2.5.2 矩形的判定(含答案)

2.5.2 矩形的判定
基础题
知识点1 三个角是直角的四边形是矩形
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(D)
A ．测量对角线是否相互平分
B ．测量两组对边是否分别相等
C ．测量一组对角是否为直角
D ．测量四边形的其中三个角是否都为直角
2．如图，直角∠AOB 内的任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为12．
3．(湘西中考)如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F.
(1)求证：△ADE ≌△CBF ；
(2)求证：四边形BFDE 为矩形．
证明：(1)∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°.
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C. 在△ADE 和△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AED ＝∠CFB ，∠A ＝∠C ，
AD ＝CB.
∴△ADE ≌△CBF(AAS)．
(2)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ∥AB.
∴∠CDE ＋∠DEB ＝180°. ∵∠DEB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°.
∴∠CDE ＝∠DEB ＝∠BFD ＝90°. ∴四边形BFDE 为矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．如图，要使▱ABCD 成为矩形，需添加的条件是(C)
A ．A
B ＝B
C B ．AC ⊥B
D C ．AC ＝BD D ．∠1＝∠2
5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，则∠DAB＝90°．
6．(龙东中考)如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为60度时，四边形ABFE为矩形．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，即2BO＝2CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝OD.
∴AC＝2CO，BD＝2BO.
∴AC＝BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
中档题
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；
④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(C)
A．①②③
B．②③④
C．②⑤⑥
D．④⑤⑥
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(C)
A ．A
B ∥D
C B ．AC ＝B
D C ．AC ⊥BD D ．AB ＝DC
11．(菏泽中考)在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有(B)
①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD. A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④
12．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)
A ．2 3
B ．3 3
C ．4
D ．4 3
13．(聊城中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE.求证：四边形BECD 是矩形．
证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ， ∴BD ⊥AC ，AD ＝CD.
∵四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD. ∴BE ＝CD ，BE ∥CD.
∴四边形BECD 是平行四边形． ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC ＝90°.
∴四边形BECD 是矩形．
14．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知点O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.
(1)求证：△BOE ≌△DOF ；
(2)若OD ＝1
2
AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
解：(1)证明：∵点O 是AC 的中点， ∴OA ＝OC.
∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF.
∵DF ∥BE ，∴∠OEB ＝∠OFD.
又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BOE ≌△DOF. (2)四边形ABCD 是矩形，
证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OD ＝OB.
∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵OD ＝12AC ，OD ＝1
2
BD ，∴AC ＝BD.
∴四边形ABCD 是矩形．
综合题
15．(张家界中考)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.
(1)求证：OE ＝OF ；
(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；
(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC. 同理可证：OC ＝OE ，∴OE ＝OF.
(2)∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠ACE ＝12∠ACB ，∠ACF ＝1
2ACD.
∵∠ACB ＋∠ACD ＝180°，
∴∠ACE ＋∠ACF ＝12∠ACB ＋1
2∠ACF ＝90°，
即∠ECF ＝90.
∴EF ＝CE 2
＋CF 2
＝122
＋52
＝13.
∴OC ＝12EF ＝132
.
(3)当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形． 理由：由(1)知，OE ＝OF.
当点O 运动到AC 中点时，有OA ＝OC ， ∴四边形AECF 为平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°， ∴四边形AECF 为矩形．。