆ 精确到0.0001, a ˆ 值保留三位有效数字），并预测当 x = 250000 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量， X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .参考公式和数据：回归直线方程 y ˆ = b ˆx + a ˆ 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为∑ x i y i - nxy ∑(x i - x )( y i - y ) 5 5 b ˆ = i =1 = i =1 , a ˆ = y - b ˆx . ∑ x y = 2117000000, ∑ x 2= 1398 ⨯108 . n 2 2 ii =1 ∑(x i i =1- x )2i i i =1 i i =120. 已知圆C 1 : (x +1)2 + y 2 = 1 ，圆C : (x -1)2 + y 2= 25 ，圆 M 与圆C 、C 都相内切.（1） 求圆心 M 的轨迹 E 的方程；（2） 若点Q 是轨迹 E 上的一点，求证： ∆QC 1C 2 中， ∠C 1QC 2 的外角平分线与曲线 E 相切.21. 已知函数 f (x ) = (x 2+ 2x +1)e - x，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数 f (x ) 的单调区间；2 2 n⎩+ + ≥（2）求证： x > 0 时，[3x e - xf (x )]⋅(x - 3 + 3 + ln x ) ≥ 1 . x e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=⎧x = a cos ϕ 程为⎨ y = b sin ϕ（ a > 0, b > 0,ϕ为参数）.（1） 求 a 与b 的值；（2） 求椭圆C 上的点 M 到点 A (1,0) 距离的最小值.32 - cos 2θ，参数方23. 选修 4-5：不等式选讲已知 a , b , c ∈ R +.b 3c 3 a 3 (a 2 + b 2 + c 2 )2（1） 求证： ； a b c ab + bc + ac（2） 求函数 f (x ) = (ab + bc + ac )x 2- 2(a 2+ b 2+ c 2)x + b a + c 3 b + a 3 c的零点个数.3。
【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷(五) 高三理数试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=xy y N x x x M ，则=⋂N M （ ） A ．)2,0( B ．)2,1( C ．)1,0( D ．∅ 2.已知i 为虚数单位，复数iai iz ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21 B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552 B ．55 C. 54 D ．517.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ） A ．]4,3[- B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[ 8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(πC. )43,6(-π D ．)43,3(-π 9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．150015 10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425π B ．1625πC. 41125π D ．161125π11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，xx f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ）A ．631B ．1231 C. 635 D ．123512.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ）A ．)3,1(B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若→→→+=AC AD AQ μλ，则=+μλ ．14.命题p ：若0>x ，则a x >；命题q ：若2-≤a m ，则)(sin R x x m ∈<恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数x x a x f ln )(-+=，若)(x f 与)(x f '（)(x f '为)(x f 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 16.已知函数)0)(3cos(sin )(>+=ωπωωx x x f 在区间)18,0(π内单调，且在区间)2,(ππ内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 满足)2(02,2111≥=-+=--n a a a a a n n n n . （1）求证：}11{n a -是等比数列，且1)121121(21+---<+n n n a ； （2）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若*N m ∈，且1100+<<m S m ，求m 的值.18. 四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥1AA 平面M ABCD ,为棱1DD 的中点，N 为棱AD 的中点，Q 为棱1BB 的中点. （1）证明：平面//MNQ 平面BD C 1；（2）若AB AA 21=，棱11B A 上有一点P ，且))1,0((111∈=→→λλB A P A ，使得二面角Q MN P --的余弦值为632113，求λ的值.19. 从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占%60，骑行过共享单车的人数中，有%35是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人.（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x 与乱停乱放单车数量y 之间的关系图表： 累计投放单车数量x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量y14001700230030003600①计算y 关于x 的线性回归方程（其中b ˆ精确到a ˆ,0001.0值保留三位有效数字），并预测当250000=x 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量，X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X 的分布列和数学期望)(X E .参考公式和数据：回归直线方程a x b yˆˆˆ+=中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.ˆˆ,)())(()(ˆ1211221x b y a x x y yx x x n xyx n yx bni ini iini ini ii-=---=--=∑∑∑∑====851251101398,2117000000⨯==∑∑==i i i i i x y x .20. 已知圆1)1(:221=++y x C ，圆25)1(:222=+-y x C ，圆M 与圆21C C 、都相内切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若点Q 是轨迹E 上的一点，求证：21C QC ∆中，21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21. 已知函数xe x x xf -++=)12()(2，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）求证：0>x 时，ex x x x xf e x 1)ln 33()](3[≥++-⋅-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为θρ2cos 232-=，参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）.（1）求a 与b 的值；（2）求椭圆C 上的点M 到点)0,1(A 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知+∈R c b a ,,.（1）求证：acbc ab c b a c a b c a b ++++≥++2222333)(； （2）求函数ca b c a b x c b a x ac bc ab x f 3332222)(2)()(+++++-++=的零点个数.