2023-2024学年山东省威海市文登区八年级(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中，不是最简二次根式的是( )A. 6 B. 2 6 C. 1
5 D. 35
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 2x 3+x−5=0
B. ax 2+bx +c =0
C. 1x 2+x−1=0
D. x 2=0
3.顺次连接平行四边形各边中点所得四边形一定是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
4.下列运算正确的是( )
A. 4+ 2= 6
B. 4× 2=4 2
C. 4÷ 2= 2
D. 4− 2= 2
5.如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD ，CE 交于点O ，则
OD OB
的值为( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 356.如图，小明利用四根长度为13cm 的木条首尾相接，钉成正方形ABCD ，然后利用四边形的不稳定性将其变形，得到四边形A 1BCD 1.若BD 1=24cm ，则A 1，C 之间的距离比变形前A ，C 之间的距离短( )A. 10cm
B. 13 2cm
C. (13 2−10)cm
D. (13 2
2−5)cm
7.若关于x 的一元二次方程ax 2+2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )
A. a <1
B. a ≤1
C. a ≠0
D. a <1且a ≠0
8.如图，已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论正确的是( )
A. 当AB =CD ，AD//BC 时，四边形ABCD 是平行四边形
B. 当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形
C. 当OA =OB =OC =OD 时，四边形ABCD 是矩形
D. 当AC =BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形
9.如图，在Rt △ABC 中(∠C =90°)放置边长分别为1，2，x 的三个正方形，则x 的值为( )
A. 3
B. 4
C. 3
D. 5
10.如图，△ABC 和△ADE 是以点A 为位似中心的位似图形，已知点A(1,0)，点B(5,4)，点C(7,2)，点E(4,1)，那么点D 的坐标为( )
A. (2,3)
B. (3,2)
C. (207,2)
D. (354,2)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若代数式
5−x 2有意义，则x 的取值范围是______．12.若x 7=y 3，则x−y x = ______．
13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD =120°，
AB =5，则BC 的值为______．
14.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，以AC 为一边作矩形ACDE ，使
AE =AB ；以BC 为边作正方形BCFG ，则S 矩形ACDE ______S 正方形BCFG .(填>，
<或=)
15.某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场
.若有x 支球队参赛，则可列方程______．
16.如图，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，点A 1，A 2，A 3……在
AO 上，且AA 1=13AO ，A 1A 2=13A 1O ，A 2A 3=13A 2O……；点B 1，B 2，B 3……在BO 上，且BB 1=1
3BO ，B 1B 2=13B 1O ，B 2B 3=13B 2O ……；点C 1，C 2，C 3……在CO 上，
且CC 1=13CO ，C 1C 2=13C 1O ，C 2C 3=13C 2O ……；顺次连接A 1，B 1，C 1；A 2，B 2，C 2；
A 3，
B 3，
C 3…….若△ABC 的面积为S ，则△A 2024B 2024C 2024的面积为______．三、解答题：本题共8小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)
计算：(1)( 24+ 0.5)−( 18
− 6)；(2)( 5−1)2+(5+ 20)÷ 5．
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)(x +1)(x−3)=5；
(2)用配方法解方程：x 2−2 2x−4=0．
19.(本小题8分)
已知：α，β是关于x 的一元二次方程x 2−2x +m−1=0的两个根．
(1)若α+3β=0，求m 的值；
(2)在(1)的条件下，求α2−4α−2β的值．
20.(本小题8分)
某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度.采用的方法如下：如图，首先把支架EF 放在离树AB 适当距离的水平地面上点F 处，再把镜子水平放置在支架EF 上点E 处，然后观测者沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A.用皮尺分别测得BF =8m ，DF =2m.若观测者目高CD 为1.6m ，支架EF 的高为0.6m ，求这棵树的高度．
21.(本小题9分)
定义：若两个二次根式a ，b 满足a ⋅b =c ，且c 为有理数，则称a 与b 是关于c 的共轭二次根式．(1) 12与 2是关于______的共轭二次根式；
(2)若m 与2 5−3 2是关于2的共轭二次根式，则m = ______．(3)若3+ 3与6+ 3n 是关于12的共轭二次根式，求n 的值．
22.(本小题10分)
有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片．
(1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形(阴影部分)后，将其折成无盖长方体盒子.若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长；
