参数方程
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解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为
x 3 cos y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + 2
13 。
） 4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a) ( y b) r , 那么参数方程是什么呢 ?
2 2 2
观察2
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P ( x1 , y1 )平移得到的, 1 由平移公式, 有
3、填空题 : x 2 cos （2，-2） (1)参数方程 表示圆心为 y 2 sin 2 半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 2
y 22 1
(2)把圆方程 2 y 2 2 x 4 y 1 0化为参数方程为 x
x 1 2 cos y 2 2 sin
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos y 5 sin
(0≤ ＜2 )
5 5 3 , 2 2
x x1 a y y1 b
-5
5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
r
P ( x1 , y1 ) 1
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
第二讲
参 数 方 程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有 物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。 （2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
5 ，则点P的坐标是 ⑴如果圆上点P所对应的参数 3
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 , 2 2 , 则点Q对应 2 的参数 等于 3
x 2 cos 2.选择题：参数方程 ( 为参数)表示的曲线是 A y 2sin A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
解:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
显然当sin（ θ+ 小值，分别为
1 2 2
4
）=
1时，d取最大值，最 ，
2 2 1。
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
, 根据三角函数定义点P的横坐标x、 , 纵坐标y都是的函数,即 x r cos
P(x,y)
5
r
o ①
-5
p0
5
y r sin
确定的点P(x,y),都在圆O上.
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为 x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点P的坐标为( x, y ),圆半径为r , P0OP
x 3 cos y 2 sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）， （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + 2
13 。
） 4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
4 2 sin( ) 3 cos 2 sin 1 4 d 2 2
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
P
M
O
A x
x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
思考2 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a) ( y b) r , 那么参数方程是什么呢 ?
2 2 2
观察2
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P ( x1 , y1 )平移得到的, 1 由平移公式, 有
3、填空题 : x 2 cos （2，-2） (1)参数方程 表示圆心为 y 2 sin 2 半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 2
y 22 1
(2)把圆方程 2 y 2 2 x 4 y 1 0化为参数方程为 x
x 1 2 cos y 2 2 sin
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos y 3 sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos y 5 sin
(0≤ ＜2 )
5 5 3 , 2 2
x x1 a y y1 b
-5
5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
r
P ( x1 , y1 ) 1
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
第二讲
参 数 方 程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有 物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。 （2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
5 ，则点P的坐标是 ⑴如果圆上点P所对应的参数 3
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 , 2 2 , 则点Q对应 2 的参数 等于 3
x 2 cos 2.选择题：参数方程 ( 为参数)表示的曲线是 A y 2sin A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
解:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
显然当sin（ θ+ 小值，分别为
1 2 2
4
）=
1时，d取最大值，最 ，
2 2 1。
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
, 根据三角函数定义点P的横坐标x、 , 纵坐标y都是的函数,即 x r cos
P(x,y)
5
r
o ①
-5
p0
5
y r sin
确定的点P(x,y),都在圆O上.
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为 x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点P的坐标为( x, y ),圆半径为r , P0OP