试卷答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CACCD 11、12：BD二、填空题13.3214. )1,0[ 15. )215ln 51,(++--∞ 16. ]23,2431()1213,2425(⋃ 三、解答题17.解：（1）由12)2(021111+=⇒≥=-+----n n n n n n n a a a n a a a a ，211121111111111=-+-=--∴----n n n n n a a a a a ，}11{n a -∴是以21111=-a 为首项，21为公比的等比数列， 由122)21(11-=⇒=-n nn n n a a ，要证1)121121(21221+---<-+n n n n 成立，只需证1211221-<-+nn ， 即122211-<--+n n ，即12>成立，12> 显然成立，∴原不等式成立.（2）由（1）知，1)121121(2211+---<a ， 1)121121(2322+---<a ， 1)121121(2,,1)121121(2101100100433+---<+---<a a ，累加得102100)1211(2101100<+--<S ，而101,101)1211211211(100,121112210032100=∴>-++-+-++=-+=-=m S a n nn n .18.解：（1）Q M 、 分别为棱11BB DD 、中点，BQ MD =∴//，∴四边形MQBD 为平行四边形，BD MQ //∴，又⊂BD 平面BD C 1，//MQ ∴平面BD C 1.N 为棱AD 的中点，1//AD MN ∴，又11//BC AD ，1//BC MN ∴， ⊂1BC 平面BD C 1，//MN ∴平面BD C 1.又M MQ MN =⋂，//MQN ∴平面BD C 1.（2）由题意知1DD DC DA 、、两两垂直，以D 为原点，→→→1,,DD DC DA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，设1=AB ，则)2,1,1(),2,0,1(),1,1,1(),1,0,0(),0,0,21(),0,0,1(11B A Q M N A ， 设),,(z y x P ，则由→→=111B A P A λ，得)2,,1(,02,,01λλP z y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==-， 设平面PMN 的一个法向量为),,(111c b a m =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021*******c b a c a MP m MN m λ取11=c ， 则)1,3,2(λ-=→m ，设平面MNQ 的一个法向量为),,(222c b a n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021002222b a c a MQ m MN m 取12=c ， 则)1,2,2(-=→n ，由题知01532526463|2113|3194|164|63|2113|||||||22=+-⇒=⨯++++⇒=⋅→→→→λλλλn m n m ， 解得43=λ或1651（与10<<λ矛盾，舍去）， 故43=λ. 19.解：（1）骑行单车的大学生人数为105%35%60500=⨯⨯万， 故任选一大学生骑行单车的概率为87120105=. （2）①求得：∑===⨯=51822400,160000,101398i i y x x ，2721600000167.02400ˆ,0167.010256510139810165102117ˆ8866-=⨯-=≈⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=∴a b ， 故所求回归方程为2720167.0ˆ-=x y. 250000=∴x 时，39032722500000167.0ˆ=-⨯=y，即单车投放累计250000辆时，乱停乱放的单车数量为3903.②X 的取值为101)0(,2,1,03533===C C X P ，53)1(351223===C C C X P ， 103)2(352213===C C C X P ， 分布列如下：X 0 12P101 53103 510251100)(=⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（1）设圆M 的半径为r ，则r MC r MC -=-=5||,1||21，||4||||2121C C MC MC >=+∴， 故圆心M 的轨迹是以)0,1(),0,1(21C C -为焦点，长半轴为4的椭圆，故轨迹E 的方程为13422=+y x ， （2）如图，延长Q C 1到P ，使||||2QC QP =，则42||1==a P C ，设),(),,(Q Q P P y x Q y x P =，则)4(2143312)1(||22221+=-+++=++=Q Q Q Q Q Q x x x x y x Q C . →→→⋅+=⋅=∴Q C x Q C Q C P C P C Q 1111148||||，Q Q Q Q Q QP C Q Q P Q Q Px y x x x y k x y y x x x ⋅=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+3444748,48,4)1(812，21QC C ∠∴外角平分线方程为)(43Q QQ Q x x y x y y --=-，即QQQ QQQ QQ y x y x y y x x y x y 3434444322+-=++-=，代入椭圆方程，得12)343(4322=+-+QQQ y x y x x ， 整理得0918922222=+-Q Q Q Q Q y x x y x x y ，0994)18(22222=⋅⋅-=∆QQQ Q Q y x y y x . 故21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21.解：（1）x xe x x e x x x xf --+--=---+=')2)(1()1332()(2，故在区间)2,(--∞内，0)(<'x f ； 在区间)1,2(-内，0)(>'x f ； 在区间),1(+∞内，0)(<'x f ，故)(x f 的增区间为)1,2(-，减区间为),1(),2,(+∞--∞. （2）原式化为e x x x x x f e1)ln 33()](6[2≥++-⋅-，令)(6)(x f ex g -=， 由（1）可知)(x g 在区间)1,0(内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增，ee e g x g 156)1()(=-=≥.（*） 令x x x x x h ln 33)(2++-=，则x x x h ln 22)(+-='， 设)()(x h x s '=，则012)(>+='xx s ， 故0)(='x h 仅有一解为1=x ， 在区间)1,0(内，0)(<'x h ， 在区间),1(+∞内，0)(>'x h ， 故1)1()(=≥h x h .（**）由（*）（**）式相乘得ex h x g 1)()(≥， 即ex x x x xf e x e x x x x x f e 1)ln 33()](6[1)ln 33()](6[2≥++-⋅-⇒≥++-⋅-， 当1=x 时，取等号.22.解：（1）133)cos sin 3(2cos 23222222=+⇒=+⇒-=y x θθρθρ，而由⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）12222=+⇒b y a x ， 故知1,3==b a .（2）设),(y x M ，则]3,3[,22323112)1(||222222-∈+-=-++-=+-=x x x x x x y x MA ， 故当23=x 时，2||MA 取最小值为21， ||MA ∴最小值为22. 23.解：（1）由柯西不等式得2333333)())((ac ca bcbc ab a b ac bc ab c a b c a b ⋅+⋅+⋅≥++++ ac bc ab c b a c a b c a b a b c ++++≥++⇒++=22223332222)()(， 当且仅当222222ca b c a b ==，即c b a ==时，取等号. （2）对于二次函数))((4)(4),(3332222c a b c a b ac bc ab c b a x f ++++-++=∆， 由（1）知，c b a ==时，0=∆，此时)(x f 仅有一个零点；当c b a 、、不全相等时，0<∆，此时)(x f 零点个数为0.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(衡水金卷调研卷)文数五(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示集合为A. B. C. D. ﹛或﹜【答案】B【解析】集合，，所以，阴影部分表示的是，选B.2.已知复数，（，为虚数单位），若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】，由已知有，所以，解出，选C.3.已知函数的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，最小值为，则在区间上A. 单调递增，最大值为B. 单调递减，最小值为C. 单调递减，最大值为D. 单调递减，最小值为【答案】C【解析】由已知有函数是奇函数，且在区间上为减函数，且最小值为，根据函数图象的对称性知，函数在区间上为减函数，且最小值为，选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性和最值等基本性质，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性等，属于基础题。
