2019年天津高职自主招生理科数学模拟试题【含答案】

年天津高职自主招生理科数学模拟试卷（一） 【含答案】
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

•已知{->}，则门（
）
• {
, ，’，}• {,}• {
, }• {
,
}
x+y- 11<0 3远〜y43^0 y>0
A ・臼・11C ・15D ・不存在
乩阅读如團的程序框副运行相应的程序，则输出5的值为<
）
A. 10
B. 13 C ・—HOD. 13
4. IL —个几何体的三视團如團所示（单位：m ）,其正视團、狈觎團均有一个角为附的菱 形，傭
观圈为边长刊1■的
正方形，则该几何体的体积为〔）
需”
需兀
<3
V3 A ・ 12 m3B ・ 6 msc ・
5 m3 D ・
& m3
5.设疋 R,
是％>|占-2|"的（ ）
M 充分不必要条件氐必要不充分条件
G 充分必要条件6既不充分也不必茎条件
6-如團，30的半径为匚线段阳与⑥O 相交于点0 D,
与OQ 相交于点E, AC=4,
2,设实数x, y 満足不等式 ,则曰的最犬值为C
S = $ 4 (-1) k
疔視图 紳團
CD=3, ZB0D=ZAj 贝I] BE=( )
A t4B, 3G « D, 10
2 2
2J
7-双曲线汀-b=1 (a. b>0)的右焦点与抛物线/2=2px (p>0)的焦点.F重合，两条曲线在第一象眼的交点为M,若MF丄％轴丿则i獅曲线的禽心率6=( >
A. V2
B. V2 +1
C.亦D・V5- 1
F、f M ) & “
I >
3.已弄晒'S2IH若方(x)方有四个不同的解也也X3, X4,
巧(X 1 + 辽)—
且U< X K3<松则巧S的取倩范围为< )
A. ( - 1$ B . ( —1$ 1] C.〔I™3』1) D. [ —1)
二、填空题：本大题共有小题，每小题分，共分
日-2i
ift虛魏单位，若复数姑i是纯虚数,则实数沪 __________ ・
a -X
10. 已规(2X- K> 7的展开式中含川的顷的系数是34,则实数沪____________ ・
11. 任取阴yEd 1],则点(X V)落柱挞物线丫口和竝二丫围成的^闭匮域內的U率为12 .在等腰厶ABC■中」已知ZBAC=120\若点P是取边上的动点，点匸満足班乜％
则d AE的最犬值和最小值之差是_______ ・
JL 砸
0 在△嗣亡中.若4= 4 , w$e= 5 、BO2\/瓦D是阳的中点，R'l CD= ________________ -
K 已帅定义在R上的可导函数fh)满足珥叮<1,若f (1-m) -f >1-2^7 则实数T的馭值范li是・
三、简答题：(本大题共小题，共分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15” 设国魏 f (x) - I nXC5OX+CO52x+m
(1 ＞求函魏f 3)的最小正周朗和单调進增区间；
TV H
(U、当诋［-6 , 3 ］时，ffigff (x)的最小值为2,求函数f3的最大値厦对应的工的值-
16.某学较社团招聘工作人员」设蚤也B两组测试项目供应聘人员选择，甲、乙丙、T 四人參加应聘，其中甲、乙、丙三人各自独金玄加A绢测试，已知甲、乙两人各自通过测丄1
试的槪率均为瓦贡通过测试的輒牽为忑.丁鑒挪目组测遠已知E组共有6道试題，丁会做其中的却道题.丁只施且必须选择4道题作答,答对3道題则竞聘成功•
(1 ＞求丁应聘成功的概港j
(II ＞记测試通过的总人数为吊求:的井布列和期望•十
17-如配在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，Z＞DO90j AD If 0C,平面PAD 丄
丄底面AB CD；BC=2 AD，PA=A0=AB^2J Q为屈的中点
(1)求证：平面PQB丄平面PAD^
(2)若直线皿与平面AE8所成的角为60爲M杲棱兀上的点.
①经过站，B作平面g使直线CD// £1并说明瑾由；
②若P衲叮WIG二面甬M-BQ・C的平面甬的大小为30°,求A制的长.
if
丄1
1S.答差数列値时的苜项m2,前三项和为2j Pn (an, bn) (n€N*)在函数冋鹅血的圉象上.
