全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。

三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

4、几何不等式。

5、简单的等周问题。

了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

6、几何中的运动：反射、平移、旋转。

7、复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

2、第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

2、正多面体，欧拉定理。

3、体积证法。

4、截面，会作截面、表面展开图。

四、平面解析几何
1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

2、二元一次不等式表示的区域。

3、三角形的面积公式。

4、圆锥曲线的切线和法线。

5、圆的幂和根轴。

五、其它
抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

数学竞赛中涉及的重要定理
1、第二数学归纳法：
有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

2、棣美弗定理：
设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n为正整数。

3、无穷递降法：
证明方程无解的一种方法。

其步骤为：
假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。

所以，方程无解。

4、同余：
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m) ，
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。

比如26 ≡ 14 (mod 12)
【定义】设ｍ是大于1的正整数，a,b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m.。

有如下事实：
(1)若a≡0(mod m)，则m|a；(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同.
5、欧几里得除法：
即辗转相除法。

详见高中数学课标人教B版必修三
6、完全剩余类：
从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。

例如，一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系。

可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。

7、高斯函数：
f(x)=ae-(x-b)^2/c^2 其中a、b与c为实数常数，且a > 0.
8、费马小定理：
假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡１（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p 的余数恒等。

9、欧拉函数：
φ函数的值：通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2…pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。

10、孙子定理：
此定理的一般形式是设m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数，m＝m1，…mk ，m＝miMi，i＝1，2，… ，k 。

则同余式组x≡b1(modm1)，…，x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk （modm）。

式中M'iMi≡1 （modmi），i＝1，2，…，k 。

11、裴蜀定理：
对任何整数a、b和它们的最大公约
数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
11、梅涅劳斯定理：
如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、
E 、
F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF EA CE DC BD ∙∙=1
12、梅涅劳斯定理的逆定理：
如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上
有点D 、E 、F ，且满足FB AF EA CE DC BD ∙∙=1，则D 、E 、F 三点共线。

13、塞瓦定理：
设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、
M ，则1=∙∙PA CP NC BN MB AM
14、塞瓦定理的逆定理：
设M 、N 、P 分别在△ABC 的
边AB 、BC 、CA 上，且满足1=∙∙PA CP NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。

15、广勾股定理的两个推论：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。

推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c
则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2
222221c b a -+
16、三角形内、外角平分线定理：
内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有
AC AB DC BD = 外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，
则有AC AB DC
BD = 17、托勒密定理：
四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD
18、三角形位似心定理：
如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P
19、正弦定理、
在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）
余弦定理：
a 、
b 、
c 为△ABC 的边，则有：
a 2=
b 2+
c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;
20、西姆松定理：
点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。

21、欧拉定理：
△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.
22、巴斯加线定理：
圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线。