高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角

所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
题型三 二面角
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等 ，AC∩BD＝O， A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明：O1O⊥底面ABCD；
PART ONE
知识点一 空间三种角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取 值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向 异面直线 向量分别为a，b，则cos θ＝|_c_o_s〈__a_，__b_〉__|
②坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标 法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单.
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD 和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为
√ 30
A. 10
30 B. 15
题型二 直线与平面所成的角
例2 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°， AB＝ 3，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线 PA 的方向向量P→A；
→→
别为
a，b
的方向向量，则
cos
θ＝|A→B·C→D
| .
|AB||CD|
运用向量法常用两种途径：
①基底法
在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小 技巧.在由公式cos〈a，b〉＝|aa|·|bb| 求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与 |b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量.
2 题型探究
PART TWO
题型一 异面直线所成的角
例1 如图，在三棱柱OABO-1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝ 60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线A1B与AO1所成角的 余弦值的大小.
反思感悟 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解. (2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A，B 和 C，D，则A→B与C→D可分
第三章 §3.2 立体几何中的向量方法
第3课时 用空间向量解决空间角
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解直线与平面所成角的概念. 2.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
反思感悟 利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求 出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这 种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二 面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
跟踪训练3 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面 SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面 SAB所成的锐二面角的余弦值.
30 C. 30
15 D. 15
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)， ∴B→1M＝(－1，－1，－2)，
D→1N＝(1,0，－2)，
∴cos〈B→1M，D→1N〉＝
－1＋4 1＋1＋4×
＝ 1＋4
30 10 .
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
利用向量求二面角
典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方 形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1－OB1－D的余弦值．
引申探究 本例不变，求二面角B－A1C－D的余弦值.