第6章 北大高微讲义库恩-塔克条件
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第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
1
第6章 库恩 --- 塔克条件 （Kuhn—Tucker condition）
22
第6章 库恩 --- 塔克条件
第 一 步 ： 给 定 x、， λ 要 证 明 ： z( x ) ≤ z( x ) 由 于 Z ( x )是 凹 函 数 ， 因 此 有 Z( x ) ≤ Z( x )+ ∑ ∂z xj ≤ 0 ∂x j ∂z xj = 0 ∂x j
n j=1
∀ x。
∂z ( x j−x j ) ∂x j
∑
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x1 , x 2 , ..., x n ))
∂z 且 xj ⋅ = 0 ∂x j ∂z 且 λi ⋅ = 0 ∂λ i
j = 1, 2 , ..., n i = 1, 2, ..., m
10
第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题： 数学定理：
g 是凸函数，则 如果 f 函数是凹函数，
K-T条件是极大值的充要条件。
i
11
第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值ห้องสมุดไป่ตู้题：
Min f ( x1, x2 ,..., xn )
x
s.t.
g ( x1, x2 ,..., xn ) ≥ ri i = 1,2,..., m
i
x1, x2 ,..., xn ≥ 0
12
第6章 库恩 --- 塔克条件
s.t.
9
第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题：
拉 格 朗 日 函 数： Z ( x1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , ..., λ m ) = f ( x1 , x 2 , ..., x n ) + K −T条件： ∂z ≤ 0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≥ 0, λi ≥ 0 ∂λ i
j = 1, 2, ..., n i = 1, 2, ..., m
13
第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值问题： 数学定理：
g 是凹函数，则K如果f 函数是凸函数，
T条件是极小值的充要条件。
i
14
第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极大值问题的K—T条件
Max
一、K—T条件 • 在最优化问题中，若 – 选择变量要求非负 – 约束条件是不等式 则需要用K—T条件来解决问题。 1、 K—T条件初步理解 （1）关于选择变量非负的要求 Max y = f ( x) s.t. x ≥ 0
f ' ( x) ≤ 0, x ≥ 0, and f ' ( x) ⋅ x = 0
图示
20
4、库恩 --- 塔克充分性定理 定理：给定非线性规划
M ax s .t . π = f (x) g i (x) ≤ γ i 且x ≥ 0 x = ( x1 L x n )
i = 1,2 L m
如果满足以下条件： （a）目标函数f(x)在非负象限连续可微，且为凹函 数； （b）每个约束条件g(x)在非负象限连续可微，且为 凸函数； （c）点 x 满足K—T极大值条件。 那么， x 为π=f(x) 的整体极大化解。
∑
m
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x )) ≥ 0
然 后 ， 对 于 ·不 等 式 右 边 的 Q ∴
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x )) 而 言 ， (根 据 互 补 松 弛 条 件 )
∑ ∑
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x ) ) = λ i ⋅ λ i ( r i − g i ( x )) = 0
16
第6章 库恩 --- 塔克条件
证明：
令x1，x2为g(x)定义域上的任意两点 ，（其中x=(x1,...xn )） 根据约束条件有 g(x1) ≤ r, g(x2 ) ≤ r （1） 因为g(x)是凸函数，故有:g(tx1 + (1− t)x2 ) ≤ tg(x1) + (1− t)g(x2 ) ≤ tr + (1− t)r = r 说明：对于是凸函数g(x)来说，如果g(x1) ≤ r, g(x2 ) ≤ r, 则有g(tx1 + (1− t)x2 ) ≤ r。 ⇒凸函数g(x)关于r的下等值集 必定是一个凸集合。
= f ( x1, x2 , x3 ) + λ1(r1 − g1( x1, x2 , x3 ) − s1) + λ2 (r2 − g 2 (x1, x2 , x3 ) − s2 ) （P2'） ∂z ∂z ∂z = = =0 F.O. C. ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂z ∂z = =0 ∂s1 ∂s2 ∂z ∂z = =0 ∂λ1 ∂λ2
2
第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）关于约束条件是不等式的要求： 在（1）的基础上加入不等约束的要求
Max y = f ( x1 , x2 , x3 )
x
（ P1）
s.t .
