专题11 概率与统计的综合问题(课件)2023届高考数学二轮复习(新高考地区专用)

题后师说 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字或有关概率．决 策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为 最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．
巩固训练5 [2023·福建厦门模拟]某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在 出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据 进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测 试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为 “优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀” 的概率均为13，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同 学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理
层抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3
名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1 h的人数为X，求X的分布
列和数学期望E(X)．
附：χ2＝
a+b
n ad−bc 2 c+d a+c
b+d
，n＝a＋b＋c＋d
α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828
( 参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 X ～ N(μ ， σ2) ， 则 P(μ － σ≤X≤μ ＋ σ)≈0.682 7 ， P(μ － 2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”
题型五 概率与函数、不等式、数列的综合 例 5 [2023·辽宁大连模拟]某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜 悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口 才 能 成 功 ． 其 中 第 一 关 是 答 题 ， 分 别 设 置 “ 文 史 常 识 题 ”“ 生 活 常 识 题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案： 方案一：答题3道，至少有两道答对； 方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对． 方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程 序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是p(p∈(0，1))，且这3道题是否答 对相互之间没有影响．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二． (1)求甲和乙各自通过第一关的概率； (2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，是否存在唯一的p的值p0，使得E(ξ) ＝1？并说明理由．
活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字 0、1、2、3、…、20)移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”(第19格)，则可获得购车 优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”(第20格)，则没有任何优惠券．已知硬 币出现正、反面的概率都是12，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移 动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k到k＋1)；若掷出反面，遥控车向前移动 两格(从k到k＋2)，直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束．设 遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn，试证明{Pn－Pn－1}是等比数列，并求参与游戏 一次的顾客获得优惠券全额的期望值(精确到0.1万元)．
题后师说 求解概率与独立性检验的综合问题时，一要根据公式计算准确，二 要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
巩固训练4 [2023·河北石家庄模拟]我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推 行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断 扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素 质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对本校高三 800名学生(其中男生480名)按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生 进行调查，了解他们每天的阅读情况．
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自
由式滑雪”都超过40人的概率； (2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，
现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学
校个数，求X的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位 置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在甲出任前锋、中场、后卫的 条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则；
①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率； ②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当 中场的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
论上至少要进行多少轮测试？
题型三 概率与回归模型的综合 例 3 [2023·黑龙江哈尔滨模拟]2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市 民接种第三针新冠疫苗．某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针 接种人数(单位：万)，得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
疫苗接种人数x/万 6
8
10
12
第三针接种人数y/万 2
等级 指标值m 产品收益率
一等品 m≥140
p
二等品 120≤m<140
4p2
三等品 m<120
p2
(1)求a的值； (2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体． ①从产品B中随机抽取3件，求其中一等品件数X的分布列及数学期 望； ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A或产品B，试分析投 资哪种产品收益更大．
单价x(元/件) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(万件) 9y关于x的经验回归方程； (ⅱ)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为 多少时，工厂获得最大利润． (2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾 客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有 300人，基本满意的有50人，不满意的有50人．为进一步了解顾客对 该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人 进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X，求随 机变量X的分布列和数学期望．(视频率为相应事件发生的概率)
题后师说 求解概率与回归模型的综合问题时，一要正确运用回归模型有关的 公式和数据计算，二要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事 件类型是关键．
巩固训练3 [2023·广东东莞模拟]《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快 农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作 的中央一号文件．文件指出，民族要复兴，乡村必振兴．为助力乡村 振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场．为了对 该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
3
5
6
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于 x的经验回归方程yො＝aො + b෠x(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用直线拟
合)．
(2)若A区市民甲、乙均在某日接种疫苗，根据以往经验，上午和下午接种
疫苗分别需等待20分钟和30分钟，已知甲、乙在上午接种疫苗的概率分别 为p、3p－2(23<p<1)，且甲、乙两人需要等待时间的总和的期望不超过50分 钟，求实数p的取值范围．
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点
值代表)；
(2)经计算第(1)问中样本标准差S的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款
汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数xത和标准差s分别 作为μ、σ的近似值)，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程X∈[250，400]的概率；
男生 女生 总计
每天阅读时间低于1 h 20
每天阅读时间不低于1 h 60
总计 200
(1)根据所给数据，完成2×2列联表；
(2)根据(1)中的列联表，判断能否有99.9%的把握认为该高中高三学
生“每天阅读时间低于1 h”与“性别”有关？
(3)若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1 h”采用分
题后师说 概率与统计图表的综合主要以频率分布直方图、扇形图、折线图为 载体，考查样本的频率分布、样本特征数以及概率的计算，往往和实 际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算 对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
巩固训练2 [2023·河北沧州模拟]2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京 成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运 动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了 模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑 雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如 下数据：
题型二 概率与统计图表的综合 例 2 [2023·安徽马鞍山模拟]某厂生产A，B两种产品，对两种产品的 某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率 分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指 标划分等级和收益率如下表，其中15<p<14.
(注：收益率＝总投利资润额)
题型四 概率与独立性检验的综合 例 4 [2023·重庆八中模拟]2022年卡塔尔世界杯于11月20日开赛，某 国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
甲参加 甲未参加
总计
球队胜 30 c 60
球队负 b 10 e
总计 60 f n
(1)根据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲 球员参赛有关联？
高考大题研究课十一 概率与统计的综合问题
题型一 离散型随机变量的均值与方差 例 1 [2023·安徽皖江名校联考]国庆节期间，某大型服装团购会举办 了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一 次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)． 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球 4个)的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100 元． 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球(其中红球2个，白 球1个，黑球7个)的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为：若 摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则 打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不 打折．
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布 列和期望；
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽 奖方案更合理？
题后师说 离散型随机变量的均值与方差的求解，一般分两步：一是定型，即 先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二项分布、超 几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可 以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分 布列再代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对 应．
巩固训练1 [2023·河北邢台模拟]全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国 家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日．目的是弘扬爱国主义 精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事 技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设．为更好推动本次 活动开展，某市组织了国防知识竞赛．比赛规则：每单位一名选手参加， 比赛进行n轮(n∈N*)，每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答．每 选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组 题．答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分， n轮结束累加总分．已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概 率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为 0.8，且每人答对每道题相互独立．问： (1)若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？ (2)若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率．