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31
① 测量列中单次测量的标准差
在等精度测量列中,单次测量的标准差
2 i i 1 n

12 22 n2
n

n
式中,n ——测量次数; δi——每次测量中相应各测量值的随机误差。
32
图1.3.2 三种不同值的正态分布曲线
实际工作中用残差来近似代替随机误差求标准差的估计值
可以显示波 形的便携式 仪表
5
直接测量
电子卡尺
6
间接测量
对多个被测量进行测量,经过计算 求得被测量(阿基米德测量皇冠的比重)。
7
接触式测量
8
非接触式测量
例:雷达测速
车载电子警察
9
离线测量
产品质量检验
加工精度。
11
第二节 1.2.1
x0 x 2 x x0 x 3 x
(置信概率P 0.95) (置信概率P 0.99)
43
1.2.5 系统误差
1. 系统误差的发现 2. 系统误差的削弱和消除
44
1. 系统误差的发现 (1)理论分析及计算 (2)实验对比法 (3)残余误差观察法 (4)残余误差校核法 (5)计算数据比较法
测量误差与数据处理
测量误差的概念和分类
1. 有关测量技术中的部分名词 2. 误差的分类
12
1. 有关测量技术中的部分名词 (1)真 值:
理想情况下表征一个物理量真实的值。
(2)实际值:
满足规定准确度时用以代替真值使用的值。
(3)标称值:
计量或计量器具上标注的量值。
(4)示 值:
测量仪表、量器给出或提供的量值。13
21
仪表的精度等级和基本误差
例:某指针式电压表的精度为 2.5级,用它来测量电压时可能产 生的满度相对误差为2.5% 。
22
例:某指针式万用 表的面板如图所示, 问:用它来测量直 流、交流(~)电 压时,可能产生的
满度相对误差分别
为多少?
23
例:用指针式万用表 的10V量程测量一只 1.5V干电池的电压, 示值如图所示,问: 选择该量程合理吗?
最大允许误差
nm
xm 100% a% xn
(1.2.5)
当示值为x时可能产生的最大相对误差为
xm rm 100% x
(1.2.6)
用仪表测量示值为x的被测量时,比值越大,测量结果 的相对误差越大。选用仪表时要考虑被测量的大小越接近 仪表上限越好。被测量的值应大于其测量上限的2/3。
残差= i 次测量值 - 平均值
vi xi x
n
由 x 求出的残差之和为0。 vi
1
0
由 x 求出的残差平方和最小。
2 v i min 1
33
n

v
i 1
n
2 i
n 1
贝塞尔(Bessel)公式
② 测量列算术平均值的标准差
x

1 n n
v
i 1
n
2 i
第一章 检测技术的基本概念
本章学习测量的基本概念、测量方
法、误差分类、测量结果的数据统计处
理,以及传感器的基本特性等,他们是
检测与转换技术的理论基础。
1
第一节 检测技术的基本概念及方法
静态测量
2
对缓慢变化的 对象进行测量亦属 于静态测量。
最高、最低 温度计
3
动态测量
地震测量 振动波形
4
便携式仪表
15
1.2.3 测量误差的表示方法
(1) 绝对误差 (2) 相对误差
16
(1) 绝对误差
绝对误差是示值与被测量真值之间的差 值。设被测量的真值为 A0 ,器具的标称 值或示值为X,则绝对误差为 ΔX =X -A0 (1.2.1) 由于一般无法求得真值 A0,在实际应用 时常用精度高一级的标准器具的示值, 即实际值A代替真值A0。X与A之差称为测 量器具的示值误差,记为 ΔX =X -A (1.2.2) 通常以此值来代表绝对误差。 17
24
用2.5V量程测
量同一只1.5V干电
池的电压,与上图 比较,问示值相对 误差哪一个大?
25
1.2.4 随机误差
1. 正态分布
2. 随机误差的评价指标
3. 测量的极限误差 4.测量结果的数字表示方法
26
1. 正态分布