g ( x1 , x2 , x3 )≤ r1
1
g ( x1 , x2 , x3 )≤ r2
2
且 x1 , x2 , x3 ≥ 0
x
f (x1, x2,..., xn )
i
st . . g (x1, x2,..., xn ) ≤ ri i =1,2,..., m x1, x2,..., xn ≥ 0
15
第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极大值问题的K—T条件 命题 如果g(x)是凸函数，则g(x)≤r的水平集合 （即下等值集）必定是一个凸集合。
1
g 2 ( x1 , x2 , x3 ) + s2 = r2 且 x1 , x2 , x3 , s1 , s2 ≥ 0
4
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第二步： 假设去掉选择变量的非负要求，于是有： Z ( x1, x2 , x3 , s1, s2 , λ1, λ2 )
6
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si）。
∂z 由（2）式得， = −λ i ≤ 0 ⇒ λ i ≥ 0 ∂si 于是（2）式可改写为： λ i ≥ 0， si ≥ 0 且si ⋅λ i = 0 ∂z 由（3）式得， = ri − gi (⋅) − si = 0 ⇒ si = ri − gi (⋅) ∂λi 于是（4）式可写成：ri − gi (⋅)≥ 0， λ i ≥ 0 且λi（ ⋅ ri − gi (⋅)）=0 (5) ∂z 如果在（P2'）中消去si，则有 = ri − gi (⋅) ∂λi ∂z ∂z ≥ 0， λ i ≥ 0 且λi ⋅ = 0 于是（5）式可写为 ∂λi ∂λi (6)
图示
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第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极小值问题的K—T条件
Min f (x1, x2 ,..., xn )
x
s.t.
g (x1, x2 ,..., xn ) ≥ ri i = 1,2,..., m
i
x1, x2 ,..., xn ≥ 0
18
第6章 库恩 --- 塔克条件 3、对 K—T条件的理解 （1）关于极小值问题的K—T条件 命题
∑
m
i =1
λ i ( r i − g ( x )) ≤ f ( x ) +
i
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x ))
首 先 ， 对 于 ·不 等 式 左 边 的 Q λ i ≥ 0, ∴
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x )) 部 分 而 言 ，
ri − g i ( x ) ≥ 0 ( 根 据 不 等 式 约 束 条 件 )
j = 1, 2,3 i = 1, 2
边际条件 非负条件 互补松弛条件
8
第6章 库恩 --- 塔克条件
2、 K—T条件的标准形式 • （1）极大值问题：
Max
x
f ( x1, x2 ,..., xn ) g i ( x1, x2 ,..., xn ) ≤ ri i = 1,2,..., m x1, x2 ,..., xn ≥ 0
7
(4)
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 最后，将式（1）和（6）结合在一起， 便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解 的条件，即K-T条件。
∂z ≤0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≥ 0, λi ≥ 0 ∂λi ⇓ ⇓
∂z and x j ⋅ =0 ∂x j ∂z and λi ⋅ =0 ∂λi ⇓
21
第6章 库恩 --- 塔克条件
证明： 上述极大值问题对应的拉格朗日函数可以 写为
Z = f ( x ) + ∑ λi ( ri − g ( x ))
i i =1
m
（ 1）
凹函数 凹函数 z(x)为凹函数 由凹函数的性质可知：过凹函数z( x )点作 切线，则在任意的x≠ x 点上，有 n ∂z Z （x） ≤ Z (x ) + ∑ ( x j − x j ) ∀x（2） j =1 ∂x j
∂z = 0 ∂λi
i =1
因 此 ， 由 （ 1 ） 可 得 ： f ( x ) ≤ f ( x ),
∀x
24
第 二 步 ： 给 定 x、 λ， 要 证 明 ： f ( x ) ≤ f ( x ) 再 根 据 （ 1） 式 ， 可 得 f (x) +
∀ x。 ∀x, ∀ x (3 ')
∂z (xj − xj )≤ 0 ∂x j ∀x (3)
23
∴ z( x ) ≤ z( x ) ,
第 二 步 ： 给 定 x、 λ， 要 证 明 ： f ( x ) ≤ f ( x ) 再 根 据 （ 1） 式 ， 可 得 f (x) +
∀ x。 ∀x, ∀ x (3 ')
由 第 一 步 证 明 的 结 果 （ 3） 式 ， 即 z( x) ≤ z( x )
3
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第一步： 加入两个虚设变量s1、s2 ≥ 0，将（P1）处理 成以下的等价形式（P2）。（即：去掉不等式约 束条件）
Max y = f ( x1 , x2 , x3 )
x,s
（ P2 ）
s.t .
