统考版2022届高考数学一轮复习第八章8.2空间几何体的表面积和体积课时作业理含解析

课时作业41 空间几何体的表面积和体积
[基础达标]
一、选择题
1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是()
A．3:2B．2:1
C．4:3D．5:3
2．[2021·重庆一中调考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()
A．3πB．4π
C．2π＋4D．3π＋4
3．[2021·福州市高中毕业班质量检测]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的正视图、俯视图，则该三棱锥的体积为()
A．81B．27
C．18D．9
4．[2020·天津卷，5]若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()
A．12πB．24π
C．36πD．144π
5．[2021·广州市高三年级阶段训练题]陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()
A．(7＋22)πB．(10＋22)π
C．(10＋42)πD．(11＋42)π
6．[2021·大同市高三学情调研测试试题]体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该
球的体积为( )
A ．43π
B ．83π
C ．123π
D ．63π 7．[2021·河北省九校高三联考试题]下图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．7π＋8＋42
B ．7π＋4＋4 2
C ．5π＋8＋42
D ．5π＋4＋4 2 8．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A.23
B.49
C.269
D.827
9．[2021·北京昌平区检测]《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有( )
A ．21斛
B ．34斛
C ．55斛
D ．63斛
10.[2020·全国卷Ⅱ，10]已知△ABC 是面积为93
4
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球
面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )
A.3
B.3
2
C ．1D.3
2
二、填空题 11．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为________．
12．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．
13．[2021·广州市高三年级调研检测]已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为125π6
，三视图如图所示，则其侧视图的面积为________．
14．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知正三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O 的表面积为________． [能力挑战]
15．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，若P ，
Q 分别在AA 1，CC 1上，且AP ＝13AA 1，CQ ＝1
3
CC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为( )
A.16V
B.29V
C.13V
D.79V 16．[2021·福建省高三毕业班质量检测]某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A.16π9
B.8π9
C.16π27
D.8π27
17．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]如图为一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1与一个半球O 1构成的组合体，半球O 1的底面圆与该正方体的上底面A 1B 1C 1D 1的四边相切，O 1与正方形A 1B 1C 1D 1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O 中(球O 未画出)，使该正方体的下底面ABCD 的顶点均落在球O 的表面上，半球O 1与球O 内切，设切点为P ，若四棱锥P －ABCD 的表面积为4＋410，则球O 的表面积为( )
A.121π6
B.121π9
C ．12π
D ．9π
课时作业41
1．题目解析：底面半径r ＝23π2πl ＝13l ，故圆锥中S 侧＝13πl 2，S 表＝1
3πl 2＋π⎝⎛⎭⎫13l 2＝49πl 2，所以表面积与侧面积的比为4:3.故选C. 参考答案：C 2.
题目解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为2×2＋2×1
2
×π×12＋π×1×2＝4＋3π，故选
D.
参考答案：D
3．题目解析：由已知条件可以确定该几何体为三棱锥，其高为6，底面积为俯视图中三
角形的面积，故底面积S ＝36－12×3×3－2×12×3×6＝272，所以该三棱锥的体积V ＝13×27
2×6
＝27.故选B.
参考答案：B
4．题目解析：设外接球的半径为R ，易知2R ＝3×23＝6，所以R ＝3，于是表面积S ＝4πR 2＝36π，故选C.
参考答案：C
5．题目解析：由三视图知，该陀螺是一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆锥的底面半径为2、高为2，圆柱的底面半径为1、高为3，所以该陀螺的表面积为π×2×22＋22＋π×22
＋2π×1×3＝(10＋42)π，故选C.
参考答案：C
6．题目解析：由正方体的体积为8，可知其棱长为2，且正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径R ＝22＋22＋222＝3，则外接球的体积V ＝4π
3
R 3＝43π.故选
A.
参考答案：A
7．题目解析：由三视图可知，该几何体是上方为一个八分之一球，下方是一个底面为等
腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面积S ＝18×4π×22＋1
4×π×22×3＋2×2×2＋22×2＝
5π＋8＋42，故选C.
参考答案：C
8．题目解析：设圆锥底面圆的半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r ＝3
3
R ，S 球＝4πr 2＝4π·⎝⎛⎭⎫33R 2＝4π3R 2，S 圆锥＝πR ·2R ＋πR 2＝3πR 2，所以球与圆锥的表面积之比S 球S 圆锥＝4π3R 2
3πR 2＝4
9
，故选B.
