中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用

(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 P 水平距离 3 m．身高 1.6 m 的小 红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平 距离． 当 y＝1.6 时，1.6＝－0.1(x－5)2＋3.2. 解得 x1＝1，x2＝9. ∴3－1＝2，9－3＝6. 答：小红与爸爸的水平距离为 2 m 或 6 m.
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大 利润． 设销售利润为w元，w＝(x－50)(－5x＋500)
＝－5x2＋750x－25 000 ＝－5(x－75)2＋3 125， ∵抛物线开口向下，50＜x＜100， ∴当x＝75时，w有最大值，最大值为3 125 元， 答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是 3 125元．
解：由题意得 w＝(x－50)y＝(x－50)(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12 000， ∴w＝－2x2＋340x－12 000＝－2(x－85)2＋2 450， ∵－2＜0，∴当 x＝85 时，w 的值最大，为 2 450 元． 答：一周销售这种品牌广西特产所获利润 w 的最大值为 2 450 元．
(1)求抛物线的解析式；
解：由题意知，点(5，3.2)是抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点， ∴y＝a(x－5)2＋3.2. 又∵抛物线经过点(0，0.7)， ∴0.7＝a(0－5)2＋3.2. 解得 a＝－0.1. ∴抛物线的解析式为 y＝－0.1(x－5)2＋3.2(或 y＝－0.1x2＋x＋0.7)．
台的水平距离为75 m，即得基准点K的高度h为221 1mm；
②若a＝－510时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为bb＞＞190 . 【分层分析】 ②运动员落地点要超过K点，即x＝75时，yy>2>211，故－510×752 ＋75b＋ 66>> 21，即可解得答案．
解：他的落地点能超过K点． 理由：由题可知，抛物线的顶点为(25，76)． 设y＝a(x－25)2＋76，把(0，66)代入，得 66＝a(0－25)2＋76，解得a＝－1225， ∴y＝－1225(x－25)2＋76.当x＝75时，y＝36＞21. ∴他的落地点能超过K点．
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问 题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶 点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到 抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2) 投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上； (3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下 方；(4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点 到水面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水 的高度是否比人的身高高．
(2)求一周销售这种品牌广西特产所获利润 w 的最大值；
【分层分析】(2)根据题意可得，销售 1 kg 广西特产的利润为((xx－－50)元， 由(1)知一周的销售量为((－－2x2＋x2＋40 )kg，根据利润＝1 kg 广西50特)产的利 润×销售量，可得 w 与 x 之2间40的)函数解析式为 w＝((xx－－505)0×)(×－(2x－＋224x0)， 根据二次函数的增减性即可求得最大值． ＋240)
1．(2022·聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元， 在销售过程中，每天的销售量 y(个)与销售价格 x(元/个)的关系如图所 示，当 10≤x≤20 时，其图象是线段 AB，则该食品零售店每天销售这款 冷饮产品的最大利润为 121211 元(利润＝总销售额－总成本)．
类型二：抛物线形问题 (2022·江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶
段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所 示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为 飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年 北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m ，基准点K到起跳 台的水平距离为75 m，高度为h m (h为定值)．设运动员从起跳点A起跳 后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)c的值为666 ； 【分层分析】 (1)根据起跳台的高度OA为66 m，即可得c＝6666；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－
1 50
，b＝ 190
，则基准点
K的高度h为2211m；
【分层分析】
(2)①由a＝－
1 50
，b＝
9 10
，知y＝－
1 50
x2＋
9 10
x＋66，根据基准点K到起跳
得到销售单价的取值范围．
解：令获得的周利润等于 2 000 元，则 －2(x－85)2＋2 450＝2 000，解得 x1＝70，x2＝100， 结合函数图象可知当 70≤x≤100 时，周利润不低于 2 000 元， 又∵物价部门规定广西特产销售单价不得高于 85 元/kg， ∴销售单价的取值范围为 70≤x≤85.,
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
解：设函数解析式为y＝kx＋b，由题意得 60k＋b＝200， k＝－5， 80k＋b＝100，解得b＝500， ∴y＝－5x＋500，当y＝0时，－5x＋500＝0， ∴x＝100， ∴y与x之间的函数解析式为 y＝－5x＋500(50＜x＜100)．
2．★(2022·连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－ 0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的 高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是44 m.
第Байду номын сангаас节 二次函数的实际 应用
【考情分析】广西近6年二次函数的实际应用主要考查点：1.利用二次 函数解决抛物线形问题，考查将实际问题转化成数学问题的能力.2.二 次函数在销售利润中的应用，主要是以生活实际为背景考查待定系数 法、最值、方程等知识，难度较大，分值一般3－10分．
命题点：二次函数的实际应用(近6年考查7次) 1．(2022·北部湾经济区第23题10分)打油茶是广西少数民族特有的一 种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经 市场调研发现，该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数 关系如图所示．
重难点：二次函数的实际应用
类型一：利润问题
某公司经销某种品牌广西特产，每千克成本为 50 元．经市场调查发
现：每周销售量 y(kg)与销售单价 x(元/kg)满足一次函数关系，部分数
据如下表所示：
销售单价 x(元/kg)
56
65
75
销售量 y(kg)
128
110
90
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式；
【分层分析】(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，取表格 中任两组对应数据，用待定系数法解得 k＝－－22，b＝224400，因此 y 与 x 之间的函数解析式为 yy＝＝－－2x 2＋x＋240. 解：设 y 与 x 之间的函数24解0析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
将(56，128)和(65，110)分别代入，得 56k＋b＝128， k＝－2， 65k＋b＝110，解得b＝240， ∴y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－2x＋240.
2．(2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状， 她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距 离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标 系，并设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头 的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(3)物价部门规定该品牌广西特产的销售单价不得高于 85 元/kg，公司想
获得不低于 2 000 元的周利润，销售单价的取值范围是多少？ 【分层分析】(3)令获得的周利润等于 2 000 元，列方程为－－22((xx－－8855))22
＋＋2 244505＝0＝2 000，结合 w 的函数图象可知 x 的取值范围为 700≤≤x≤x≤1001，00 再2结00合0物价部门规定该品牌广西特产的销售单价不得高于 85 元/kg 即可