g ( x1 , x2 , x3 ) + s1 = r1
5
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第三步：加上选择变量非负的要求。 于是，
F .O.C. 改写为： ∂z ≤0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≤ 0, si ≥ 0 ∂si ∂z =0 ∂λi and and ∂z xj ⋅ =0 ∂x j ∂z si ⋅ =0 ∂si j = 1, 2,3 i = 1, 2 (1) (2) (3)
（2）极小值问题： 拉 格 朗 日 函 数： Z ( x1 , x 2 , ..., x n , λ1 , ..., λ m )
= f ( x1 , x 2 , ..., x n ) + ∑ λ i ( ri − g i ( x1 , x 2 , ..., x n ))
i =1 m
K − T 条件： ∂z ∂z ≥ 0, x j ≥ 0 且 x j ⋅ =0 ∂x j ∂x j ∂z ∂z ≤ 0, λ i ≥ 0 且 λ i ⋅ =0 ∂λ i ∂λ i
如果g(x) 是凹函数，则g(x)≥r 的水平集合 （即上等值集）必定是一个凸集合。
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第6章 库恩 --- 塔克条件
证明：
令x1，x2为g(x)定义域上的任意两点，（其中x=(x1,...xn )） 根据约束条件有 g(x1) ≥ r, g(x2 ) ≥ r （1） 因为g(x)是凹函数，故有:g(tx1 + (1− t)x2 ) ≥ tg(x1) + (1− t)g(x2 ) ≥ tr + (1− t)r = r 说明：对于是凹函数g(x)来说，如果g(x1) ≥ r, 必定是一个凸集合。 g(x2 ) ≥ r, 则有g(tx1 + (1− t)x2 ) ≥ r。 ⇒ 凸函数g(x)关于r的上等值集
（ 2）
( 2 )式 右 边 第 二 部 分 可 以 拆 分 为 T 1 + T 2， 其 中 T1 = T2 =
∑
j
m
∂z (Q 边 际 条 件 ≤ 0。 且 x j ≥ 0。 ) ∂x j ∂z (Q 互 补 松 弛 条 件 xj = 0 ) ∂x j
∑
j
m
∴ T1 + T 2 ≤ 0 ∴∑
j m
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
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第6章 库恩 --- 塔克条件 （Kuhn—Tucker condition）
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第6章 库恩 --- 塔克条件
第 一 步 ： 给 定 x、， λ 要 证 明 ： z( x ) ≤ z( x ) 由 于 Z ( x )是 凹 函 数 ， 因 此 有 Z( x ) ≤ Z( x )+ ∑ ∂z xj ≤ 0 ∂x j ∂z xj = 0 ∂x j
n j=1
∀ x。
∂z ( x j−x j ) ∂x j
∑
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x1 , x 2 , ..., x n ))
∂z 且 xj ⋅ = 0 ∂x j ∂z 且 λi ⋅ = 0 ∂λ i
j = 1, 2 , ..., n i = 1, 2, ..., m
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题： 数学定理：
g 是凸函数，则 如果 f 函数是凹函数，
K-T条件是极大值的充要条件。
i
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值ห้องสมุดไป่ตู้题：
Min f ( x1, x2 ,..., xn )
x
s.t.
g ( x1, x2 ,..., xn ) ≥ ri i = 1,2,..., m
i
x1, x2 ,..., xn ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
s.t.