(I ＞求数列仙｝和伽｝的通项公式;
(1【)若cr)=3bn+2n・求数列忙n｝的前n项和Sn,
2 2 l
£・Vs
2 2 -------------------------------------------------
19■已4C1FSEI C：刃*b -i(a＞b＞0)的富心率* 3 ,臥原点0为园心』b为半徨的圆与直X-y+2=0相切，口、E分StE椭圆的左、右顶点『P为榊圆C上的魂点.
(I ＞求椭圆C的方程,
(II )若P与砥B均不重合，直线PA, PB的斜率分另怙kb k2,求kl-k2的值！
IOPI Vi
〔III》设胡为过P且垂言于绘轴的直线上的点」若切1畝(孑0＜门，求点M的轨迹方程，
a- 1
20.已如函数f (K) dnx-览十力(agR)
(门若f 4〉的團象在点<1. f <D)处的切线与直跖佝-M垂直」求日的值』(II)若f (J 5在［1, +-)恒成豈，求a的収值范围；
2丄1门
(【II)若门€心』证明：In (叶1) <l+2 + 3^.+n-2(rr+l).
年天津高职自主招生理科数学模拟试卷（一）参考答案
一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1-已知*{-厂1, 0,1，2}, B=fr|2x- 1>0},则Ano-（
A. {-2. - 1, E 1；2}
B. {0, 2]
C. {0；1}D・⑴ 2}
【考点】交集及其运算.
【分析】解出关于集合B的不竿式，从而求出耳和A的交集即可. 【解答】解；A={-2j - lj lj 2},
丄
B={jt 12^- 1>0}={X|X>- 2 }』
JpJ AHB=（1, 2}>
故选；D.
11^0
y+3<0
J
y>0
a设实数& y満足不等式I i则m術的最大值为C ）
Ae -36. UC,巧D・不存在
【考点】简单线性规划.
【分析】由约朿条件作出可行域，化目标国数为直线方程的斜議式，数形结含得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答秦.
对亠11<0
3x - y+3^0
y^O
【解答】解:由约束条件丨作出可行域如團，
Ji+y- 11=0 联立（血
-艸3二匕解得山⑵
化目标I®数口聊为y^-3x+z,
由團可知，肖直线y=-3）c+zfi A时：直圭戋在¥轴上的截距最大，工有最丈值3X2+9=15. 故选；J
基阅请如图的程序框團，运行扌目应的程序，则输出£的值为（）
A. 10 B + 13 C + - 10D. - 13
【考点、】程序柱團.
【分析】由已知中的程序框图可知；该程序的功脅躍利用循环结构计算并输出变量5的值, 模拟程序的运行过程,・分折循环中苦娈量値的变化情况』可得答案. 【解答】解匕第一次执行循环体后，4-4 k=2,；睫||续循环的築件；
第二次执行循环体后」S=3, kN,満足继续循环的条件j 第三次执行循环休后，轻-缶满足继续循环的条件〕 第四次执行猶环休后」肛过，k=5,不満铀崔续循环的条件孑 故选；A
4- L —个几何体的三视團如團所示〔单位；2,其正视團、侧视團均有一个角为冈。

的菱 形，備
视團狗边长为1的
正万形；则该几何悻的休积为（）
[:考点】由三视團录面积、体积.
【分析】由三视團知谪几何体两个大小相同的正四棱稚的组合体」由三视图求出几何元耆的 慎度，由锥体的体积公式求出该几何体的体积.
【解答】解；由三视雷讥何体为两个大小相同的正四極锥的组合体， 丁正视虱侧视團均有一T 角为济的菱形‘俯视團为边长対m 的正方枚
二正四核锥的高是正视團、侧视團中边长为5的正三甬形的高2 (rr\ Xxt x ix —―― 二该几诃体的体积V=2X 5 2 . 3 (m3>l
A* 12 m3 B* 6 m3C.
V3
3 m3 D.
V3 6 m3
F 視图 團複刚
故选'C.
5-设磋鵝 J?J-a>rft tf a3>|a-2r 的( 、
A.充分不必要条件B,要不充分条件 C..充分出要亲件0,既不充分也不必妾杀件
【考点】必要条件.充井条件与充要条件的判
r
a>2 fa<2
【分析】32>|3-2| ,化为1界>色一 ％或J 分另懈出即可得出.
fa>2
| ^<2
【解答】解：Q 归-2|』化为1壬>_,或U 2>Z-a ? 解得 或 l<a<2;或 a< ~2,
「占>屮是也>|苗-刊的充分不必要条件. 故选：A.
