图论讲义-图的基本概念

有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
若边e对应的无序点对为u,v，则记e=(u,v)或<u,v>，
其中点u与v均称为边e的端点。 若e=<u,v>,则<u,v>表示从u到v的一条弧（Arc），且 称u为弧尾（Tail）或初点（Initial node），称v为弧头 （Head）或终点（Terminal node），此时的图称为有 向图（Digraph）。
v1
5
v4
v1
v4
e1 v2
e2 e3
e4
v3
v2
v3
上两例中，同一条边的两个端点称为相邻；若两条边有一个共同的端点，则这
两条边也称为相邻；若点u是边e的端点，则称u与e相关联。称两个端点相同的 边为环，不与任何边相关联的点称为孤立点。若图中n条不同的边e1,e2,…,en, （n≥2）中的每一条边的两个端点均为u和v，则这些边称为n重边，简称为重边。 不是重边的边称为单边。图中顶点的个数称为该图的阶。 例3、对例1所示的图，点v1与v2相邻，v1与v3不相邻；边e1与e2相邻，e1与e4 不相邻；点v1与边e1相关联。边e5为环。边e2与e3为二重边。这是一个4阶图。 例2中v4是孤立点。
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的 通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。 由定义可看出,G中v1v2v5v1为 长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为 长为6的简单回路。
对于有向图G，如果略去G中各个有向边的方向后所得
无向图G’是连通图，则称G是连通图。 若连通图G中任意两顶点至少一个可达另一个，则称G 是单向连通图。 若连通图G中任何一对顶点都可相互到达的，即两个顶 点之间存在通路则称G是强连通图。有向图中极大强连 通子图称作有向图的强连通分量。 强连通图一定是单向连通图。 左图中是一个连通 V1 V4 V1 V4 图，不是强连通图， 具有两个强连通分 量。 V V V V
证明
构成一个图，以面为顶点，当且仅当两面有公共棱时， 则在G的相应两顶点连一条边，得到图G。依题意，图的顶点个 d (V ) 数为奇数，而且每个顶点的度数d(v)也为奇数，从而 v V 也是奇数，与推论相违背，故这样的多面体不存在。
五、顶点的度
定理2
对于有向图G=(V,E)，V={v1,v2,...,vn}， |E|=m，则
图中，H1与H2均为G的子图，其中H2是G的生成子图， 而H1则不是。
定理：对于图G=(V,E)含有n个点k条边，则图G含有n 个点的生成子图个数为2k。
四、补图与图的同构
如果G=(V,E)是n阶的简单图，以V为顶点集，
以所有能使G成为完全图Kn的添加边组成的集合 为边集的图，称为G相对于完全图Kn的补图，简 称G的补图。记做 G
在一个有向图中，若存在一个顶点v，从该顶点有路径可以到达 图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v称作图的根。
七、连通图和连通分量、强连通图和 强连通分量
在无向图G中，若从顶点vi到顶点vj有路径(当然从vj到vi也
一定有路径)，则称vi和vj是连通的。 在一个有向图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则称vi到vj 是可达的。 定义 给定图G=(V,E)，对u,v∈V，若u与v间存在通路， 则称u与v间的最短通路的长为从u到v的距离，记为d(u,v) 或d<u,v>；若u与v间不存在通路，则称从u到v的距离为无 穷。记为d<u,v>=∞或d(u,v)=∞。 d(u,v)或d<u,v>具有性质： （1）d(u,v)≥0； （2）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （3）d(u,v)=d(v,u)；对称性 对于无向图G任意两点间均存在通路的图称为连通图，否则 称为非连通图。
V1
V4
V3
Id (V ) Od (V ) m
i 1 i i 1 i
n
n
V2
V5
设V={v1,v2,...,vn}为图G的顶点集，称