(2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案(阴影部分为裁剪下来的边角料)，其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子(接缝忽略不计)？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
23.(本小题11分)
如图，正方形ABCD，AB=8.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N．
(1)求证：MN=DM+BN；
(2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF.在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求出BN的值；若不能，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图1，矩形ABCD，点E，点F分别为AD，BC上的点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点B′落在CD上，连接BB′．
(1)如图2，当点B′与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB′F的形状，并说明理由；
(2)若AB=6，BC=8，求折痕EF的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.D
8.C
9.A
10.B
11.x≤5
12.4
7
13.53
14.=
15.1
2
x(x−1)=66
16.24048
34048
S
17.解：(1)(24+0.5)−(1
8
−6)
=26+1
22−1
4
2+6
=36+1
4
2；
(2)(5−1)2+(5+20)÷5
=5−25+1+5÷5+20÷5 =5−25+1+5+4
=5−25+1+5+2
=8−5．
18.解：(1)(x+1)(x−3)=5，
整理得：x2−2x−8=0，
(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
x1=4，x2=−2；
(2)x2−22x−4=0，
x2−22x=4，
x2−22x+2=4+2，
(x−2)2=6，
x−2=±6，
x1=6+2，x2=−6+2．
19.解：(1)∵α，β是关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0的两个根，∴α+β=2，
∵α+3β=0，
∴(α+β)+2β=0，
即2+2β=0，
解得β=−1，
∴(−1)2−2×(−1)+m−1=0，
解得m=−2；
(2)由(1)知：m=−2，
则一元二次方程x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
解答x1=3，x2=−1，
即α=3，β=−1，
∴α2−4α−2β
=32−4×3−2×(−1)
=9−12+2
=−1．
20.解：过点E作EM⊥CD，垂足为点M，延长ME交AB于点N，
由题意得：DM=EF=NB=0.6m，ME=DF=2m，EN=BF=8m，∠CEM=∠AEN，∠CME=∠ANE=90°，
∴△CEM∽△AEN，
∴CM AN =EM
EN
，
∴1.6−0.6
AN =2
8
，
解得：AN=4，
∴AB=AN+BN=4+0.6=4.6(m)，
答：这棵树的高度为4.6m．
21.(1)1；
(2)25+32；.
(3)∵3+3与6+3n是关于12的共轭二次根式，∴(3+3)(6+3n)=12，
∴6+3n=
12
3+3
=12(3−
3)
(3+3)(3−3)
=2(3−3)=6−23，
∴n=−2．
22.解：(1)设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为(28−2x)cm，宽为(16−2x)cm，
根据题意得：(28−2x)(16−2x)=220，
整理得：x2−22x+57=0，
解得：x1=3，x2=19(不符合题意，舍去)．
答：裁去的小正方形的边长为3cm；
(2)设裁去的小正方形的边长为ycm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为28−2y
2
=(14−y)cm，宽为
(16−2y)cm，
根据题意得：(14−y)(16−2y)=144，
整理得：y2−22y+40=0，
解得：y1=2，y2=20(不符合题意，舍去)，
∴144y=144×2=288．
答：能折出底面积为144cm2的有盖盒子，盒子的体积为288cm3．
23.(1)证明：连接AN，AM，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEN=90°，
∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形AEFG，∴AB=AE，∠B=∠AEH=90°，
在Rt△ABN与Rt△AEN中，
{AB=AE
AN=AN，
∴Rt△ABN≌Rt△AEN(HL)，
∴BN=EN，
同理DM=EM，
∵MN=EN+EM，
∴MN=BN+DM；
(2)解：能，
理由：∵CD=EF，
∴当CD，EF互相平分时，四边形DECF是矩形，
设BN=x，则CN=8−x，NM=x+4，
在Rt△MCN中，∵CN2+CM2=MN2，
∴(8−x)2+42=(x+4)2，
∴x=8
，
3
即BN=8
．
3
24.解：(1)四边形BEB′F 是菱形，理由如下：
由折叠的性质得：∠BFE =∠B′FE ，EF 垂直平分BB′，∴BE =B′E ，BF =B′F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD//BC ，
∴∠B′EF =∠BFE ，
∴∠B′EF =∠B′FE ，
∴B′E =B′F ，
∴BE =B′E =B′F =BF ，
∴四边形BEB′F 是菱形；
(2)过点E 作EG ⊥BC 于G ，设EF 与BB′交于点O ，如图①所示：则∠EGF =90°，四边形ABGE 为矩形，
∴∠GEF +∠EFG =90°，EG =AB =6，
由折叠的性质得：EF ⊥BB′，
∴∠BOF =90°，
∴∠EFG +∠B′BF =90°，
∴∠GEF =∠B′BF ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD =AB =6，∠C =90°，
∴∠C =∠EGF ，
∴△EGF ∽△BCB′，
∴EF BB′=EG BC =68=34，
∴EF =34BB′，
∴当BB′取最大值，EF 取得最大值，
此时，点B′与点D 重合，
连接BD ，
在Rt △BCD 中，BD = BC 2+CD 2= 82+62=10，∴EF 最大=34BD =34×10=152．。