运筹学2 线性规划I
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?????????????0??????????x?x?取值无约束321321321321321063244239232minxxxxxxxxxxxxxz03???x??????????3?3?1???3??3x???1????3??3???1????3x??3???1????3?x?3???1??06332442239200332max54225242542xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzzz??11?xx??33?3x??xx??令03??x其中并按上述规则该问题的标准形式为
厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 20%可以自然净化。 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 据环保要求， .2%。 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 都需各自处理一部分工业污水。
3 3 是 1000 元/万 m ， 第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m 。 3 3
例1：（产品组合问题） ：（产品组合问题） 产品组合问题
某厂利用A 两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产 品消耗 原料 原料名称 产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日 数量（T/日） 6 8
A B
千元/T /T） 产品售价 （千元/T）
设 x1, x2分别代表每粒胶丸 中甲、 中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题 、
长的钢筋， 用7.4m长的钢筋，分别截取 长的钢筋 分别截取2.9m、2.1m、1.5m各至少 、 、 各至少 100根，要求用料最少。 根 要求用料最少。
分别代表采用切割方案1~8所需 所需7.4米的 设 xj 分别代表采用切割方案 所需 米的 钢筋的数量。 钢筋的数量。
第二章 线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析
第二节
图解法
对模型中只含2个变量的线性 对模型中只含2个变量的线性 规划问题，可以通过在平面上作 规划问题， 图的方法求解。 图的方法求解。
线性规划的图解
max s.t. z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 T/日 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 T/日 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。 求该厂产值最大的生产方案。 生产方案
若 标 数 余料 少 则 目 函 为 最 , 有 m Z(x) = 0.1x1 + 0.3x2 + 0.9x3 + 0x4 in +1.1x5 + 0.2x6 + 0.8x7 +1.4x8 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥100 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 ≥100 s.t. x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 ≥100 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0
二、线性规划问题的共同特征
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某 每一个问题都用一组决策变量( ， 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一 般这些变量取值都是非负的。 般这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 存在一定的约束条件， 等式或线性不等式来表示。 等式或线性不等式来表示。 都有一个要求达到的目标， ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函 数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 称为目标函数）来表示。按问题的不同， 标函数实现最大化或最小化。 标函数实现最大化或最小化。
P
j
b
3.矩阵式 矩阵式
max Z ( x ) = CX s.t .
a11 a12 a21 a22 A= M M a m1 am 2
AX ≤ b X≥0
L a1n C = (c1 , c2 , L, cn ); L a2 n T X = ( x1 , x2 ,L, xn ) L M b = (b , b ,L, b )T 1 2 m L amn
整理得数学模型： 整理得数学模型： 目标函数： 目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件： 约束条件： s.t.
x1 ≥ 1
x1 ≤ 2 x2 ≤ 1.4
0.8 x1 + x2 ≥ 1.6
x1 ≥ 0 ， x2 ≥ 0
例3、配料问题（min, ≥) 、配料问题（
某厂生产一种胶丸，已知如下资料： 某厂生产一种胶丸，已知如下资料：
课堂作业： 课堂作业：建立线性规划模型
某城市在一昼夜间，市内交通需要车辆数如图， 某城市在一昼夜间，市内交通需要车辆数如图，对车 辆的需求在昼夜间是变化的， 辆的需求在昼夜间是变化的，车辆的工作制度是一天连续 工作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就 工作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出， 连续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。 连续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。
1.和式 和式
max Z ( x) = ∑ c j x j
j =1 n
n ∑ aij x j ≤ b i s.t. j =1 xij ≥ 0
(i = 1,…，m ) ( j = 1,…, n )
2.向量式 向量式
max s .t . Z ( x ) = CX n ∑ P jx j ≤ b j =1 X ≥ 0
n : 变量个数 ; c j : 价值系数 ; m : 约束行数 ; bi : 右端项 ; a ij : 技术系数
s ) b1 ( = , ≥ )b2 ( = , ≥ )bm 0
n + m : 线性规划问题的规模