(d(v1),d(v2),…d(vn))为顶点序列。例的顶点序列为 （5,4,3,2,0）。
五、顶点的度
度序列是指按照结点度数排列的n元非递增序列。 判断度序列是否构成简单图的算法：
二、完全图
无边且仅有一个点的图称为平凡图。（|V|=1,|E|=0） 有重边的图称为多重图。 既无重边又无环的图称为简单图。 图K1是简单图，不是多重图。
K1
有很少条边或弧（如e<nlogn）的图称为稀疏图，反
之称为稠密图 有时图的边或弧具有与它相关的数，这种与图的边或 弧相关的数叫做权。这些权可表示从一个顶点到另一个 顶点的距离或耗费。这种带权的图称为网。
d (V ) 2m
i 1 i
n
五、顶点的度
推论：任何图（无向图或有向图）中，度为奇数的顶点个
数为偶数。
任给图G=(V,E)，设G有m条边，令 V1={v|v∈V，d(v)为奇数}；V2={v|v∈V，d(v)为 偶数}；显然，V1∪V2=V，V1∩V2=Φ。 偶数=偶数＋偶数；奇数=偶数＋奇数； 偶数=偶数×奇数（偶数）；奇数=奇数×奇数
到目前为止，判断两图同构 还只能从定义出发。判断过 程中不要将两图同构的必要 条件当成充分条件。
注意：在研究图的过程中，顶点的位置以及边的曲直长短 都是无关紧要的。而且也没有假定这些顶点和边都要在一 个平面上（正方体的顶点和棱也可构成图）。我们研究的 只是顶点的多少及这些边是连接那些顶点的。
五、顶点的度
证明
由握手定理2m
= d (V ) = d (V ) + d (V )
vV
2m为偶， d (V ) 也为偶（因其中每个d(v)为偶），从
而推知也为偶。而 偶数个。
v 2V
v1V
v 2V
式中
中的被加项的项数应为偶，这表明G中度为奇数的点有
v1V
d (V )
中每个d(v)均为奇，故和式
七、连通图和连通分量、强连通图和 强连通分量
如图G1所示的图为连通图，图G2所示的图为非
连通图。
G1
G2
七、连通图和连通分量、强连通图和 强连通分量
这些连通分支又称为连通分量。
1、连通分量是一个图。
2、连通分量是一个极大连通子图。
G1
G2
极大连通子图和最大连通子图区别：二者相关但不等价。 最大连通子图是指再也找不到比它更大的子图。 最大物体是指基数或者规模尽可能的大的物体。 极大物体是指在某些限制条件下尽可能大的物体。对于极大连通子图，

定义二：一个图G是由一个称为点集的非空集合
V(G) 和一个称为边集的集合E(G) 组成的有序对 (V(G)∩E(G)=Ф)，记为G=(V(G),E(G))，简记 为G=(V,E)。其中V中的元素称为点或顶点，E中 的元素称为边，并且E中的每个元素均与V中一对无 序点对相对应（点对中的点允许相同）。
若e=(u,v)，则表示u到v的一条边（Edge），此时的
图称为无向图(Undigraph)。
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
V1 V4
V1
V5 V2 V3 V2 V3
V4
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
例1、设V={v1,v2,v3,v4,}，E={e1,e2,e3,e4,e5}，满足e1=(v1,v2)，
G
G
四、补图与图的同构
设两个无向图G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>,如
果存在双射函数θ:V1→V2,使得对于任意的 e=(vi,vj)∈E1当且仅当e’=(θ(vi),θ(vj))∈E2, 并且e与e’的重数相同，则称G1与G2是同构的， 记做G1≌G2。
a e d c V2 V1 V4
二、完全图
任意两点均相连的简单图称为完全图
（Completed graph），n阶完全图记为Kn， 例如K2, K3, K4，K5分别为如图所示。
K2 K3
K4
对于无向图，e的取值范围是0到n(n-1)/2。有
n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。 对于有向图，e的取值范围是0到n(n-1).有 n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。 。