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（1）极大值问题：
拉 格 朗 日 函 数： Z ( x1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , ..., λ m ) = f ( x1 , x 2 , ..., x n ) + K −T条件： ∂z ≤ 0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≥ 0, λi ≥ 0 ∂λ i
j = 1, 2, ..., n i = 1, 2, ..., m
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）极小值问题： 数学定理：
g 是凹函数，则K如果f 函数是凸函数，
T条件是极小值的充要条件。
i
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第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极大值问题的K—T条件
Max
一、K—T条件 • 在最优化问题中，若 – 选择变量要求非负 – 约束条件是不等式 则需要用K—T条件来解决问题。 1、 K—T条件初步理解 （1）关于选择变量非负的要求 Max y = f ( x) s.t. x ≥ 0
f ' ( x) ≤ 0, x ≥ 0, and f ' ( x) ⋅ x = 0
图示
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4、库恩 --- 塔克充分性定理 定理：给定非线性规划
M ax s .t . π = f (x) g i (x) ≤ γ i 且x ≥ 0 x = ( x1 L x n )
i = 1,2 L m
如果满足以下条件： （a）目标函数f(x)在非负象限连续可微，且为凹函 数； （b）每个约束条件g(x)在非负象限连续可微，且为 凸函数； （c）点 x 满足K—T极大值条件。 那么， x 为π=f(x) 的整体极大化解。
∑
m
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x )) ≥ 0
然 后 ， 对 于 ·不 等 式 右 边 的 Q ∴
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x )) 而 言 ， (根 据 互 补 松 弛 条 件 )
∑ ∑
m
i =1
λ i ( ri − g i ( x ) ) = λ i ⋅ λ i ( r i − g i ( x )) = 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
证明：
令x1，x2为g(x)定义域上的任意两点 ，（其中x=(x1,...xn )） 根据约束条件有 g(x1) ≤ r, g(x2 ) ≤ r （1） 因为g(x)是凸函数，故有:g(tx1 + (1− t)x2 ) ≤ tg(x1) + (1− t)g(x2 ) ≤ tr + (1− t)r = r 说明：对于是凸函数g(x)来说，如果g(x1) ≤ r, g(x2 ) ≤ r, 则有g(tx1 + (1− t)x2 ) ≤ r。 ⇒凸函数g(x)关于r的下等值集 必定是一个凸集合。
= f ( x1, x2 , x3 ) + λ1(r1 − g1( x1, x2 , x3 ) − s1) + λ2 (r2 − g 2 (x1, x2 , x3 ) − s2 ) （P2'） ∂z ∂z ∂z = = =0 F.O. C. ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂z ∂z = =0 ∂s1 ∂s2 ∂z ∂z = =0 ∂λ1 ∂λ2
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（2）关于约束条件是不等式的要求： 在（1）的基础上加入不等约束的要求
Max y = f ( x1 , x2 , x3 )
x
（ P1）
s.t .
g ( x1 , x2 , x3 )≤ r1
1
g ( x1 , x2 , x3 )≤ r2
2
且 x1 , x2 , x3 ≥ 0
x
f (x1, x2,..., xn )
i
st . . g (x1, x2,..., xn ) ≤ ri i =1,2,..., m x1, x2,..., xn ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极大值问题的K—T条件 命题 如果g(x)是凸函数，则g(x)≤r的水平集合 （即下等值集）必定是一个凸集合。
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g 2 ( x1 , x2 , x3 ) + s2 = r2 且 x1 , x2 , x3 , s1 , s2 ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第二步： 假设去掉选择变量的非负要求，于是有： Z ( x1, x2 , x3 , s1, s2 , λ1, λ2 )
6
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si）。
∂z 由（2）式得， = −λ i ≤ 0 ⇒ λ i ≥ 0 ∂si 于是（2）式可改写为： λ i ≥ 0， si ≥ 0 且si ⋅λ i = 0 ∂z 由（3）式得， = ri − gi (⋅) − si = 0 ⇒ si = ri − gi (⋅) ∂λi 于是（4）式可写成：ri − gi (⋅)≥ 0， λ i ≥ 0 且λi（ ⋅ ri − gi (⋅)）=0 (5) ∂z 如果在（P2'）中消去si，则有 = ri − gi (⋅) ∂λi ∂z ∂z ≥ 0， λ i ≥ 0 且λi ⋅ = 0 于是（5）式可写为 ∂λi ∂λi (6)
图示
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第6章 库恩 --- 塔克条件
3、对 K—T条件的理解 （1）关于极小值问题的K—T条件
Min f (x1, x2 ,..., xn )
x
s.t.
