_高中数学第二章推理与证明2

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
• (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等词语．
跟踪练习
(1)已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
(2)(2015·海南文昌中学高二期中)已知 a、b、c∈R＋，求证：
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
• [分析] (1)要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可 以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立 的充分条件，即用分析法证明．
证法 2：∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)
＝(a＋ab＋c－1)(a＋bb＋c－1)(a＋bc＋c－1)
＝(ba＋ac)(ab＋bc)(ac＋bc)
≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8，等号在
a＝b＝c
时成立．
• [方பைடு நூலகம்规律总结] 1.综合法证明命题的步骤
2.分析法证明不等式
• 4．分析法定义 • 从要证明的__结__论____出发，逐步寻求使它成立的___充__分___条
件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做 分析法
• 5．分析法的特点 • 分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“___需__知___”，执
• (2)由于待证不等式中含有根号，直接证明不易入手，可考虑 先两边平方，由a、b、c∈R＋知平方后不等式与原不等式等 价，考虑到字母轮换对称关系及平方后产生2ab,2bc,2ac，可 考虑应用a2＋b2≥2ab来证．
[证明]
(1)∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
3．若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则在 a＋b,2 ab，a2＋b2 和 2ab 中最大的是___________．
[答案] a＋b [解析] 已知 a＋b＞2 ab，a2＋b2>2ab， 又 a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0. 也可用特值法取 a＝12，b＝18，则 a＋b＝58，2 ab＝12，a2 ＋b2＝1674，2ab＝18，显见 a＋b 最大，故只能是填 a＋b.
• 7．分析法与综合法的区别与联系
• (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因 ”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻 找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在 解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
• (2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都 是使结论成立的___充__分___条件，最后的一步归结为已被证明 了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到 结论，这个倒推的证明过程就是__综__合____法．
∴ 2b＋1＋ 2b＋1≤2 2，等号在 a＝b＝12时取得， 即 2a＋1＋ 2b＋1的最大值为 2 2. 请类比上题解法使用综合法证明下题： 已知正实数 x、y、z 满足 x＋y＋z＝2，求证： 2x＋1＋ 2y＋1 ＋ 2z＋1≤ 21.
[解析]
∵ 2x＋1·
73≤
2x＋12＋ 2
732＝x＋53，
2y＋1·
73≤
2y＋12＋ 2
732＝y＋53，
2z＋1·
73≤
2z＋12＋ 2
732＝z＋53，
相加得( 2x＋1＋ 2y＋1＋ 2z＋1)· 73≤x＋y＋z＋5＝
7， 即
2x＋1＋
2y＋1＋
2z＋1≤7·
3＝ 7
21，等号在 x＝y
＝z＝23时取得．
2.分析法的应用 例题 2 设 a、b 为实数，求证 a2＋b2≥ 22(a＋b)． [证明] 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b＞0 时， 用分析法证明如下：要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2.
• 分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思 考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚． 所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即： ___分__析___找思路，___综__合___写过程．
• (3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有时可 以运用__分__析__法__去探求解题思路，特别是对于条件简单而结论 复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒等式的 证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明题中 ，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够 得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法．
• 第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别 是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定 理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
• 第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题 所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化． 组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
4．设 a>0，b>0，c>0，若 a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为 ________________．
[答案] 9 [解析] ∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2 ba·ab＋2 ac·ac＋2 bc·bc＝9 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
互动探究
1.综合法的应用 例题 1 (2014～2015·北京市东城区高二期末)已知 a>0， b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1. (1)若 a＝b＝c，求(1a－1)(1b－1)(1c－1)的值． (2)求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [分析] (1)由条件及a＝b＝c，可求出a、b、c的值，代入计 算即可．
牛刀小试
• 2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－ c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
• A．(a，b)和(b，c)内 • B．(－∞，a)和(a，b)内 • C．(b，c)和(c，＋∞)内 • D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 • [答案] A • [解析] 因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
• [方法规律总结] 分析法证明不等式的依据、方法与技巧． • (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
(2)分析法：要证 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c， 只需证：a2＋b32＋c2≥(a＋3b＋c)2， 只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的， 所以 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c成立．
3．综合法的基本思路 用_____P___表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， ____Q____表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理．
牛刀小试
• 1．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. • [证明] 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0， • 所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
___公__理___等，经过一系列的_推__理__论__证_，最后推导出所要证明 的结论成立，这种证明方法叫做综合法
• 2．综合法的特点
• 从“已知”看“_可__知__”，逐步推向“未__知__”，其逐步推理，是由 ____因____导___果_____，实际上是寻找“已知”的___必__要___条件．
• 用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营， 条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的 推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的 ，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几 个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如 何找到“_切__入__点___”和有效的_推__理__途__径_是有效利用综合法证明数 学问题的关键．
• 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分 步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方 法的选取．
2．综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已 知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ② (a － b)2≥0(a 、 b ∈ R) ， 其 变 形 有 a2 ＋ b2≥2ab ， (a＋2 b)2≥ab，a2＋b2≥a＋2b2. ③若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b ≥ ab，ba＋ab≥2.
果索因，逐步靠拢“___已__知___”，其逐步推理，实际上是要寻 找“结论”的___充__分___条件．
• 分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的 逻辑推理．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条 件．若用___P_____表示要证明的结论，则分析法的推理形式为 P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
• (2)可进行“1的代换”，也可从其轮换对称关系入手构造三 个不等式相乘． [解析] (1)∵a＝b＝c，a＋b＋c＝1，∴a＝b＝c＝13， ∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)＝8.
(2)证法 1：∵a>0，b>0，c>0， ∴b＋c≥2 bc>0，a＋c≥2 ac>0，a＋b≥2 ab>0， ∴(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2 bc·2 ac·2 bc. ∴(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥8abc，∴b＋caa＋bcca＋b≥8， 又∵a＋b＋c＝1，∴1－a1a－bcb1－c≥8， ∴1－a a·1－b b·1－c c≥8，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.