复变函数与积分变换课件3.3-柯西积分公式
第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理
第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2） 证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是 （1） 从点1到i 的直线段1C ；（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解： 此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值） 如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|， （5） 证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解 因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广 内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ） 设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理） 有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0， 令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式 内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
复变函数和积分变换第二版本-3.3 柯西积分公式-文档资料
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
复变函数与积分变换 第三章第五节 柯西积分公式
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
二、柯西积分公式
定理
如果 f(z) 在区域 D 内处处解析,C 为 D
的边界曲线（正向简单闭）, z0 为 C 内任一点,
f(z0 )
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
复习：柯西－古萨基本定理
设曲线 C 是单连通区域 B 的边界 f(z)在B上解析
B
C
c f(z)dz 0.
问题：设z0是B内的一点, 求C
f(z) dz z z0
z0
C
B
分析：
如果
f
(z) 在 B内解析, 那末
R K
ds
2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就
可以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
f
(z0 )
1 2i
f (z) dz
C z z0
柯西积分公式
[证毕]
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2
复变函数3-3柯西积分公式
18
四、解析函数的最大模原理
定 理 3.8设 函 数 f ( z )在 区 域 D内 解 析 ， 又 f ( z )不 是 常 数 ， 则 在 D内 f (z) 没 有 最 大 值 .
证明：记 m ax f ( z ) M , 如 果M , 则 定 理 的
zD
结论成立.
设M , 用 反 证 法 .如 果 D内 有 一个点z 0 使 得 f ( z0 ) M , 则 有 推 论 1(平 均 值 公 式 ), 只 要 圆 盘z z0 R 含 于 D内 就 成 立 着
第三章
复变函数的积分
第三节
柯西积分公式
一、问题的提出
二、柯西积分公式 三、典型例题
一、问题的提出
设 D 为一单连通域 , z0 为 D 中一点 .
f ( z) 如果 f ( z ) 在 D内解析, 那末 在 z0 不解析. z z0
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 D 内围绕 z0 的闭曲线 .
z 1 2
z 1 2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
14
sin z 例6 计算积分 2 4 dz , 其中 C : (3) z 2. z 1 C
sin z 解 ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 1 z 2
K
闭路变形原理
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
z0
K
D
C
5
K
f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) ds dz K z z0 z z0
复变函数第7讲柯西积分公式
K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .
柯西积分公式课件
1 0
2
第8页/共10页
•谢谢！
第9页/共10页
感谢您的观看。
第10页/共10页
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
或
C
f (z) z z0
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
第3页/共10页
• 分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
y
iC
而sin z在复平面上处处解析,
O
x
所以，f z sin z, z0 i,
原式=2i sin z zi
2i sin i.
第5页/共10页
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
例2.
1 dz, 其中C : z 1 1. C z2 1
C : z 2
解： 被积函数有奇点1和-1，而两个奇点只有z 1在C内，
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
第7页/共10页
五、布置作业
• 课本 P143 10,12.
• 补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
C2 C1 C3
(A. Cauchy,法,1789-1857)
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分 公式
第2页/共10页
复变函数与积分变换3.2柯西积分定理
C
1 dz dz dz 2 C z C z 1 z z
（由闭路变形原理） dz dz C2 z 1 C1 z 2 i 2 i 0
C
C1
0
1
C2
(2) (由复合闭路定理)
C
1 dz dz dz 2 2 C2 z 2 z C1 z z z z
问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连 通区域D内沿闭路径的积分为零?
要使 只要
f ( z) d z 0.
C
C
udx vdy 0且 vdx udy 0.