4.已知直线与，轴的正半轴分别交于点，，与直线交于点，若（为坐标原点），则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】在直线中，令得，即，令，得，即，联立，解得，所以，因为，所以，，所以，选C.5.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】，而，，所以，选A.6.已知，则点在直线的右下方是是双曲线的离心率的取值范围为的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当点在直线的右下方时，则，所以双曲线的离心率；反过来，当双曲线的离心率的取值范围为时，由知，所以点在直线的右下方，故点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的充要条件。
选A.7.已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，，；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线、，，，，；④存在两条异面直线、，，，，，可以推出的是( )A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③【答案】C【解析】对于②，平面与还可以相交；对于③，当时，不一定能推出，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.8.已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，点在函数的图像上，则函数的单调递减区间为A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知有函数的周期为6，所以，又点在函数的图象上，所以，又，所以，，令，解得，故函数的单调递减区间为，选D.9.在如图所求的程序框图中，若输出的值为，则输入的的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】设输入的，第一次执行循环体，，不满足，第二次执行循环体，，不满足，第三次执行循环体，，不满足，第四次执行循环体，，满足，所以有，解得，选D.10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体是将一个圆锥挖掉一个正四棱锥后的几何体，圆锥的底面半径为，高为，母线长为，正四棱锥的底面边长为的正方形，高为，所以该几何体的表面积为，选A.11.甲、乙两人各自在米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过米的概率是A. B. C. D.【解析】设甲、乙两人跑的路程分别为，则有，表示区域如图正方形OABC，面积为，相距不超过50m满足，表示的区域如图阴影部分，面积为，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率为，选C.点睛：本题主要考查了几何概型，属于中档题。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题有答案-(高三)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（ ）A ．{}20|≤<=x xB A I B ．{}0|<=x x B A IC ．{}2|<=x x B A YD ．R B A =Y2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（ ） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （ ） A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增 B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（ ）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（ ） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.bca c a a c a )()(->- D ．()()bca b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（ ） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][)+∞-∞-,22,Y B ．(][)+∞-∞-,12,Y C. (][)+∞-∞-,21,Y D ．[]2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为 ．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是 ．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为 ．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=, ∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC , 或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ， ∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形.∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C . ∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n AM 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=, ∴14143|cos |=⋅=nCA n CA n CA , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人， 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P , 35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为ξ1234P701358 3518 358 701 ()27043533523517010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x . (2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈. ∴8936221+-=+k kx x ，∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=， 即k k k k 189180891622-=+--+，∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当kk 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ； 当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当kk 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x 在区间[)∞+，0内恒成立. 即x e a x -≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x +-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax e x f x， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=， 当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ， 得3cos 23sin 21=θρ+θρ， 将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上， 所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ，则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=，当且仅当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+ϕ时，取等号， 所以9132max=-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ，即42≤+-x x ， 此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x . (2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=， 因为()2|2|2=--≤--x x x x ， 当且仅当0≤x 时，取等号， 所以()2≤x g ，即2=m ， 因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-= b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号. 即()()()||b a m a bf b af -≥+.。