g (x1, x2 ,..., xn ) ≥ ri i = 1,2,..., m
i
x1, x2 ,..., xn ≥ 0
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第6章 库恩 --- 塔克条件 3、对 K—T条件的理解 （1）关于极小值问题的K—T条件 命题
∑
m
i =1
λ i ( r i − g ( x )) ≤ f ( x ) +
i
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x ))
首 先 ， 对 于 ·不 等 式 左 边 的 Q λ i ≥ 0, ∴
∑
m
i =1
λ i ( r i − g i ( x )) 部 分 而 言 ，
ri − g i ( x ) ≥ 0 ( 根 据 不 等 式 约 束 条 件 )
j = 1, 2,3 i = 1, 2
边际条件 非负条件 互补松弛条件
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第6章 库恩 --- 塔克条件
2、 K—T条件的标准形式 • （1）极大值问题：
Max
x
f ( x1, x2 ,..., xn ) g i ( x1, x2 ,..., xn ) ≤ ri i = 1,2,..., m x1, x2 ,..., xn ≥ 0
7
(4)
第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 最后，将式（1）和（6）结合在一起， 便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解 的条件，即K-T条件。
∂z ≤0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≥ 0, λi ≥ 0 ∂λi ⇓ ⇓
∂z and x j ⋅ =0 ∂x j ∂z and λi ⋅ =0 ∂λi ⇓
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第6章 库恩 --- 塔克条件
证明： 上述极大值问题对应的拉格朗日函数可以 写为
Z = f ( x ) + ∑ λi ( ri − g ( x ))
i i =1
m
（ 1）
凹函数 凹函数 z(x)为凹函数 由凹函数的性质可知：过凹函数z( x )点作 切线，则在任意的x≠ x 点上，有 n ∂z Z （x） ≤ Z (x ) + ∑ ( x j − x j ) ∀x（2） j =1 ∂x j
∂z = 0 ∂λi
i =1
因 此 ， 由 （ 1 ） 可 得 ： f ( x ) ≤ f ( x ),
∀x
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第 二 步 ： 给 定 x、 λ， 要 证 明 ： f ( x ) ≤ f ( x ) 再 根 据 （ 1） 式 ， 可 得 f (x) +
∀ x。 ∀x, ∀ x (3 ')
∂z (xj − xj )≤ 0 ∂x j ∀x (3)
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∴ z( x ) ≤ z( x ) ,
第 二 步 ： 给 定 x、 λ， 要 证 明 ： f ( x ) ≤ f ( x ) 再 根 据 （ 1） 式 ， 可 得 f (x) +
∀ x。 ∀x, ∀ x (3 ')
由 第 一 步 证 明 的 结 果 （ 3） 式 ， 即 z( x) ≤ z( x )
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第一步： 加入两个虚设变量s1、s2 ≥ 0，将（P1）处理 成以下的等价形式（P2）。（即：去掉不等式约 束条件）
Max y = f ( x1 , x2 , x3 )
x,s
（ P2 ）
s.t .
g ( x1 , x2 , x3 ) + s1 = r1
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第6章 库恩 --- 塔克条件
（3）关于（P1）最优解的推导 第三步：加上选择变量非负的要求。 于是，
F .O.C. 改写为： ∂z ≤0, x j ≥ 0 ∂x j ∂z ≤ 0, si ≥ 0 ∂si ∂z =0 ∂λi and and ∂z xj ⋅ =0 ∂x j ∂z si ⋅ =0 ∂si j = 1, 2,3 i = 1, 2 (1) (2) (3)
（2）极小值问题： 拉 格 朗 日 函 数： Z ( x1 , x 2 , ..., x n , λ1 , ..., λ m )
= f ( x1 , x 2 , ..., x n ) + ∑ λ i ( ri − g i ( x1 , x 2 , ..., x n ))
i =1 m
K − T 条件： ∂z ∂z ≥ 0, x j ≥ 0 且 x j ⋅ =0 ∂x j ∂x j ∂z ∂z ≤ 0, λ i ≥ 0 且 λ i ⋅ =0 ∂λ i ∂λ i
如果g(x) 是凹函数，则g(x)≥r 的水平集合 （即上等值集）必定是一个凸集合。
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第6章 库恩 --- 塔克条件
证明：
令x1，x2为g(x)定义域上的任意两点，（其中x=(x1,...xn )） 根据约束条件有 g(x1) ≥ r, g(x2 ) ≥ r （1） 因为g(x)是凹函数，故有:g(tx1 + (1− t)x2 ) ≥ tg(x1) + (1− t)g(x2 ) ≥ tr + (1− t)r = r 说明：对于是凹函数g(x)来说，如果g(x1) ≥ r, 必定是一个凸集合。 g(x2 ) ≥ r, 则有g(tx1 + (1− t)x2 ) ≥ r。 ⇒ 凸函数g(x)关于r的上等值集
（ 2）
( 2 )式 右 边 第 二 部 分 可 以 拆 分 为 T 1 + T 2， 其 中 T1 = T2 =
∑
j
m
∂z (Q 边 际 条 件 ≤ 0。 且 x j ≥ 0。 ) ∂x j ∂z (Q 互 补 松 弛 条 件 xj = 0 ) ∂x j
∑
j
m
∴ T1 + T 2 ≤ 0 ∴∑
j m