C
这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy, uy=-vx. Cauchy： 若f(z)在单连通区域D内解析,且f'(z)连续, 则对D内任意闭曲线C有
c
z0 z1 。 其中C：
固定z0,z1=z在D内变化,于是 C 于z的单值函数:
z C C z0
f ( z )dz
在D内确定了关
f z dz f d f d : F ( z )
F z f d
z0 z
变上限积分。
解析函数的原函数仍为解析函数
1 例题1 求 C 2 dz , C 如图所示： z 解：存在 f (z)的解析单连通域D包含
i
i
3 i
曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起
点和终点有关。
0,i 0,i
从而
C
1 1 4 1 1 1 dz d i 2 z z 0,3i i 3i 3 0, 3i z
复变函数与积分变换3.3Cauchy积分公式
设 f (z)
( 2 1)sin d , 求 f (i) 和 f (2 3i)
||2 z
解 由Cauchy积分公式和Cauchy积分定理，有
2πi(z2 1)sin z z 2
f (z)
0
z 2
f (i) 4πiz sin z 2πi(z2 1)cos z 4πsin i 4πisinh1 zi
C z z0
K z z0
K z z0
K z z0
2πi f (z0)
f (z) f (z0 ) dz K z z0
而
f (z) f (z0) d z f (z) f (z0) d s d s 2π
K f (z) f (z0) d z 0 K z z0
(3.3.1)
柯西积分公式
证明
由于 f (z)在z0 连续，任意给定 0, 必存在一个 0, 当0 z z0 时， 有 f (z) f (z0)
现以z0为中心，R 为半径作圆周K：z z0 R,
使其全部包含在C的内部，且 R ,
D
C K z0.R z
柯西积分公式
则有 f (z) dz f (z) dz f (z0) dz f (z) f (z0) dz
1
2）I
1
dz
(z 2) d z 2πi 1 2πi
|z1|1 4 ( z 1)( z 2)
z 1 |z1|1 4
z 2 z1
3)
1
1 1
(z 1)(z 2) z 2 z 1
1
dz
1 dz
1 dz
|z|3 (z 1)(z 2)
|z|3 z 2
|z|3 z 1
2πi 2πi 0
复变函数与积分变换第三章积分
a
a 1 z0
2
z1 z2
zk 1
(2)取介点集
o
x
在 每 个 弧 段 z k 1 z k ( k 1 , 2 ,,n ) 上 任 意 取 一 点 k ,
一、复变函数积分的概念
(3)作(Rinmann)和
n
n
S n f(k)(zkzk 1) f(k) zk,
k 1
k 1
这 z k 里 z k z k 1 , s k z k 1 z k 的 ,长度
则 :C C 1 + C 2 构 成 复 围 线
根据
复合闭路定理
定理3.6 设 C , C1 , C2 ,
, Cn 是多连通区域D内
所以 zz0r(z1z0)n1dz02,i,
n0, n0.
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
注 此例的结果很重要！
微积分学的现实意义
§3.2 柯西积分定理
一、柯西基本定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数
一、柯西基本定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
记(T)m 1k ax n{sk},
y
(4)求极限
B
C zn1
k zk
当 n 无 限 增 加 且 0 时 , 1 A
如 果 不 论 对 C的 分 法 及k的o
2
z1
z2
zk 1
x
取 法 如 何 ,Sn有 唯 一 有 限 的 极 限 J,则 称 f(z)沿 着 C 的 正
向 可 积 ,极 限 值 J称 为 函 数 f(z) 沿 曲 线 C的 积 分 ,记 为
复习
b
n
a
3.2 复变函数的积分 (2)
i
解析函数的无穷可微性：
定理3.13 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 有界区域。设 f (z) 在D及C所组成的闭区域 D 上解析，那么 f (z) 在D内有任意阶导数，且有
f
(n)
n! f ( ) ( z) d (n 1,2,3,...) n 1 2i C ( z ) 1 f ( ) ( f ( z) d ) 2i C z
2
0
f ( z0 Rei )d .
证明：令C 表示圆周 z0 R ，则有 z0 Rei ， 0 2 ，于是d i Rei d。根据柯西积分公式 1 f ( ) 1 2 f ( z0 Rei )i Rei f ( z0 ) d d i 2 i C z0 2 i 0 Re 1 2
设 |f(z)| 在 C 上的一个上界是 M ，并且设 C 的长度 是L，于是我们有
f ( ) h | h | ML d | | 2 , 2 2i C ( z h)( z ) 2 d
因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。
考虑 n=k+1的情况。取z及z+h同上，那么有
2
0
f ( z0 Rei )d
例题3.11：设函数 f ( z )在闭圆 z R上解析，若存在 a 0, 使当 z R时 f ( z ) a，并且 f (0) a，则 在圆 z R内f ( z )至少有一个零点。 证明：假设在圆 z R内f ( z )无零点，则函数F ( z )
复变函数课件柯西积分公式PPT课件
π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
第二页，共19页。
2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心 z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
第十四页，共19页。
14
课堂练习
计算积分
ez z 3 z(z2 1) dz.
