苏教版(2019)高中数学必修第一册第3章 章末综合提升

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2分离参数法,先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关 函数得最值问题.
3数形结合法,利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函 数图象直观化.
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[跟进训练] 1．设y＝mx2－mx－6＋m， (1)若对于m∈[－2,2]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数x的取 值范围； (2)若对于x∈[1,3]，mx2－mx－6＋m<0恒成立，求实数m的取值 范围．
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(2)法一：要使m(x2－x＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m<x2－6x＋1在[1,3]上恒成立， 而当x∈[1,3]时， x2－6x＋1＝x－1262＋34≥9－63＋1＝67， 所以m<67， 因此m的取值范围是－∞，67．
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法二：①当m＝0时，y＝－6<0对x∈[1,3]恒成立，所以m＝0． ②当m≠0时y＝mx2－mx－6＋m的图象的对称轴为x＝12， 若m>0，则y＝mx2－mx－6＋m在[1,3]上y随x的增大而增大， 所以x＝3时，y的最大值为7m－6． 要使mx2－mx－6＋m<0对x∈[1,3]恒成立， 只需7m－6<0，
当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}； 当a<－1时，原不等式的解集为R．
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不等式的解法 1一元二次不等式的解法. ①将不等式化为ax2＋bx＋c>0a>0或ax2＋bx＋c<0a>0的形 式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的 判别式确定一元二次不等式的解集.
，显然
－2 －k，－52．
(2)当－k＝－52时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅．
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(3)当－52<－k，即k<52时，
不等式的解集为x－52<x<－k
．
x<－1， ∴不等式组的解集由－52<x<－k，
x>2， 或－52<x<－k 确定．
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∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k≤3， 故所求k的范围是－3≤k<2．
(2)当a>1时，y＝x＋1＋x＋a 1－1， x＋1＋x＋a 1≥2 a， 则当且仅当x＋1＝x＋a 1时取等号， 即x＝ a－1时取等号， 所以函数y＝x＋x＋a 1的最小值为2 a－1．
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基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论 依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.
1基本不等式通常用来求最值，一般用 a＋b≥2 aba>0，b>0
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[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0
恒成立⇔
m<0， Δ＝m2＋4m<0， 解得－4<m<0．
综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
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(2)令y＝mx2－mx－1， ①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需当x＝1时， y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得 m<61，∴0<m<16．
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(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式 ax2－2x＋a<0”．
[解] (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0， 故解集为{x|x>0}．
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(2)若a>0，Δ＝4－4a2． ①当Δ>0，即0<a<1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为x1＝ 1－ a1－a2，x2＝1＋ a1－a2， ∴原不等式的解集为
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2含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正 负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不 可少的.
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不等式恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0． (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取 值范围． [思路点拨] 先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成 立问题．
的整数解只有－
[思路点拨] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别 求解两个不等式，取交集判断．
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[解] 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2．
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－52，x2＝－k．
(1)当－
5 2
>－k，即k>
5 2
时，不等式的解集为
x－k<x<－52
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(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对
该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司
拟投入
1 6
(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费
用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a
至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与
解“定积求和，和最小”问题，用 ab≤
解“定和求积，积最大”
问题.
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2在实际运用中，经常涉及函数 fx＝x＋kxk>0，一定要注意适 用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、 配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成 立的验证.
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[跟进训练] 2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少 元？
总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
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[解] (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－ 25)×0．2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40． 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
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(2)依题意，x>25 时，不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋51x 有 解，等价于 x>25 时，a≥15x0＋16x＋15有解．
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[解] (1)把a＝2代入y＝x＋x＋a 1， 得y＝x＋x＋2 1＝(x＋1)＋x＋2 1－1， ∵x∈[0，＋∞)， ∴x＋1>0，x＋2 1>0， ∴x＋1＋x＋2 1≥2 2，当且仅当x＋1＝x＋2 1， 即x＝ 2－1时等号成立，此时函数y＝x＋x＋a 1的最小值为2 2－1．
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所以0<m<76． 若m<0，则y＝mx2－mx－6＋m在[1,3]上随x的增大而减小， 所以x＝1时，y的最大值为m－6． 要使mx2－mx－6＋m<0对x∈[1,3]恒成立， 只需m<6， 所以m<0． 综上可知m的取值范围是－∞，67．
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利用基本不等式求最值
【例3】 设函数y＝x＋x＋a 1，x∈[0，＋∞)． (1)当a＝2时，求函数y＝x＋x＋a 1的最小值； (2)若a>1且a为正常数，求函数y＝x＋x＋a 1的最小值．
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
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③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R．
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；
当0<a<1时，原不等式的解集为
x 1－
1－a2 1＋ a <x<
1－a2 a
；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1<a<0时，原不等式的解集为
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∵15x0＋16x≥2 15x0·16x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2． 因此当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能 使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为 每件 30 元．
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章末 综合 测评
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[解] (1)依题意，设y＝(x2－x＋1)m－6， 则y＝(x2－x＋1)m－6为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x ＋1＝x－212＋34>0， 所以y＝(x2－x＋1)m－6在[－2,2]上y随m的增大而增大， 所以m＝2时，y的最大值为2(x2－x＋1)－6， 所以欲使mx2－mx－6＋m <0恒成立， 需2(x2－x＋1)－6<0， 解得－1<x<2．
第3章 不等式
章末综合提升
2
巩固 层知 识整 合
3
4
提升 层题 型探 究
5
一元二次不等式的解法
[探究问题] 1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且 α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ [提示] 借助函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为 {x|x<α或x>β}．
x 1－
1－a2 1＋ a <x<
1－a2 a
．
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为∅．
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为∅．
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(3)若a<0，Δ＝4－4a2．
①当Δ>0，即－1<a<0时，原不等式的解集为
x x>1－
a1－a2或x<1＋
1－a2 a
．
②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
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③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝
1 2
，若
x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝1时，函
数y<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是－∞，16．
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(3)令z＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需当m＝－2
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2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ [提示] 解集为{x|α<x<β}． 3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则 ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ [提示] 当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集 为∅．
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x2－x－2>0， 【例1】 若不等式组 2x2＋2k＋5x＋5k<0 2，求k的取值范围．
时，函数z＝－2(x2－x)－1<0；当m＝2时，函数z＝2(x2－x)－1<0；
解得1－2
3 1＋ <x&l1－2
3，1＋2
3．
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对于不等式恒成立求参数范围的问题常见的类型及解法有以下 几种：
1变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知 道取值范围的变量要看做主元.