(新课程)高中数学《2.2.2反证法》教案 新人教A版选修22
人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 反证法》
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计姓名：赵钊学校：西安市铁一中学区县：碑林区：地址：友谊东路12021邮编：710054《反证法》教学设计陕西省西安市铁一中学赵钊第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置1知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
2过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
3情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
《2.2.2反证法》课件3-优质公开课-人教A版选修2-2精品
自 1.不成立 矛盾 原命题成立 我 校 2.已知条件、假设、定义、定理、事实 对
名师讲解 1. 反证法的理论基础 反证法的证明过程可概括为“否定结论，推出矛盾”，即 假设结论不成立，利用已知及假设经过正确推理，导致矛 盾．矛盾的出现，说明假设不成立，从而原命题成立，
例如要证明命题“若p，则q”，它的否定为“若p，则綈q”， 因为两个命题真假性相反，只要判定“若p，则綈q”为假，则 可肯定“若p，则q”为真．
2否定性的问题常用反证法，结论中以“至多”，“至 少”形式出现，也常用反证法.
随堂训练
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条
件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、
定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．两个都是非负数 D．至少有一个是正数
2. 反证法的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用正确的推理，推出矛盾的结果； (4)判定出现矛盾的原因是因为假设不成立，从而原命题 成立．
3. 宜用反证法的题型
(1) 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接证明较困
难．
(2) 如果直接从正面证明，需要分多种情况讨论，而从反
面证明只有一种或很少几种情形．
(3)
直观判断显然成立的命题，否定性命题，含“至
多”，“至少”等字眼的存在性问题宜用反证法．
4．常用正面词语与其否定形式 用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
高中数学 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修2-2
2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解反证法是间接证明的一种基本方法；2、理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题。
一、主要知识：1、反证法： 。
2、反证法常见矛盾类型： 。
二、典例分析：〖例1〗：〖例2〗：已知函数()()201xx f x a a x -=+>-，请用反证法证明：方程()0f x =没有负实数根。
〖例3〗：已知,0x y >，且2x y +>，求证：11,x y y x++中至少有一个小于2。
〖例4〗：设0,,2a b c <<，求证：(2),(2),(2)a c b a c b ---不可能同时大于1。
三、课后作业：1、用反证法证明命题“三角形内角中至少有一个大于60”时，反设正确的是（ ）A 、假设三个内角都不大于60 B 、假设三个内角都大于60C 、假设三个内角至多有一个大于60 D 、假设三个内角至多有两个大于602、设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a +++（ ） A 、都大于2 B 、至少有一个大于2 C 、至少有一个不大于2 D 、至少有一个不小于23、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20ax bx c ++=有有理根，那么,,a b c 中存在偶数”时，否定结论应为（ ）A 、,,a b c 都是偶数B 、,,a b c 都不是偶数C 、,,a b c 中至多一个是D 、,,a b c 中至多有两个偶数 4、已知110,1x x >≠且()()21231,2,31n n n n x x x n x ++==+。
试证：数列{}n x 或者对任意正整数都满足1n n x x +<，或者对任意正整数都满足1n n x x +>。
当此题用反证法否定结论时，应为（ ）A 、对任意正整数n ，有1n n x x +=B 、存在正整数n ，使1n n x x +=C 、存在正整数n ，使1n n x x -≥且1n n x x +≥D 、存在正整数n ，()()110n n n n x x x x -+--≥5、两条直线,l m 都在平面α内且都不在β内。
人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法 教学设计
反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。
过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。
情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。
学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。
【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。
合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。
【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。
注：反证法是最常见的间接证明法。
反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。
人教A选修二第2章2.2.2
课堂互动讲练
考点突破 用反证法证明否定性命题 结论中含有“不 、 不是 不是”、 不可能 不可能”、 不存在 不存在” 结论中含有 不”、“不是 、“不可能 、“不存在 等词语的命题，此类命题的反面比较具体， 等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于 应用反证法． 应用反证法．
x－2 － 例1 已知 f(x)＝a ＋ (a>1)，证明 ＝ ， x＋1 ＋
2
用反证法证明唯一性问题 结论以“有且只有一个 、“只有一个 、“唯一存 结论以 有且只有一个”、 只有一个”、 唯一存 有且只有一个 只有一个 等形式出现的命题， 在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出 等形式出现的命题 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 例3 已知：一点 和平面 已知：一点A和平面 和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面 垂直． 只能有一条直线和平面α垂直 求证：经过点 只能有一条直线和平面 垂直．
