控制系统时域与频域性能指标的联系

控制系统时域与频域性能指标的联系
经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法.时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型,以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。

这种方法虽然直观,分析时域性能十分有用,但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数,另外系统的阶次不能很高。

如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。

频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法,而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。

此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时,分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。

在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法,达到预期的实验目的。

系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义.
一、系统的时域性能指标
延迟时间t d
阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50％所需的时间
上升时间
t
r
阶跃响应从终值的10%上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系
统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间
峰值时间t
p
阶跃响应越过终值h (∞）达到第一个峰值所需的时间
调节时间
t
s
阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5％误差带内所需的最短时间
超调量%σ 峰值h （
t
p
)超出终值h （∞)的百分比，即
%σ=
()
()()
∞∞-h h h t p ⨯100%
二、系统频率特性的性能指标
采用频域方法进行线性控制系统设计时,时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用,需要在频域内定义频域性能指标。

1、零频振幅比M(0):即ω为0时闭环幅频特性值。

它反映了系统 的稳态精度， M （0)越接近于1，系统的精度越高。

M （0）≠1时，表明系统有稳态误差。

2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A （ω）的最大值。

一般说来，Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏。

Mr 越大，表明系统对某个频率的正弦信号反映强烈，有共振倾向，系统的平稳性较差，相应阶跃响应的超调量越大。

对应的ωr
为谐振频率.
3、谐振频率ωr
:出现最大值Mmax 时对应的频率.
4、带宽
b
ω
幅频特性下降至零频幅比的70.7﹪，或下降3dB 时对应的频率称为带宽(也成为闭环截止频率）.带宽用于衡量控制系统的快速性，带宽越宽，表明系统复现快速变化信号的能力越强,阶跃响应的上升时间和调节时间就越短。

带宽是控制系统及控制元件的重要性能指标。

三、闭环频域性能指标与时域性能指标的关系
1、二阶系统的相互联系
对于二阶系统，其频域性能指标和时域性能指标之间有着严格的数学关系
（1）、谐振峰值Mr 和时域超调量δ之间的关系
幅频特性的谐振峰值Mr
在二阶系统Φ（s)=
ωωωξn
2n
2
2
2
s ++s n
中
, 2(n
ωM 令
()
=0dM d ωω
，得谐振频率=
r ωω。

求得幅频特性峰值
r M
二阶系统的超调量
-%=100%e
ξπδ⨯
由此可看出,谐振峰值Mr 仅与阻尼比ξ有关,超调量%σ也仅取决于阻尼比ξ。

ξ越小，Mr 增加的越快，这时超调量%σ也很大,超过40％，一般这样的系统不符和瞬态响
应指标的要求。

当0。

4< ξ〈0。

707时，Mr 与δ%的变化趋势基本一致，此时谐振峰值Mr=1.2 ～ 1.5，超调量%σ=20％ ～30％,系统响应结果较满意。

当ξ>0.707时,无谐振峰值，Mr 与%σ的对应关系不再存在，通常设计时，ξ取在0.4至0.7之间
（2）、谐振频率
r ω
与峰值时间p t
的关系
=r
ωω
t =
p πω
p t 与r
ω之积为
p
r
t ω
由此可看出，当
ξ为常数时，谐振频率 r ω与峰值时间 p t 成反比, r ω值愈大，p
t 愈小，表示系统时间响应愈快
（3）、闭环谐振峰值Mr 和相角裕度γ的关系
()
()=M()j j e
αωφωω ()
()=()j G j A e
ϕωωω
0()
(180-)
()=()=()=()(-cos -sin )
j c j c c c c G j A e
A e
A j ϕωγωωωωγγ0
=180+()c
γϕω 0()=180-c ϕωγ
()()
M()=
=1+()1-()cos -()sin c c c c G j A G j A jA ωωωωωγωγ
一般Mr 极大值发生在c ω附近。