【全国百强校】衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题(原卷版)
衡水金卷2018届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 33. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A.B.C.D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )...A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( ) A.为真 B.为假 C.为真 D. 为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A.B.C. D.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.。
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。
衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题含答案
金卷 2018 届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以,.故选 C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则 为( )A. 2 B. -3 C. D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选 B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选 C.4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是. 故选 B.5. 已知双曲线 ：的渐近线经过圆 ：的圆心，则双曲线 的离心率为( )A.B.C. 2 D.【答案】A【解析】圆 ：的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为.故选 A.6. 已知数列 为等比数列，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，得，所以 .由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.所以..故选 A.7. 执行如图的程序框图，若输出的 的值为-10，则①中应填()A.B.C.D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填 .故选 C.8. 已知函数 为 的奇函数，且当 时，，记，， ，则 ， ， 间的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为 的偶函数，当 时，.所以 在 单调递减.又，，.故 ，选 D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中 .记命题 ：，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是()A. 为真 B. 为假 C.为真 D.为真【答案】D【解析】由 ，可得 因为 ，所以.解得 . ，故 为真命题；将 图象所有点向右平移 个单位，.............................. 所以 为假， 为真，为假，为真.故选 D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为，代入 .消去 ，得.则 ，所以..将 代入 得 ，故 .故.故 的周长为.故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ，，，若恒成立，则 的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当 时，，解得由 得 .由，得两式相减得.所以.因为 ，所以.或. .即数列 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 .所以.所以.要使恒成立，只需 .故选 B.点睛：由 和 求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 已知在 中，，，若边 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 __________．【答案】1【解析】依题意，得，故 是以 为底边的等腰三角形，故，所以.所以 .14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为__________．【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .所以.当且仅当 .即 时，取等号，此时的最小值为 16.15. 已知 ， 满足其中 ，若的最大值与最小值分别为 ， ，则实数的取值围为__________． 【答案】 【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线，当直线过点 时， 取得最小值 ；当直线过点 时， 取得最大值 .即，当 或 时，.当 时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥 称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ，，则该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为 __________． 【答案】 【解析】设 的中点为 ，如图，由，且 为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得 .故该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，，，求 的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得 ，由正弦定理及，得，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数 图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为 ，所以.又，故得，解得 .由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面 为直角梯形，其中，侧面 平面 ，且，动点 在棱 上，且.（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得 平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 .∵，∴.∵，∴.∴.又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则.∵平面 平面 ，平面 平面，且，∴ 平面 .∵ ，且，∴四边形 为平行四边形，∴ .又∵，∴ .由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，，，，，.当 时，有 ，∴可得 .∴，，.设平面 的一个法向量为，则有即令 ，得 ， .即.设 与平面 所成的角为 ，则.∴当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网 购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一 部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借 助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网 民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）① ，②见解析. 