6*如團，0。

的半径为巧线段AB 与00相交于点C 、D 』06与O0相交于点勺AC=4, 匚D=3, ZBOD=ZA,贝'J BE^ (
)
A. 4B« 5C* 6D. 10
【考点】与圆有关的比借庇琳殳.
【分析】先判定△ OAC^ABOD,根挺牌成比例求得BM ・取CD 的中点为F,勾股定理 求得
OF=V0D 2 -朋【可得OB=V 辭而 的值，再根据BE=OB ；1去半径，求得BE 的值.
【解答】解：\'oc=aD=6, .\Z OCD =Z ODC ^ XZ EOD =Z A ,・\Z AOC =Z OBD ^
AC PC 4
6
.'.AOAC<^ABOD, /.OD S BD^ gp6 = BD, ；,ao=g ・
A /—2——2 2®
取 CD 的中点为 F,则 0F1CD, TEDm 二则 0F= V OD ~ DF = 2 ,
故选；C.
2
9
了.戏曲线a
- b
=1 (a. b>0)的右焦点.与抛物线¥2=2PJI (p>0)的焦点F 重合，两条 曲线在第一象限的交点为也 若MF 丄畸乩J®荻曲线的离心率*〔
)
A. Vs
B.
uc. Vs 0, Vs- 1
/I
【考点】双曲线的简单•性质，
【分析】根振抛物线的方瑋算出其焦点为F (瓦0)?得到|MF>p.设戏曲线的异一个焦点为厂由取曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距严|卩中利用勾股走理算出
|MF|=A，再由双曲线的定X融亦(V2-!> P，希Iffl双曲线的商心率公式加加十算」可得答案.
IL
【解答】解：抛物线V2=2pi的焦点为F(2・0),
由MF与*轴垂負，令型2・可得|MF|=p,
Z £
2 2
取曲线a - b<i的实半轴为釘半焦距s另一个焦点为巴
由拋物线yz=2p^的焦点F与双曲线的右焦点重合，
P.
即宀可得职曲线的焦ffi|FP'|=2c=p,
由于△MFF为直角三角形』则|MF'|=V2P J
根据双曲线的定义，得2a=| MF| - |MF|=V2p-p,
匹_ ]
可得” 2 p*
_c ___ 1 _
因此’该戏曲线的离心率e=a-/2 - 1二
故选；B.
f(x+l x<0
f 6円I -, I 、(
s.已知酗丨丄略泸i，若方程f匕〉习有四个不同的解藍「乩◎ 周
X3 (z t+ z2)H一吕—
且则也*4的取值范围为(>
* C - 1；+-> B. ( -1> 1]C. <-r 1) D・ Lh 1)
【考点】分段函数的应用.
【井析】作出国数f (心得到m吃关于焊7对称'昭也心化简条件，利用数刑结合进行求解即可.
【解答】解：作函数fd）的图象如右，
丁方稈f〔町羽有四个不同的B Klj也泊，也且X1<X2<M3<K4J ・・K1,垃关于砖一1对称』Xl+x2=-2?
（X K2<1<X47
K»J|log2x3|=|log2K4| >
艮卩- log2x3=lo^2K4,
贝」I舞2妇41^2x4=0
即log2x3K4=0
则X3x4=lj
当|lQg2x|=l 得口或2,
1
Rd 2；2^X3<1*
故X3X4 = - 2x34-x3 , 20泊<1$
丄丄
则函数尸-加+勺，在可0X1上対迪函甌
丄
则故*3= 2取得最大值，为尸1,
当3时』函数倩为即函数职值范围是（-1「1】・
二、填空题：本大题共有小题，每小题分，共分
a _21
为i是虛数单位』若复数厉罡纯虛甌贝按数能1 .
【考点】宾数代数形式的乘涂运算■
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于。

且虔部不为0求得白值.
a - 2i 2i）（2 _ i）（2a 2）~（a+4）i
__________________________ ___________________________________________________________________ —h _________________________________________________________________________
【解答】解:丁丹i =（姑i〉色-i〕" 5是纯虚数，
r
2a- 2=0
卫+4=0 ,解得；3=1. 故答案为：1.
电
—
10,已知(2x-
了的展开式中含卫的项的系数是34,则实数日二-1 ■
【考点】二项式系数的性质.