求解线性规划问题的任务是： 求解线性规划问题的任务是：在满 足约束条件的所有( 足约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可 ， 行解）中求出使目标函数达到最大( 行解）中求出使目标函数达到最大(小)z 值的决策变量值( 值的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最 ， 优解）。 优解）。
若 标 数 使 买 7.4m钢 最 , 则 目 函 为 购 的 筋 少 有 m Z(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 in 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥100 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 ≥100 s.t. x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 ≥100 x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 , x8 ≥ 0
x2
最优解
6
可行域
4
-8 0
目标函数等值线
6
x1
一、图解法的步骤
1.等直线法 1.等直线法
2x 例 1： max z = 2 1 + 3x2 ： s.t. x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4 x2 ≤12 x1，x2 ≥0
第二章 线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中， 线性规划在经营管理中，常常用来解决 有限资源（ 的合理分配问题。 有限资源（人、财、物）的合理分配问题。 在经营管理中， 在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源 的合理分配利用有关。 的合理分配利用有关。线性规划为解决有限 资源的合理分配利用提供了一个有效的数学 工具。 工具。
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一 个重要步骤。 个重要步骤。 建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观 实际，数学模型本身是否正确， 实际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结 从而影响决策结果，所以， 果，从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规 划模型尤为重要。 划模型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型 的建立。 的建立。
提出三个问题大家考虑： 提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 1.问题的未知数是什么？ 问题的未知数是什么 2.以什么准则进行决策？ 2.以什么准则进行决策？ 以什么准则进行决策 3.约束条件是什么？ 3.约束条件是什么？ 约束条件是什么 设未知数 目标函数 约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未知数。 这里生产方案指的是如何安排甲 、乙产品的产量。显然，产量是未知数。 T/日 ① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日 决策准则是产值最大， 代表产值，则有： Z=3 ② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， Z 是x1、x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：max Z= 3x1+2x2 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） ③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） x 1 + 2 x 2≤ 6
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max(min)Z(x) = c1x1 + c 2 x 2 + L + c n x n
a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1 n x n a x + a x +L + a x 22 2 2n n 21 1 a x + a x + L + a x m 2 2 mn n m1 1 x1 , x 2 , L , x n
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 条件下 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
2万m3 1.4万m3
2万m3 1.4万m3
分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 约束条件： 约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2% (2 - x1) / 500 ≤ 2 / 1000 流经第二化工厂后， 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2% [0.8(2 .4[0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 ≤ 2 / 1000 污水处理量限制 x1 ≤ 2，x2 ≤ 1.4，x1 ≥ 0，x2 ≥ 0 2， 1.4 .4， 0， 目标函数： 目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小 min z = 1000 x1+800 x2
车辆数 12 12 10 8 8 4 4 7 4 时 0 4 8 12 16 20 24 间
派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出， 派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连续工 小时。 作8小时。 小时 各时间间隔所派车辆数为x 设：各时间间隔所派车辆数为 j j=1，2，…，6 ， ， ， 则有： 则有： min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x6≥4 x1+x2≥8 x2+x3≥ 10 x3+x4≥7 x4+x5≥12 x5+x6 ≥4 x1，x2，x3，x4，x5，x6 ≥0
T
C = (c1 , c2 ,L, cn ); X = ( x1 , x2 ,L, xn )
= a1 j a2 j M a mj b1 b2 = M b m 0 0 0 = 0 0
约 束 条 件
2x1+x2≤8 x2≤ 2 x2 -x1≤ 1 x 1 ， x 2≥ 0
资源限制 市场限制 非负限制
靠近某河流有两个化工厂（见图） ，流经第一化工厂的河 例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图） 流经第一化工厂的河 ，