在平面β内经过点 有两条直线都和 垂直， 在平面 内经过点A有两条直线都和 垂直，这 内经过点 有两条直线都和BC垂直 与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾． 一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面 的一条垂线． 只能有平面α的一条垂线 综上，经过一点 只能有平面 的一条垂线．
(2)如图 ，点A在平面 外，假设经过点 至少有 如图2， 在平面α外 假设经过点A至少有 如图 在平面 平面α的两条垂线 的两条垂线AB和 为垂足)， 平面 的两条垂线 和AC(B、C为垂足 ，那么 、 为垂足 AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面 ， 是两条相交直线， 、 是两条相交直线 它们确定一个平面β， 平面β和平面 相交于直线BC，因为AB⊥平面α， 和平面α相交于直线 平面 和平面 相交于直线 ，因为 ⊥平面 ， AC⊥平面 ，BC⊂α，所以 ⊥BC，AC⊥BC. ⊥平面α， ⊂ ，所以AB⊥ ， ⊥ 图2
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案
2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。
高中数学选修2-2优秀教案 §2.2.2 反证法
2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》导学案 新人教A版选修22
学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.复习1：直接证明的两种方法: 和 ;复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题例1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.动手试试练1. 如果12x >,那么2210x x +-≠.练2. ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.三、总结提升学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”. 学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.A ．,,a b c 均不为0B ．,,a b c 中至多有一个为0C ．,,a b c 中至少有一个为0D ．,,a b c 中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x ++中至少有一个小于2.2. .。
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.2反证法》课件
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星页期一规：点范十训九分练。
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴q22q－－ppr－＝r0＝，0， ∴p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r 矛盾．(10 分) 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(12 分)
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课堂讲练互第动五页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
肯定条件p， 否定结论q
― 推―理→
导致逻 辑矛盾
矛―盾―→律
“若p则綈q”为假
→ “若p则q”为真
课前探究学习
课堂讲练互第动六页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
2．反证法证明数学命题的一般步骤 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 (归谬)； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不 真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真． 第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已 知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛 盾等各种情况．
a1＝ 2＋1，
3a1＋3d＝9＋3
2，
(4 分)
∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．(6 分)
(2)证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列， 则 b2q＝bpbr，(8 分)
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
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课堂讲练互第动七页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
2.2.反证法-人教A版选修2-2教案
2.2 反证法 - 人教A版选修2-2教案教学目标1.了解反证法的概念和基本原理；2.学会如何运用反证法证明命题；3.掌握反证法在数学、物理、哲学等领域的应用。
教学重难点重点：理解反证法的概念和基本原理。
难点：熟练运用反证法证明命题。
教学过程导入（5分钟）通过导入一些生活中的例子或者一些数学公式，引出反证法的概念和作用，并与学生进行互动，鼓励学生积极参与。
概念解释（15分钟）1.以“证明1=2”为例，讲解真正意义上的反证法；2.解释什么是自相矛盾，举例说明；3.举例说明反证法的基本思想和方法。
练习应用（25分钟）1.从几何中给出一个定理或命题，要求学生应用反证法来证明它；2.从代数中给出一个公式或方程，要求学生应用反证法解决它；3.通过其他领域的实例，让学生进一步理解和熟练应用反证法。
总结提高（10分钟）1.教师总结反证法的基本原理和应用范围；2.回顾课堂内容，让学生在思考中进一步掌握反证法的应用场景和技巧；3.鼓励学生理解和运用反证法的重要性，以及在日常生活和学习中如何灵活运用。
教学评估1.检测学生对反证法的理解和应用情况，以小组形式讨论、出题解答等方式进行；2.通过教学调研、课堂练习、作业考核等方式，综合评估学生对反证法的掌握程度，并针对性地布置练习和加强巩固。
讲师寄语反证法是数学证明中常用的一种方法，但其应用不只限于数学领域。
同学们可以多思考、多实践，在生活中运用反证法的思想和方法，不断拓展自己的思维和创新能力。
希望同学们在今后的学习和工作中，都能够善于运用反证法，不断追求真理和发现新的可能性。
高中数学-2.2.2 反证法
综上所述，原题的结论正确。
例6、设a3+b3=2，求证a+b≤2
证明：假设a+b>2，则有a>2－b，从而 a3>8－12b+6b2－b3， a3+b3>6b2－12b+8=6(b－1)2+2.