参考答案：B
9．题目解析：设圆锥的底面14圆的半径为r ，则π2r ＝8，解得r ＝16
π，
故米堆的体积为14×13×π×⎝⎛⎭⎫16π2×5＝320
3π(立方尺)． ∵1斛米的体积约为1.62立方尺， ∴3203π
÷1.62≈21(斛)，故选A. 参考答案：A
10．题目解析：设等边△ABC 的边长为a ，外接圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为h ，球的半径为R ，依题意得34a 2＝934
，解得a ＝3(负值舍去)，则△ABC 的外接球半径为r ＝
3
3
a ＝3，因为球O 的表面积为16π，即4πR 2＝16π，所以R ＝2.由R 2＝h 2＋r 2得h ＝22－(3)2＝1.故选C. 参考答案：C
11．题目解析：因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径r ＝1，母线l ＝2，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π.
参考答案：2π
12．题目解析：根据三视图可知，该几何体为圆锥，其底面半径r ＝1，母线长l ＝2，所以该圆锥的高h ＝
l 2－r 2＝3，所以这个几何体的体积为13Sh ＝13×π×12×3＝3π
3
，表面积
为π·r 2＋π·r ·l ＝π×12＋π×1×2＝3π.
参考答案：
3π
3
3π 13．题目解析：
画出正三棱锥的直观图如图所示，其中F 是等边三角形ABC 的中心，E 是正三棱锥外接球的球心，G 是BC 的中点．根据正三棱锥的几何性质有DF ⊥平面ABC .由俯视图可知，等边三角形ABC 的边长为23，所以△ABC 的高为23×sin60°＝3.根据等边三角形的几何性质可
知，等边三角形ABC 的外接圆半径F A ＝23×3＝2.设正三棱锥的外接球半径为R ，则4π3R 3＝125π
6
，
解得R ＝52，故DE ＝EA ＝R ＝52，所以EF ＝EA 2－F A 2＝254－4＝3
2
.所以正三棱锥的高DF
＝ED ＋EF ＝52＋32＝4，即侧视图的高为4.所以侧视图的面积为1
2
×3×4＝6.
参考答案：6
14．题目解析：如图，延长SO 交球O 于点D ，设△ABC 的外心为点E ，连接AE ，AD ，
由正弦定理得2AE ＝23sin60°
＝4，∴AE ＝2，
易知SE ⊥平面ABC ，由勾股定理可知，三棱锥S －ABC 的高SE ＝
SA 2－AE 2＝
(25)2－22＝4，由于点A 是以SD 为直径的球O 上一点，∴∠SAD ＝90°，由射影定理可知，
球O 的直径2R ＝SD ＝SA 2
SE
＝5，
因此，球O 的表面积为4πR 2＝π×(2R )2＝25π. 参考答案：25π
15．题目解析：如图，设D 是BB 1上一点，且BD ＝13BB 1，连接DP ，DQ ，由于AP ＝1
3
AA 1，
CQ ＝13CC 1，所以平面DPQ ∥平面ABC .所以V 四棱锥B －APQC ＝V 三棱柱ABC －PDQ ×23＝
⎝⎛⎭⎫13×V 三棱柱ABC －A 1B 1C 1×23＝29
V .故选B. 参考答案：B
16．题目解析：解法一 如图，OC ＝2，OA ＝3，由△AED ∽△AOC 可得ED OC ＝AE
AO
.设圆柱
体的底面半径r ＝ED ＝2x (0<x <1)，可得AE ＝3x ，则圆柱体的高h ＝OE ＝3－3x ，圆柱体的体积V ＝π(2x )2(3－3x )＝12π(x 2－x 3)，令V (x )＝12π(x 2－x 3)，则V ′(x )＝12π(2x －3x 2)，令V ′(x )
＝0，解得x ＝2
3
或x ＝0(舍去)，可得V (x )在⎝⎛⎭⎫0，23上单调递增，在⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，故当x ＝23时，V (x )取得最大值，V (x )max ＝16π9，即圆柱体的最大体积是16π9
.
解法二 同解法一，则圆柱体的体积V ＝12πx 2(1－x )＝6π·x ·x (2－2x )≤6π·⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
x ＋x ＋(2－2x )33＝
16π9，当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时等号成立，故圆柱体的最大体积是16π
9.故选A. 参考答案：A
17．题目解析：如图，设球O ，半球O 1的半径分别为R ，r ，由题意知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
的棱长为2r ，四棱锥P －ABCD 为正四棱锥．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心为G ，连接AC ，PG ，则四棱锥P －ABCD 的高PG ＝3r ，其各侧面的高为(3r )2＋r 2＝10r .
由题意得(2r )2＋4×1
2
×2r ×10r ＝4＋410，解得r ＝1.易知球O 的球心在线段O 1G 上，连接
OC ，则在Rt △OGC 中，OC ＝R ，OG ＝3－R ，CG ＝12AC ＝1
2
×22＝2，于是由勾股定理，
得(3－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝116，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝121π
9
，故选B.
参考答案：B。