3 流流量为每天 500 万 m ，在两个工厂之间有一条流量为每天 200 3 的支流。 万 m 的支流。 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2 3 3 万 m ，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万 m 。从第一化工 3 3 3 3
厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 20%可以自然净化。 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 据环保要求， .2%。 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 都需各自处理一部分工业污水。
3 3 是 1000 元/万 m ， 第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m 。 3 3
例1：（产品组合问题） ：（产品组合问题） 产品组合问题
某厂利用A 两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产 品消耗 原料 原料名称 产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日 数量（T/日） 6 8
A B
千元/T /T） 产品售价 （千元/T）
设 x1, x2分别代表每粒胶丸 中甲、 中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题 、
长的钢筋， 用7.4m长的钢筋，分别截取 长的钢筋 分别截取2.9m、2.1m、1.5m各至少 、 、 各至少 100根，要求用料最少。 根 要求用料最少。
分别代表采用切割方案1~8所需 所需7.4米的 设 xj 分别代表采用切割方案 所需 米的 钢筋的数量。 钢筋的数量。
第二章 线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析
第二节
图解法
对模型中只含2个变量的线性 对模型中只含2个变量的线性 规划问题，可以通过在平面上作 规划问题， 图的方法求解。 图的方法求解。
线性规划的图解
max s.t. z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 T/日 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 T/日 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。 求该厂产值最大的生产方案。 生产方案
若 标 数 余料 少 则 目 函 为 最 , 有 m Z(x) = 0.1x1 + 0.3x2 + 0.9x3 + 0x4 in +1.1x5 + 0.2x6 + 0.8x7 +1.4x8 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥100 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 ≥100 s.t. x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 ≥100 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0
二、线性规划问题的共同特征
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某 每一个问题都用一组决策变量( ， 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一 般这些变量取值都是非负的。 般这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 存在一定的约束条件， 等式或线性不等式来表示。 等式或线性不等式来表示。 都有一个要求达到的目标， ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函 数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 称为目标函数）来表示。按问题的不同， 标函数实现最大化或最小化。 标函数实现最大化或最小化。
P
j
b
3.矩阵式 矩阵式
max Z ( x ) = CX s.t .
a11 a12 a21 a22 A= M M a m1 am 2
AX ≤ b X≥0
L a1n C = (c1 , c2 , L, cn ); L a2 n T X = ( x1 , x2 ,L, xn ) L M b = (b , b ,L, b )T 1 2 m L amn
整理得数学模型： 整理得数学模型： 目标函数： 目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件： 约束条件： s.t.
x1 ≥ 1
x1 ≤ 2 x2 ≤ 1.4
0.8 x1 + x2 ≥ 1.6
x1 ≥ 0 ， x2 ≥ 0
例3、配料问题（min, ≥) 、配料问题（
某厂生产一种胶丸，已知如下资料： 某厂生产一种胶丸，已知如下资料：
课堂作业： 课堂作业：建立线性规划模型
某城市在一昼夜间，市内交通需要车辆数如图， 某城市在一昼夜间，市内交通需要车辆数如图，对车 辆的需求在昼夜间是变化的， 辆的需求在昼夜间是变化的，车辆的工作制度是一天连续 工作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就 工作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出， 连续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。 连续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。
1.和式 和式
max Z ( x) = ∑ c j x j
j =1 n
n ∑ aij x j ≤ b i s.t. j =1 xij ≥ 0
(i = 1,…，m ) ( j = 1,…, n )
2.向量式 向量式
max s .t . Z ( x ) = CX n ∑ P jx j ≤ b j =1 X ≥ 0
n : 变量个数 ; c j : 价值系数 ; m : 约束行数 ; bi : 右端项 ; a ij : 技术系数
s ) b1 ( = , ≥ )b2 ( = , ≥ )bm 0
n + m : 线性规划问题的规模
求解线性规划问题的任务是： 求解线性规划问题的任务是：在满 足约束条件的所有( 足约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可 ， 行解）中求出使目标函数达到最大( 行解）中求出使目标函数达到最大(小)z 值的决策变量值( 值的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最 ， 优解）。 优解）。
