2023年高考数学试卷(上海自主命题)(空白卷+答案解析)

2023年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为．
2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ ．
3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝ ．
4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝ ．
5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．
7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ．
8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A ＝ ．
9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为．
10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为．
11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝ ．
12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3} 14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）
A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0 16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．
（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．
18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．
（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．
19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观蓝色外观
棕色内饰128
米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的
距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．
（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；
（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；
（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．
2023年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为（1，3） ．
【分析】原不等式可化为﹣1＜x﹣2＜1，从而求出x的范围．
【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，
解得1＜x＜3，
即不等式的解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ 4．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），
∴•＝﹣2×1+3×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝ 189．【分析】直接利用等比数列的前n项和公式求解．
【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，
∴S6＝＝189．
故答案为：189．
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题．
4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝ ﹣．
【分析】直接利用正弦函数的二倍角公式求解．
【解答】解：∵tanα＝3，
∴tan2α＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为[1，+∞） ．【分析】分段求出f（x）的值域，再取并集即可．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，
当x＞0时，f（x）＝2x＞1，
所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．
【分析】根据复数的基本运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣i，
∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．
7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝ ﹣3．
【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，
∴4+m＝1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．
8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝ ．【分析】先利用余弦定理求出cos A，再利用同角三角函数间的基本关系求解．
【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，
由余弦定理得，cos A＝＝＝，
又∵A∈（0，π），
∴sin A＞0，
∴sin A＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为946（亿元） ．
【分析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，由题意可得，可求出x+y的值，从而求出该地一年的GDP．
【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，
∴，
∴x+y＝473，
∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．
故答案为：946（亿元）．
【点评】本题主要考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．
10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为49．
【分析】由二项展开式的通项可得a k＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，若a k＜0，则k 为奇数，所以a k＝（2023k﹣2023100﹣k），即2023k﹣2023100﹣k＜0，从而求出k的取值范围，得到k的最大值．
【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，
二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，
∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，
若a k＜0，则k为奇数，
此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），
∴2023k﹣2023100﹣k＜0，
∴k＜100﹣k，
∴k＜50，
又∵k为奇数，
∴k的最大值为49．
故答案为：49．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝ arccos．
【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．
【解答】解：斜坡的长度为l＝，
上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，
函数的导数y′＝＝，
由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，
由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，
由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，
即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．
故答案为：θ＝arccos．
【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．
12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有9种．
【分析】根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解．
【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，
当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，
同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；
当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，
同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；
综上，共有6+3＝9种情况．
故答案为：9．
【点评】本题考查正四棱锥的性质，分类讨论思想，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，
∴M＝{1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．
14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（ ）
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
【分析】根据散点图的分布情况，即可得解．
【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．
故选：C．
【点评】本题考查线性相关的概念，属基础题．
15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（ ）
A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【分析】由题意可知a＞0，对a分别求值，排除ABC，即可得答案．
【解答】解：由给定区间可知，a＞0．
区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．
取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；
取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a ＜0，故C可能；
取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a ＜0，故B可能．
结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．
故选：D．
【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【分析】根据定义结合图象，验证|MP|•|MQ|＝1是否恒成立即可．
【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，
在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证|MP|•|MQ|＝1是否成立是解决本题的关键，是中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．
（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．
【分析】（1）先证明平面A1ABB1∥平面DCC1D1，再根据面面平行的性质，即可证明；（2）先根据体积建立方程求出A1A＝4，再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，
∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，
∴直线A1B∥平面DCC1D1；
（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，
∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，
则A1E在底面ABCD内的射影为AE，
∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，
故∠A1EA即为所求，
在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，
∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，
∴tan∠A1EA＝＝＝，
∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．
【点评】本题考查线面平行的证明，面面平行的判定定理与性质，二面角的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．
18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．
（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．
【分析】（1）a＝0时，求出函数f（x）的解析式，根据函数的定义域和奇偶性进行求解判断即可．
（2）根据函数过点（1，3），求出c的值，然后根据f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．
【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，
要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，
∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，
∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．
（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，
此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，
即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，
设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，
则，得，得，即a
＞，
若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，
则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，
则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，
即（，）∪（，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观蓝色外观
棕色内饰128
米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【分析】（1）根据概率公式分别进行计算即可．
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定X对应的概率，求出分布列，利用
期望公式进行计算即可．
【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，
则P（B|A）＝＝＝＝．
∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），
即事件A和事件B不独立．
（2）由题意知X＝600，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，
仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，
∵＞＞，
∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，
则X的分布列为：
X150300600
P
则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题的关键，是中档题．
20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a
＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得点A的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得a的值；
（2）易知A（4，4），设B（b，0），由AB的中点在抛物线上，可得b的值，进而得到直线AB的方程，再由点到直线的距离公式得解；
（3）设，表示出直线AP的方程，进一步表示出点Q的坐标，再根据|HQ|＞4恒成立，结合基本不等式即可得到a的范围．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，
由于A到抛物线Γ准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），
解得；
（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），
设B（b，0），则AB的中点为，
由题意可得，解得b＝﹣2，
所以B（﹣2，0），
则，
由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，
所以原点O到直线AB的距离为；
（3）如图，
设，则，故直线AP的方程为，
令x＝﹣3，可得，即，
则，
依题意，恒成立，
又，
则最小值为，即，即，
则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，
又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．
故实数a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．
（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；
（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；
（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求
出k的所有取值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对函数f（x）求导，利用导数的几何意义，可得过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线方程，再结合题意即可得证；
（2）由不等式lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）即可得出结论；
（3）易知公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，利用导数可知g（x）的单调性情况，进而得到至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，由此可知k＝3，再验证即可．
【解答】解：（1）证明：，
则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，
由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，
根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；
（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），
设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，
易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），
结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；
（3）假设存在这样的k符合要求，
由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，
由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，
先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，
易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，
若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，
当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，
由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，
则存在，使得h（x0）＝0，
于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．
综上，k＝3．
【点评】本题考查数列与函数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．。