…r r c-—)r
「匸
【分折】Tr+X L 7 (2K ) 7-r x = ( - a) r27- r 7x7- 2r f 令 7-2P T,解得 r=S.即 可得出•
严
(--)r
r r
【薛答】解：Tr^l= 丁 (2x) 7- r
K
= ( _ a) r27_ r 7x7_ 2r f
^■7-2r--3j 解得 W
解得恭-九 故答累为；1.
n.任取心y€[0, lb 则点g y)落在拋物线丫口和心¥围成的^闭区域内的概率为 丄 [^4】几何概型.
【分析】根据几何槪型的槪率公式结合积分的应用求出对应区域的面积，进行求解即可得到 结论.
【解答】解:由y 口得〔5・ 由宀和ay 得交点B (1, 1),
卿阴需部分的面积AJ
2
故答案为；瓦
12・在等fl^AABC 中,已知BU4、ZBAC=12O\若点P 是旣边上的动気点E 满足腿3症,
一一
dx
■
3 = 2
2 - 3
=
则心•而的最大値和最/卜值之差罡4 ■
【君点】平面向量魏量的运算.
----- 学⑷［-習) 一 一 -------------------------------------
【分析】由题蕙可得AB-BC=V3 2二-&讯 讥腿000,计算AP ・AE 二
l l t l 2
(忑+面八(AB4BC)为4—瓦底0 从而求得它的最大值和最小值，从而得出结 论. 【解答】解：I 三角形ABC 中，AB=AC )0C=4j ZBAC=12CTj
, 2ABC=30%
----- 纠
AB*BC.V3
2
=—禹
一 一 -3 一 一
■；BE .3EC ^ .\B L7BC ^ /.BP ^.BC ,
■_■ AF'AE= ( AB+BP) » ( AB + BQ .O
3
" AB-BC AB +A *AB*BC+4.BC £■ 4
26
=3 - SA+l2A-i- 4 • ( — S) =4A.— ? f 0^A^l j
_ _ 1 一一
io
故営20时J AP^AE 取得最小值為-名 当入二1时「忑・瓦取得最大值为3」
一一 112
故则AP.A^最大11和最小值之差是可氏 J 故答案为；4
冗
砺
13.在阮中，若A= 7 cosB= 5】BC=27b, D 是嗣的中点，贝ij 8= V5 ..
【考点】三角形中的几何计算，
【分析】宙E 的范围#呼方关系求出血R 的值=由内甬和定理的两甬和的正弦公式束出血
ZACB.在厶朝匚中正弦走理求出丸叭可得AD?在ABCD 中由余弦走理求出3的长.
C
【解咎】解：如图所示:
迅
厂―-VI
'.■(><B<nj cosB= 5 j .\&inB=vl _ co s 5 f
71
又 X 4』A+B+ZACB=n ?
.'.5inZ ：ACB=siii (B-t-A) ^sinBcosAbcosB^inA
Vs 4i 朋 VI
二 5x2+ 5 x 2 = 10 .
BC AB
在三角形ABCtp ・由正弦定理得MnA _£inZACB ,
则 AB sini =
2 二®
TD 是崩的中点/ ■'AD=BD=3j
UABCD 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2- 2BD-&C-cosB 3X2V&X-^ =9+20-2X 5 斗
则0矚 故答秦为：Vs.
U.已拥定义在R 上的可导酗f 〔J 满足f <b 若f （i-m ）-
1
则实数m 的収值范围是（亘」+中）・
【考魚】利用导数研究酗的单调性］函数的单调性与导数的关系. 【分析】根抿导数的立兀將不等武进行转化，构造函数g （X ）才（X ） 究函数的单调，性A 进行求解即可.
【解答】解：设心#60 -靭则于（x>守G> -1,
-■f （X ）满定 P Cx ） <lj /■£F C X ） =f （X ）- l<0|
即国数gCx ）在定义域上対减函数，
gf (1-
nn) -f Cm) >1-2m r 则心-
m) _f Cm) > (1 _ m) -
即f （】- m) - ( 1- m) >f ( m) - m ； 即
g (1- m) >g (m>j 1
则 1 -mKm,得 m> 2,
丄
故实数m 的取值范围是迈』l 齐
BC-sinZACB
(m) >1 - 2m 】
卷利用导数的研
B
1
舲案为；N匕)
三、简答题：(本大题共小题，共分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. f Cx) = V5s i nx CSOX-KC os2x+rn
(I >求函数f 3的最小正周期和单调递增IZ间,
7T 兀
(ID当心兀E H,函数f(X)的最小值为為求(Mif(X)的最大值坝対应的* 的值.
