旋转曲面的面积

等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x, x dx] [a, b]
上的局部量 U 的近似值
dU f ( x)dx 这就是局部量的微元
一 定积分的元素法(或微元法)
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
t 3a cos2
t( sin t)dt
2
12

2 a2[sin4 t sin6 t]dt
3 a2.
0
8
20 设弧长为 L. 由对称性,有


L 4 2 ( x)2 ( y)2dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的表面积为S, 体积为V .
step3: 计算 A
b
f ( x)dx
a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
微 元
3。局部量Qi f (i )xi .
法
那么，将Q用积分来表达的步骤如下:
由对称性,有
a
S 2 2y 0
1 yx2dx
4

2 a sin3
t
3a cos t
sin
tdt

12 a2 .
0
5
V

2
a y2dx
0
2
0
a2
sin6
t

3a
cos
2
t
(

sin
t
)dt
2
6a3

2 sin7 t(1 sin2 t)dt

积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S

2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程

x y

xt y t
,
t


32 a3 .
0
105
三 小结
设y f (x)及y' f '(x)在[a,b]连续，则由曲线y f (x)，x a，x b及
x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积
A 2
b
f (x)dx 2
b
f (x)
1 f '2 (x)dx
a
a
若曲线段由参数方程
2。 取微区间[x,x+x],则S M M i-1 i y
x2 y2 1 （y）2 x x
M
i
M
1
i
M n1 B Mn
记ds 1 y2 dx
弧长微元
M2 M1
3。S= a 1 y2 dx b
o
A
M
a
0
x
x x
bx
一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线
微 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间
元 法
n
[ xi1 , xi ] (i 1 ~ n),则A Ai
i 1
step2. 近似： i [ xi1 , xi ], 计算 i f (i )xi
(i 1~n)
n
step3. 求和： A f (i )xi
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线

x y

a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0

4
0
a
sin3
2 求积分
即把微元 dU在区间 [ a , b ] 上
“无限积累”起来 ，相当于把 f ( x)dx
作积分表达式，求它在 [ a , b ] 上的定积分，即
b
U f ( x )dx
这就是微元法
a
例
设曲线C:y=f(x)在[a,b]上有连续导数,求弧长
解:（图一） 1。 取积分变量 x [a,b]
二 段 y f ( x) ， x a,b ( f x 0) 绕 x轴旋
旋 转
转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
曲
x [a,b]
面 在[a,b]上任取小区
o
x x dx
x
的 间[ x, x dx]，
面 通过 x轴上的点 x与 dx 分别作垂直于 x轴的平
3。局部量 Ai f (i )Ai ,且误差为o(xi )
实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于[a,b]）
step2:取微区间[x,x+dx]
微 元 法
求出 A f ( x)dx (局部量) 并记 dA f ( x)dx 称为面积元素
step1. 选取积分变量及积分区间 如: x [a,b]
step2. 取微区间[x,x+dx]，求出 Q f ( x)dx
并记 dQ f ( x)dx
step3. 计算 A
b
f ( x)dx
a
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上求Ｕ的步骤
分 用分点 a x0 x1 xn1 xn b 将
求
n
n
和
U Ui f (i )xi
i 1
i 1
求
max xi
极
1 i n
限
n
b
U
lim 0 i 1
f (i )xi

a
f ( x)dx
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件：
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就
x x(t)

y

y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2

y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt

若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2

( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
总量在区间上具有可加性即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和2局部量可用近似表示它们之间只相差一个的高阶无穷小不均匀量u就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法的近似值dx求积分即把微元du在区间这就是微元法无限积累起来相当于把cyfxab设曲线
10.4 旋转曲面的面积
i 1
n
step4. 取极限：A lim 0 i 1
f (i )xi
即
A
b
f ( x)dx
a
微 元
分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足：
法 1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;
2。对[a,b]具有可加性，即 A n Ai ; i 1
割
区间分成 n 个小区间 [ xi1 , xi ], xi xi xi1
以 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui
直
线 用某个函数 f ( x) 在 i (i [ xi1 , xi ])
代
曲
的值与 xi 之积代替 Ui f (i )xi
把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
4 R2
例2、求摆线
x a(t sin t)

y

a(1

cos
t
)
(0 t 2 )
绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积。
解
A 2
2
a(1 cos t)
x '2 y '2 dt
0
2 2 2a2 (1 cos t) | sin t |

作业
P255：1，2，3.
,


定义，且
y
t


0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
若曲线由极坐标方程 r r( ) 定义，则旋转曲
面的面积
S

2


r

sin
r 2 r' 2 d
这是因为这时可看成参数方程
x r( ) cos

y

r( ) sin
，
x( )2 y( )2 r( )2 r( )2 。
例1、求半径为R的球面面积。
解：球面可看作由半圆y R2 x2 (R x R)绕x轴旋转而成，于是
R
A 2 R