Chapter_1(极限)

n→∞ n→∞
O
存在且相等.
⇔ (Cauchy 收 敛 准 则 ) ∀ε > 0 , ∃δ > 0 ， ∀x ', x " : 0 <| x '− x0 |< δ , 0 <| x "− x0 |< δ ， 有 | f ( x ') − f ( x ") |< ε 成立.
⇐ 单侧极限的单调有界原理.
第一讲
极限
《数学分析方法选讲》教案
湖南理工学院
第一讲
教学目的: 2. 掌握一元函数极限的相关内容； 3. 掌握实数连续性定理及应用. 教学重点： 数列极限与函数极限的证明及其求法;
极限
1. 掌握数列极限的概念、性质、收敛准则及计算；
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教学难点： 实数连续性定理.
教学方法： 讲授法兼分层次教学法. 教学时数： 10 课时(4+4+2)
一、 内容概要
n →∞
(1) 定义： lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ， ∃N ∈
lim xn ≠ a ⇔ ∃ε 0 > 0 ， ∀N ∈
n →∞
(2) 收敛数列的性质: 唯一性, 有界性, 保号性, 保不等式性, 迫敛性, 四则运算法则. (3) 数列极限存在的条件:
n →∞
lim xn 收敛 ⇔ {xn } 的任何子列都收敛(有相同极限)；
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+ + 3 , 2
, 证明数列 {xn } 收敛并求其极限.
cos n , 证明数列 {xn } 收敛. n2
xn = y0 + ε sin xn −1 ,
n∈N
证明数列 {xn } 收敛.
证明提示: 利用 Cauchy 收敛准则. 思考 设 xn = 1 +
cos 2 cos 3 + 3 + 3 23
2n + 1 = 0； n →∞ n3 + 7 n
（2） lim
n →∞
(
n2 + n − n =
)
1 . 2
例 2. 证明: lim
n = 0(a > 1) . n →∞ a n
思考：证明 lim
n3 = 0(a > 1) . n →∞ a n
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第一讲
极限
《数学分析方法选讲》教案
， ∀n > N ，有 | xn − a |< ε 成立. ， ∃n0 > N ，有 | xn0 − a |≥ ε 0 成立.
， ∀m, n > N , 有 | xm − xn |< ε 成立(或 ∀n > N , ∀p ∈
, 有
, 有 lim xn ≠ a ；
， ∃n0 , m0 > N , 有 | xm0 − xn0 |≥ ε 0 成立(或 ∃n0 > N , ∃p0 ∈
(4) L’Hospital 法则:
O 0 型: 若函数 f ( x) 与 g ( x) 满足: (i) lim f ( x ) = lim g ( x) = 0 ; (ii) 在点 x0 的某去心邻域 U ( x0 ) x → x0 x → x0 0
上都可导, 且 g '( x) ≠ 0 ; (iii) lim
f '( x) f ( x) f '( x) = A (实数或 ±∞ ), 则 lim = lim = A. x → x x → x 0 g ( x) 0 g '( x ) g '( x)
∞ 型 : 若函数 f ( x) 与 g ( x) 满足: (i) lim f ( x ) = lim g ( x) = ∞ ; (ii) 在点 x0 的某去心邻域 x → x0 x → x0 ∞
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例 3. 证明: lim n n = 1 .
n →∞
例 4（Cauchy 第一定理）. 设 lim xn = a ，证明 lim
n →∞
x1 + x2 + n →∞ n
+ xn
= a ( a 为有限常数或 ±∞ ).
证明提示: 项的拆分.