例11中g七连通图和连通分量强连通图和强连通分量对于有向图g如果略去g中各个有向边的方向后所得若连通图g中任意两顶点至少一个可达另一个则称g是单向连通图
图的基本概念
一、图的定义
定义一：由若干个不同顶点与连结点(Nodel Point)或顶点（Vertex）。 连接某些顶点对的线称为边（Edge）。
设v为无向图G的顶点，G中与v为端点的边的
条数（环计算两次）称为点v的度数，简称为点 v的度(Degree)，记为dG(v)，简记为d(v)。 设v为有向图G的顶点，以顶点v为头的弧的数 目称为v的入度(Indegree)，记为ID(v)。以v 为尾的弧的数目称为v的出度(Outdegree),记 为Od(v)。有向图顶点的度 d(v)=Id(v)+Od(v)；
e2=(v2,v3)，e3=(v2,v3)，e4=(v3,v4)，e5=(v4,v4),则G=(V,E)是一个图。图 中边集E的边也可直接由点对表示，而将E作为多重集（即允许E中有相同元素的 集合）。 例2、设V={v1,v2,v3,v4}，E={(v1,v2)，(v1,v2)，(v2,v3)}，则H=(V,E)是 一个图。 e
b
V5
V3
a=v1,b=v2,c=v3,d=v4,e=v5；并且E1与E2的边数 相同，所以两图同构。
四、补图与图的同构
如图，两图是不同构的。 虽然两图顶点个数相同， 边的条数相同，每个顶点 都有三条边相关联，但这 是图同构的必要条件，不 是充分条件；在右图中存 在3个彼此不相邻的顶点， 而在左图中找不到3个彼此 不相邻的顶点。所以要严 格的利用定义，将顶点的 关系也考虑进去。
五、顶点的度
例、证明在任意一次集会中和奇数个人握手的人的个数为偶数
个。 证明 将集会中的人作为点，若两个人握手则对应的点联线， 则得简单图G。这样G中点v的度对应于集会中与v握手的人的个 数。于是，问题转化为证明“任意图中度数为奇的点的个数为 偶数”，这正是推论的结论。 例、证明空间是否有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而 每个面有奇数条边？
三、子图与生成子图
假设有两个图G=(V,{E})和G’=(V’,{E’}),如果V’∈V且
E’∈E,则称G’为G的子图（Subgraph）。若G’是G的子图， 且V(G’)=V(G)，则称G’是G的生成子图。
V1
V5 V2 G V4 V2 H1 V4 V2 H2 V3 V1 V3 V1 V5 V4 V3
五、顶点的度
V1 V4 V2 V3
V5
d(v1)=5； d(v2)=4； d(v3)=3； d(v4)=0； d(v5)=2； 例中，G中各点的度数之 和等于14，恰好是边数7 的两倍。这一结论对所有 的图均成立。
五、顶点的度
定理1
（握手定理）对任意的有n个顶点m条边的无向 图或有向图G=(V,E)。有
即连通分量，我们找到的子图必须在保持连通的这一条件下进行。 一个连通图只有一个连通分量，就是它本身。 若H是图G的连通子图且H不能再扩充为G的任一连通子图，则称H为G 的连通分支。用ω(G)记图G的连通分支数。例11中G2有三个连通分量， 故ω(G)=3。易知，G1连通分支ω(G)=1。
七、连通图和连通分量、强连通图和 强连通分量
(1)先判断奇数的个数是否为偶数个，否则输出no (2)从序列s中删除第一个数k (3)如果s的第一个数后的k个数都大于1，则将k个数分 别都减去1，得到新序列s’，否则停止，输出no；若s’ 全是0得到’ok’ (4)将步骤3得到序列s’重新排序，得非递增序列s* (5)令s=s*转步骤2 由上述算法可知例7的度序列构不成简单图。
六、路与图的连通性
无向图G=(V,{E})中从顶点v到顶点v’的路径(Path)
是一个顶点序列(v=vi,0,vi,1,…vi,m,=v’)，其中(vi,j-1, vi,j)∈E，1≤j≤m。如果G是有向图，则路径也是有向 的，顶点序列应满足<vi,j-1,vi,j>∈E，1≤j≤m。 路径的长度是路径上的边或弧的数目。 不重复的通路称为简单通路；除起点与终点可相同外， 任意两点都不同的通路称为基本通路。基本通路简称道 路。显然基本通路必为简单通路。 我们称起点与终点相同的通路为回路或环(Cycle)。边 不重复的回路称为简单回路或简单环；起点与终点相同 的长为正的基本通路称为基本回路，也称为圈。