【解析】试题分析：（1）计算 的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 ，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知 的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为.②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得，所以；.20. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为点 ， ，其离心率为 ，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：四边形 不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， 及，可得方程；（2）易知直线 不能平行于 轴，所以令直线 的方程为与椭圆联立得，令直线 的方程为，可得，进而由 是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得 ， ，又，故解得，所以椭圆 的标准方程为.（2）由（1），知 ，如图，易知直线 不能平行于 轴.所以令直线 的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线 的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形 是平行四边形.若 是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形.21. 已知函数，其中 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式 在 恒成立，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和 演技单调性及极值即可；（2）当 时， 在 单调递增，可知 在 不恒成立，当 时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当 ，即 时， ， 在 单调递增，没有极值.当 ，即 ，令 ，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，故当时， 取得最小值，无极大值.综上所述，当 时， 在 单调递增，没有极值；当 时， 在区间单调递减，在区间单调递增， 的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当 时， 在 单调递增，当 时，成立.当 时，令 为 和 中较小的数，所以 ，且 .则，.所以，与 恒成立矛盾，应舍去.当 时，，即，所以.令，则.令 ，得，令 ，得 ，故 在区间 单调递增，在区间 单调递减.故，即当时，.所以.所以 .而，所以 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为（ ， 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当 时，求曲线 上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线 上的所有点都在直线的下方，数的取值围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线 上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线 上的所有点均在直线的下方，即为对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线 上的点到直线的距离，，当时，，即曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .（2）∵曲线 上的所有点均在直线的下方，∴对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，∴.又 ，∴解得，∴实数的取值围为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式 ；（Ⅱ）记函数的值域为 ，若 ，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得 ..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，. ∵，∴，.∴.∴.。
【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学(五)试题含解析
【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷高三科（五）试题数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若集合2{|20},{|21}x M x x x N y y =-<==+，则M N ⋂=（ ） A. ()0,2 B. ()1,2 C. ()0,1 D. ∅ 2．已知i 为虚数单位，复数()11i ai z i+=+的虚部为2，则实数a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．函数cos22sin y x x =+的最大值为（ ） A.12 B. 1 C. 32D. 2 4．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 5．已知O 为坐标原点，分别在双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>第一象限和第二象限的渐近线上取点,M N ，若MON ∠的正切值为43，则双曲线离心率为（ ）A.5B. 2C. 54D. 536．若点(),x y 满足20{2 3x y y x x y +≥≤+≤，则()222x y +-的最小值为（ ）A.B. C. 45 D. 157．按下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的x 的取值范围为（ ）A. []3,4-B. []1,3-C. []3,9-D. []3,4 8．将函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心是（ ）A. ,06π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,6π⎛ ⎝⎭D. ,3π⎛ ⎝⎭ 9．()()512210101010101210x C x C x C x ++++展开式中， 7x 项的系数是（ ）A. 50400B. 15300C. 30030D. 150015 10．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A.254π B. 2516π C. 11254π D. 112516π11．已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()2f x f x -=，若在区间(]0,1上， ()1f x x=，则111128128f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A.316 B. 3112 C. 356 D. 351212．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于点,A B ，若AF FB λ=，且11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则k 的取值范围是（ ）A. (B.)C. (2,D.第II 卷（非选择题）二、填空题 13．ABCD 中， M 为线段DC 的中点， AM 交BD 于点Q ，若A Q A D A Cλμ=+，则λμ+=______．14．命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()s i n m x x R <∈恒成立.若p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________．15．已知函数()ln f x a x x =+-，若()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数()sin cos (0)3f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调，且在区间(),2ππ内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是__________．三、解答题17．已知数列{}n a 满足()1112,202n n n n a a a a a n --=+-=≥.（1）求证： 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，且111212121n n n a +⎛⎫<-+ ⎪--⎝⎭；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*m N ∈，且1001m S m <<+，求m 的值.18．