【考点】三角函数的周期性及其求法j两甬和与差的正弓迢数$三角困数的最值.
【分析】(I)由条件利用三角恒等娈换』正弦函数的周期性、单调性宋得函数f g的最小正周期和单调递增区间.
7T 兀
(II》当可]时』利用正弦酗的定义域和值域，求得酬f 的最犬值及对应的X的值*
1+co s2x
【解答】解；(I )由于函数 f (x) = V^s i nxc soxf CM2K+ m = 2 sin2x+ 2 +m 兀丄
=sin (2x4 6 ) 4^4 2,
2兀
■最小正周顛齿2 =R.
2L 2L 2L 2L 2L
由2kn - 2 ^2x+ 6 W2kn+ M 得：kji - 3 WxWkn■+ S』
H JI 故函数f収)的里调增区间为问-可，kn+T J h k€z.
JT 兀兀7U 5兀
(II)当xE[-~ 酗f g的最小値为s求国数f
(x)的最大值及对应的■的愴』
1 工
■:- 2 Win <2x+ 6 )
2L 1 丄丄
故当iin (2>+ 6 ) - - 2时，原醐I取最小值乙即—2^2-2 f.\m=2,
冗§
故f (K》=5in(2x+ 6八监
7T 7 7T TT 兀
故当血〔轴6〕二1时，f (x)眠得最大值为2 ,此吋，宓"1； 2 ,灯吒.
16-某学校社团招聘工作人员，设羞氐R两组测试项目洪应聘人员选择』甲、乙、丙、T 四人裁加应聘，苴中甲、乙丙三人各目独立蓼加A组测试，已知甲、乙两人各自通过测丄1
试的概率均为2 ,丙通过测试的輾率为忑.丁聲加B组测述已知B组共育6道试範丁会做其中的4道题* 丁只能且凶页选擇斗道题作答.答对3道題则竞聘成功.
<I )求丁应聘成功的桩率孑
< II >记誣q 试通过的总人数那，求E 的分布列和期望.
【考点】离飲型随机变量及其分布列亍离散型随机变量的期望与方差.
【分析】(I)设事件f 対丁应鞠成功、则由排列组合知识结合尊可*雾件概率计算公式能束 出丁应聘成助的概率.
(II )由题倉断有可能的值为o, b 2, 2, 4,分别求出相应的挪軋由此能求出的分布列 和期望.
【解答】(16)体小题鬲分均井)
C ；
吗卜閱
⑴设事件匚再丁应聘成功，则叮匚)=
% =5,
<11)由題意晰有可能的值为％ 1, 2, 3, 4.-
p (2 宀址汽過代逬)［気 P
进)矚烽畀I 益
17.如图，在四揍锥P-ABCD 中，底面屈CD 为直角梯形，ZADC=90S AD 7 BC,平面PAD
1
丄底面 ABCD, BC=2AD , PA^ACtAB^Z, Q 为成D 的中点
(1)求证:平面PQB 丄平面PAD ；
⑵ 若直线P 旦与平面酯B 所成的角为&O Q - M 是核PQ 上的点・ ① 经过叭B 作平面r
CD7aM 说明理由］
② 若PM^MC,二面角M-BQ-C 的平面角的大4術缈，求咖的长・
t 0
1 2
3
4 P
1
25
1
37 100 3 10
9 100
所以E 的分布列为: 所以所求数学期望为E J X 25_U X T +2 X
2
=(1 - 2) 2X (1 - 5) 2= 2吕： =C ； (y)先鳩氏拾淖丄 二嗨)
他 5=5,
/(*)逐
37 2
= 100,
竺旦心丄更
100*3X10* 100= 5 ・
W
【考点】二面甬的平面角及求法；直线与平面平行的判芯平面与平面垂言的判定.
【分析】⑴推导出四边形阮g 为平行四边形，从而CD 7 BQ.求出QB1AD,从而BC L L 平面PAD 』由此能证明平面FOB 丄平面PAD.
(D ①由CD#B0J 得匚则平面MB®从而平面MBQ 即為平面d.
