第三节系统的传递函数

当 初 始 条 件 为 零 时 ， 对 式 2 4 5 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 ( ) n n -1 m m -1 a s+ a s + 鬃 ?a s +a X s =( b s +b s + () ( ) 0 1 n -1 n 0 0 1 鬃 ?b s +b X s m -1 m ) i()
式中
T ─ 时 间 常 数 ； z ─ 阻 尼 比 ， 0 ＜ z ＜1。
振荡环节另一种常用的标准形式为 w n2 G (s)= 2 s + 2zw n s + w n2 式中
1 wn ─ 无 阻 尼 自 然 振 荡 频 率 ， wn = 。 T
图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当 0<ξ<1时，其运动规律可用振荡环节描述。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲 函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分 环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是 近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下 形式：
KTD s G (s) = TD s + 1
例图 为无源微分 电路，设电压ui (t )为 输入量，电阻R两端电 压u0 (t )为输出量。
例 如 图 2 1 1 所 示 为 机 械 转 动 系 统 ， 它 由 惯 性 负 载 和 粘 性 摩 檫 阻 尼 器 构 成 ， 以 转 矩 T 为 输 入 量 ， 以 角 i 速 度 w 为 输 出 量 。
B Ti J

dw(t) 其 运 动 方 程 式 为 ： J +B w(t)= T t) i( dt W (s) 1 K 其 传 递 函 数 为 ： G(s)= = = T s) Js+ B Ts+1 i( J 1 式 中 T= , K= 。 B B
零 点 和 极 点 的 数 值 完 全 取 决 于 系 统 的 参 数 a 、 a 、 鬃 鬃 、 a 和 b 、 b 、 鬃 、 , 即 取 决 于 系 统 的 结 0 1 n 0 1 构 参 数 。
一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数， 必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的 缘故。把传递函数 的零、极点表示在复平面上的图形， 称为传递函数的零、极点分布图，如下图2-7所示。图中 零点用”○”表示，极点用”╳”表示。
例2-16 如图2-16所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律 和欧姆定律可求得其传递函数为:
R1
U s) K Ts ) 0( 1( 1 +1 G s = ( )= U s) Ts i( 2 +1
R2
C
u i (t )
u o (t )
式 中K = R R ;T CT ; 2=K T 。 2 /( 1+ R 2) 1= R 1 1
可见，该电路的传递函数是由比例环节、一阶微 分环节及惯性环节组成。
6. 振荡环节
振荡环节包含两种储能元件，并且两种能量能够相互 转换。因此，振荡环节的输出带有振荡的性质。 2 d x 0 (t ) dx 0 (t ) 2 其运动方程为：T + 2z T + x 0 (t ) = xi (t ) 2 dt dt 1 其 传 递 函 数 为 ： G (s) = 2 2 T s + 2z Ts + 1
即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数 所决定，与输入信号和输出信号无关。
5、 一个传递函数只能表示一个输入对一个 输出的关系，所以只适用与单输入单输出 系统的描述，而且系统内部的中间变量的 变化情况，一个传递函数也无法全面反映。
6、传递函数是描述系统动态特性的一种数学 模型，但它是在系统工作在某个相对静止状态 时得出的。因此，传递函数原则上不能反映系 统在非零初始条件下的全部运动规律。
w1 其减速比为：i= w2 1 则有： w2 = w1 i

T1
2
T2
2. 惯性环节
输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描 述的环节称为惯性环节。其特点是存在一个储能元 件，在输入量突然变化时，输出不能立即复现输入。 故它的输出量的变化落后于输入量。
d x t ( ) 0 其 运 动 方 程 为 ： T + x t = K x t ( ) ( ) 0 i d t
f (t)
k
R
L
根 据 传 递 函 数 的 定 义 ， 系 统 的 传 递 函 数 G s 为 () m m -1 Xs () b s+ b s + 鬃 ?b s + b 0 0 1 m -1 m G s = = n () n -1 Xs a s + a s + 鬃 ?a s + a () i 0 1 n -1 n
(0<z < 1)
相应的传递函数分别为：
Gs ( )=KTs ( D +1 ) Gs t s +2 z t s+1 ( )=K ( )
2 2
与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环 节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然 包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分 环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品 质。
j
2 1