四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形， 1AA ⊥平面,ABCD M 为棱1DD 的中点， N 为棱AD 的中点， Q 为棱1BB 的中点.（1）证明：平面//MNQ 平面1C BD ；（2）若12AA AB =，棱11A B 上有一点P ，且()()1110,1A P A B λλ=∈，使得二面角P MN Q --λ的值.19．从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%，骑行过共享单车的人数中，有35%是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人.（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x 与乱停乱放单车数量y 之间的关系图表：①计算y 关于x 的线性回归方程（其中ˆb精确到0.0001,ˆa 值保留三位有效数字），并预测当250000x =时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量， X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X 的分布列和数学期望()E X .参考公式和数据：回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()()1122211,.ˆˆˆnni i iii i nni ii i x y nxy x x y y bay bx x n x x x ====---===---∑∑∑∑ 5528112117000000,139810i ii i i x yx ====⨯∑∑.20．已知圆()221:11C x y ++=，圆()222:125C x y -+=，圆M 与圆12C C 、都相内切.（1）求圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若点Q 是轨迹E 上的一点，求证： 12QC C ∆中， 12C QC ∠的外角平分线与曲线E 相切.21．已知函数()()231xf x x x e -=++，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证： 0x >时， ()3313ln x xf x x x e x e ⎡⎤⎛⎫-⋅-++≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.22．选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为232cos2ρθ=-，参数方程为{ x acos y bsin φφ==（0,0,a b φ>>为参数）.（1）求a 与b 的值；（2）求椭圆C 上的点M 到点()1,0A 距离的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c R +∈.（1）求证： ()2222333a b c b c aa b c ab bc ac++++≥++； （2）求函数()()()33322222b c a f x ab bc ac x a b c x a b c=++-+++++的零点个数.【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷高三科（五）试题数学（理）答 案1．B 【解析】{}{}2|20|02M x x x x x =-<=<<{}{|21}|1xN y y y y ==+=> ()12M N ∴⋂=，故选B 2．C 【解析】()()()()111112222i ai i a i i a a z i+--+--++===+122a+∴= 则3a =故选C 3．C【解析】222122sin y cos x sinx sin x x =+=-+ 当1sin 2x =时， y 取得最大值为32故选C 4．B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 故选B5．B【解析】双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，的渐近线方程为ay x b =±设一条渐近线a y x b =的倾斜角为θ，斜率为tan ab θ= 则22tan 4tan 213tan θθθ==--， tan 2θ=或1tan 2θ=-（舍去）2ab∴=，c e a ==故选B 6．A【解析】如图：目标函数()222z x y =+-的几何意义是可行域内的点与()02，连线长度的平方由图可知长度最小值为()02，到2y x =的距离5故选A 7．A【解析】由程序框图可得： 231{41t t x t t t <=-≥，，，)[13 t ∈-，时， )[33 x ∈-，][13 t ∈，时， ()[]22434x t =--+∈，][13 t ∴∈-，时， ][34 x ∈-，故选A 8．C【解析】()1sin cos sin cos 332g x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)11sin 2cos 21sin 2423x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭由23x k ππ-=， 26k x ππ=+ 当0k =时，得对称中心为6π⎛ ⎝⎭，故选C 9．C【解析】()1001221010101010101...x C C x C x C x +=++++ 两边求导得： ()9121091010101012...10x C C x C x +=+++两边同乘以x 得到： ()912210101010101012...10x x C x C x C x +=+++则原式()24101x x =+故7x 项的系数为6141030030C =故选C 10．D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为： 202416，，的长方体1111ABCD A BC D -中三棱锥B KLJ -即为所求的三棱锥其中19KC =， 1112C L LB ==， 116B B =1111KC LB C L B B∴=，则11K ∠~∠C L LB B ， 90KLB ∠=︒ 故可求得三棱锥各面面积分别为：150BKLS=， 150JKLS=， 250JKBS=， 250JLBS=故表面积为800S =表 三棱锥体积1V 10003BKLS JK ==设内切球半径为r ，则3154V r S ==表 故三棱锥内切球体积341125316V r ππ==球 故选D 11．B【解析】()()()2f x f x f x ∴-==--令x t -=，则()()()()2,?4+=-+=f t f t f t f t 故函数()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 内的奇函数，()00f ∴=， ()()200f f ==故对*k N ∈，11144141121414141414k k f k f f f k k k k k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=-+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 对k N ∈， ()11142242424242f k f f k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111143312143434343f k f ff k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦42424343k k f k k ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭1144444444f k f k k k ⎛⎫⎛⎫++==+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭当*k N ∈时，()111 41?4243414243g k f k fk f k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111 44244442f k k k k ⎛⎫+++=+- ⎪++⎝⎭ 所求原式()11113111234102421234246f f f f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++=--+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3112=故选B点睛：本题考查了运用函数的奇偶性和周期性求值，利用已知条件先求出函数周期性，在求函数值时利用递推关系分别求出41k +、42k +、43k +、44k +的表达式，从而能够计算出最后结果，本题的关键是求出在周期性下的值。
【衡中同卷】2018届信息卷(五)数学(理)试题