答案 有三个奇点 z 0, z 1, z 1
z
3
ez z(z2
dz 1)
i(e
e 1
2).
第十五页，共19页。
15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具.
柯西积分公式:
f (z0 )
1 2i
f (z) dz. C z z0
第十六页，共19页。
16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推 广到无界区域中?
复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用
d z 当 n0 时 , 2 i c z z 0
当 n 0 时 dz i 2 c (z z0)n1 rn 0 [cos(n) isin(n)]d 0
结论：与积分路线的圆周中心及半径无关．
cos z d z 例 计算积分 ，其中 C 是绕 i 一周的围线 . C ( z i)3
的方程为
i dz i i2 d 2 re d n 1 n 1i ( n 1 ) n0 in c 0 ( z z ) r e r e 0
所以：
cos z dz ，其中 C 是绕 i 一周的围线. 例 计算积分 3 C ( z i)
k 1
f ( k ) z k
0
x
图 3 .1
cos z 例 计算积分 3 dz ，其中 C 是绕 i 一周的围线. C ( z i)
f() zd z ( u i v ) ( d x i d y ) ux d v d y i (d vx uy d )
说明： (1) 当 f ( z ) 是连续函数，且L是 光滑曲线时，积分L f ( z )d z (2)
C
n
C
n
) d z ) d z , f(z f(z
C k 1 C k
k 1 n
k
C3
C1
C2
D 其中 C 及 C 均取正方向 ; k
这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!
柯西积分公式
有界区域的单连通柯西积分公式
定理 （柯西积分公式） 如果 f ( z ) 在有界
区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭
C
Re( z )dz Re( z )dz Re( z )dz
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积 分
f (z)
1 2πi
C
f
( )
z
d
,
(z D).
解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式
第 一、柯西积分公式
三 章
注意 柯西积分公式中的区域 D 可以
复
P67 推论
是多连域。比如对于二连域 D,
变1 函
f
(z0
)
1 2π
2π 0
f (z0 R ei )dθ.
数 的 证明 由柯西积分公式有
y
z
R
C
z0
积 分
f
(z0
)
1 2πi
f (z) dz
|zz0 |R z z0
x
1
2πi
2π 0
f (z0 R ei R ei
) R ei i dθ
1
2π
2π 0
f (z0 R ei )dθ.
13
§3.3 柯西积分公式
第 三、最大模原理
三 章
定理 (最大模原理) 如果函数 f (z) 在 D 内解析，且不为常数，
复 变 函
P68 定理
则在 D 内 | f (z)| 没有最大值。
3.8
证明 (略)
d
z0 G
数 理解 如图，函数 f (z) 在解析区域 的
d
z0
G d
积
D 内任意一点 z0 的函数值是
三
章
设某时间段内的温度函数为 T T (t) , a t b ,
复
将 [a , b] n 等份，等分点为 t0 a , t1, t2 , , tn b ,
变 函 数
平均气温
T~
1 n
n
T(tk ).
k0
T (t )
的 积 分
记 t b a , n
即
1 t , n ba
平均气温
T~ lim n
变
2
其边界为
C
C1
C
2
，则
函 数 的
f (z0 )
1 2πi
f (z) dz C z z0
z
D
C2
C1
z0
积 分
1 f (z)
1 f (z)
2πi
dz
C1 z z0
2πi
C2
dz , z z0
(z0 D).
应用
反过来计算积分
C
f (z) z z0
dz
2πi
f
(z0
)
.
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。
z0
积
分
(2) I cos z dz
C2 z
(函数 cos z 在 | z 2| 1上解析) z
(柯西积分定理)
0.
6
§3.3 柯西积分公式
第
三
例
计算 I
C
2z 1 z2 z
dz ,
其中 C 如图所示。
章 复
解
令 f (z)
2z 1 z2 z ,
则 f (z) 2z 1 , z(z 1)
z 1 z0
z z1
7
§3.3 柯西积分公式
第 三 例1．计算下列积分(p67修) 章
复 变 函
(1) 1
2 i
sin z dz,
z |z|4
(2)
12 ( )dz. z 4 z 1 z 3
数
的 积 分
解： (1) 1
2 i
sin zdz z 4 z
sin z |z0 0.