②推导出PQ-LAD, PC L L 平面AB CD,以Q 为原点建立空间直甬坐标系‘利用冋量法能求岀
AM.
【解答】(本小题满分箱分)
丄
证明：<1) VAD//BC, BC=2AD, Q 为 AC 的中点戸 二四边形BEDQ 为平行四边形…'£D"BQ ・ 丁上人皿二驸；二诙 即邹丄AD.
乂 丁平面PAD 丄平面ABCD^且平面PADn 平面A0CD=AD!
.'.eCLL 平面PAD. */BQC 平面PQB ；二平面PQB 丄平面PAD.
…
(2)①如图，G 是应D 的中点，在棱PC ■上的任宣輕一点
因为CD// BQ 』且CD1平面MCDp
故CD//平面MBQ ；故平面MBQ 即为平面d “・
②TPAWDj Q 再AD 的中点,/.PQ 丄阴.
T 平面PAD 丄平面ABCD ；且平面PAD 门平面ABCD=^D,
二PQ 丄平面ABCD.
［直线閤与平面血匚口所成的角为砂，
.■.ZPAQ=60S '/PA=2, ikAQ=QD=BC-l,
如團』次Q 为JJ 点奩立空间直角坐标系，
则平面 BQC 的法向量为吐⑹ o, 1), Q <0, 0, 0>, Pg, 0, V3), B <0, V3, 0 九 C
(-1, Vs, 0').
二平面刚巳Q 法问量为呛(V?! 0
解得口.
2 Ws VI
.\A (1』Oj 0)； M ( - ^ j 4
}
4 )f
设M (X. 丫」讥,
一心、(-1-K. V3"V
■_■ FH=tHG,
k 二t (- 1 - x)
‘尸
t (V5 - 卩)
，工-』
5砒］-刃打解得
V3 Z
-Ht
在平面 中；QB = g Vs ； 0)j QJk C - 1 + t ,
丁二面角 阳-BQ- C 为 30鸣 cos30&= __n T m
I n
1 2
18-等差数列伽｝的首项金冇前三项和为2丿点Pn (an, bn) (r*€N*)在|S|^［ y=log32x 的圉象上.
<【》求数列的和也砒的通项公式扌
〈II 》若cn=3bn+2n ；求魏列伽｝的前n 项和Sn • 【考点】数列与醪的综合j 数列的求和.
【分析】(I ［求出等差数列的首項与通项公式，專I 可求解数列伽｝的通项公式样JfflPn®」 bn) 50T 在函数尸廊3N 的图象上即可求解饷】的通顷公式；
(U 〉化简cn=3bnt2n,利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列5舶前口 I 页和刃・
2 1 1
【解笞】解；(I)等羞数列伽啲苜项狂瓦 前三项和詞瓦 皓瓦 奪差数列<ar>#］M 项世乙 公差d=—故an=n - J
1
即数列｛加］的if 项公武为：an=n-I ；
点 Pn Canj bn)在国数科og£2x 的團掠上』则bn=log32an=loe3 (2n- 1)? 即数列伽｝的適项公式为bn=log3 (2n-l),.
(II) cn=3bn+2n=2n- l+2n^
r/142n- 1)
Ml
-护)
Sn= (1+3+5+...+ (2n- D) + (21t22+...+2n ) =
2
+
1
2
=n2+2n+l-2,
数列｛tn ］的前 n 项和 Sn-nl+^rn-l — 2.
£ £
vs
Q
O
k ・b .I<a >b>o)的离心率齐3 ,以原点O 为圆心，b 为半径的
圆与直线x- y+2^0相切'Ax B 分别是桶13的左、右顶点，P 为椭圆匚上的动点.
(I >M@C 的方程」
(II 〉若P 与知日均不董合，直线叫PB 的斜率分别him k2,求“点的值j
OP VI
dll ）设汕为过p 且垂直于贰轴的直线上的点，若OM =A （ 3 W&1）,求点讷的轨述
13・已知梆圆C;
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 厂
_2_ V5 £【芳析K I）圆的方程昭皿知哀圆心到直线乂-y+2刃的距离心/L屆一又“丁二J a2=b2+c2,联立解出即可得出.