随机误差是以不可预定的方式变化着的 误差,但在一定条件下服从统计规律
正态分布的概率密度:
n n
x
i 1
n
i
n
A0
当测量次数为无限次时,所有测量值的算术平均值即等于 真值,事实上是不可能无限次测量,即真值难以达到。但是, 随着测量次数的增加,算术平均值也就越接近真值。 因此,以算术平均值作为真值的最佳估计值是既可靠又合 理的。 30
(2) 标准差 ① 测量列中单次测量的标准差 ② 测量列算术平均值的标准差
M vi
i 1
k
i k 1
n
v
i
i
,
k
2
当n为奇数时
M vi
i 1
i k 1
v
,
n 1 k 2
当 M→0 时,则测量列中不存在系统误差; 当 M≥vi时,则测量列中存在系统误差; 当0<M<vi时,则不能肯定测量列中是否存在系统误差。
48
(4)残余误差校核法 (续) ② 用于发现周期性系统误差 阿卑-赫梅特准则是用来判断测量数据中是否 存在周期性系统误差。当随机误差很显著,周期 性系统误差很难从测量数据或残差的变化规律中 发现。 阿卑-赫梅特准则:将残差按测量顺序排列, 并依次两两相乘,然后取和的绝对值,如果
上式为任意两组结果间不存在系统误差 的条件
50
2. 系统误差的削弱和消除
(1)从产生误差源上消除系统误差 (2)引入修正值法 (3)零位式测量法 (4)替代法 (5)半周期法
51
(1)从产生误差源上消除系统误差 选用最合理的机理,避免原理上的不完善、 计算上的近似、定义不严格等方法误差。 材料、零部件选用优质产品,精心设计、 精心施工,避免工具误差。
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(1)理论分析及计算 因测量原理或使用方法不当引入系统误差 时,可以通过理论分析和计算的方法加以修正。
(2)实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件进 行不同条件的测量,以发现系统误差,这种方法 适用于发现恒定系统误差。
(3)残余误差观察法 根据测量列的各个残余误差的大小和符 号变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形来 判断有无系统误差,这种方法主要适用于发现有 规律变化的系统误差。
1 y f e 2
δ:随机误差
2 2 2

σ:均方根差
概率分布函数:
1 F 2
2 i i 1
n
n
2 2 2



e

d
27
正态分布的随机误差分布规律
(1)对称性。绝对值相等的正 误差和负误差出现的次数相 等。 (2)单峰性。绝对值小的误差 比绝对值大的误差出现的次 数多。 (3)有界性。一定的测量条件 下,随机误差的绝对值不会 超过一定界限。 (4)抵偿性。随测量次数的增 加,随机误差的算术平均值 趋向于零。
36
(1)单次测量的极限误差
1 1 e 2 随机误差在-δ至+δ范围内概率为:

2 2 2 d
1 P( ) 2
经变换为:

2 2 2
e
2 d 2

2 2 2 0
e
d
2 P( ) 2
e
0
t
t2 2
② 示值相对误差。
③ 满度(引用)相对误差
19
① 实际相对误差。
A
x 100% A
(1.2.3)
② 示值相对误差。
x x 100% x
(1.2.4)
③ 满度(引用)相对误差
x rn 100% xn
(1.2.5)
20
指示仪表的最大满度相对误差不许超过该仪表精度等 级的百分数,即
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(2)算术平均值的极限误差
测量列的算术平均值与被测量的真值之差
x x A0
当多个测量列算术平均值误差为正态分布时, 得到测量列算术平均值的极限误差表达式为
lim x t
lim x x
x
式中的t为置信系数,为算术平均值的标准差。 通常取t=3,则 3
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4.测量结果的数字表示方法
46
不存在系差
存在线性系差
存在周期性系差
既存在线性系差 又存在周期性系差
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(4)残余误差校核法
① 用于发现累进性系统误差 马利科夫准则:设对某一被测量进行n次等精度 测量,按测量先后顺序得到测量值x1,x2,…,xn,相 应的残差为v1,v2,…,vn。把前面一半和后面一半数 据的残差分别求和,然后取其差值。 k n 当n为偶数时 n
A
v v
i 1
n 1
i i 1
n 1
2
则认为测量列中含有周期性系统误差。
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(5) 计算数据比较法 对同一量进行多组测量,得到很多 数据,通过多组计算数据比较,若不存 在系统误差,其比较结果应满足随机误 差条件,否则可认为存在系统误差。
xi x j 2 i2 2 j
dt 2(t )
若某随机误差在±tσ 范围内出现的概率为2Φ(t),则超出该误 差范围的概率为
1 2(t )
37
表1.2.1几个典型 t值的概率情况分析
t
0.67 1 2 3
|δ|=tσ
不超出|δ|的概率 2Φ(t)
超出 |δ|的概率 1-2Φ (t)
0.67σ 1σ 2σ 3σ
i 1
n
(3)计算残差
n
vi xi x
i
,列表于相应的Xi旁;
(4) 检查 足, 说明
v
1
0
的条件是否满足,如不满
x
有误,复查;
42
2 (5)计算 i 和
v