-3 -2 -1 -1 1
图2-7 系统的零极点分布图
二、典型环节及其传递函数
自动控制系统种类很多，构成环节的类型就其物 理本质可能差别很大。但从数学分析的观点看， 任何一个复杂的系统都仅有有限的几个典型环节 组成。这些典型环节是：比例环节、惯性环节、 积分环节、微分环节、振荡环节和延时环节。因 此，在研究系统动态特性时，熟悉和掌握各种典 型环节，有助于我们对复杂的系统进行分析研究。
K 其 传 递 函 数 为 ： G s = () T s + 1
式 中 K ─ 惯 性 环 节 的 增 益 ； T ─ 时 间 常 数 ， 它 和 环 节 的 结 构 参 数 有 关 。
例 如 图所 示 的 RC电 路 ， ui (t)为 输 入 电 压 ， u0 (t)为 输 出 电 压 。
R
i (t ) u i (t )
C
u o (t )
其 微 分 方 程 为 ： R i (t ) + u 0 (t ) = u i (t ) d u 0 (t ) i (t ) = C dt 消 去 中 间 变 量 后 ， 得 d u 0 (t ) RC + u 0 (t ) = u i (t ) dt 通 过 拉 氏 变 换 求 得 电 路 的 传 递 函 数 为 ： U 0 (s) 1 G (s) = = U i (s) Ts + 1 式 中 T = RC
图2-11 机பைடு நூலகம்转动系统
3. 积分环节
输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积 分环节。其显著特点是输出量取决输入量对时间的 积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量消 失为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故积分 环节有记忆功能。
x(t) xi (t)
x t) o(
1
O
t0
t
1 其 运 动 微 分 方 程 为 ： x0 (t)= òx t)d t i( T 1 1 其 传 递 函 数 为 ： G(s)= Ts 1 式 中 T 积 分 环 节 的 时 间 常 数 。 1─
例：电容器充电的电流i 和电容电压u 为图所示，求传递函数。 的关系
4. 微分环节 输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微 分环节。
d xt ( ) i 其 运 动 方 程 式 为 ： x t = T ( ) 0 D d t
其 传 递 函 数 为 ： G s= T s () D 式 中 T ─ 微 分 环 节 的 时 间 常 数 。 D
R2
R1 ui (t )


uo (t )
图2-8
数字运算放大器
U s ( ) R 0 2 其 传 递 函 数 为 ： G s = = = K ( ) U s ( ) R i 1
如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为 输出转矩。

1
W 1 2 (s ) 齿轮副转速的传递函数为： G (s) = = W i 1 (s ) 在不考虑损耗时，有： w1T1 = w2T2 T2 (s ) w1 则齿轮副转矩的传递函数为：G (s) = = =i T1 (s ) w2
C
u i (t )
R
u o (t )
这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯 性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都 是具有惯性的。当这个电路的TD=RC<<1时，可近 似得到理想微分环节，即G(s)≈TDs。
5. 一阶微分环节和二阶微分环节
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
轾 dxi (t ) x0 (t) =K 犏 TD + xi (t ) 犏 dt 臌 2 轾 d x t dx t ( ) ( ) i i 2 犏 x 0 (t) =K 犏 t + 2zt + xi (t ) 2 dt 臌 dt 式中 TD ─一阶微分环节的时间常数； K─比例系数； t ─二阶微分环节的时间常数； z ─二阶微分环节的阻尼比；
7、传递函数可以写成零极点表达式
X s s -z s -z 鬃 ? sz ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 m G s = = K ( ) X s s -ps -p 鬃 ? sp ( ) ( ) ( )( ) i 1 2 n
式 中z 传 递 函 数 分 子 多 项 式 为 零 的 点 ， i─ 称 为 传 递 函 数 的 零 点 ， i= 1 ,2 , 鬃 鬃 ,m 。 p 传 递 函 数 分 母 多 项 式 为 零 的 点 ， j─ 称 为 传 递 函 数 的 极 点 ， j= 1 ,2 , 鬃 鬃 ,n 。
C
u i (t )
R
u o (t )
1 其运动方程为： ui (t ) = Ri (t ) + ò i (t ) dt C u0 (t ) = Ri (t ) 消去中间变量后，得： 1 ui (t ) = u0 (t ) + ò u0 (t ) dt RC U 0 (s ) TD s RCs 其传递函数为：G (s) = = = U i (s ) RCs + 1 TD s + 1 式中 TD = RC
1.比例环节
输出量以一定的比例复现输入量，不失 真不滞后的环节，称为比例环节。
运 动 方 程 为 ： xt = K x t ( ) ( ) o i
传 递 函 数 为 ： Gs ( )=K 式 中K ─ 比 例 环 节 的 常 数 ， 通 常 称 为 放 大 系 数 或 增 益 。
图 2 8 所 示 是 数 字 运 算 放 大 器 ， u t 为 输 入 电 压 ， ( ) i u t 为 输 出 电 压 。 ( ) 0
第三节 传递函数
一、传递函数的定义 1.定义 传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
n n -1 d x t d x t d x t () 0 0() 0() a +a +鬃 ? a + ax t 0 1 n -1 n 0() n n -1 d t d t d t m m -1 dx t d x t d x t i () i () i () =b +b +鬃 ? b 0 1 m -1 m m -1 d t d t d t + b x t( n? m ) m i ()
(n ³ m )
利 用 传 递 函 数 可 以 把 元 件 或 系 统 的 输 出 量 的 拉 氏 变 换 写 成 X s =Gs X s () 0() i ()
2. 关于传递函数的几点说明
1、系统或元件的传递函数，也是描述其动态特性的一种 数学模型，它和系统(或元件)的运动方程是相互一一对 应的。若给定了系统(或元件)的运动方程式，则与之对 应的传递函数便可唯一的确定。 2、传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象 出来的，它只反映系统(元件)中输出信号与输入信号之 间的变化规律，而不反映原来物理系统(元件)的实际结 构。对于许多物理性质截然不同的系统(元件)，可以具 有相同形式的传递函数。
例如下图(a)和(b)所示的两种不同的物理系统，有 类同的传递函数，它们分别为：
3、对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母 的次数n ，且所有系数均为实数。因为实际的物 理系统总是存在惯性，输出不会超前于输入。且 各系数都与系统元件的参数有关。
4、 传递函数反映系统本身的动态特性，只
与系统本身的参数有关，与外界输入无关。