线性代数学习指导(李亦芳主编)思维导图
考研数学 线性代数结构图：向量与线性方程组
考研数学线性代数结构图：向量与线性方程组线代在考研数学中所占比例最少也是22%，因此考生对这部分知识必须“吃懂”、“吃透”，以下是凯程教育数学辅导老师为大家整理的：考研线性代数各知识点结构图，希望对大家的复习有所帮助。
考研数学线性代数结构图：矩阵代数线代在考研数学中所占比例最少也是22%，因此考生对这部分知识必须“吃懂”、“吃透”，以下是凯程教育数学辅导老师为大家整理的：考研线性代数各知识点结构图，希望对大家的复习有所帮助。
考研数学线性代数结构图：矩阵的特征值和特征向量线代在考研数学中所占比例最少也是22%，因此考生对这部分知识必须“吃懂”、“吃透”，以下是凯程教育数学辅导老师为大家整理的：考研线性代数各知识点结构图，希望对大家的复习有所帮助。
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线性代数新东方课程电子版教材
线性代数新东方课程电子版教材名目第一讲差不多概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵相伴矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情形的判别基础解系和通解第六讲特点向量与特点值相似与对角化特点向量与特点值—概念,运算与应用相似对角化—判定与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲差不多概念1．线性方程组的差不多概念线性方程组的一样形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情形有三种:无解,唯独解,无穷多解.对线性方程组讨论的要紧问题两个:(1)判定解的情形.(2)求解,专门是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情形只有两种:唯独解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)差不多概念矩阵和向量差不多上描写事物形状的数量形式的进展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.关于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12…a1n a11 a…a1n b1A= a21 a22…a2n 和(A|β)= a21 a22…a2n b2…………………a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵表达了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就表达其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),同时对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的重量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如重量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,然而作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).适应上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们差不多上表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,同时对应的重量都相等.(2) 线性运算和转置线性运确实是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B能够相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c能够相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A 的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把那个向量看作矩阵了.当α是列向量时, αT表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个专门矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们差不多上考试大纲中要求把握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它确实是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定差不多上0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大伙儿能够仿照着写出它们,那个地点省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,假如满足:①假如它有零行,则都显现在下面.②假如它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是专门的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④同时其正上方的元素都为0.每个矩阵都能够用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运确实是在线性代数的各类运算题中频繁运用的差不多运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯独的,然而其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯独的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的差不多方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上确实是三种初等行变换.线性方程组求解的差不多方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情形:假如最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r可不能大于未知数个数n),r=n时唯独解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯独解.)(3)有唯独解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η确实是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情形:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直截了当的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行依旧是阶梯形矩阵.(2) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列依旧是阶梯形矩阵.(3) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 假如 A 是阶梯形矩阵,则A和B差不多上阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2 … a nn假如行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为那个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就能够在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的运算,以及判定一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的运算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一样地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项差不多上取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一样形式为:n nj j j a a a 2121,那个地点把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象显现的个数.逆序数可如下运算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和确实是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们能够写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn那个地点∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一样来说工作量专门大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的运算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.因此化为运算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际运算行列式的要紧方法,因此应该熟练把握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.因此, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即假如某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤假如一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦假如A与B差不多上方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B* B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1a2 a3 …a na12a22a32…a n2…………a1n-i a2n-i a3n-i…a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.关于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化运算,例如直截了当化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.现在,假如它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯独解,那个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),那个地点D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解运算量太大，没有有用价值.因此法则的要紧意义在理论上,用在对解的唯独性的判定,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯独解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η),η确实是解.用在齐次方程组上 :假如齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质运算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 22a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直截了当求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n 0 0 … 0c n 提示: 只用对第1行展开(M 1i都可直截了当求出). 另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时). 0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯独解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情形求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B能够相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应重量乘积之和.设a11a12...a1n b11b12...b1s c11 c12 (1)A= a21a22...a2n B= b21b22...b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1a m2…a mn ,b n1b n2…b ns ,c m1 c m2…c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一样地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(c A)B=c(AB).③结合律(AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都能够相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.同时有行列式性质:|AB|=|A||B|.假如AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.明显A的任何两个方幂差不多上可交换的,同时方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.然而一样地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请专门注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一样地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式关于n阶矩阵的不再成立.然而假如公式中所显现的n阶矩阵互相差不多上乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立依旧A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式能够因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个能够相乘的矩阵A 和B ,能够先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则 A 11 A 12 B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 差不多上方阵. 