因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题 设条件a3+b3=2矛盾， 所以，原不等式a+b≤2成立。
例4．证明1， 3 ，2不能为同一等差数列 的三项。 证明：假设1， 3 ，2是某一等差数列中的 三项，设这一等差数列的公差为d，则
1= 3 －md，2= 3 －nd，其中m，n为;2m=(n+m) 3 , 因为n+2m为有理数，(m+n) 3 为无理数,
人教新课标A版 数学选修2-2
乐
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思考 1？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说
C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定
是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真.
这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立， 1， 3 ，2不能为同一等差数列中的三项.
例5．平面上有四个点，没有三点共线，证 明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐 角三角形。
证明：假设以每三点为顶点的四个三角形 都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C， D，
考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外 两种情况。
例2．证明 2 不是有理数。
证明：假定 2 是有理数，则可设 其中p，q为互质的正整数，
2.2.2反证法
人教A版选修2—2 精讲细练2.2.2 反证法一、知识精讲1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理等矛盾．【注】：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确。
3.反证法步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;②归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾③结论——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.二、典例细练【题型一】：“反设”的选取例题1：否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【答案】 B【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.变式训练1：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】 B【解析】“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.变式训练2：用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】 B【解析】“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数．变式训练3：命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b”的结论的否定应该是( ) A ．a<b B ．a≤b C ．a ＝b D ．a≥b 【答案】 B【解析】 “a>b”的否定应为“a ＝b 或a<b”，即a≤b.故应选B. 【题型二】：用反证法证明否定性命题例题2：已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且a 0x ＝－x 0－2x 0＋1，由0<a 0x <1即0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根． 【点评】反证法步骤——反设⇒归谬⇒结论。
(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
2．关于反证法证明步骤的教学 建议教师向学生强调指出，反证法作为一种特殊的间接 证明方法，有其独特的格式要求，它不同于一般的举反例或 者俗语中的“抬杠”，在使用时一定要严格按照其固有模式 进行表述． 3．关于反证法的应用 教学中，要明确教给学生，当一个问题从正面较难入手 时，可以考虑从反面入手，即用反证法解题，强化学生的应 用意识．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得2<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根.
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
2 为 p，q，∴a2 ＝ a a ， b n n－1 n＋1 n＝bn－1bn＋1.
代入①并整理得： p q p q 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn( ＋ )，即 2＝ ＋ .② q p q p p q 当 p，q 异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾； q p p q 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以 ＋ ＞2，与②相矛盾． q p 故数列{cn}不是等比数列．
公理、定理
、事实矛盾等.
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】
－1
假设数列{cn}为等比数列，从而 C2 n＝Cn
· Cn＋1 推出矛盾，证明原命题成立．
人教课标版高中数学选修2-2《反证法》教学设计
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P89-91，思考什么是反证法？反证法的逻辑依据是什么？2．预习自测1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可作为条件的是（）①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论A.①②B.②③C.①②③D.①②④解：C2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（）A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角中都不是钝角或至少有两个钝角解：B（二）课堂设计1．知识回顾（1）综合法的逻辑是由因索果．（2）分析法的逻辑是执果索因．2．问题探究问题探究 反证法●活动一 结合实例，体会反证思想实例体会：桌面上有3枚正面向上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面向上.你能解释这种现象吗？问题：什么是反证法？反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． ●活动二 运用反证思想，证明问题例1：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b ). 又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．点拨：反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的逻辑原理，通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以结论成立”的结果，是一种间接证明的方法.例2：求证：2、3、5不可能成等差数列.【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】详解：假设2、3、5成等差数列，则23=2+5.所以22)52()32(+=，化简得1025=，22)102(5=，即4025=，这是不可能的.所以假设不成立，从而原命题成立.点拨：反证法的难点在于如何由结论不成立去推导矛盾.这个矛盾常常是以下的三种情形：①与条件发生矛盾；②与已知的定义、公理、定理、事实等发生矛盾；③自相矛盾.3．课堂总结【知识梳理】反证法是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止；(3)断言假设不成立；(4)肯定原命题的结论成立.【重难点突破】反证法主要适用于以下两种情形①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语是——不是 有——没有 等——不等 成立——不成立都是——不都是，即至少有一个不是 都有——不都有，即至少有一个没有 都不是——部分或全部是，即至少有一个是 唯一——至少有两个 至少有一个有（是）——全部没有（不是） 至少有一个不——全部都4．随堂检测1．用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b =0没有实根B ．方程x 3+ax +b =0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b =0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b =0恰好有两个实根【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：A ．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．3. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．4. 下列命题不适合用反证法证明的是（ ）A ．同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交B ．两个不相等的角不是对顶角C ．平行四边形的对角线互相平分D ．已知R y x ∈,，且2>+y x ，求证y x ,中至少有一个大于1【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：C ．5．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 【知识点：反证法；数学思想：转换与化归】解：B ．（三）课后作业基础型 自主突破1. 判断 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()【知识点：直接证明与间接证明】解：错；错；错；错；对；对.2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法【知识点：直接证明与间接证明】解：B3．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为() A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【知识点：直接证明与间接证明】解：B4．