导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
A. f ′(xA)>f ′(xB)
B. f ′(xA)<f ′(xB)
C. f ′(xA)=f ′(xB)
D.不能确定
3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
4.已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
（2）当t=1 时，曲线h(t)在t=1 处的切线1 的斜率ℎ′ 1 <0,这时,
在t=1 附近曲线下降，即函数h(t)在t=1 附近单调递减；
（3）当t=2 时，曲线h(t)在t=2 处的切线2 的斜率ℎ′ 2 <0,
这时,在t=2 附近曲线下降，即函数h(t)在t=2 附近单调递减；
x0 处瞬时变化越慢.
二 导数的几何意义
函数 = ()在0 处的导数 ′ 0 ，是曲线 = ()在点
(0 , 0 )处的切线的斜率.
导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f x在点 x＝x0 处的切线斜率为 k，则 k＞0⇔f ′x0
＞0；k＜0⇔f ′x0＜0；k＝0⇔f ′x0＝0.
ℎ
ℎ→0
1. (1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则 lim
A．f ′(x0)
等于(
B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
(1)B 解析：∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ
ℎ→0
∴ lim
0 +ℎ − 0 −ℎ
−1
1+∆
∆
=

∆→0
反思感悟
利用导数定义求导数
∆
(1)取极限前，要注意化简∆ ，保证使∆ → 0时分母不为0.
(2)函数在0 处的导数 ′ (0 )只与0 有关，与∆无关.
(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
1
− 1+∆ =−1.
跟踪训练
0 +ℎ − 0 −ℎ
从图可以看出，直线1 倾斜程度小于直线2 倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=1 附近比在t=2 附近下降得缓慢.
跟踪训练
(1)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y＝f ′(x)的图象可能是( B )
A
B
C
D
解析:由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)
在数学中，称瞬时变化率为函数 = ()在点0 处的导数.通常用符号 ′ 0 表示，记作
′
0
1 − 0
0 + ∆ − 0
= lim
= lim
1 →0
∆→0
1 − 0
∆
思考 我们知道，导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率，反映了函
一步研究瞬时变化率问题。
新知讲解
一 导数的概念
∆
设函数 = ()，当自变量从0 变到1 时，函数值从(0 )变到(1 )，函数关于的平均变化率为∆ ＝
1 − 0
1 −0
＝
0 +∆ − 0
∆
.
当1 趋于0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 = 在点0 的瞬时变化率.
解：设切点P(m，n)，切线斜率为k，
2 +∆ 2 −7 −(2 2 −7)
∆
由y′＝ lim ∆＝ lim
∆
∆→0
∆→0
得k＝y′|x＝m＝4m.
由题意可知4m＝8，∴m＝2.
代入y＝2x2－7得n＝1.
故所求切点P为(2，1)．
＝ lim (4x＋2Δx)＝4x，
∆→0
课堂小结
图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=0 , 1 , 2 附近的变化情况.
解:我们用曲线h(t)在t=0 , 1 , 2 处的切线斜率，刻画曲线h(t) 在上述
三个时刻附近的变化情况
（1）当t=0 时，曲线h(t)在t=0 处的切线0 平行于t轴，ℎ′ 0 =0,
这时，在t=0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
1.知识清单：
（1）导数的概念.
（2）导数的几何意义.
2. 方法技巧：
极限思想.
导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f x在点 x＝x0 处的切线斜率为 k，则 k＞0⇔f ′x0
＞0；k＜0⇔f ′x0＜0；k＝0⇔f ′x0＝0.
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔＝2f ′(x0)．故选B.
(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∆
∴∆ ＝6＋3Δx，
∆
＝ lim
∆→0 ∆ ∆→0
∴f ′(1)＝ lim
(6＋3Δx)＝6.
)
二 导数的几何意义
例2如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的
(3)f ′(x0)就是导函数y＝f ′(x)在x0处的函数值．
( √ )
(4)若f ′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．
( × )
( × )
典例剖析
一 求平均变化率
1
例1 设 = , 求 ′ 1 .
解 ′ 1

= ∆→0
1+∆ −(1)
∆
=

∆→0
1
数y = 在 = 0 附近的变化情况，那么导数 ′ 0 的几何意义是什么？
观察函数 = 的图象，
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
=
∆
∆
表示什么?
瞬时变化率

′ 0 = ∆→0
∆

=
∆→0
∆
0 +∆ −(0 )
∆
表示什么？