5172 7普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(五)本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足( z - i )(1+ i ) 2 + i= 2i , 则 z =A ．4B ．C ．D ．52．已知集合 A = {x y = log (4 - x )}, B = {x x 2- 5x ≥ 0}，则A ⋂ B = A ．[4，5]B ．(4，5]C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]13．已知α∈(0，π)，sin α+ cos α= ，则sin α- cos α= 5 A ．7 B ． - C ． 1 555 D ． - 154．已知一副扑克牌去掉大、小王后共 52 张牌，则从中任取 3 张，花色各不相同的概率为 16 A.B ．35224505169 C ．425448D ．11055.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且公差 d < 0, S 5 + S 10 + S 15 = 0, 则S n 最大时，n =A ．5B ．6C ．7D ．8 6.已知某几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是1 337． ⎰0 2x + 3 - x dx = 2ππππA ． + 3B. + C ． 3 22+ D ． +228. 如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若 干片金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片 必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完 n 片金片总共需要的次数为a n ，则可推得 a n +1 = 2a n +1．如图②是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是 A ．1022B ．1023C ．1024D ．10259. 已知∆ABC 有以下性质：①AB+AC>BC ；②内切圆半径 r =2S (其中 S ，l 分别为l△ABC 的面积和周长)；③三条中线交于点 G ，点 G 分中线为 2：1 的两段．类比到三棱锥3V P-ABC 中，有：① S ∆PAB + S ∆PBC + S ∆PAC ；②内切球半径 R =(其中 V ，S 分别为三棱锥SP —ABC 的体积和表面积)；③每个顶点与所对的三角形的重心的连线交于一点 Q ，点 Q 分每条“顶点与重心连线”为 3：1 的两部分．则以上类比正确的是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③1+ tan ωx ⎛ π⎫ ⎛ π ⎫10.已知ω> 0, f ( x ) = 1- tan ωx , f x + 3 ⎪ 的图像与 f ( x ) 的图像关于点 3, 0⎪ 对⎝ ⎭ ⎝ ⎭称，则ω的最小值为 1 3 A ．B ．1C ．22D ．2332 ( )FA FB FCc - 2b 1.已知偶函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) + xf '(x ) > 6，且f (1) = 2， 则f(x )> 3 -1 的解集为x2A ．{x x < -1或x > 1} C ．{x x < -2或x > 2}B ． {x -1 < x < 1} D ． {x - 2 < x < 2}p ⋅ n12.已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n , a n =n 4 + n 2+ 1, 且S n < 3 恒成立，则 p 的最大值为A ．5.5B ．6C ．6.3D ．6.5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ） A ．)2,0( B ．)2,1( C ．)1,0( D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21 B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25C. 45 D ．356.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552 B ．55C. 54 D ．517.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ） A ．]4,3[- B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[ 8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-π D ．)43,3(-π 9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．150015 10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425π B ．1625π C. 41125π D ．161125π11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．123512.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ）A ．)3,1(B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若→→→+=AC AD AQ μλ，则=+μλ ．14.命题p ：若0>x ，则a x >；命题q ：若2-≤a m ，则)(sin R x x m ∈<恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是 ．15.已知函数x x a x f ln )(-+=，若)(x f 与)(x f '（)(x f '为)(x f 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 16.已知函数)0)(3cos(sin )(>+=ωπωωx x x f 在区间)18,0(π内单调，且在区间)2,(ππ内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 满足)2(02,2111≥=-+=--n a a a a a n n n n . （1）求证：}11{na -是等比数列，且1)121121(21+---<+n nn a ； （2）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若*N m ∈，且1100+<<m S m ，求m 的值.18. 四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥1AA 平面M ABCD ,为棱1DD 的中点，N 为棱AD 的中点，Q 为棱1BB 的中点. （1）证明：平面//MNQ 平面BD C 1；（2）若AB AA 21=，棱11B A 上有一点P ，且))1,0((111∈=→→λλB A P A，使得二面角Q MN P --的余弦值为632113，求λ的值.19. 从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占%60，骑行过共享单车的人数中，有%35是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人.（1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x 与乱停乱放单车数量y 之间的关系图表：①计算y 关于x 的线性回归方程（其中b ˆ精确到a ˆ,0001.0值保留三位有效数字），并预测当250000=x 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量，X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X 的分布列和数学期望)(X E .参考公式和数据：回归直线方程a x b yˆˆˆ+=中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.ˆˆ,)())(()(ˆ1211221x b y ax x y yx x x n xyx n yx bni ini iini ini ii-=---=--=∑∑∑∑====851251101398,2117000000⨯==∑∑==i i i ii x yx .20. 已知圆1)1(:221=++y x C ，圆25)1(:222=+-y x C ，圆M 与圆21C C 、都相内切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程；（2）若点Q 是轨迹E 上的一点，求证：21C QC ∆中，21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21. 已知函数x e x x x f -++=)12()(2，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）求证：0>x 时，ex x x x xf e x 1)ln 33()](3[≥++-⋅-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为θρ2cos 232-=，参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）.