两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … 0 0 … A k 0 0 … B k假如类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2 …0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则依照矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的专门情形):①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.应用这两个性质能够得到:假如βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数确实是B的第i个列向量βi的各重量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数确实是A 的第i个行向量的各重量.以上规律在一样教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们不管在理论上和运算中差不多上专门有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字专门简单时,直截了当利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了运算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量差不多上另一个A的列向量组的线性组合时,能够构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也确实是把E 的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也确实是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(相伴矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运确实是解下面两种差不多形式的(I) AX=B.(II) XA=B.那个地点假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解差不多上存在同时唯独的.(否则解的情形比较复杂.) 当B只有一列时,(I)确实是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯独解.假如B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯独解,从而AX=B有唯独解.这些方程组系数矩阵差不多上A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,现在B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,然而考试真题往往并不直截了当写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上差不多形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,假如存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E,则称A 为可逆矩阵.现在B是唯独的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.假如A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右假如A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到差不多矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法方法自然，好经历,然而运算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (同时|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯独解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),因此从定义得到A可逆.推论假如A和B差不多上n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.因此只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆同时互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①假如A可逆,则A-1也可逆,同时(A-1)-1=A.A T也可逆,同时(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,同时(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,同时(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②假如A和B都可逆,则AB也可逆,同时(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵差不多上可逆矩阵,同时E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的运算和相伴矩阵①运算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,因此可用初等行变换求A-1: (A|E) (E|A-1)那个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的相伴矩阵法简单得多.②相伴矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的相伴矩阵为A11 A21…A n1A*= A12 A22…A n2 =(A ij)T.………A1n A2n…A mn请注意,规定n阶矩阵A的相伴矩阵并没有要求A可逆,然而在A 可逆时, A*和A-1有紧密关系.差不多公式: AA*=A*A=|A|E.因此关于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来运算A-1.这确实是求逆矩阵的相伴矩阵法.和初等变换法比较, 相伴矩阵法的运算量要大得多,除非n=2,一样不用它来求逆矩阵.关于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .相伴矩阵的其它性质:①假如A是可逆矩阵，则A*也可逆，同时(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.运算题例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.讨论:(1)一样地,假如n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地点可把它当作数处理.① 1 -1 1ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）1 -1 1②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.③ n维向量α=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)④n维向量α=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E-ααT, B=E+2ααT,求AB. (95四)⑤A=E-αβ T,其中α,β差不多上n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)1 0 1例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.0 1 0例4 −A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,同时A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)假如n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3⨯3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A)3/3.(B) 3. (C)1/3. (D)3. (2005年数学三)例16 设A和B差不多上n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A*0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B*0 . (D ) |B|A*0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,同时求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 假如f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明(1) A2=A⇔αTα =1.(2) αTα =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B差不多上n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B差不多上n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B差不多上n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 假如AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 假如A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C差不多上n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A)E.(B) -E. (C)A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④ E. ⑤4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 00 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明⇒,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:运算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.假如n维向量β等于α1,α2,…,αs的一个线性组合，就说β能够用α1,α2,…,αs线性表示.假如n维向量组β1, β2,…,βt -∉ *⎬能够能够用。
线性代数思维导图全6页及其总结
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
=1 X
A
0
AB=BA=E
|A|
0
r(A)=m
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
当系数矩阵为方阵时，要马上联系到行 列式
有一齐次方程组，AX＝0，其含n条方程，其必 定有解
有解的充要条件是rank(A)=rank(B)
无解的充要条件是rank(A)<rank(B) 若系数矩阵为方阵，方程组有唯一
解的充分条件为det(A)不等于0
当rank(A)=n,齐次方程组仅有零解 当rank(A)=r<n,齐次方程组有无穷多解
将nX2n矩阵(A | E)进行一系 列行初等变换，直到变成( E | A-1)，即得方阵A的逆矩阵
用初等变换逆 矩阵
若A是可逆矩阵则有det(A-1)=(detA)-1
考研数学二复习指南思维导图
飞升阶段（10月初—考试）
到这里我相信你肯定没啥问题了，题目也都见过，知识点也都记得
近年真题套卷
近年真题是任何模拟题都无法替代的，必做
习题
各种模拟卷
查漏补缺
你做真题肯定会有不会的、遗忘的，遇到就回头翻辅导讲义（切记做套卷的时候 不要翻任何书！！！）
万恶的期末考试
这段时间很有可能忙于准备复习期末考试，我当时复习期末半个多月，但是这段 时间也要做题，每天一两道保持手感
暑期阶段（7月—9月） 时长2-3个月，十分纯粹的时间
暑假这个阶段很重要，没人会来打扰你，只有安安心数学辅导讲义》
课本
《线性代数辅导讲义》
习题
错题别忘了回顾
《数学历年真题全精解析·基础篇》
早年真题难度比现在要低，可以通过早年真题感受真题的难度和套路
《数学基础过关660》
这个和武钟祥、李永乐的课很契合，但是很多题目不到强化不好做的，个人觉得 这本数也可以放到下一阶段
网课
高数
武钟祥老师的基础班
线性代数
李永乐老师的基础班
李永乐老师的课其实并不那么基础，得花功夫的
一直可以陪你到考试
严选题
高数
李林880
错题别忘了回顾
习题
线代
李林880
网课
高数
武钟祥高数强化课
线性代数
李永乐强化
可以开始强化 多做题多复习，适当开始强化
复盘阶段（9—10月初） 时长1个月左右 （看个人复习情况，好的话直接下个阶段）
开学了，可能事情变得多了起来 也有可能你前面没跟上，漏了很多题没做，好多知识点忘了 这个月用来缓冲也可以，记住一定不能断掉做题 到这里，距离考研还有不到90天
初中数学代数式思维导图
初中数学代数式思维导图汇总初中数学代数式的分类在复数范围内，代数式分为有理式和根式。
有理式有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。
整式有包括单项式(数字或字母的乘积，或者是单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和)。
1、单项式没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2、多项式几个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或一些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项：多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
无理式我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方，或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。
无理式包括根式和超越式。
我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式。
我们把有理式与根式统称代数式，把根式以外的无理式叫做超越式。
什么是数学思维导图数学是数字与图形结合的一门学科，有效地学习数学，不仅能提高数学成绩，而且能扩散思维，增强分析问题的能力和逻辑思维能力，从而带动其他学科成绩快速提升，对人的一生也是受益匪浅的。
数学思维导图是建立在中小学数学学习方法和思维导图应用的基础上，由北京龙途教育率先研发并推广到数学教学与学习中的一种数学学习工具。