2_ 2
（II）A^-Vs* 仆血°'设P（b¥h代入椭圆万程可得；3-3区，再利用斜率计算&式即可得出.
|0F| 並
（111＞由Pg Y）可设蘭仏丫打其中诋—V 晶1根据已紂如瀝（3 W
2 £—x __
k＜i）f可得x +y Z 而2（/）2=2- 3 ,代入整理限阿存出.
【解答】解：＜I）圆的方程为分出
2
OM'IM线K-y+z=o的距高吐雨価弍,
c
又2 3 =吕匸蛊2=b2+^込解得a-V3?c=l,
£ z
二椭圆C的万程为：* ■+ 2=1・
2_ 2 （II）A （一逅，°\ B 皿°S设P（X, V）,代入椭圆方程可得：3 1
由此可得：kl=kP^l+V3 ;k2^kPB= K
・・・心0，~匸―石.
(III)由P(X, /),可设M 5 yh其中址［J晶VIL
2 / 2
IOPI73 * J 2 2
■/ |0M \=k( 3<A<1), K +y Z 而：</) 2=2- 3 』
:.3h*』ir =%整理得(2X2-1) x2i-2X2Y2=6.(其中—畐0斥航$ 3WX1〕.
旷1
20.已icEl数 f (>} -I nx- x+2a R>
(I》若于3的图象在点I f⑴)处的切线与直线x+2V-l=OS直，求m的值；
(II〉若f 3 WM41在［1…8)恒成芷求3的取值范围；
11 x 巩
(111> 若n^NS 证明；In (r^l) <1+'23+.^n- 2(n+l).
［考点】导數在最大値、最小值冋题中的应用；函数恒成立问融」制用导数聊究曲线上某点切线方程-
【分析】(I )求得f 3的导虬可得切线的斜率，宙两直线垂直的条件：斜率之积为-1, 可得運的值』
* 旷1 (II》由题意可得1侦・K - ax+2a -1^0在［1, +-) ±恒成立.令gd)=1rtt・以-
丄1_
ax+2a- If求出导数‘讨论①岂点D吋』0<a< 20^7③当定2时，求出最大值$ 即可得到白的范围亍
1_X A
(I1I> 由(H )知，站2时,xG［l, +—) Dt, g(x) =lrex+2x - 2^0.即咲⑴ +=)时』兰_L Ml nH 1 1
1 J_
InxW 2 - 2x K=n』得2h n W n+n+1 ,即4ln (n+1) - lnn］<n + ir+l』运用累加法，变形印可得证•
色・1 丄"I
【解答】解：(r} f(X)咄皿-$+2a的导数为r ex)沐十/ ,
可得f <»>在詹1处的切线的斜率为F (1) =3；
由f 00的團象在点Cl, fCl))处的切线与直线X+2V-1=0垂直，
得a-2j
(U)若+ (Q W*1在⑴+T上恒成立，
a- 1
则收- x- ax+2a~ 1=^0在［1, +*)上恒成立.
令&3》=1口葢一x- axt2a - 1 *
]a -1 (2 ~ 1) (as+a_ 1)
则"+ / -科一疋,
①当代0时』涎山+«), g (x)刁0, g (x)单増. 所以g (x)込(1) =0；故舍去-
1 1
②当(KY2时,a-l>l.
1
此时xC (1, ^~l)f(x> >0j g (x)单増，
(b "切g (x) >£⑴ m 舍去.
丄丄
③当2时* a - 1^1,此时诋⑴ +«), 了(>) WO, £(x)单减，故xE；L> +«)时,
g <*)Wg⑴=0,符合题青・
1
综上』若彳⑴5ax+l在[1』+«> ±恒成立.则日的馭值范围杲【7 +«).
丄L m
证明：5)由(ID 规"彌，圧口，+-)时，g(x) =lnx+77-7^0.
M丄
即)tE⑴4—、时,Iru^ 2 -2x ?且仅在日时j等号成立•
nil 口十1 1 1
令炉门"得Un n nq-n4-l,
X 1
即 2.【In(IH1) - Inn]^ n +nd-l ,
1 1 1 1 1
戶脱 2 (ln2T「l) 丿 2 (In3- In2)2+3, t…f 2[ln (訂“)-lnn]^n^n+l ;
1 _! 1 I
各式相加得Un (I>+1) <1+ 2X2 + 3 X2*...+nX2+n+l,
丄丄 1 比
整理得In (n+1) <it^3+.…+n-2fe41T.
丄丄X 口
故In (rn-1) <l+2 +34...4n- 2(口卡1)成立.。