()11
=0()()sin sin dM A Mr dA ωωωγγ
⇒≈⇒≈
故1
sin Mr γ
≈
在开环截止频率c ω附近，上述近似程度就越高。

（4）、γ和ξ的关系
2()==1()(+2)n
c
c
c
c
n
G j G j j j ωωωωωξω∠
2n
)
1/2
2
=c n
ωξ
ω
2=180+(-90-arctg
)=90-arctg =arctg
22c
c
n
n
n
c
ωωξω
γξωξωω
得出
1/2
=arctg 2γξ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
对于二阶系统，一般要求：
0030<<700.27<<0.8γξ⇔
2、带宽
b ω
与时域性能的关系
（1）、一阶系统
一阶系统的闭环传递函数为1
()=1+s TS
φ 系统的闭环频率特性为1
()=
1+j Tj φωω
系统的闭环幅频特性为()=()M j ωφω可知，ω＝0时幅值为1，即零频振幅比M （0)＝1, 则L （0）＝ 20LgM （0) ＝ 0 闭环截止频率b ω：
由b ω的定义知 L(b ω)＝L (0)—3=—
3
20()=20b LgM Lg
ω
(b M ω 可解得:=1/b T ω
一阶系统中调节时间、上升时间与带宽的关系
=2.2tr T =3ts T → =2.2/b tr ω，=3/b ts ω
（2）、二阶系统 标准二阶系统的开环传递函数为 2()=
(s+2)
n
n G s s ω
ξω
二阶系统的闭环传递函数为22
2
()=+2+n
n
n
s s s ω
φξωω
闭环频率特性为2
2
2
2
2
2
()==
()+2++2-n
n
n
n
n
n
j j j j ωω
φωωξωωωωξωωω
系统的闭环幅频特性为2
()=()n
M j ωφω可知, ω＝0时幅值为1，即零频振幅比M(0）＝1，
则L （0）＝ 20LgM(0） ＝ 0
闭环截止频率b ω
由b ω的定义知 L （b ω)＝L （0）—3=—3 可解得:2
(n
b M ω
=b
ωω
阻尼比不变，自然振荡频率越大，带宽越大；自然振荡频率不变，阻尼比越小,带宽越大;可知带宽与系统响应速度成正比！
（3）、带宽b ω
与调节时间
ts 的关系
调整时间 3.5
=n
ts ξω
=b
ωω
b
ω与ts 之积为 b
ts ω由此可看出，当阻尼比ξ给定后，闭环截止频率b ω与过渡过程时间s t 成反比关系。

换
言之,
b ω
愈大（频带宽度0 —
b ω
愈宽），系统的响应速度愈快。

（4）、系统带宽的选择
带宽频率是一项重要指标。

其选择要求要既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。

在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。

（5）、带宽指标取决于下列因素：
a) 对输入信号的再现能力.大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。

粗略地说，
带宽与响应速度成正比.
b) 对高频噪声必要的滤波特性。

为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。

但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。

因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。

具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。

3、典型二阶系统频域指标与时域指标的关系
闭环频域指标：
Mr
=r
ω
=b
ω
=arctg
γ
)
1/2
2
=c
ωξ
ω
闭环阶跃响应时域指标：
-%=100%e
ξπσ⨯
tp=/=/(d πωπω
=(-)/=(-)/(d tr πβωπβω
3.5
=
(=0.05,0<<0.9)n
ts ξξω
∆
因此，若知道频域指标中的任两个，就可解算出ξ，n ω，从而求出时域指标。

反之，给出时域指标的任两个，就可确定闭环频域指标。

ξ
-%=100%e
σ⨯
ξ↑，,,,Mr ts γσ↓↑↓↓，相对稳定性好，超调小,振荡次数少。

,n
ξω↑不变时，c
,,,,n
b
tr tp ωωω↓↓↓↑↑，系统灵敏度下降。

,n
ωξ↑不变时,c
,,r
b
ωωω↑↑↑，系统灵敏，速度快.
4、高阶系统频域指标与时域指标 谐振峰值 1=
sin Mr γ
超调量 =0.16+0.4(-1)Mr σ 1 1.8Mr ≤≤
K ts π
ω
2
=2+1.5(-1)+2.5(-1)
K Mr Mr1 1.8
Mr
≤≤
调节时间
c
=。