大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题

x x x x
由不确定关系： 由不确定关系：
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆x ↑ , ∆p x ↓
P 练习： 练习：574 17.14 ∆ t = 10 −8 s , E − E 0 = 3.39 eV , 已知: 已知:电子处于某能级 (1)该能级能量的最小不确定量 (1) 求： 该能级能量的最小不确定量∆ E (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 λ 及 ∆ λ :(1) 解:(1) Q ∆E ⋅ ∆t ≥ h h 1.055 × 10 ∴ ∆E ≥ = = 1.055 × 10 ( J ) = 6.59×10−6 (eV) 10 ∆t
1. 将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 2. 求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 3. 在何处找到粒子的概率最大？ 在何处找到粒子的概率最大？
解： 1.由归一化条件 得：
∞ 2 A A dx = ∫ dx＝A 2 arctg x ]∞∞ ＝A 2π = 1 ∫∞ 1 + ix − 1 + x2 − −∞
Ψ
E 4 = 16 E 1
(x , t )
n=4 n=3 n=2 n=1
ψ (x )
2
n=4 n=3 n=2 n=1
E
3
= 9E1
E
2
= 4E1
E1
o 驻波波长： 驻波波长：
a
x
o
a
x
λn = 2a n, n = 1, 2, 3,......
由
k 2 h 2 n 2π 2 h 2 E= = = n 2 E1 2 2m 2ma
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
λ
2
∴
h λ2 h λ2 ∆x ≥ = ⋅ = ∆p x 2π h∆λ 2π∆λ
3 × 10 λ λ = ⋅ = × 10 = 0.048( m) 2π ∆λ 2π
−7 6
练习2. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中 练习2. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示， 确定粒子动量精确度最高的是哪一个？ 确定粒子动量精确度最高的是哪一个？
1 − v 2 c2 1 1 ∝ = 2− 2 2 2 v v c 1− v c
练习3 计算动能为1KeV 1KeV的电子的德布罗意波长 练习3：P546例1 计算动能为1KeV的电子的德布罗意波长 相对论: 解：由 相对论: E = E 0 + E k
E = E +c p 1 1 E −E = (E + E ) − E 得：p = c c 1 1 2E E + E = 2E m c + E = c c
−34 − 26 −8
(2) Q E − E = hν = λ
0
hc
−34
hc 6.63 × 10 × 3 × 10 λ= = = 3.67 × 10 ( m ) E−E 3.39 × 1.6 × 10
8 −7 − 19 0
hc − 15 ∆λ = ⋅ ∆E = 7.13 × 10 (m ) 2 ( E − E0 )
/4处 概率密度为： (2) 在Ｌ/4处，概率密度为：
2 nπ L 2 nπ | ψ ( L / 4 ) | = sin ( ) = sin L L 4 L 4
2 2 2
nπ |ψ ( L / 4) | 为最大值时： sin = ±1 为最大值时： 4 nπ π ∴ = ( 2k + 1) ( k = 0,1,2......) 4 2
2 k k
练习 戴维孙—革末电子衍射实验装置如图， 戴维孙 革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发 革末电子衍射实验装置如图 射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶 电压加速后投射到某种晶 φ = 20o 时，测得电子流强度出现 体上， 体上，在掠射角 极大值， 第二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体 的晶格常数。 的晶格常数。
2
∴ n = 2( 2k + 1) ( k = 0,1,2......)
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
第十六章 量子力学基本原理 第一节 物质波假设及其实验验证
练习1 练习1：设光子与电子的德布罗意波长均为λ，试比较 其动量和能量大小是否相同。 其动量和能量大小是否相同。 解: 动量 p = λ
光
h
h
pe =
p光 = pe
hc
能量 E光 = hν =
2
λ
λ
2
mvc pc c hc c = ⋅ E光 = Ee = mc = = v v λ v v 结论：当电子的德布罗意波长与光子的波长相等时， 结论：当电子的德布罗意波长与光子的波长相等时， 它们动量相等，能量不等，电子的能量较大。 它们动量相等，能量不等，电子的能量较大。 注意：电子运动速率v小于 电子物质波波速u大于 小于c, 大于c, 注意：电子运动速率 小于 电子物质波波速 大于 而光子运动速率c等于光波波速 。 即：v ≠ u ≠c ;而光子运动速率 等于光波波速 c。
第三节
练习
波函数
薛定谔方程
将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍 将波函数在空间各点的振幅同时增大 倍，则粒 子在空间的分布概率将 1）增大 2 倍， ）增大D 3）增大 倍， ）增大D倍 2）增大 倍， ）增大2D倍 4）不变。 ）不变。
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一维问题)
例题1 例题1 一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子 物质波波长是否一致？ 物质波波长是否一致？
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
∞
2
∴ A =
1
π
1 ψ (x) = π (1 + ix )
2.概率密度为： 2.概率密度为： 概率密度为
ψ (x ) =
2
1 1 = π (1 + x π (1 + ix )
2
2
2
)
3. 令：
d ψ (x ) = 0 dx
得：
x=0
处粒子的概率密度最大。 即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
∴λ ≈
hc = 2E m c
2 k 0
h 2E m
k
0
h 本题： 本题： k = 1KeV(〈〈 0.51MeV) 时： = E λ = 0.39( A) 2E m
° k 0
2 2 (2) 若 Ek 〉〉 m0c 2 (= 0.51Mev) 则 E k 〉〉 2 E k m 0 c hc hc ∴ λ ≈ = E E
2
E e > E光
练习2. 练习2. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动， 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其物质波 波长 λ 与速度 v 有如下关系
(A ) (C )
λ∝v λ∝
1 1 − 2 2 v c
h
(B )
λ ∝1 v λ ∝ c2 − v2
(D )
h h = 解：λ = = p mv m0v
2 d sin φ = k λ kλ d= = 0.161(nm) 2sinφ
第二节
练习1： 练习 ：P574 17. 13
o
不确定关系
∆λ = 10 − 6 已知： 已知： 光子 λ = 3000 A , λ 求：光子位置的不确定量
解：设光子沿 x 方向运动 由 又
px =
h
λ
| ∆px |=
h∆λ
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
2 k
h λ = = p
两种特例： 两种特例： 特例
2
hc 2E m c + E
2 k 0
2 k
(1) 若 E k 〈〈 m0 c ( = 0.51Mev )
则 E k2 〈〈 2 E k m 0 c 2
me = 9.11 × 10 −31 kg 已知： 已知：
e = − 1.60 × 10
− 19
634 × 10 −34 J ⋅ s
解： 先求电子动量
Ek = eU = 500eV〈〈 m0c 2 (= 0.51Mev)
p Ek = = eU 2m
∴ p = 2meU
2
φ
晶体
由德布罗意公式： 由德布罗意公式： h h λ= = = 5.49 × 10 −11 (m) p 2meU 由布喇开公式： 由布喇开公式： 得晶格常数： 得晶格常数：
2 2
L
L
nπ x 2 dx ∴W = ∫ |ψ | d x = ∫ sin 0 L L 1 1 nπ 2 L nπx nπ x sin sin d( )＝ − =∫ 4 2 nπ 2 L nπ L L
L 4
L
2
4
2
0
L
4
2
0
=1时 Ｗ 当n=1时： =1
1 1 ＝ − = 9% 4 2π
=∞时 当n=∞时：Ｗ＝1/4 =∞