高中数学精品课件：空间角(异面直线所成角和线面角)
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6 3
2.中位线平移法
例2：在正四面体ABCD中，已知E是棱
BC的中点，求异面直线AE和BD所成角 的余弦值。
练习： 1.正△ABC的边长为a，S为△ABC所在 平面外的一点，SA=SB=SC=a，E、F 分 别 是 SC 和 AB 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 SA和EF所成角。
60o
练习：
1.空间两直线位置关系有
平行、相交、 异面
2.直线与平面的位置关系有 平行 相交 在平面内
3.
：
在空间取一点O，过O点分别作两异面直线
的 平行线 ，这两条直线所夹的 锐角或直角叫
做两条异面直线所成的角；其取值范围是：(0, ]
2
b
b′
a
α o
a′
余弦定 理
余弦定理 三角形任何一边的平方等于
其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的两倍.
a2 = b2 + c2 - 2bccosA cos A b2 c2 a2
b2 = a2 + c2 - 2accosB
2bc
c2 = a2 + b2 - 2abcosC cos B a2 c2 b2
A
2ac
bc Ca B
cos C a 2 b2 c2 2ab
题型一 求异面直线所成的角 一、平移法 1.直接平移
例1：在直棱柱 ABC A1B1C1 中，
∠BCA=90°, M、N分别是A1B1和A1C1的中 点，若BC=CA=CC1，求BM和AN所成的角.
30 10
练习：
如图，在四棱锥P—ABCD中，PO⊥底面ABCD，
O为AD中点,侧棱PA＝PD= ,底面ABC2D为直角
梯 形 ， 其 中 BC∥AD,AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2，. (Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
sin
sin BEN
10
E
5
2.公式法 sin h
l
例 2 ： 如 图 , 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 ，
AB=3 ， BC=2,AA1=4 ， 求 AB 与 面 AB1C1D 所成的角的正弦值。
D
C
A
B
D1 A
C1 B
练习：
如图，四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，
∠SBA=45。， ∠SBC=60。，M为AB的 中点，求（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成的角。
小结：
1.思想：解决空间角的问题涉及的数学思想主要 是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角， 进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形 求得。 2.方法 a.求异面直线所成的角：平移⇒ 构造三角形 b.求直线与平面所成的角 找（或作）射影⇒ 构造三角形
3.步骤 ①作（找） ② 证 ③ 算
2 ： 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 ， AD=BC=2 ， E,F分别为AB、CD的中点，EF= 3 ，求AD、 BC所成角的大小。
3.补形法
例3：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
已 知 AB=2 ， BC=AA1=1 ， 求 异 面 直 线 BD1 与AC所成角的余弦值的大小。
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
二、
:如果直线平行于平
面或在平面内，则它和平面所成角的大小为00 ;
如果直线垂直于平面,则它和平面所成角的大小
为 900 ;如果直线是平面的斜线,则它和它在平面
内的射影 所成的锐2
A
B
C
题型二 求线面角
1.直接法 例1：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
求直线BC1与平面ABCD所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角 的θ大小（用三角函数值表示）．
D1
C1
tan 5 或sin 6 A1
5
6
D
A
B1
E
C
F
B
练习2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角 梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA ＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角α的正弦值.
2.中位线平移法
例2：在正四面体ABCD中，已知E是棱
BC的中点，求异面直线AE和BD所成角 的余弦值。
练习： 1.正△ABC的边长为a，S为△ABC所在 平面外的一点，SA=SB=SC=a，E、F 分 别 是 SC 和 AB 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 SA和EF所成角。
60o
练习：
1.空间两直线位置关系有
平行、相交、 异面
2.直线与平面的位置关系有 平行 相交 在平面内
3.
：
在空间取一点O，过O点分别作两异面直线
的 平行线 ，这两条直线所夹的 锐角或直角叫
做两条异面直线所成的角；其取值范围是：(0, ]
2
b
b′
a
α o
a′
余弦定 理
余弦定理 三角形任何一边的平方等于
其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的两倍.
a2 = b2 + c2 - 2bccosA cos A b2 c2 a2
b2 = a2 + c2 - 2accosB
2bc
c2 = a2 + b2 - 2abcosC cos B a2 c2 b2
A
2ac
bc Ca B
cos C a 2 b2 c2 2ab
题型一 求异面直线所成的角 一、平移法 1.直接平移
例1：在直棱柱 ABC A1B1C1 中，
∠BCA=90°, M、N分别是A1B1和A1C1的中 点，若BC=CA=CC1，求BM和AN所成的角.
30 10
练习：
如图，在四棱锥P—ABCD中，PO⊥底面ABCD，
O为AD中点,侧棱PA＝PD= ,底面ABC2D为直角
梯 形 ， 其 中 BC∥AD,AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2，. (Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
sin
sin BEN
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2.公式法 sin h
l
例 2 ： 如 图 , 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 ，
AB=3 ， BC=2,AA1=4 ， 求 AB 与 面 AB1C1D 所成的角的正弦值。
D
C
A
B
D1 A
C1 B
练习：
如图，四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，
∠SBA=45。， ∠SBC=60。，M为AB的 中点，求（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成的角。
小结：
1.思想：解决空间角的问题涉及的数学思想主要 是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角， 进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形 求得。 2.方法 a.求异面直线所成的角：平移⇒ 构造三角形 b.求直线与平面所成的角 找（或作）射影⇒ 构造三角形
3.步骤 ①作（找） ② 证 ③ 算
2 ： 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 ， AD=BC=2 ， E,F分别为AB、CD的中点，EF= 3 ，求AD、 BC所成角的大小。
3.补形法
例3：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
已 知 AB=2 ， BC=AA1=1 ， 求 异 面 直 线 BD1 与AC所成角的余弦值的大小。
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
二、
:如果直线平行于平
面或在平面内，则它和平面所成角的大小为00 ;
如果直线垂直于平面,则它和平面所成角的大小
为 900 ;如果直线是平面的斜线,则它和它在平面
内的射影 所成的锐2
A
B
C
题型二 求线面角
1.直接法 例1：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
求直线BC1与平面ABCD所成角的大小。
练习1：在棱长为2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角 的θ大小（用三角函数值表示）．
D1
C1
tan 5 或sin 6 A1
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D
A
B1
E
C
F
B
练习2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角 梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA ＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. 求CD与平面ADMN所成的角α的正弦值.