v
i 1
n
2 i
n 1
(6)检查有无大于3σ的IviI值,如有,应怀疑为粗 差。检查该次测量有无差错,如有,应抛弃该测 量数据,并从第(2)项重新开始;如 n<10,改 成 2 σ; (7)计算算术平均值 的均方根误差: x (8)写出测量结果表达式: n
n 1

v
i 1
n
2 i
n(n 1)
34
x
式中,
x

n
——算术平均值标准差(均方根误差); σ ——测量列中单次测量的标准差; n ——测量次数(n>10)
当测量次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值, 测量精度也越高。
35
3. 测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差,被测 量结果的误差不超过该极端误差的 概率(置信概率)P ,并使出现概 率为(1-P)误差超过该极端误差 的检测量的测量结果可以忽略。 (1)单次测量的极限误差 (2)算术平均值的极限误差
28
2. 随机误差的评价指标

由于随机误差大部分按正态分布规 律出现的,具有统计意义,通常以 正态分布曲线的两个参数,算术平 均值和均方根误差作为评价指标。 (1)算术平均值 (2)标准差
29
(1)算术平均值
n x1 x2 xn xi x n i 1 n
lim x lim
0.4972 0.6826 0.9544 0.9973
0.5028 0.3174 0.0456 0.0027
4

0.9999
0.0001
38
图1.3.3 单次测量列极限误差
当t=3时,即|δ|=3σ时,误差不超过|δ|的概率为99.73%, 通常把这个误差称为单次测量的极限误差δlimx,即 δlimx =±3σ
2. 误差的分类
(1)系统误差 服从一定规律的误差。(定值、线性、周 期性) (2)随机误差 服从统计规律的误差。 (3)粗大误差 显然与事实不符、无规律的误差。
14
1.2.2 精度
反映测量结果与真值接近程度的量 (1)准确度 (2)精密度 (3)精确度 对于具体的测量,精密度高的而准确度 不一定高,准确度高的精密度不一定高, 但精确度高,则精密度和准确度都高。
单次测量 如果已知测量仪器的标准差σ,做一次测量, 测得值为X,则将被测量X0 的大小表示为: X0 = X ± tσ n 次等精度测量 用算术平均值作为测量结果,其表达式为:
x0 x t x
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测量结果的数字整理 (1)在测量前和测量时,尽可能地消除系统误差。在此
基础上将一列测量值xi(i=1,2,…n),按测量的先后次序列 成表格; n (2)计算算术平均值 x xi ;
某采购员分别在三家商店购买100kg大 米、10kg苹果、1kg巧克力,发现均缺少约 0.5kg,但该采购员对卖巧克力的商店意见 最大,是何原因?
ΔX =X-A ΔX1= 99.5-100= - 0.5 ΔX2=9.5-10= - 0.5 ΔX3=0.5-1= - 0.5
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(2) 相对误差

相对误差是绝对误差与被测量的约 定值之比。相对误差有以下表现形 式: ① 实际相对误差。
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