极限的定义PPT课件

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1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1.有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2.有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — (3) 5 — (2)、 (4) 9 — (6)、 (10)、 (13)、 (14) 12 — (4) 15 、 18 — (3)
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感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
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1.求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
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(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
(2) 列式 lim x x0 tg x
其中 (x) tg x , (x) x
答:(1) x2 比 5x 高阶,(2) x 与 tgx 等阶
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.无穷大量及其与无穷小的关系 the relation between infinity and infinitesimal
五.无穷小及其性质
六.无穷大量及与无穷小关系
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1. 极限的引入(举例)
【表述】一尺之棰,日取其半,万世不绝。
【数列】 【通项】
1, 1 , 1 , 1 , 248
1 an 2n1
数列——定义在自然数集合的函数
an f (n) 整标函数
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y x2(x [0,1])
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Sn
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
1 n
n ...(
n
1)2
1 n
12
22
32 ... (n 1)2 n3
(n 1)n(2n 1) 6n3
1 3
1 ( 6n2
1) 2n
1 3
n
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二.函数的极限 limit of function
1.x →∞时函数的极限 2.x →x0时函数的极限 3.函数极限的一般定义
注意:代换的运用! ln(1+x)~x; e x 1 ~ x
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本节小结
• 极限的定义 • 极限的运算法则 • 两个重要极限 • 无穷小量与无穷大量
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两个重要极限例题
例1.lim sin 3x x0 sin 5x
例2.lim x0
1
cos x2
x
*例3.. lliimm((11 2x)3xtg
定义 设函数f ( x)在 x0点附近有定义(在x0点
可以无定义)当x x0 (以任意方式趋近),
若f ( x) a,则称a为f ( x) 在x x0时的极限,
记作 实例
lim
x x0
f (x) A

f ( x) A(当x x0 )
f (x) x2
当 x 左右侧侧 2, 都有 f ( x) 4
左右极限都存在并相等10函数极限的一般定义当自变量x无限增大或减小或者充分即无限地接近某个数值函数值也会随之足够接近某个数值那么该数值就是一个极限数值
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一.极限引入
二.函数的极限

lim
x
f
(x)

lim
xx0
f
(x)
三.极限的四则运算
四.两个重要极限
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极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x)存在, 其必唯一
x x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
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三.极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.~定理 2.~推论 3.~例题 □定理 若两个函数的极限存在,
则它们的和、差、积、商的极限等于 极限的和、差、积、商(分母≠0)
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1 极限的四则运算定理
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
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1.x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时,如果函数 f ( x) a(常数),则 称 a 为f ( x)在x 时的极限,记作
[例]
lim f (x) a
x
1
(1) f ( x) 1 x2
lim f ( x) 1
x
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2. x x0时函数的极限
1.无穷大量
定义 如果当 x x0 (或x ) 时, 对应 的函数值的绝对值 f ( x) 无限增大 ,则称函
数 f ( x)当x x0(或x )时为无穷大,记作
lim f ( x)
(x或xx0 )
[例]
1.lim x3
x3 x2 9
2. lim x( x2 1 x) x
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推论
2.lim x x0
xn
x0n
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3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim
x2 x 2 1 x 1
(2) lim x1 x 2 1
(3) lim x2 1 x 2x2 x 1
(4) lim( x2 1 x 2 1) x 第13页/共27页
四.两个重要极限 two important limits
0
lim
K
1
0( )
0( ) ~
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高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
无穷小比较例题
(1)当 x→0 时,x2 与 5x 哪一个是高阶无穷小?
(2)当 x→0 时,x 与 tg x 哪一个是高阶无穷小?
解 : (1) 列式 lim x2 x0 5x
注:左、右极限都存在并相等
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求极限 lim x2
x2
x (左侧) →x0
x
y
x (右侧) →x0
x
y
1.9
3.61
2.1
4.41
1.99 3.96
2.01
4.04
1.999 ···
3.996 ···
2.001 ···
4.004 ···
2
4 2 第8页/共27页
4
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即无限地)接近某个数值,函数值也会随之足够接近某个数值,那么该 数值就是一个极限(数值).
1.lim sin x 1 x0 x
2.lim(1 1 )x e
x
x
附:求极限的基本方法
(1)直接代入法
(2)恒等变换法(含倒数、根式变换)
*(3)公式法——两个重要极限
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2.重要极限 lim(1 1 )x e
x
x
□幂指函数 □定义域
(-∞,-1) (0,+∞)
y (1 1 )x x
x1
2
x1
π
cos
x1
2
x1
sin(
π
π x)
2
22
lim sin π x lim
π (1 x) 2
2 2
x1
2
x1
sin
π (1 x)
π
π
2
lim ln(1
x)
lim ln(1
1
x)x
lim ln e
1
x0
x
x0
x0
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无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B 和差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当B 0时 , lim f ( x) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1.若 lim f ( x)存在 , 则
lim C f ( x) C lim f ( x)
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