生活中的反比例函数问题

生活中的反比例函数

反比例函数再实际生活中的应用及其广泛，特别十中考中与物理、化学学科的相互渗透更是命题的热点之一，用反比例函数解决实际问题，培养同学们应用数学的创新能力和密切联系实际的实践能力，也是新的课程标准的重要目标之一，下面略举几例与同学们共赏．

一、跨学科综合型

例１、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3

）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数解析式；

（2）当气球的体积为0.8米3

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸， 为了安全起见，气球的体积应不小于多少米3

？

析解：本题是物理学中的气体的压强等知识有关，须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．

（1）由题意设V

m

P =（为常数，）当V=1．８时，Ｐ＝６４，求得m=96，∴P 与V 之间函数关系式为V

P 96=

； （2）当V=0.8时，得P=120（千帕）

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，∴P ≤144，∴

V

96

≤144，∴V ≥

3

2

14496=（米3）

． 二、阅读理解型

例２、我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a 是宽b 的反比例函数，其函数关系式可以写为b

s

a =

（s 为常数，s ≠0）． 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．

实例： ； 函数关系式： ．

析解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例

（米3

）

P

函数有关的例子来，例如：

实例1，三角形的面积S 一定时，三角形底边长y 是高x 的反比例函数，其函数关系式可以写出x

s

y 2=

（s 为常数，s ≠0）． 实例2，甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y （小时）是汽车平均速度x （千米／小时）的反比例函数，其函数关系式可以写出

x

y 100

=

． 三、实际应用型

例３、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团

做成拉面，面条的总长度y （cm ）是面条的粗细（横截面）s （mm 2

）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）写出y 与s 的函数关系式；

（2）求当面条粗1.6 mm 2

时，面条的总长度是多少米？ 解：（１）设y 与s 的函数关系式为k y s

=

当s=1.6时，y=32，所以k=4×32＝128， 所以y 与s 的函数关系式为128

y s

= （2）当s=1.6时，128

800.6

y ==，所以面条的总长度是80m

（mm 2）

y

实际问题中的反比例函数

在历年的中考试题中,出现了几道和反比例函数有关的实际问题,有关的题目设计比较新颖,具有探索性.请看两例.

例1（常德）某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y （万只）与投入的改造经费x （万元）之间满足y -3与1+x 成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．

(1)求年产量y （万只）与改造经费x （万元）之间的函数关系式．（不要求写出x 的取值范围）

(2)当今年的年产量是2.5万只时,改造经费为多少万元?

分析:本题是一道和反比例有关的实际问题,要求y 与x 之间的函数关系式,我们可将3-y 看作是x+1的反比例函数,根据反比例函数的定义,设出关系式,然后将x=1,y=2代入求解.

解: (1)设3-y=1

+x k

(k≠0),因为x=1时,y=2, 所以代入,得3-2=

1

1+k

,所以k=2. 所以函数关系式为y=3-12

+x . (2)将y=2.5代y=3-12+x ,得2.5=3-1

2

+x ,解得x=3. 即改造经费为3万元.

点评: 本题中的y 与x 之间虽然不是反比例函数关系,但我们可以借助反比例函数知识解决.要注意解题的思路.

例2(山东临沂)某厂从2001年起开始投入技术该改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是另一种函数的理由，并求出它的关系式。

（2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元， ①预计这种成本每件比2004年降低多少万元？

②如果打算在2005年把每件产品成本降低3。2万元，则还需投入技改资金多少万元(结果精确到0.01万元)

分析:本题是一道和反比例函数有关的探索性试题.我们可以先设出一次函数表达式.然后将表中的两组数据代入,计算出函数关系式,最后通过将其余两组数值代入验证.确定了关系式.进一步解决相关系问题.

解:设其为一次函数,关系式为y=kx+b,当x=2.5时,y=7.2;当x=3时,y=6,所以

⎩⎨

⎧+=+=b

k b k 36,

5.22.7解得k=-2.4,b=13.2, 所以一次函数关系式为y=-2.4x+13.2.

把x=4时,y=4.5代入此函数关系式,左边≠右边,所以其不是一次函数.

设其反比例函数,关系式为y=x k ,当x=2.5时,y=7.2,可得5.22.7k =,所以k=18, 所以反比例函数关系式为y=x

18

.

验证:当x=3时,y=6318

=符合反比例函数.同理可验证:x=4时,y=4.5;x=4.5时,y=4成立.

所以可用反比例函数y=x

18

表示其变化规律.

(2)解:①当x=5万元时,y=6.35

18

=, 因为4-3.6=0.4(万元),所以生产成本每件比2004

年降低0.4万元.

② 当y=3.2时,3.2=

x

18

,所以x=5.625. 因为5.625-5=0.625≈0.63(万元),所以还约需投入0.63万元.

点评:本题是一道具有探索性的试题,其实并不难.需要我们掌握灵活的解题方法.如本题也可以先设反比例函数解决问题.