（1）求a 与b 的值；（2）求椭圆C 上的点M 到点)0,1(A 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知+∈R c b a ,,.（1）求证：acbc ab c b a c a b c a b ++++≥++2222333)(； （2）求函数ca b c a b x c b a x ac bc ab x f 3332222)(2)()(+++++-++=的零点个数.试卷答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CACCD 11、12：BD 二、填空题 13.32 14. )1,0[ 15. )215ln 51,(++--∞ 16. ]23,2431()1213,2425(⋃ 三、解答题17.解：（1）由12)2(021111+=⇒≥=-+----n n n n n n n a a a n a a a a ，211121111111111=-+-=--∴----n n n n n a a a a a ，}11{n a -∴是以21111=-a 为首项，21为公比的等比数列，由122)21(11-=⇒=-nnn n n a a ， 要证1)121121(21221+---<-+n n n n 成立，只需证1211221-<-+n n ，即122211-<--+n n ，即12>成立，12> 显然成立，∴原不等式成立.（2）由（1）知，1)121121(2211+---<a ， 1)121121(2322+---<a ， 1)121121(2,,1)121121(2101100100433+---<+---<a a ，累加得102100)1211(2101100<+--<S ，而101,101)1211211211(100,121112210032100=∴>-++-+-++=-+=-=m S a n nn n . 18.解：（1）Q M 、 分别为棱11BB DD 、中点，BQ MD =∴//，∴四边形MQBD 为平行四边形，BD MQ //∴，又⊂BD 平面BD C 1，//MQ ∴平面BD C 1. N 为棱AD 的中点，1//AD MN ∴，又11//BC AD ，1//BC MN ∴， ⊂1BC 平面BD C 1，//MN ∴平面BD C 1.又M MQ MN =⋂，//MQN ∴平面BD C 1.（2）由题意知1DD DC DA 、、两两垂直，以D 为原点，→→→1,,DD DC DA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，设1=AB ，则)2,1,1(),2,0,1(),1,1,1(),1,0,0(),0,0,21(),0,0,1(11B A Q M N A ， 设),,(z y x P ，则由→→=111B A P A λ，得)2,,1(,02,,01λλP z y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==-， 设平面PMN 的一个法向量为),,(111c b a m =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021*******c b a c a MP m MN m λ取11=c ， 则)1,3,2(λ-=→m ，设平面MNQ 的一个法向量为),,(222c b a n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→,0,021002222b a c a MQ m MN m 取12=c ， 则)1,2,2(-=→n ，由题知01532526463|2113|3194|164|63|2113|||||||22=+-⇒=⨯++++⇒=⋅→→→→λλλλn m n m ， 解得43=λ或1651（与10<<λ矛盾，舍去）， 故43=λ. 19.解：（1）骑行单车的大学生人数为105%35%60500=⨯⨯万， 故任选一大学生骑行单车的概率为87120105=. （2）①求得：∑===⨯=51822400,160000,101398i iy x x，2721600000167.02400ˆ,0167.010256510139810165102117ˆ8866-=⨯-=≈⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=∴a b ， 故所求回归方程为2720167.0ˆ-=x y. 250000=∴x 时，39032722500000167.0ˆ=-⨯=y，即单车投放累计250000辆时，乱停乱放的单车数量为3903.②X 的取值为101)0(,2,1,03533===C C X P ，53)1(351223===C C C X P ， 103)2(352213===C C C X P ， 分布列如下：510251100)(=⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（1）设圆M 的半径为r ，则r MC r MC -=-=5||,1||21，||4||||2121C C MC MC >=+∴，故圆心M 的轨迹是以)0,1(),0,1(21C C -为焦点，长半轴为4的椭圆，故轨迹E 的方程为13422=+y x ， （2）如图，延长Q C 1到P ，使||||2QC QP =，则42||1==a P C ，设),(),,(Q Q P P y x Q y x P =，则)4(2143312)1(||22221+=-+++=++=Q Q Q Q Q Q x x x x y x Q C .→→→⋅+=⋅=∴Q C x Q C Q C P C P C Q 1111148||||，Q Q Q Q Q QP C Q Q P Q Q P x y x x x y k x y y x x x ⋅=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+3444748,48,4)1(812，21QC C ∠∴外角平分线方程为)(43Q QQ Q x x y x y y --=-，即QQQ QQQ QQ y x y x y y x x y x y 3434444322+-=++-=， 代入椭圆方程，得12)343(4322=+-+QQQ y x y x x ， 整理得0918922222=+-Q Q Q Q Q y x x y x x y ，0994)18(22222=⋅⋅-=∆QQ Q Q Q y x y y x . 故21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21.解：（1）x xe x x e x x x xf --+--=---+=')2)(1()1332()(2，故在区间)2,(--∞内，0)(<'x f ； 在区间)1,2(-内，0)(>'x f ； 在区间),1(+∞内，0)(<'x f ，故)(x f 的增区间为)1,2(-，减区间为),1(),2,(+∞--∞. （2）原式化为e x x x x x f e1)ln 33()](6[2≥++-⋅-，令)(6)(x f ex g -=， 由（1）可知)(x g 在区间)1,0(内单调递减，在区间),1(+∞内单调递增，ee e g x g 156)1()(=-=≥.（*）令x x x x x h ln 33)(2++-=，则x x x h ln 22)(+-='， 设)()(x h x s '=，则012)(>+='xx s ， 故0)(='x h 仅有一解为1=x ，在区间)1,0(内，0)(<'x h ，在区间),1(+∞内，0)(>'x h ，故1)1()(=≥h x h .（**）由（*）（**）式相乘得ex h x g 1)()(≥， 即e x x x x xf e x e x x x x x f e 1)ln 33()](6[1)ln 33()](6[2≥++-⋅-⇒≥++-⋅-， 当1=x 时，取等号.22.解：（1）133)cos sin 3(2cos 23222222=+⇒=+⇒-=y x θθρθρ， 而由⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ,0,0>>b a 为参数）12222=+⇒b y a x ， 故知1,3==b a .（2）设),(y x M ，则]3,3[,22323112)1(||222222-∈+-=-++-=+-=x x x x x x y x MA ， 故当23=x 时，2||MA 取最小值为21， ||MA ∴最小值为22. 23.解：（1）由柯西不等式得2333333)())((ac ca bcbc ab a b ac bc ab c a b c a b ⋅+⋅+⋅≥++++ ac bc ab c b a c a b c a b a b c ++++≥++⇒++=22223332222)()(， 当且仅当222222ca b c a b ==，即c b a ==时，取等号. （2）对于二次函数))((4)(4),(3332222c a b c a b ac bc ab c b a x f ++++-++=∆， 由（1）知，c b a ==时，0=∆，此时)(x f 仅有一个零点；当c b a 、、不全相等时，0<∆，此时)(x f 零点个数为0.。