若 标 数 使 买 7.4m钢 最 , 则 目 函 为 购 的 筋 少 有 m Z(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 in 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥100 2x2 + x3 + 3x5 + 2x6 + x7 ≥100 s.t. x1 + x3 + 3x4 + 2x6 + 3x7 + 4x8 ≥100 x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 , x8 ≥ 0
x2
最优解
6
可行域
4
-8 0
目标函数等值线
6
x1
一、图解法的步骤
1.等直线法 1.等直线法
2x 例 1： max z = 2 1 + 3x2 ： s.t. x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4 x2 ≤12 x1，x2 ≥0
第二章 线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中， 线性规划在经营管理中，常常用来解决 有限资源（ 的合理分配问题。 有限资源（人、财、物）的合理分配问题。 在经营管理中， 在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源 的合理分配利用有关。 的合理分配利用有关。线性规划为解决有限 资源的合理分配利用提供了一个有效的数学 工具。 工具。
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一 个重要步骤。 个重要步骤。 建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观 实际，数学模型本身是否正确， 实际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结 从而影响决策结果，所以， 果，从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规 划模型尤为重要。 划模型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型 的建立。 的建立。
提出三个问题大家考虑： 提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 1.问题的未知数是什么？ 问题的未知数是什么 2.以什么准则进行决策？ 2.以什么准则进行决策？ 以什么准则进行决策 3.约束条件是什么？ 3.约束条件是什么？ 约束条件是什么 设未知数 目标函数 约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未知数。 这里生产方案指的是如何安排甲 、乙产品的产量。显然，产量是未知数。 T/日 ① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日 决策准则是产值最大， 代表产值，则有： Z=3 ② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， Z 是x1、x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：max Z= 3x1+2x2 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） ③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） x 1 + 2 x 2≤ 6
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max(min)Z(x) = c1x1 + c 2 x 2 + L + c n x n
a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1 n x n a x + a x +L + a x 22 2 2n n 21 1 a x + a x + L + a x m 2 2 mn n m1 1 x1 , x 2 , L , x n
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 条件下 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
2万m3 1.4万m3
2万m3 1.4万m3
分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 约束条件： 约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2% (2 - x1) / 500 ≤ 2 / 1000 流经第二化工厂后， 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2% [0.8(2 .4[0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 ≤ 2 / 1000 污水处理量限制 x1 ≤ 2，x2 ≤ 1.4，x1 ≥ 0，x2 ≥ 0 2， 1.4 .4， 0， 目标函数： 目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小 min z = 1000 x1+800 x2
车辆数 12 12 10 8 8 4 4 7 4 时 0 4 8 12 16 20 24 间
派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出， 派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连续工 小时。 作8小时。 小时 各时间间隔所派车辆数为x 设：各时间间隔所派车辆数为 j j=1，2，…，6 ， ， ， 则有： 则有： min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x6≥4 x1+x2≥8 x2+x3≥ 10 x3+x4≥7 x4+x5≥12 x5+x6 ≥4 x1，x2，x3，x4，x5，x6 ≥0
T
C = (c1 , c2 ,L, cn ); X = ( x1 , x2 ,L, xn )
= a1 j a2 j M a mj b1 b2 = M b m 0 0 0 = 0 0
约 束 条 件
2x1+x2≤8 x2≤ 2 x2 -x1≤ 1 x 1 ， x 2≥ 0
资源限制 市场限制 非负限制
靠近某河流有两个化工厂（见图） ，流经第一化工厂的河 例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图） 流经第一化工厂的河 ，
3 流流量为每天 500 万 m ，在两个工厂之间有一条流量为每天 200 3 的支流。 万 m 的支流。 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2 3 3 万 m ，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万 m 。从第一化工 3 3 3 3