8
§3.3 柯西积分公式
dz |z3| 0.5
z
z
(z 3)(z i) dz
（z 3）(z i) dz
z3
|z-3| 0.5
z3
的
积
z
-z
-z
分 2πi 9 z2 zi 2πi (z 3)(z i) z3 2πi (z 3)(z i) z3
3 πi 1 55
11
§3.3 柯西积分公式
第 • 例2．计算下列积分
三
dz
C
z(z2
, 1)
其中C：z i 3的正向. 2
章
解：因为函数
1 z(z2 1)
在C内有两个奇点z
0，及z
i，
复 变
所以分别以z
0及z
i为圆心，以
1 4
为半径作圆周C1及C2，
函 由复合闭路定理，得：
数
的 积
dz
dz
dz
C z(z2 1) C1 z(z2 1) C2 z(z2 1)
分
1
1
(z2 1) dz z(z i) dz
C1
z
C2 (z i)
2
if1 (0)
2
if2
(i)
2
i
2
i(
1) 2
i.
12
§3.3 柯西积分公式
第 二、平均值公式
(连续函数的平均值)
三 章
定理 (平均值公式) 如果函数 f (z) 在 | z z0 | R 内解析，
复
P67 推论
在 | z z0 | R 上连续，则有
§3.3 柯西积分公式
第 一、柯西积分公式
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，
D
z
复
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
d z0 G
变
函
数
的
证明
| 右边 左边 |
1
| f (z) f (z0 )| ds ,
积 (思路)
2π Γ | z z0 |
分
1 2π d
2πδ ,
(当d 充分小时)
即只要 d 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，
根据闭路变形原理，该差值与 d 无关，故等式成立。
3
§3.3 柯西积分公式
第 一、柯西积分公式
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，
D
z
复
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
d z0 G
变
函
数
的 意义 将 z0 换成 z，积分变量 z 换成 ，则上式变为
5
§3.3 柯西积分公式
第 三
例
计算 I C
cos z dz| z| 1; (2) C2 : | z 2| 1.
C1
C2
0 12
复
变 解 (1) I cos z dz
函
C1 z
在 | z | 1 上解析
数 的
(柯西积分公式) 2πi cos z 2πi .
数 的
P70 推论2
在 D 的边界上必能达到最大值。
积
分
15
§3.3 柯西积分公式
第
三 章
P70 例3.11
复 证 由最大模原理及其推论可知，| f (z)| 在 | z | r 上的最大值
变 函
必在 | z | r 上取得，即
数
M(r) max | f (z)| max | f (z)|.
变 函 数
令 C1：| z |
1, 3
C2：| z 1|
1, 3
的 积 分
则 I f (z)dz f (z)dz (复合闭路定理)
C1
C2
(2z 1)
(2z 1)
z 1 dz
z dz
C1
z
C2 z 1
C
C1 C2 01 2
(柯西积分公式) 2πi 2z 1 2πi 2z 1 4πi .
D
z0 G
分
以该点为圆心的圆周上所有
点的函数值的平均值， 因此，| f (z0 )| 不可能达到最大，
除非 f (z) 为常数。
14
§3.3 柯西积分公式
第 三、最大模原理
三 章
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
复
P70 推论1
则此函数必恒为常数。
变 函 推论 2 若 f (z) 在有界区域 D 内解析，在 D 上连续，则 | f (z)|
§3.3 柯西积分公式
第 三
§3.3
柯西积分公式
章 一、柯西积分公式
复 变
二、平均值公式
函 数
三、最大模原理
的
积
分
1
§3.3 柯西积分公式
第 一、柯西积分公式
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，
D
z
复
P66 定理
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
变 3.7
d z0 G
函
数
的 证明 如图，以 z0 为圆心，d 为半径作圆 G，则
1 n
n
T(tk )
k0
a
b
t0 tk tk1 tn t
1 n
lim
t 0
ba
T(tk )t
k0
1 ba
b
T(t)dt .
a
(返回)
18
积 (思路) 分
(跳过?)
左边
f (z0 )
1 2πi
f (z0 ) dz , Γ z z0
右边 1
f (z) dz 1
f (z) dz ,
2πi C z z0
2πi Γ z z0
| 右边 左边 | 1 | f (z) f (z0 )| ds , 2π Γ | z z0 | 2