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注：逆命题不一定成立，如 xn = ( −1)
⇐ {xn } 单调有界（单调增有上界或单调减有下界） ； ⇔ ∀ε > 0 , ∃N ∈
| xn + p − xn |< ε 成立).
n →∞
lim xn 发散 ⇔ ∀a ∈
⇔ {xn } 有子列发散或有两个极限不相等的收敛子列； ⇔ ∃ε 0 > 0 , ∀N ∈
有 | xn0 + p0 − xn0 |≥ ε 0 成立). (4) Stolz 定理: P35.
n →∞ n →∞ n →∞
lim f ( x "n ) 不相等;
n→∞
或数列 {xn } , xn ∈ U ( x0 ) , 且 lim xn = x0 , 函数列 lim f ( xn ) 不存在.
n →∞ n →∞
⇔ ∃ε 0 > 0 , ∀δ > 0 ，∃x '0 , x "0 : 0 <| x '0 − x0 |< δ , 0 <| x "0 − x0 |< δ , 有 | f ( x '0 ) − f ( x "0 ) |≥ ε 0 .
例 5. 设数列 {xn } 满足条件 lim( xn − xn − 2 ) = 0 , 证明 lim
n →∞
方法一: 拆分.
方法二: 利用 Stolz 公式.
例 6. 设 xn > 0 , n ∈ N , lim xn = 0 . 证明数列 {xn } 中存在严格递减的子列 {xnk } , 使 lim xnk = 0 .
n →∞ k →∞
(2) 利用夹逼原理
例 7. 设 lim xn = a , 证明 lim
n →∞
[nxn ] =a. n →∞ n
2π ⎡ π ⎢ sin n sin n 例 8. 求极限 lim ⎢ + + n →∞ 1 + n 1 ⎢ n+ 2 ⎣
答案提示: =
⎤ si n π ⎥ . (北京大学, 1999) + 1⎥ n+ ⎥ n⎦
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O
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U ( x0 ) 上都可导, 且 g '( x) ≠ 0 ; (iii) lim
(5) 无穷小量与无穷大量: P51
x → x0
f '( x) f ( x) f '( x) = A (实数或 ±∞ ), 则 lim = lim = A. x → x x → x 0 g ( x) 0 g '( x ) g '( x)
,
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也存在, 且 lim
n →∞
xn x −x = lim n n +1 . yn n →∞ yn − yn +1
x − xn +1 x ∞ 型: 设数列 { yn } 严格递增, 且 lim yn = +∞ , 则当 lim n 存在(或 ±∞ )时, lim n 也存在, n n → ∞ → ∞ n → ∞ yn − yn +1 ∞ yn
x → x0
lim f ( x) 发散 ⇔ ∀A ∈
, 有 lim f ( x ) ≠ A ；
O
⇔ ∃ 数 列 {x 'n },{x "n } , x 'n , x "n ∈ U ( x0 ) , 且 lim x 'n = x0 , lim x "n = x0 , 但 lim f ( x 'n ) 与
,n, 有
⎛ n ⎞n 1 n ≤ a ak ∏ k⎟ ≤ n∑ n 1 ⎜ k =1 ⎝ k =1 ⎠ ∑ k =1 ak
三、 解题分析
(1) 用 ε − N 定义证明.
例 1. 证明: lim
n3 + 3n 2 + 1 1 = . n →∞ 4n 3 + 2n + 3 4
思考 证明: （1） lim
n →∞
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提示: 先证明数列 {xn } 严格减且有下界可得 lim xn = 0 . 再用 Stolz 定理计算.
n →∞
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§1.2 函数极限
一、 内容概要
(1) 定义(共六种形式, 这里只列出其中一种) ：
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x → x0
O x → x0
x → x0
(2) 函数极限的性质: 唯一性, 局部有界性, 局部保号性, 保不等式性, 迫敛性, 四则运算法则. (3) 数列极限存在的条件:
x → x0
lim f ( x) 存在 ⇔ (Heine 归结原理) ∀ 数列 {xn } , xn ∈ U ( x0 ) , 且 lim xn = x0 , 函数列 lim f ( xn )
π
2
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(3) 利用单调有界原理
例 9. 设 x1 > 0 , xn +1 =
1 a (2 xn + 2 ) ( a > 0 ), n ∈ N . 证明数列 {xn } 收敛并求其极限. 3 xn
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