拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方
程
分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。

它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。

在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。

因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。

本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。

一、分数阶微分方程简介
分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。

分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。

分数阶微分方程的形式一般为：
$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\
y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\
\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$
其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。

$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。

一般情况下，分数阶微分方程无法
通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。

下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。

二、拉普拉斯变换方法简介
拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。

它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\
s=x+jy\in R $$
其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。

当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。

通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。

下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。

三、拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程的步骤
步骤1：将分数阶导数利用拉普拉斯变换表进行变换。

根据定义，拉普拉斯变换表中有如下公式：
$$ \mathscr{L}[t^{\mu}]=\frac{\Gamma(\mu+1)}{s^ {\mu+1}} $$
其中，$\mu$为正实数，$\Gamma(\mu+1)$为欧拉
$\Gamma$函数。

因此，分数阶导数
$\frac{\partial^{\alpha}y(t)}{\partial
t^{\alpha}}$的拉普拉斯变换可以表示为：
$$ \mathscr{L}[\frac{\partial^{\alpha}y(t)}{\pa rtial t^{\alpha}}]=s^{\alpha}\mathscr{L}[y(t)]-
s^{\alpha-1}y(0^-)-s^{\alpha-2}\frac{\partial
y(t)}{\partial t}|_{t=0^-}-\cdots $$
步骤2：代入已知函数进行变换。

根据分数阶微分方程的定义，已知方程中的$f(t)$和初始条件可以在$t=0$时对$y(t)$的$n$阶导数$D^ny(t)|_{t=0}=y_n$进行确定。

因此，我们可以将$y(t)$的拉普拉斯变换表示为：
$$ Y(s)=\frac{y_0+s^1y_1+\cdots+s^{n-1}y_{n-1}}{s^{\alpha}+\sum_{i=0}^{n-1}s^i a_{n-i-1}} $$其中，$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为已知系数。

步骤3：通过拉普拉斯逆变换求得解函数。

利用拉普拉斯逆变换，可以将$Y(s)$逆变换为$y(t)$。

已知逆变换公式如下：
$$ \mathscr{L}^{-1}[Y(s)]=\frac{1}{2\pi
j}\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{\gamma_1-
iT}^{\gamma_1+iT}e^{st}Y(s)ds\ \ (t>0) $$
其中，$\gamma_1$为任意大于实轴上所有奇点的实数。

逆变换公式是复杂的，一般情况下需要借助查表来求得具体的解析形式。

四、实例展示：拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程的应用
若已知分数阶微分方程为
$D^{\alpha}y(t)=t^{\mu}$，其中，
$\alpha,\mu\in(0,1)$。

此时，我们可以采用拉普拉斯变换法来解决该问题。

首先，将方程进行拉普拉斯变换：
$$ s^{\alpha}\mathscr{L}[y(t)]-s^{\alpha-
1}y(0^-)=\frac{\Gamma(\mu+1)}{s^{\mu+1}} $$设$y(0^-)=0$，且代入已知函数
$\mathscr{L}[t^{\mu}]=\frac{\Gamma(\mu+1)}{s^{\mu+1 }}$，有：
$$ \mathscr{L}[y(t)]=\frac{t^{\mu}}{s^{1-
\alpha}\Gamma(\mu+1)} $$
然后求取逆变换，根据查表法，有：
$$ y(t)=\frac{t^{\alpha-
1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^tu^{-
(\alpha+1)}\int_0^up(u)x(u)du\ dt $$
其中，$x(t)=t^{\mu}$，$p(t)=\frac{1}{\Gamma(-\alpha)(t-x)^{\alpha+1}}$。

到此，我们便成功地将分数阶微分方程通过拉普拉斯变换方法求解出来了。

五、小结
拉普拉斯变换方法是解决分数阶微分方程的常用方法之一。

通过将分数阶导数转化为函数变换，可以简化微分和积分的计算，进而得出最终的解析式。

虽然该方法也有其缺陷，例如选取拉普拉斯变换的复平面路径，但在实践中，根据问题的不同，我们可以选用不同的路径来变换，尽可能避免这些问题对计算结果的影响。

下一步，我们可以进一步学习分数阶微分方程的其他解法，以提高解题的灵活性和精度。