否定：“自然数a，b，c中恰有两个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是偶数或至少有两个奇数【知识点：反证法】解：D5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点：反证法】解：B6．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除【知识点：反证法】解：B能力型师生共研7．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数【知识点：反证法】解：B8.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．9. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴假设不成立，即数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．10. 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0,0)，B (0,1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明 假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 2＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[8分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．[10分] 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．探究型 多维突破11. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c . 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a >c .12．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)，数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1. 又a 1＝12>0.a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －1 1－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)证明 用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s . 由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．自助餐1．实数a 、b 、c 不全为零等价于( )A ．a 、b 、c 均不为零B ．a 、b 、c 中至多有一个为零C ．a 、b 、c 至少有一个为零D ．a 、b 、c 至少有一个不为零【知识点：反证法】解：D2．设a 、b 、c 均大于0，则三个数：b a 1+，c b 1+，ac 1+的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2【知识点：反证法】解：D.3．(1)已知233=+q p ，求证2≤+q p .用反证法证明时，可假设2≥+q p .(2)已知R b a ∈,，1||||<+b a ，求证方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 满足1||1≥x .以下结论正确的是( )A ．（1）与（2）的假设都错误B ．（1）与（2）的假设都正确C ．（1）的假设正确，（2）的假设错误D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确【知识点：反证法】解：D （1）的假设应为2>+q p .4．设a 、b 、c 是正数，c b a P -+=，a c b Q -+=，b a c R -+=，则“0>PQR ”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：反证法】解：C ．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b【知识点：反证法】解：B “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【知识点：反证法】解：C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．【知识点：反证法】解：没有一个是三角形或四边形或五边形.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外10．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14. 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得：(1－a )b (1－b )c (1－c )a >143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：(1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题： f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a ) ⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程.根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用已知为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用已知为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程.根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证.根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳.。
高中数学 2.2.2反证法学案 新人教A版选修22
2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A) A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解 B．有两个解C．至少有两个解 D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R P、Q、R都大于0.故选C.＋矛盾，故7．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使a n＝b n.答案：08．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或x<y”，所以②正确；“a>b”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a ＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. 所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1） ＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾，故f (x )＝0没有负实根．。
高中数学 2.2.2反证法教案 新人教A版选修2-2
当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.
(2)证明过程中的问题.
建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性 地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.
备选习题
1.
如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.
证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.
∵直线SO在平面SOB内,
∴AC⊥SO.
∵SO⊥底面 圆O,
∴SO⊥AB.
又A B∩AC=A,
∴SO⊥平面ABC,
∴ 平面ABC∥底面圆O.
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
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1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
3. 教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证：2不是有理数
例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）
例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a
证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而
.2)1(68126,
61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a
因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不
等式2≤+b a 成立。
例4、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21
. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21
，则 .2)3()2(2)1(<++f f f
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1()
3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 -
c)a,不可能同时大于41
证：设(1 - a)b >41, (1 - b)c >41, (1 - c)a >41
,
则三式相乘：ab < (1 - a)b •(1 - b)c •(1 - c)a <641
①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
41
2)1()1(02
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41
)1(≤-b b , 41
)1(≤-c c
以上三式相乘： (1 - a)a •(1 - b)b •(1 - c)c ≤641
与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页 4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。